1、第7章 采样系统的分析 本章主要内容与重点 离散采样系统的基本概念 信号的采样与保持 Z变换理论 离散系统的数学模型 离散系统的稳定性与稳态误差 离散系统的动态性能分析本章主要内容本章在阐述了离散控制系统相关基本概念后，学习了采样过程及采样 定理、保持器的作用和数学模型、z变换的定义和求法、基本性质和z反变换的求法、线性差分方程的建立及其解法、脉冲传递函数的概念及求取方法、离散系统时域分析。本章重点学习本章，需要掌握离散系统的相关基本概念，特别是采样过程和采样定理、z变换和z反变换及其性质、差分方程和脉冲传递函数等概念。在此基础上重点掌握利用脉冲传递函数求解离散系统的暂态响应，离散系统稳定性和
2、稳态性能计算等内容。7-1 离散采样系统的基本概念离散采样系统的基本概念1.控制系统中有一个或若干个部件的输出信号是一串脉冲形式或是数字（数码），由于信号在时间上是离散的这类系统称为离散系统。两类离散系统：两类离散系统：（1）采样控制系统或脉冲控制系统）采样控制系统或脉冲控制系统离散信号是脉冲序列（时间上离散）（2）数字控制系统或计算机控制系统）数字控制系统或计算机控制系统离散信号是数字序列（时间上离散、幅值上整量化）采样系统的典型结构图 一般来讲采样系统对来自传感器的连续信息在规定的时间瞬时上取值。Gh(s)被控对 象r(t)e(t)sb(t)eh(t)c(t)(*te采样系统中有两个特殊环
3、节采样器，保持器。采样：连续信号转为脉冲序列的过程称为采样，实现的装置称为采样器。T表示采样周期，采样频率，采样角频率。采用持续时间为 远小于T近似为0，保持器：把脉冲信号变为连续信号的过程称为信号的复现过程，实现装置为保持器。保持器不仅有复现信号的作用，还有滤波作用。开环采样系统：采样器位于系统的闭合回路之外，或者系统本身不存在闭合回路。闭环采样系统：如果采样器位于系统闭合回路之内。一般为误差采用控制的闭合系统。Tfs1Tws2线性采样系统：采样开关输出和输入幅值为线性关系，系统其余的部分传递函数为线性时。典型数字控制系统如下图所示r e e*c 数字控制系统：以计算机为控制器去控制具有连续
4、工作状态的被控对象的闭环控制系统与模拟系统比较系统中信号的性质发生很大的变化出现时间上离散信号。系统中同时存在连续信号和离散信号，称为采样控制系统。采样数字控制器D/A保持被控对 象数字控制系统的特点数字控制系统的特点（1）控制器的控制规律由计算机实现，使得控制规律比较灵活、控制精度高，而且可以借助计算机实现许多附加功能，（2）数字信号传递抑制噪声，提高抗干扰能力。（3）滞后系统可以引入采样的方式来稳定。在航空航天、军事、工业、公用事业系统中的各类控制系统已经广泛地运用计算机控制。两个特殊环节是A/D和D/A转换器，A/D作用为采样和量化，D/A作用为解码和复现。离散采样系统的研究方法离散采样
5、系统的研究方法（1）用Z变换法建立离散系统的数学模型后进行分析、综合。（2）用离散系统的状态空间分析法（一阶差分方程组）对系统进行分析、设计。7-2 信号的采样与保持信号的采样与保持 一、信号采样一、信号采样 采样过程：连续信号 采样器 离散信号 )(*teT0T)(*te)(tesT)(*te)(te采样过程丢采样间隔之间的 信息理想采样过程的数学描述：理想采样过程的数学描述：)()()(*tteteT0)()(nTnTtt00*)()()()()()()(nnTnTtnTenTttettete采样信号的采样信号的Laplace变换：变换：000*)()()()()()()(nnTsnnen
6、TenTtLnTenTtnTeLteLsE为理想脉冲序列)(tT)(tT2T)(te2T)(*te)(t理想采样器看成载波 为的幅值调制器)(tT同样不能给出e(t)在采样间隔之间的信息)(*sE指数的存在使系统的分析不方便例1 设 ，求 的L变换 )(1)(tte)(*te)1(1111)()(20*TsTsTsTsTsTsnTseeeeeeenTesEateteat,0,)(例2 设 为常数，求 的L变换)(*te)1)()(110)(0)(*TaseaTeTseTseTasenTasnenTseanTesE采样信号的频谱：采样信号不等于连续信号，研究频谱的目的在于找出 和E(s)之间的联
