1、 第七章第七章 非线性控制系统分析非线性控制系统分析 7-1非线性控制系统概述非线性控制系统概述 以前讨论的自动控制理论以前讨论的自动控制理论,都是针对线性控制系统的都是针对线性控制系统的所以也叫线性自动控制理论所以也叫线性自动控制理论.所谓线性控制系统是指系统所谓线性控制系统是指系统中所有环节的输入输出都呈线性关系中所有环节的输入输出都呈线性关系,若有的环节所具有若有的环节所具有的非线性特性不很强烈的非线性特性不很强烈,且可对其线性化且可对其线性化,则也可当作线则也可当作线性环节处理性环节处理.但如此处理后但如此处理后,应使对系统的分析和设计的应使对系统的分析和设计的精度满足工程上的要求精度
2、满足工程上的要求.系统中只要有一个环节的非线性系统中只要有一个环节的非线性特性很强烈特性很强烈,对其线性化将影响对系统分析和设计的精度对其线性化将影响对系统分析和设计的精度或者非线性环节属本质非线性无法对其线性化或者非线性环节属本质非线性无法对其线性化,则只能用则只能用非线性理论对系统进行分析和设计非线性理论对系统进行分析和设计.在工程实际中在工程实际中,大多数被控对象都具有非线性特性大多数被控对象都具有非线性特性,因此学习和研究非线性控制理论具有很现实的意义因此学习和研究非线性控制理论具有很现实的意义.在某在某些情况下些情况下,在线性控制系统人为地加入适当的非线性因素在线性控制系统人为地加入
3、适当的非线性因素反而有利于控制质量的提高反而有利于控制质量的提高.在系统中在系统中,只要有一个环节或元件有非线性特性只要有一个环节或元件有非线性特性,则整个系统就叫非线性系统则整个系统就叫非线性系统,如下图所示如下图所示.)(te)(tu00u0u)(te)(tr)(tu)(tc)(sG上图中上图中,大方框表示一具有理想继电特性的非线性环节大方框表示一具有理想继电特性的非线性环节,)(sG表示非线性系统中线性部分的传递函数表示非线性系统中线性部分的传递函数.非线性的特性是各种各样的非线性的特性是各种各样的,教材图及教材图及表给出了一些工程上常见的典型非线性特性表给出了一些工程上常见的典型非线性
4、特性.7-2非线性控制系统的特征非线性控制系统的特征 非线性控制系统有如下两个基本特征非线性控制系统有如下两个基本特征:(1)非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程 (2)非线性控制系统的性能不仅与系统本身的结构和参非线性控制系统的性能不仅与系统本身的结构和参数有关数有关,还与系统的初始状态及输入信号的形式和大小还与系统的初始状态及输入信号的形式和大小有关有关.由于非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分由于非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程方程,而从数学上讲而从数学上讲,非线性微分方程没有一个统一的非线性微分方程没有一个统一的解法解
5、法,再由于第二个特征再由于第二个特征,对非线性控制系统也没有一对非线性控制系统也没有一个统一的分析和设计的方法个统一的分析和设计的方法,只能具体问题具体对待只能具体问题具体对待.本章将介绍的分析非线性控制系统的相平面法和描本章将介绍的分析非线性控制系统的相平面法和描述函数法述函数法,是在非线性控制系统满足一定的条件下是在非线性控制系统满足一定的条件下,将将线性控制理论的某些内容给以扩充和变通后得出的线性控制理论的某些内容给以扩充和变通后得出的,因因此具有一定的局限性此具有一定的局限性.7-3相平面法相平面法 1.相平面法的基本概念相平面法的基本概念 所谓相平面法所谓相平面法,是一种二阶微分方程
