1、6.1 非线性振动概述非线性振动概述 6.2 非线性振动的定性分析方法非线性振动的定性分析方法6.3 非线性振动的近似解析方法非线性振动的近似解析方法6.4 非线性振动的数值分析方法非线性振动的数值分析方法 6.5 分叉与混沌的概念分叉与混沌的概念6.1 非线性振动概述非线性振动概述非线性特性非线性特性 材料非线性材料非线性振幅过大超出材料线弹性范围几何非线性几何非线性位移或变形过大使结构几何形状显著变化非线性阻尼非线性阻尼材料内摩擦阻尼、流体阻尼等都是非线性阻尼负刚度负阻尼负刚度负阻尼有些情况下会存在负刚度和负阻尼非线性系统非线性系统 当当真实系统弹性元件的力与位移之间的关系超出线性范围，或
2、阻尼元真实系统弹性元件的力与位移之间的关系超出线性范围，或阻尼元件的力与运动速度之间的关系不满足作线性关系时，系统的运动微分方程不件的力与运动速度之间的关系不满足作线性关系时，系统的运动微分方程不能用线性微分方程描述，称系统为非线性系统。当真实系统作小运动时，可能用线性微分方程描述，称系统为非线性系统。当真实系统作小运动时，可忽略系统的高阶微小量，近似地将系统看作线性系统。忽略系统的高阶微小量，近似地将系统看作线性系统。6.1 非线性振动概述非线性振动概述非线性振动的研究方法非线性振动的研究方法 非线性振动研究的方法有：非线性振动研究的方法有：定性分析定性分析、定量分析定量分析和和数值分析数值
3、分析方法。方法。非线性振动研究的内容非线性振动研究的内容 非线性振动研究的基本内容之一就是建立对真实振动系统的计算方法，非线性振动研究的基本内容之一就是建立对真实振动系统的计算方法，改进计算精度，探索某些特殊现象的规律。改进计算精度，探索某些特殊现象的规律。定性法定性法 研究已知解的领域内系统的一般稳定性特征，而不是运动的时研究已知解的领域内系统的一般稳定性特征，而不是运动的时间历程。通常采用间历程。通常采用几何方法几何方法描述系统的运动特征。描述系统的运动特征。定量法定量法 通过一些渐近的通过一些渐近的解析方法解析方法研究系统运动的时间历程。研究系统运动的时间历程。数值法数值法 通过通过数值
4、计算数值计算方法研究系统非线性振动的规律和现象。方法研究系统非线性振动的规律和现象。6.1 非线性振动概述非线性振动概述线性振动线性振动 非线性振动与线性振动的区别非线性振动与线性振动的区别非线性振动非线性振动 自由振动频率与初始条件无关自由振动频率与初始条件无关 自由振动频率与振幅有关自由振动频率与振幅有关 强迫振动频率与激励力频率相强迫振动频率与激励力频率相等等 强迫振动频率成分复杂，有时强迫振动频率成分复杂，有时与激励频率不相等的频率成分与激励频率不相等的频率成分突出突出稳定平衡位置附近的运动是稳稳定平衡位置附近的运动是稳定的定的 稳定平衡位置附近具有多种稳定平衡位置附近具有多种稳定和不
5、稳定运动稳定和不稳定运动强迫振动中每个激励频率强迫振动中每个激励频率有一个对应的振幅有一个对应的振幅 强迫振动中幅频与相频曲线强迫振动中幅频与相频曲线发生弯曲，产生多值性发生弯曲，产生多值性 叠加原理成立叠加原理成立 叠加原理不成立叠加原理不成立6.2 非线性振动的定性分析方法非线性振动的定性分析方法 设设n自由度系统的运动微分方程为自由度系统的运动微分方程为位形空间位形空间相空间相空间其中，其中，qi是广义坐标，是广义坐标，fi是广义坐标和广义速度的非线性函数。是广义坐标和广义速度的非线性函数。由变量由变量qi规定的规定的n维笛卡儿空间称为位形空间。方程的解维笛卡儿空间称为位形空间。方程的解
6、qi(t)可用位形空间的可用位形空间的n维矢量表示。维矢量表示。由变量由变量qi和和 规定的规定的2 2n维维空间称为状态空间或相空间。空间称为状态空间或相空间。iq 设设 ，和和 ，iixq iinXxinixqiniXf则矢量则矢量 x 可唯一表示系统在任一时刻可唯一表示系统在任一时刻t的状态。的状态。).,2,1().,.,()(;21;21nitqqqqqqftqnnii 方程可写为方程可写为 或或),.,()(221txxxXtxniiXx 6.2 非线性振动的定性分析方法非线性振动的定性分析方法 自治系统和非自治系统自治系统和非自治系统 Xi中没有一个显含时间中没有一个显含时间t
7、时，系统称为自治系统，时，系统称为自治系统，Xi中至中至少有一个显含时间少有一个显含时间t 时，系统称为非自治系统。时，系统称为非自治系统。普通点和奇异点普通点和奇异点 凡是凡是 的点称为普通点、相点或正则的点称为普通点、相点或正则点；而点；而X 0 的点称为奇异点或平衡点。的点称为奇异点或平衡点。0212TniiXXX 从状态方程可以看出平衡点的速度与加速度为零。从状态方程可以看出平衡点的速度与加速度为零。未扰解和被扰解未扰解和被扰解 xi=f fi(t)为方程的一个已知解，称为未扰解。研究系统为方程的一个已知解，称为未扰解。研究系统在在f fi(t)领域中的运动领域中的运动xi(t)称为被
8、扰运动。称为被扰运动。特别有意义的两类未扰解是对应于平衡点的特别有意义的两类未扰解是对应于平衡点的常数解常数解和对和对应于封闭轨线的应于封闭轨线的周期解周期解。6.2 非线性振动的定性分析方法非线性振动的定性分析方法 Lyapunov稳定性定义稳定性定义稳定性的几何解释稳定性的几何解释 设由设由 xi 规定的相空间的原点与平衡点重合，则系统的运规定的相空间的原点与平衡点重合，则系统的运动幅度定义为原点到扰动解积分曲线上任何一点的距离：动幅度定义为原点到扰动解积分曲线上任何一点的距离：2121212T)(niixxxx0tt 若给定任意小的正数e e，存在正数d d，对于一切受扰运动，只要其初始