7、系。如 无右半平面极点则有以 为周期无数频谱之和。一般 频谱为单一频谱，最大角频率为)(*sE)(*sEnsnwwjETjwE)(1)(*sw)(jwEhw)(*jwE的频谱以为周期的无穷多个频谱之和，两者形状一致，只是幅值变化了1/T.hwhw)(jwEw)(*jwEw2/swswsw2/swhsww2n=0成为采样频谱的主分量其余频谱为采样频谱的补分量（高频）whsww2)(*jwE时采样频谱的主，补分量相互叠加hsww2结论：完全复现 e(t)对 有 要求。)(*tesw香农采样定理香农采样定理：如果采样器的 输入信号 具有有限带宽，具有最高频率为 的分量，只要采样周期满足以下条件：)(
8、teh)2(hs)(22sThs利用理想滤波器信号 可以从采样信号 中恢复。)(te)(*te信号保持信号保持：数字量（脉冲信号）转换为连续量的装置称为保持器。和 在nT时刻相等，在nT和(n+1)T之间e(nT+t)与e(nT)关系如何？由保持器解决。每个采样值能保持到下一个采样值到来之前，信号幅值没有变化。定理指明了不失真采用的条件 二、信号保持)(te)(*te零阶保持器：零阶保持器：当给零阶保持器输入一个理想单位脉冲 ，则脉冲响应（输出）)(t)(tgh)(tgh)(1)(1)(Ttttgh脉冲过渡函数：幅值为1，持续时间为 T对应的L变换sesesTttLtgLsGTsTshh11)
9、(1)(1)()(零阶保持器的频率特性 T 2T 3T 4T 5T 6T 零阶保持器输出特性表达式 e(nT+t)=e(nT)0tT阶梯中点连接得到与e(t),形状一样但滞后 T/2 的响应e(t-T/2)/(2/2/2/)/()/(sin22)(21)(sjsssjTjTjTjThejeeejejGTs/2ss3s2)(jGhT零阶保持器的特性：（1）低通特性:允许主要频谱通过，和部分高频频谱通过，使输出存在波纹不能完全复现原信号（2）相角迟后特性随w增大而增大，w=ws时可达-180度，使闭环稳定性变差。（3）时间迟后特性 （平均迟后时间 T/2）对稳定性有影响，阶梯使输出增加了波纹。一、
10、Z变换定义 采样信号 的表达式为 7-3 Z变换理论变换理论)(*tenTsnnnenteSetenTtntenTttete0*00*)()()()()()()()(的拉氏变换为是对采样后的信号 的拉氏变换进行Z变换)(*te上式含有指数因子为超越函数采用变量代换 变量 代换T为采样周期z为复数平面的复变量称为变换因子则采样信号的z变换定义为sTez nznTezTssEzE0)(ln1|)(*)(记作E（z）=Z =Ze(t)通过变换把超越函数变为z的幂级数或有理分式二、Z变换方法 部分分式法先求出连续时间函数的拉氏变换然后展开部分分式和的形式，查表即可解：展开分式为 变换求相应的例zass
11、asE)()(ateteasssE1)(11)(相应的时间函数为)(*te 上两式为相应的分式 的Z变换为三、Z 变换的性质（1）线性定理 a，b为常数aTezzzzzE1)(1)(1 zztZaTezzateZ)(2)(2)(1)(1teZzEteZzE)(2)(1)(2)(1zbEzaEtbetaez（2）实数位移定理(平移定理)整个采样序列在时间轴左右平移几个采样周期左移为超前，右移为滞后。K为正整数上两式分别为滞后和超前定理10)()()()()(knnznTezEkzkTteZZEkzkTteZ滞后定理Z有明确的物理意义 代表时域中滞后环 节把采样信号滞后k个采样周期。表超前环节采样
12、 信号超前k个采样周期，仅用于运算物理系统中部存在（3）复数位移定理（4）终值定理函数序列e(nT)为有限值(n=0,1,2,)kzkz)()(atzeEteatez)()11lim()()1lim(lim1)()(ZEZzEzZnTenekz(5)卷积定理 设x(nT)和y(nT)为两个采样函数，其离散卷积为 必有G(z)=X(z).Y(z)l、离散系统中卷积定理是沟通时域和Z域的桥梁)()()(0)()()()(nTynTxnTgkTknykTxnTynTx如四、Z反变换 Z反变换已知Z变换表达式E(Z)求相应的离散序列e(nT)的过程。(1)部分分式法(查表法)已知Z变换表达式E(Z)无