6、的图解法是一种二阶微分方程的图解法.此此法即可用于线性二阶系统法即可用于线性二阶系统,也可用于线性部分是二阶的也可用于线性部分是二阶的非线性系统非线性系统.设一二阶系统可用下面常微分方程描述设一二阶系统可用下面常微分方程描述:)1(),(xxfx上面微分方程的解可用上面微分方程的解可用)(tx对对t的关系曲线表示的关系曲线表示,也可用也可用)(tx与与)(tx的关系曲线表示的关系曲线表示,当用后一种关系曲线时当用后一种关系曲线时,是是把曲线画在把曲线画在 xx的直角坐标平面上的直角坐标平面上,而而t作为参变量作为参变量在在 xx平面上并不出现平面上并不出现.设下图为式设下图为式(1)在初始条件
7、在初始条件情况下的情况下的00,xxxx)(tx与与)(tx的关系曲线的关系曲线.xx0),(00 xxA当当),0t时时,平面上的点随时间的增大平面上的点随时间的增大,将沿曲线移动将沿曲线移动.当当初始条件确定后初始条件确定后,曲线也确定曲线也确定,则曲线上任何一点的则曲线上任何一点的坐标也确定坐标也确定.当当xx,的值的值确定后确定后,由由式式(1)可知可知),(xxfx的值也唯一的值也唯一确确定定,从而系统的整个运动状态也完全确定从而系统的整个运动状态也完全确定.整条曲线就清楚地描述了系统在某一整条曲线就清楚地描述了系统在某一初始条件下的运动初始条件下的运动性质性质.上图中的平面叫相平面
8、上图中的平面叫相平面,曲线叫系统曲线叫系统在某一在某一初始初始条件下的相轨迹条件下的相轨迹.由于系统的初始条件可有无穷多个由于系统的初始条件可有无穷多个,因此相应的相轨迹也有无穷多条因此相应的相轨迹也有无穷多条,这无穷多条相轨迹构这无穷多条相轨迹构成的相轨迹簇叫相平面图成的相轨迹簇叫相平面图.因为因为)2(),(/xxxfxxdtdxdtxddxxd所以所以,当当确定后确定后,xx,dxxd/也唯一确定也唯一确定.而而dxxd/是相是相轨迹在轨迹在),(xx处的曲线斜率处的曲线斜率,由于每一点上的斜率确定由于每一点上的斜率确定,所所每一点上只能通过一条相轨迹每一点上只能通过一条相轨迹,这说明由
9、不同这说明由不同初始条件初始条件出发的出发的相轨迹曲线互不相交相轨迹曲线互不相交.如果在相平面上某些点的如果在相平面上某些点的0/0/dxxd,即曲线在这一点上的斜率不定即曲线在这一点上的斜率不定,可有可有无穷多无穷多条条相轨迹通过这一点相轨迹通过这一点,称这一点为系统的平衡点称这一点为系统的平衡点,或叫奇或叫奇点点.在相平面的上方在相平面的上方(如下图如下图)xx0),(00 xxA,由于由于0 x所以所以x总是朝大的总是朝大的方向变化方向变化,故相轨迹上的点总是按图故相轨迹上的点总是按图中箭头所指从左向右移动中箭头所指从左向右移动.在相平面在相平面的下方的下方,由于由于0 x所以所以x总是
10、朝小的总是朝小的方向变化方向变化,故相轨迹上的点总是按图中箭故相轨迹上的点总是按图中箭箭头所指从右向左移动箭头所指从右向左移动.在在x轴上轴上,由于由于0 x,即即x不变化不变化,达到最大值或最小值达到最大值或最小值,故相轨迹曲线故相轨迹曲线与与x轴的交点处的切线总垂直于轴的交点处的切线总垂直于x轴轴.2.相轨迹作图法相轨迹作图法 先以线性系统为例先以线性系统为例,说明相轨迹曲线的画法说明相轨迹曲线的画法.(1)解析法解析法 根据系统的微分方程求出相轨迹方程根据系统的微分方程求出相轨迹方程,然后由相轨然后由相轨迹方程绘制相平面图迹方程绘制相平面图,此方法仅用于简单的一此方法仅用于简单的一二阶线