9、扰动满足 ，对于所有的 均满足 ，则称平凡解是稳定的。d)(0txe)(tx 若这个平凡解是Lyapunov稳定的，而且 ，则解是渐近稳定的。0)(limtxt不稳定不稳定渐近稳定渐近稳定稳定稳定6.2 非线性振动的定性分析方法非线性振动的定性分析方法 相平面相平面),(),(21222111xxXxxxXx 讨论一单自由度自治系统的自由振动，其动力学方程的一般形式为：对于单自由度系统，相空间缩减为以x1和x2为直角坐标系的（x1，x2）平面，称为系统的相平面相平面。),(qqfq 设设 ，和和 ，上式可以写为状态变量的一阶微分方程组：2xq 1xq 12Xx 2Xf 6.2 非线性振动的定性
10、分析方法非线性振动的定性分析方法 与系统的运动状态一一对应的相平面上的点称为系统的相点。相点。相轨迹相轨迹不同初始条件的相轨迹组成相轨迹族相轨迹族。系统的运动过程可用相点在相平面上的移动过程来描述。相点移动的轨迹称为相轨迹，或相迹。相轨迹，或相迹。6.2 非线性振动的定性分析方法非线性振动的定性分析方法 奇点奇点 相平面内能使状态方程右端等于零的特殊点称为相轨迹的奇点奇点。表明系统的速度和加速度均等于零，奇点的物理意义即系统的平衡状态，因此也可将奇点称为平平衡点衡点。对单自由度自治系统的自由振动，状态方程为：),(),(21222111xxXxxxXx相平面上个别的平衡点就是以下方程的解：0)
11、,(,0),(212211xxXxxX6.2 非线性振动的定性分析方法非线性振动的定性分析方法 记系数矩阵记系数矩阵 不失一般性，将坐标原点移至奇点处，并将函数在奇点（0，0）附近展开为泰勒级数，得到：),(),(),(),(212222121212211212111211xxxaxaxxXxxxaxaxxXee222112112121),(),(aaaaxxXXA其中)2,1,(0jixXajxjiji6.2 非线性振动的定性分析方法非线性振动的定性分析方法 引入向量T21),(xxx 设e1和e2是在原点的领域中小到可以忽略，则可以用下列线性化方程讨论非线性方程在原点附近的稳定性：Axx
12、作非奇异线性变换uBx 则方程可以写为Juu ABBJ1其中6.2 非线性振动的定性分析方法非线性振动的定性分析方法 选择合适的B，可使变换后的矩阵J 为若当标准型若当标准型，可以证明，矩阵J与矩阵A有相同的特征值特征值。下面讨论矩阵J 的特征值与奇点特性的关系。特征值与奇点特性的关系。J 有不相等不相等的实特征值l1和l2，则有 2100llJ线性变换后的方程222111uuuull上式的解解为ttuuuu21ee202101ll解的两边分别对时间求导，并消去时间t，可以得到1212dduuuu其中12ll6.2 非线性振动的定性分析方法非线性振动的定性分析方法 则有20221011ln1l
13、n1uuuull20210112lnlnuuuull202101lnlnuuuu202101lnlnuuuu或设=l 2/l 1，则有1011ln1uutlttuuuu21ee202101ll或把解 改写成 和2022ln1uutl或6.2 非线性振动的定性分析方法非线性振动的定性分析方法 相轨迹为指数曲线族。当 l10l2，即两个本征值异号时，0，即两个特征值同号时，奇点为结点结点。当 两个特征值都为负时，当 t 时，所有的轨线趋向于原点，因此，奇点是稳定结点稳定结点，系统的运动是渐近稳定的。而当特征值同为正时，奇点是不稳定结点不稳定结点。稳定结点ttuuuu21ee202101ll6.2
14、非线性振动的定性分析方法非线性振动的定性分析方法 J J 有相同的特征值有相同的特征值l1=l2 1100llJ一种情况为方程可以写为：212111uuuull方程的解解为ttuuuu11ee202101ll6.2 非线性振动的定性分析方法非线性振动的定性分析方法 110202uuuu相轨迹方程相轨迹方程为ttuuuu11ee202101ll 相轨迹为直线族。当 两个特征值小于零时相迹的方向指向原点，奇点为稳定节点稳定节点；当 两个特征值大于零时相迹的方向远离原点，奇点为不稳定节不稳定节点点。稳定结点6.2 非线性振动的定性分析方法非线性振动的定性分析方法 J J 有相同的本征值有相同的本征值
15、l1=l2 110llJ此时方程可以写为：2112111uuuuull此方程的解解为tttuuuuu11e)(e10202101ll另一种情况为6.2 非线性振动的定性分析方法非线性振动的定性分析方法 上述两式相除，并消去时间 t可得1011102012lnuuuuuul（0）当特征值l1 0）当l1 0 时，奇点是不稳定结点。6.2 非线性振动的定性分析方法非线性振动的定性分析方法 若若J 有共轭复根有共轭复根 li2,1则有iiJ00将直角坐标变换成极坐标irue1iru e2方程可写为方程可写为iireiureiu)()(21因而rriiiirirurirueeee21两边对时间求导6.