13、重极点分解为 然后查表计算得采样函数 niiiniiizzzAzEzzAzzE11)()()()(0 1)()()(*nninttnTiete)()(1*ZEZte一般E(z)分子中含有因子Z,E(z)/z展成部分分式(2)幂级数法(综合除法)式中系数均为常数 直接综合除法得到如下幂级数 直接得到脉冲序列的表达式 nmzazazbzbbzEnnmm111101)(0110)(nnnnnzczczcczE0*)()(nnnTtcte例题已知Z函数求反变换解查表有aTaTaTezzzzEezzZezE11)()(1()1()(aTezzzzE1)(0*)()1()(1)(nanTanTnTtete
14、enTeZ变换的局限性不唯一7-4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型一、线性系统的差分方程 n阶后向差分方程 n阶前向差分方程nimjjmnjkrbikckcmkrbkrbnkcakcakc1001)()()()()()()1()(或nimjjmnjmkrbinkcnkckrbmkrbkcankcankc1001)()()()()()()1()(或例题已知差分方程如下解1)1(,0)0(0)(2)(3)2(*cctcTtcTtc初始条件2,1,0)2()1()(2123)()(2)(2)(3)1(3)()2(22kkcZzzzzzzzczckczzzckczzzczkczkk带入方程提供解
15、,不便于研究系统的参数变化对系统的影响二、脉冲传递函数：二、脉冲传递函数：在零初始条件下输出采样信号的Z变换与输入采样的Z变换之比。零初始条件指t0输入输出采样序列值为零)()()()(11*zRzGZzCZtc00)()()(/)()(nnnnznTrznTczRzCzGG(s)(zG)(tr)(tc)(*tr)(*tc)(zR)(zC开环离散系统脉冲传递函数的意义：脉冲传递函数的意义：设输入信号r(t)采样后z变换R(z)=1,脉冲传递函数就是就是输出响应采样后z变换，去开环系统的输入信号为(t)，则系统的连续部分输出为单位脉冲响应g(t),采样后)()()()()(*tczzczRzcz
16、G0*0*)()()()()()()(kkkzkTgtgzzckTtkTgtgtc连续系统的脉冲响应z变换是系统的脉冲传递函数。脉冲传递函数和差分方程关系 线性系统的差分方程如下nkkkmkkkmjjiniiimjiniizazbzRzczGzzRbzzcazcTjnrbTincantc111111)()()()()()()()()(得形式不同，但可以相互转化。实际开环离散系统的脉冲传递函数：实际开环离散系统的脉冲传递函数：G(s)(zG)(tr)(tc)(*tr)(*tc)(zR)(zC在输出端增设虚拟采样开关脉冲传递函数脉冲传递函数G(z)的求法的求法连续系统的传递函数G(s)脉冲响应函数
17、g(t)按采样周期离散化g*(t)Z变换 G(z)0*)()()()(nnTtnTgtgtc对于虚拟采样开关的输出，相应的脉冲响应对上式取L变换后：0*)()()(nnTsenTgtgLsG0)(ln/1*)()()(nnzTsznTgsGzGTsez 令)()()()(*)(ln/1*sGZsGZsGzGzTs记为：例3 求以下差分方程所示系统的脉冲传递函数。)()(TknrnTckkzzGzRzzC)(,)()(由实数位移定理：例4 )()(assasGassassasG11)()()(1()1(111)(aTaTaTezzezezzzzassZzG开环系统脉冲传递函数开环系统脉冲传递函数