11、二阶线性系统或分段线性系统性系统或分段线性系统.(a)线性一阶系统线性一阶系统 系统自由运动的微分方程为系统自由运动的微分方程为:)3(0 xxT相轨迹方程为相轨迹方程为:)4(/Txx设初始条件设初始条件:Txxxx/)0(,)0(00,当当T0,相轨迹如下图相轨迹如下图xx0),(00 xxA),(00 xxB系统从任一初始点出发系统从任一初始点出发,均将沿相轨均将沿相轨迹收敛于原点迹收敛于原点.当当T0.8,则则:22.14.0ee区域区域)1/(4.0:e,所有相轨迹趋所有相轨迹趋近于近于4.0e的水平直线的水平直线.区域区域)1/(2.1:e,所有相轨迹趋所有相轨迹趋近于近于2.1e
12、的水平直线的水平直线.区域区域)1/(2:e,所有相轨迹趋近于所有相轨迹趋近于2e02.104.0e1.02.0e01.02.002的水平直线的水平直线.相轨迹图见下图相轨迹图见下图.由上图可见由上图可见,当初始偏差位置在当初始偏差位置在0p1p2p3p0p点时点时,系统将沿系统将沿3210pppp轨线运动轨线运动,当当t时时,)(e4.0)(e,显然系统不稳定显然系统不稳定.2.08.01.00b)当当R=0.8,则则区域区域6.18.00ee1,0)1(:e,相轨迹在相轨迹在平面上任一点的斜率均为平面上任一点的斜率均为-1,相轨迹为一簇相轨迹为一簇区域区域8.0,0),1/(8.0ee,所
13、有相所有相8.0eee08.01.02.0区域区域,0),1/(6.1:e,所有相轨迹趋近于所有相轨迹趋近于6.1e:轨迹趋近于轨迹趋近于6.1e直线直线.6.100p1p2p3p斜率为斜率为-1的直线的直线.c)当当时时,分段线性化方程如下分段线性化方程如下:8.044.00mR2.14.04.0ee区域区域)1/(4.0,4.0)1(:ee4.0,0e,所有相轨迹趋近于所有相轨迹趋近于4.0e的水平直线的水平直线.04.004.0e1.02.0e01.02.002.1同理可得区域同理可得区域的相轨迹簇的相轨迹簇和区域和区域的相轨迹簇的相轨迹簇.从某一初始点从某一初始点0p出发出发的相轨迹见
14、下图的相轨迹见下图543210pppppp0p1p2p3p4p5p,存在极限环存在极限环54pp 例例2.速度反馈对继电型系统的性能影响速度反馈对继电型系统的性能影响 设有下图所示无速度反馈的理想继电型非线性系统设有下图所示无速度反馈的理想继电型非线性系统.00m0mme)(tr)(te)(tm)1(TssK)(tc)(1)(ttr分段线性化方程分段线性化方程为为:0,0,00eKmeKmKmeeT区域区域:0Kme ee0)1/(0TKme:0Km,其上相轨迹如右图其上相轨迹如右图.区域区域:0),1/(0TKme0,0Kme0Km,其上相轨迹如右图其上相轨迹如右图.从任一从任一初始点初始点
15、0p出发的相轨迹也见右图出发的相轨迹也见右图0543210pppppp4p5p0p1p3p2p,系统呈衰减振荡系统呈衰减振荡,振荡时间较长振荡时间较长.其它参数不变其它参数不变,有速度反馈的理想继电型非线性系统见有速度反馈的理想继电型非线性系统见下图下图.00m0mmf)(tr)(te)(tm)1(TssK)(tc)(tfscecettr1)(1)(eefcef分段线性化方程为分段线性化方程为:0,0,00eefKmeefKmKmeeT两区域的分界线即开关两区域的分界线即开关0ee线方程为线方程为:即斜率即斜率为为/1过原点的直线过原点的直线,ee0/ee 区域区域:0,0Kme0Km0区域区
16、域:0,0Kme 0Km0与无速度反馈相比与无速度反馈相比,开关线向左开关线向左倾斜了一个角度倾斜了一个角度.两个区域的相轨迹簇见下图两个区域的相轨迹簇见下图.两区域中各自分别总有一两区域中各自分别总有一ee0/ee 0Km00Km01a2a条相轨迹与开关线切于条相轨迹与开关线切于21,aa两点两点.当相轨迹曲线与开关线当相轨迹曲线与开关线交于交于21aa线段内时线段内时,系统状态系统状态必将沿开关线迅速滑向原点必将沿开关线迅速滑向原点.如左图所示如左图所示.0p1p如如继电非理想继电非理想,即开关在切换时有滞后即开关在切换时有滞后,则则相轨迹在相轨迹在21aa线段内时线段内时,系统状态呈抖动