16、2 非线性振动的定性分析方法非线性振动的定性分析方法 rr此方程的通解为terrt00 此时的相轨迹为围绕奇点的螺旋线，奇点为焦点焦点。当 0 时是不稳定焦点。稳定焦点6.2 非线性振动的定性分析方法非线性振动的定性分析方法 当 0 时，相轨迹转化为圆，奇点为中心。terrt00中心6.2 非线性振动的定性分析方法非线性振动的定性分析方法 奇点的分类准则奇点的分类准则 线性变换后的变量u与变换前的变量x是线性同构线性同构的，它们的奇点类型也完全相同。根据以上分析结果，奇点的类型取决于矩阵A的特征值。将A的特征方程展开，得到：02qplllIA其中21122211)det(aaaaqA2211)
17、(traceaapA特征值为特征值为22,1lp其中qp426.2 非线性振动的定性分析方法非线性振动的定性分析方法 奇点类型和这两个参数的关系可以归纳如下：由上面的分析可以看出，奇点的不同类型由参数p和完全确定，只要这两个参数确定了，则系统奇点的类型就确定。不稳定焦点稳定焦点焦点中心鞍点不稳定结点稳定结点结点0000000000ppppqppq6.2 非线性振动的定性分析方法非线性振动的定性分析方法 参数平面上的奇点类型参数平面上的奇点类型22,1lp6.2 非线性振动的定性分析方法非线性振动的定性分析方法 例题例题61判断单摆的奇点类型 设单摆相对垂直轴的偏角为广义坐标，其动力学方程为 2
18、1sinXxlg或 sinlg),(),(21222111xxXxxxXx设设：2x1x12Xx 方程式可以写为状态变量的一阶微分方程组：1221sin xlgxxx6.2 非线性振动的定性分析方法非线性振动的定性分析方法 得到得到单摆的奇点为单摆的奇点为.)21,0(1，jjx其中，0)/(10lgA0sin012xlgx令令：02x 把原点移至单摆的奇点，则在原点附近线性化的方程为：Axx 所以有：0p)/(lgq)/(4lg222112112121),(),(aaaaxxXXA)2,1,(0jixXajxjiji6.2 非线性振动的定性分析方法非线性振动的定性分析方法 根据前面的分析，由
19、p、q和来判断系统的奇点类型:(0,0)0,(0p)/(lgq)/(4lg6.2 非线性振动的定性分析方法非线性振动的定性分析方法 单摆的相轨迹图单摆的相轨迹图 从单摆相轨图上可以清楚看到系统奇点的性质。1221sin xlgxxxtxlgxtxxdsinddd12211221sinddxlgxxx2211ddsinxxxxlgExlgx)cos1(21122单摆的相轨迹图状态方程改写成消去 d t：整理：积分：11222)cos1(21Exmglxml或：6.2 非线性振动的定性分析方法非线性振动的定性分析方法 极限环极限环 相平面内的封闭轨线是对系统周期运动的定性描述。稳定的中心周围密集的
20、封闭轨线对应于单自由度保守系统的自由振动，振幅取决于初始条件。孤立的封闭轨线称作极限环，极限环，振幅取决于系统参数。极限环稳定性的几何解释6.2 非线性振动的定性分析方法非线性振动的定性分析方法 极限环存在极限环存在的充分性条件由PoincareBendixon(庞卡莱本狄克生)定理给出：设D域是由两条无切点环线C1和C2包围的环域，D域内无奇点。当时间 t 增加时，从C1和C2出发的相迹都进入（或离开）D域，则D域内至少存在一个极限环。习题习题61 分析单摆在有阻尼和无阻尼两种情况下奇点的性质。0sinlg 无阻尼0sin2lgn 有阻尼62 求出下列方程的奇点，并指出其类型 02)13xxxx 0)23xxx