18、采样L变换的两个重要性质：（1）采样函数的L变换具有周期性)()(*sjksGsGnsjnsGTtgLsG)(1)()(*ntjnTTtjnTnntjnntjnnTssssetgTtgTdtetTceTect)(1)(1)(11)(*2/2/其中)()(1)(1)(*sGjmsGTknjsGTjksGnsnss（2）)()()()(*sEsGsEsG)()()(1)()()(1)()(1)()(*sEsGjnsGTsEsEjnsGTjnsEjnsGTsEsGnsnsnss具有串联环节的开环具有串联环节的开环脉冲传递函数脉冲传递函数串联形式（1）G2(s)(tc)(*tc)(zCG1(s)(tr
19、)(*tr)(zR)(zG)(td连续对象的输出：)()()()(*21sRsGsGsC)()()(2121zGGzGzG)()()()(21*21*21zGGsGGsGsG0*)()()(nnTsenTrtrLsR其中：对输出的离散化：)()()()()()()()()(*21*21*21*sRsGGsRsGsGsRsGsGsCnssjnsGjnsGTsGsGsGG)()(1)()()(21*21*21注意：一般)()(/)()(21zGGzRzCzGG2(s)(2zG)(tc)(*tc)(zC)(zDG1(s)(1zG)(tr)(td)(*tr)(*td)(zR)(zG串联形式（2）)()
20、()(2zDzGzC)()()(1zRzGzD)()()()()()(212zRzGzGzDzGzC)()()(/)()(21zGzGzRzCzG串联环节之间有采样开关以上两种形式求出的脉冲传函，极点相同。零点不同。带有零阶保持器的开环脉冲传递函数带有零阶保持器的开环脉冲传递函数)()(1)(1)(*sRsGsesGssCpTsp)(trGp(s)(tc)(*tc)(*trsesGTsh1)(Gp(s)(tc)(*tc)(*tr1Tse)(tr)()(1)(1)(*sRsGsesGssCpTsp)(1)1()(/)()()()(1)(1)(1*1sGsZzzRzCzGsRsGsZzsGsZzC
21、ezpppTs离散化后：例1：设对象传递函数)()(assasGp求带零阶保持器后系统的脉冲传递函数：)(1)1()(/)()(1sGsZzzRzCzGp)()1()1()1(/1)/1(1)/1()1(/1/11)(1)(1222aTaTaTaTaTpezzeaTezaTeaezzazzazTzasasasZassasZsGsZ当 为 有理分式函数时，上式的Z变换 也必然是的有理分式函数。)(sGps)(1()1()(aTaTezzezzG不带零阶保持器时引入零阶保持器时，不影响系统的极点。改变零点，闭环系统脉冲传递函数闭环系统脉冲传递函数)()()(*sEsGsC)()()()()()()
22、()()()()(*sEsHGsRsEsGsHsRsCsHsRsE连续输出信号的L变换)()(1)()()()(*sRsGHsGsEsGsC)()(11)(*sRsGHsEG(s)(tc)(*tcH(s)(tr)(*tr)(z)(tb)(*tb)(*te)(te采样位置不同，闭环采样系统无唯一结构图形式误差采样闭环离散系统为例。)(zGH0)(1)(zGHzD对应的Z变换为)()(11)(zRzGHzE)()(1)()(zRzGHzGzC)(1)()()()(zGHzGzRzCz闭环系统的输出对于输入的脉冲传递函数：)(11)()()(zGHzRzEze系统误差对于输入的脉冲传递函数：闭环系统
23、的特征方程：闭环系统的特征方程：开环脉冲传递函数：应当注意：离散系统的闭环脉冲传递函数不能从对应的连续系统传递函数的Z变换直接得到。)()()()(sZzsZzee采样开关位置不同闭环系统中，具有两个不同以上采样开关时的闭环脉冲传递函数：)()()(*1*2*sEsGsC)()()(*1*1sEsGsE)()()()()()()()()()()()()(*1*2*12*sEsGsHGsRsEsGsGsHsRsCsHsRsE)()()()(*1*2*sEsGsGsC)()()()()(*1*2*sEsGsHGsRsE)()(11)()()(*1*2*sGsHGsRsEseG2(s)(*sC)(z