17、式地滑向原点系统状态呈抖动式地滑向原点,出现小幅振荡出现小幅振荡.由上分析可知由上分析可知,有速度反馈的继电型非线有速度反馈的继电型非线性系统的动态性能比无速度反馈的继电型非线的动态性性系统的动态性能比无速度反馈的继电型非线的动态性能要好能要好.7-4描述函数法描述函数法 1.描述函数的基本概念描述函数的基本概念 描述函数法又叫谐波线性化法描述函数法又叫谐波线性化法.非线性系统的典型结构可由下图所示非线性系统的典型结构可由下图所示.描述函数法的基本思想是用某一数学方法描述函数法的基本思想是用某一数学方法,将非线性系将非线性系统谐波线性化后统谐波线性化后,引用分析线性系统的频率响应法引用分析线性
18、系统的频率响应法.为为此此,非线性系统本身必须满足以下几个条件非线性系统本身必须满足以下几个条件:(1)非线性环节非线性环节N的特性不是时间的函数的特性不是时间的函数,即是非时即是非时变的变的;)(te)(tr)(ty)(tc)(2sG)(1sGN)(tx)(sH(2)非线性环节的输入信号非线性环节的输入信号)(tx是幅值为是幅值为A的正弦信号的正弦信号,不包含恒定直流分量不包含恒定直流分量;(3)非线性环节的输出信号非线性环节的输出信号)(ty一般情况下是非正弦信一般情况下是非正弦信号号,从付里叶级数角度看从付里叶级数角度看,它是直流分量它是直流分量 0y,一次谐波即一次谐波即基波分量基波分
19、量)(1ty及高次谐波分量及高次谐波分量),(),(32tyty的叠加的叠加.如线性如线性部分具有良好的低通虑波特性部分具有良好的低通虑波特性,能将能将中的高次谐波中的高次谐波)(ty分量虑有效地虑掉分量虑有效地虑掉,则可近似认为只有则可近似认为只有)(ty中的一次谐中的一次谐波分量波分量)(1ty沿闭环通道传送沿闭环通道传送;(4)要求沿闭环通道传送的信号不能有要求沿闭环通道传送的信号不能有)(ty的直流分的直流分量量0y,因此非线性环节的特性必须斜对称因此非线性环节的特性必须斜对称,即满足如下即满足如下关系式关系式:)()(xfxf,则则)(ty的直流分量的直流分量00y 2.描述函数的定
20、义描述函数的定义 非线性环节输出信号一次谐波分量与输入正弦信号非线性环节输出信号一次谐波分量与输入正弦信号的复数比定义为非线性环节的描述函数的复数比定义为非线性环节的描述函数,即即:)21(11jeAYN 式式(21)中中:N为非线性环节的描述函数为非线性环节的描述函数;A是非线性环节正是非线性环节正)(tx弦输入信号弦输入信号的幅值的幅值;1Y为非线性环节输出信为非线性环节输出信号一次谐波分量的幅值号一次谐波分量的幅值;1输出一次谐波分量和输出一次谐波分量和输入正弦信号的初相位之差输入正弦信号的初相位之差.描述函数式描述函数式(21)的一般计算公式如下的一般计算公式如下.设非线性环节输入正弦
21、信号设非线性环节输入正弦信号tAtxsin)(,非线性环节非线性环节的非正弦输出信号经付里叶级数展开后可表为的非正弦输出信号经付里叶级数展开后可表为:10)sincos()(nnntnBtnAyty根据上述条件根据上述条件(4)有有:,00y根据上述条件根据上述条件(3)有有:tBtAtysincos)(111上式中上式中:20112011sin)(1,cos)(1ttdtyBttdtyA因此因此)sin()(111tYty,左式中左式中:)/(,111121211BAtgBAY,从而描述函数式从而描述函数式(21)表为表为)22(11)/(1111AAjABeAYNBAjtg描述函数的特性描
22、述函数的特性:(1)当非线性环节包含储能元件时当非线性环节包含储能元件时,其输出与输入信其输出与输入信号的幅值和频率有关号的幅值和频率有关,故故N也是输入信号幅值和频率的函也是输入信号幅值和频率的函数数,可用可用),(AN表示表示;(2)工程上大多数非线性环节包含储能元件工程上大多数非线性环节包含储能元件,它们的输它们的输出信号仅与输入信号的幅值有关出信号仅与输入信号的幅值有关,故故N也仅是输入信号幅也仅是输入信号幅值的函数值的函数,可用可用)(AN表示表示;(3)若非线性环节是单值函数若非线性环节是单值函数,则其描述函则其描述函N是实数是实数,若非线性环节是多值函数若非线性环节是多值函数,则
23、其描述函则其描述函N是复数是复数;(4)若非线性环节输出若非线性环节输出)()()(tytyty,其中其中)()(),()(xftyxfty,且它们都是单值非线性且它们都是单值非线性,描述描述函数分别为函数分别为,NN,则此非线性环节的描述函数为则此非线性环节的描述函数为 NNN特性特性(4)可用下图说明可用下图说明:采用描述函数法研究非线性系统采用描述函数法研究非线性系统,其优点是不管非其优点是不管非线性系统的线性部分是几阶的线性系统的线性部分是几阶的,它均能被采用它均能被采用.但用它但用它研究问题的范围仅限于分析和校正非线性系统的稳定性研究问题的范围仅限于分析和校正非线性系统的稳定性,稳定
24、性的性质稳定性的性质,如自激振荡的稳定性和振荡参数如自激振荡的稳定性和振荡参数.不能不能研究非线性系统的瞬态响应性能研究非线性系统的瞬态响应性能,且非线性系统无外加且非线性系统无外加输入信号输入信号,线性部分要具有良好的低通虑波特性线性部分要具有良好的低通虑波特性,以满以满足分析的精度要求足分析的精度要求.hh)(ty)(txkk00m0mhh)(ty)(txkk00m0m)(ty)(tx0 3.典型非线性特性描述函数的求取举例典型非线性特性描述函数的求取举例 饱和非线性是最常见的一种非线性特性饱和非线性是最常见的一种非线性特性,如各类放如各类放大器就具有饱和非线性特性大器就具有饱和非线性特性
25、,其输入输出关系可用下图其输入输出关系可用下图表示表示.)(ty)(txkkakaaa0)(txAtA022)(tytkaka022由图可见由图可见,当当t时时,atAtxsin)(即即:)/(sin1Aa因非线性为斜对称因非线性为斜对称,输出输出)(ty可分段表为可分段表为:ttkAtkattkAtysin0sin)(对对)(ty进行付里叶分解进行付里叶分解,由于非线性斜对称由于非线性斜对称故故00y,取分解后的一次谐波取分解后的一次谐波,有有:201cos)(1ttdtyA,由于由于)(ty为奇函数为奇函数,tcos为偶函数为偶函数所以所以01A由于由于为奇函数为奇函数,则则tsintty
26、sin)(为偶函数为偶函数,所以所以)cossincos2(4)sin)(sin(4sin)(12/02/02201tkatttkAttdkatdtkAttdtyB)/(1(sin2)/(10()/(1(sin24)/(1cos/sin2122112AaAaAakAAakaAaAaAakABAaAaaAkaAAaAaAakeAYANBAtgBBAYj)/(1)/(sin2)(0)/(,21111111212111求取描述函数的其它例子请见教材求取描述函数的其它例子请见教材P.376P.379,工程上工程上常见的非线性特性及其描述函数见教材常见的非线性特性及其描述函数见教材P.379P.380表
27、表8-1.4.非线性系统稳定性分析的描述函数法非线性系统稳定性分析的描述函数法 设一非线性系统方框图如下所示设一非线性系统方框图如下所示.)(te)(tr)(ty)(tc)(2jG)(1jG)(AN)(tx)(jH)(ty令系统在虚线处开环令系统在虚线处开环,且假设且假设tYtysin)(1,则则)23()(sin)()(1tYjGtx式式(23)中中,)()()()()()()()()(2121jHjGjGjGjHjGjGjG设设)(1)()(AjeAMAN,式式中中A是是)(tx的幅值的幅值,则则)24()()()12(sin)()()()(sin)()()(1111AntYjGAMAtY