24、CG1(s)(sR)(1sE)(*sE)(*1sEH(s)(sE)()()(1)()()(*1*2*1*2*sRsGsHGsGsGsC)()(1)()()(/)()(*1*2*1*2*sGsHGsGsGsRsCs)()(11)()()(12zGzHGzRzEze对应的闭环系统脉冲传递函数)()(1)()()(1212zGzHGzGzGz闭环系统中采样开关的位置，有可能不能获得闭环脉冲传递函数：只能求出c(z)G(s)(tc)(*tcH(s)(tr)(tb)(te)(*tc)()()()()()()()()()(*sCsHsGsRsGsCsHsRsGsC系统输出G(s)(tc)(*tcH(s)(
25、tr)(tb)(te)(*tc)()()()(*sCsGHsGRsC)(1/)()(*sGHsGRsC)(1)()(zGHzGRzCP276表7-3 给出典型闭环离散系统及输出的Z变换函数Z变换的局限性：变换的局限性：（1）Z变换的推导是建立在理想采样序列的基础上。而实际采样脉冲序列具有一定的宽度，只有当脉冲宽度与系统最大实践常数相比很小时，Z变换才能成立。（2）C(z)只能反映c(t)在采样时刻的数值，不能反映c(t)在采样间隔中的信息。（3）用Z变换方法分析离散系统，要求连续部分的传递函数的分母阶次比分子的阶次至少高2次，这时用Z变换方法得到的结果是正确的。7-5 离散系统的稳定性与稳态误
26、差离散系统的稳定性与稳态误差一、离散系统的稳定性的分析方法：一、离散系统的稳定性的分析方法：将线性连续系统在 s平面上分析稳定性的结果 离散线性系统在 z平面上的稳定性。s 域到域到 z 域的映射关系域的映射关系jTTjTTseeeez)(jsTzezT,域域zsjIm1平面s平面z002s2sRe次要带次要带主要带0令线映射等)(sR相当于取s平面上的虚轴映射到 z 平面上的轨迹：以原点为圆心的单位圆，相位：相应的点沿单位圆变化无穷多圈Ts2Ts2zTzj112TzezT,1Te1Te2TeS平面上由-/2 变到 /2时z平面上的点从-逆时针变到S平面上由 /2 变到3 /2时z平面上的点逆
27、时针沿单位圆转一圈。依次类推，s平面分为无数个周期带，-/2到 /2 主要带其余为次要带，ssssss结论：在等 线的左半平面映射为z平面上同心圆的内部，右半平面映射为同心圆的外部。s平面的虚轴的左半平面映射为z平面上单位圆的内部，右半平面映射为单位圆的外部。线映射等离散系统稳定的充要条件离散系统稳定的充要条件：从离散系统的差分方程的齐次解的收敛性，或者从 z域中离散系统脉冲传递函数的特征方程的根的研究得到结论。离散系统的稳定性定义：离散系统的稳定性定义：若离散系统在有界输入序列的作用下，其输出序列也是有界，则称该离散系统是稳定的。线性定常连续系统稳定的充要条件线性定常连续系统稳定的充要条件：
28、系统齐次方程的解是收敛的，或者系统特征方程根均具有负实部，或者系统传递函数的极点严格均在左半 s 平面。不变相角不变z平面上是一簇从原点出发的射线二、离散系统稳定的充要条件（时域）设：系统差分方程)()1()()()2()1()(01021mkrbkrbkrbnkcakcakcakcn系统齐次方程0)()2()1()(21nkcakcakcakcn设通解：kApkc)(02211nknkkkApaApaApaAp0)1(2211nnkpapapaAp012211nnpapapa02211nnnnapapap系统特征方程：nppp,21设特征方程具有各不相同的特征根0)(lim,2,1,1kcn
29、ipki若)2,1,0()(2211kpApApAkcknnkk系统稳定的充分必要条件：系统稳定的充分必要条件：,2,1,1nipi若相应的线性定常离散系统是稳定的。（2）离散系统稳定的充要条件（z域）G(s)(tc)(*tcH(s)(tr)(*tr)(z)(tb)(*tb)(*te)(te对于典型的离散系统结构的闭环脉冲传递函数为通解：)(1)()()()(zGHzGzRzCz系统特征方程0)(1zGH设特征方程的根（闭环极点）各不相同nzzz,21由s平面到z平面的映射关系s平面的左半平面对应的稳定区域：z平面上单位圆的内部；s平面的右半平面对应的不稳定区域：z平面上单位圆的外部；s平面的