28、jGAMty若系统产生振荡若系统产生振荡,则有则有,比较式比较式(23)和式和式(24)()(tyty可得系统产生振荡的条件为可得系统产生振荡的条件为:)12()()(1)()(1nAjGAM非线性系统产生自激振荡的上述条件非线性系统产生自激振荡的上述条件,也可表为也可表为:)(/1)(ANjG的形式的形式,推导如下推导如下:)(/1)(1)12sin()12cos()()()()()12()()(1ANjGnjneeAMjGANjGnjAj称上式中称上式中 )(/1AN为非线性特性的负倒描述函数为非线性特性的负倒描述函数.有上有上分析可得两个结论分析可得两个结论:(1)当非线性系统的线性部分
29、的频率特性与非线性环当非线性系统的线性部分的频率特性与非线性环节的乘积等于节的乘积等于-1时时,系统将产生自激振荡系统将产生自激振荡;(2)由于由于)(jG是关于是关于的复变函数的复变函数,而而)(/1AN是关于是关于A的复变函数的复变函数,因此两者的曲线可画在同一复平面因此两者的曲线可画在同一复平面上上,而而和和A均作为参变量在复平面上并不出现均作为参变量在复平面上并不出现.则由两者则由两者曲线的交点曲线的交点,可确定系统产生自激振荡的性质可确定系统产生自激振荡的性质,自激振荡自激振荡的频率和幅值的频率和幅值.由由)(/1)(ANjG这一等式这一等式,可将线性系统中的奈氏可将线性系统中的奈氏
30、稳定判据推广应用到非线性系统稳定判据推广应用到非线性系统,说明如下说明如下:假如系统中假如系统中没有非线性环节没有非线性环节,则闭环特征方程的频域表达式为则闭环特征方程的频域表达式为:01)(jG,即即1)(jG,与非线性系统产生自激振荡与非线性系统产生自激振荡的条件的条件)(jG复平复平)0,1(j面上的点面上的点相比较可知相比较可知,线性系统线性系统)(/1)(ANjG,在非线性系统的复平面上被负倒描述函在非线性系统的复平面上被负倒描述函数数)(/1AN曲线所取代曲线所取代.从而奈氏判据用于非线性系统时从而奈氏判据用于非线性系统时可作如下表述可作如下表述:当非线性系统的线性部分传递函数的所
31、有当非线性系统的线性部分传递函数的所有极点均在极点均在S的左半平面上时的左半平面上时,(1)当曲线当曲线)(/1AN未被未被)(jG奈氏曲线包围时奈氏曲线包围时,非线非线性系统是稳定的性系统是稳定的,在稳态时在稳态时,系统不会产生自激振荡系统不会产生自激振荡.如下图所示如下图所示.两曲线相距越远两曲线相距越远,系统越稳定系统越稳定.其稳定程度其稳定程度ImRe0)(/1AN)(jG也可仿照线性系统稳定裕量的也可仿照线性系统稳定裕量的概念概念,用幅值裕度和相角裕度用幅值裕度和相角裕度来表征来表征.但由于但由于A值不同值不同,)(/1AN曲线上的点与曲线上的点与)(jG曲线的相对位置曲线的相对位置
32、也不一样也不一样,因而对于不同的因而对于不同的A值就有值就有不同的稳定裕量数值不同的稳定裕量数值,假如当假如当A等于等于0A时时,在在)(/1AN曲线上的点为曲线上的点为N,NA,0连接连接0N,交交)(jG曲线曲线于于G点点,G则定义幅值裕度为则定义幅值裕度为)()/log(20dbOGONhx,若以若以0N为半径作一圆弧交为半径作一圆弧交)(jG曲线于曲线于M点点,M则连线则连线0N与与0M间的夹角间的夹角定义为相角裕度定义为相角裕度.(2)当曲线当曲线)(/1AN被被)(jG包围包围,如下图所示如下图所示,ImRe0)(/1AN)(jG则系统是不稳定的则系统是不稳定的.(3)当曲线当曲线