30、虚轴对应的临界稳定：z平面上单位圆周。系统稳定的充分必要条件：系统稳定的充分必要条件：离散特征方程的全部特征根都在单位圆内，即,2,1,1nizi有重根时也正确例：设典型离散系统)1(10)(sssG1)(sH采样周期 T=1(s)，试分析系统的闭环稳定性。解：开环脉冲传递函数)(1()1(1011110)1(10)()(11ezzzessZssZzGzHG特征方程0368.0952.40)(1()1(101)(1211zzezzzezGH876.4,076.021zz结论：闭环系统不稳定。如无采样器连续系统是稳定的引入采样器系统的稳定性下降，提高采样频率或降低开环增益。三、离散系统的稳定性判
31、三、离散系统的稳定性判据据连续系统的代数稳定判据劳斯-胡尔维茨稳定判据判定：特征方程的根是否都在左半s平面？离散系统的稳定性：特征方程的根是否都在z平面的单位圆内？将劳斯-胡尔维茨判据用于离散系统的稳定性判定，首先要将z平面上的稳定域单位圆内 新平面上的左半平面Z域 w域1.W变换（双线性变换）与劳斯稳定判据变换（双线性变换）与劳斯稳定判据令11wwz注意到 z和 w都是复变量，则有jyxzjvuw222222)1(2)1(1)(1)(1)(yxyjyxyxjyxjyxjvuw显然：2222)1(1)(yxyxu考察上式：在z平面的单位圆上，满足1)(22 yx0u对应在 w平面上：表明：w平
32、面上的虚轴对应于z平面上的单位圆周。1)(022yxu1)(022yxuZ平面单位圆内Z平面单位圆外xjyz11u0wjvu0w平面左半平面w平面右半平面劳斯稳定判据在离散系统中的应用：将离散系统在z域的特征方程变换为w域的特征方程，然后应用劳斯判据。0)(10)(1wGHzGH例1：设闭环离散系统如图所示，T=0.1(s)，试求系统稳定时 K 的极限值。)(tc)(trT)11.0(ssK368.0368.1632.0)11.0()(2zzKzssKZzG368.0)368.1632.0(632.0)(1)()(2zKzKzzGzGz0368.0)368.1632.0()(12zKzzG03
33、68.011)368.1632.0(112wwKww进一步整理后，w域的特征方程：0)632.0736.2(264.1632.02KwwK劳斯表KwwKKw632.0736.20264.1632.0736.2632.00233.40632.0736.2,0KKK由劳斯稳定判据33.40 K使系统闭环稳定的取值范围极限增益33.4cK采样周期与开环增益对稳定性的影响采样周期与开环增益对稳定性的影响连续系统的稳定性取决于：开环增益、闭环极点、传输延迟等。离散系统的稳定性：以上因素，再加上采样周期 T。举例说明：设带有零阶保持器的离散系统如图所示)(tc)(trT)1(ssK)(sGh)(1()1(
34、)1()1()1()(21TTTTezzTeezTeKssKZzzG)(1 sT 设0)(1)(zGzD0)368.0264.0()368.1368.0()(2KzKzzD39.20 K由 Jury 稳定判据 或 w域的劳斯稳定判据39.2cK)(5.0sT 设 w域的特征方程0)017.0214.3()18.0786.0(197.0)(2KwKKwwD37.40 K37.4cK（1）在保证系统稳定的前提下，采样周期越小，允许的开环增益范围就扩大，否则就缩小。（2）当采样周期一定时，加大开环增益会使得系统的稳定性变差；（3）当开环增益一定时，采样周期越长，丢失的信息就越多，对系统的稳定性和动态
35、性能不利。T=0.1T=4sT=2sT=1s四、离散系统的稳态误差四、离散系统的稳态误差求连续系统稳态误差的方法：（1）L变换的终值定理；（2）动态误差系数法上述方法 求离散系统稳态误差由于离散系统的结构没有规范的形式，误差脉冲传递函数也没有一般的计算公式采用终值定理计算。例如图示系统)(tc)(trT)(sG)(*te)(zE)()()()(1)()()(zRzzRzzCzRzEe)(11)()()(zGzzRzEe设系统的全部极点（即误差脉冲传递函数的全部极点）均在z平面上的单位圆内。由 z变换的终值定理求出系统在采样时刻的终值误差。)(1)()1(1lim)()11(1lim)(*lim