33、与与)(/1AN)(jG如下图所示相交时如下图所示相交时,ImRe0)(jG)(/1AN),(11Aa),(22Ab则系统则系统在交点在交点a,b处将发生自激振荡处将发生自激振荡.交点的不同交点的不同,自激振荡又分为自激振荡又分为稳定的自振荡和不稳定的自振荡稳定的自振荡和不稳定的自振荡.设系统最初工作在设系统最初工作在a点点,对应的参数为对应的参数为11,A,当系统受到一个不大的扰动时当系统受到一个不大的扰动时1A减小减小,设设)(/1AN曲线上的点将从曲线上的点将从a点逆箭头方向移动到点逆箭头方向移动到d点点,d使使)(/1AN曲线不被曲线不被)(jG所包围所包围,系统稳定系统稳定,将使非线
34、性环节的输入信号幅值不断将使非线性环节的输入信号幅值不断减小减小,即即d点沿负倒描述函数的曲线反箭头方向一直移动点沿负倒描述函数的曲线反箭头方向一直移动直至非线性环节的输入信号幅值趋向于零直至非线性环节的输入信号幅值趋向于零.当系统受到一当系统受到一个不大的扰动时个不大的扰动时1A增大增大,设设a点顺箭头方向移动到点顺箭头方向移动到c点点,c则则)(/1AN曲线被曲线被)(jG包围包围,系统稳定系统稳定,将使非线性环将使非线性环节的输入信号幅值不断增大节的输入信号幅值不断增大,c点一直移动到点一直移动到b点点,可见可见a点是一不稳定的振荡点点是一不稳定的振荡点.设系统最初工作在设系统最初工作在
35、b点点,对应的参数为对应的参数为,如下图如下图.22,AImRe0)(jG)(/1AN),(11Aa),(22Abdc当系统受到一个不大的扰动时当系统受到一个不大的扰动时2A减小减小,设设)(/1AN曲线上的点将曲线上的点将从从b点逆箭头方向移动到点逆箭头方向移动到c点点,则按前面则按前面的分析的分析,曲线上的点将回到曲线上的点将回到b点点.当系统当系统受到一个不大的扰动时受到一个不大的扰动时2A增大增大,设设b点顺点顺箭头方向移动到箭头方向移动到e点点,e使使)(/1AN曲线不被曲线不被)(jG所包围所包围,系统稳定系统稳定,将使非线性环节的输入信号幅将使非线性环节的输入信号幅值不断减小值不
36、断减小,即即e点沿负倒描述函数的曲线反箭头方向回点沿负倒描述函数的曲线反箭头方向回到到b点点,故故b点是一稳定的自振荡点点是一稳定的自振荡点.非线性系统产生自激振荡点处的振荡幅值和频率可由非线性系统产生自激振荡点处的振荡幅值和频率可由产生自激振荡的条件产生自激振荡的条件)(/1)(ANjG求得求得.例例:设具有饱和非线性的控制系统如下图所示设具有饱和非线性的控制系统如下图所示.图中图中,0)(tr)(te)(tm)12.0)(11.0(sssK)(tc0kamea15,2,1Kka,求系统产生自激振荡的幅值求系统产生自激振荡的幅值和频率和频率.解解:前已推导出饱和非线性的描述函数为前已推导出饱
37、和非线性的描述函数为:aAAaAaAakAN)/(1)/(sin2)(21将已知参数代入上式得将已知参数代入上式得:1)/1(11)/1(sin4/)(/121AAAAAN当当1A时时,5.0)(/1AN当当A时时,)(/1AN在复平面上负倒描述函数的曲线如下图在复平面上负倒描述函数的曲线如下图.曲线大致曲线大致)(jGImRe0)(/1AN5.0)(jG形状见图中所示形状见图中所示.两条曲线交两条曲线交于于a点点,a经计算可得经计算可得a点对应的频点对应的频率率1)(,07.7xxjG,a点是一稳定点是一稳定的自激振荡点的自激振荡点,由自激振荡条件由自激振荡条件)(/1)(ANjG可得可得:5.21)/1(11)/1(sin4/)(/1)(21AAAAANjGx即系统自激振荡时即系统自激振荡时,非线性环节的输入信号非线性环节的输入信号tte07.7sin5.2)(