36、)(zGzzRzzzEzztete稳态误差：与系统自身的结构和参数、输入序列的形式、采样周期 T 有关。例1：设图中)(1.0,)11.0(1)(sTsssG)(1)(,)(1)(tttrttr试求离散系统相应的稳态误差。解：)(1()1()(11ezzezzG368.0736.0)(1()(11)(21zzezzzGze482.0368.02,1jz系统闭环稳定。1)(,)(1)()1(zzzRttr0368.0736.0)(1(lim1)(1)1(lim)(21111zzezzzzzGzezz2)1()(,)(1)()2(zTzzRtttr1.0368.0736.0)(lim)1()(1)
37、1(lim)(211211TzzezTzTzzGzezz离散系统的型别与静态误差系数离散系统的型别与静态误差系数离散系统的型别根据开环脉冲传递函数 G(z)中 z=1的极点个数来确定。,2,1,0分别称为0型、1型、2型等等。同理求出其它结构的离散系统的稳态误差。零阶保持器不影响系统的极点，开环脉冲传递函数极点与相应连续系统的极点一一对应。如连续系统有v个s=0的极点，则相应的离散系统有v个z=1的极点。（1）单位阶跃输入时的稳态误差1)(,)(1)(zzzRttrpzzztKzGzzzGzzzEztee1)(1 1lim1)(1)1(lim)()1(lim)(lim)(1111*)(1 li
38、m1zGKzp0)()(1 lim1ezGKzp0型系统1型及以上的系统0)()(1 lim1ezGKzp称为静态误差系数代表离散系统在采样瞬时的稳态 位置误差（2）单位斜坡输入时的稳态误差2)1()(,)(1)(zTzzRtttrvzzztKTzTzGzTzzGzzzEztee1)(1 1lim)1()(1)1(lim)()1(lim)(lim)(12111*)()1(lim1zGzKzv0型系统2型及以上系统1型系统0vK)(e0vK系统稳态误差为有限值。vK系统稳态误差为零。静态速度误差系数称为速度误差0型系统不能承受斜坡作用。（3）单位加速度输入时的稳态误差322)1(2)1()(,)
39、(12)(zzzTzRtttrazzztKTzzTzGzzzTzGzzzEztee222132111*)1(2)1()(1 1lim)1(2)1()(1)1(lim)()1(lim)(lim)()()1(lim21zGzKza0型和1型系统0aK)(e2型系统0aK系统稳态误差为有限值。3型及以上系统aK系统稳态误差为零。静态加速度误差系数加速度误差0和1型系统不能承受加速度函数7-6 离散系统的动态性能分析离散系统的动态性能分析1s(s 1)r(t)3Te(t)*c(t)2TTs1 esc(t)1TcG(s)hG(s)oG(s)0510152000.20.40.60.811.2Step Re
40、sponseTime(sec)AmplitudeTT2TT2z(1e)1zz0.632zG(z)Zs(s1)z1(ze)z(1e)zez1.368z0.36822320.632zz0.632zC(z)G(z)R(z)z1z1.368z0.368z2.368z1.736z0.36812345670.632z1.092z1.207z1.117z1.01z0.965z0.97z89100.991z1.005z1.007z一、离散系统的时域性能一、离散系统的时域性能70c(k)0.632(t1)1.092(t2)1.207(t3)1.117(t4)1.01(t5)0.965(t6)0.97(t7)0.
41、991(t8)1.005(t9)1.007(t10)0510152000.20.40.60.811.21.4Step ResponseTime(sec)Amplitude0510152000.20.40.60.811.21.4Step ResponseTime(sec)AmplitudeT1s2320.368z0.264zC(z)G(z)R(z)z2z1.632z0.632123456789100.368zz1.4z1.4z1.15z0.895z0.802z0.868z0.994z1.077zc(k)0.368(t1)(t2)1.4(t3)1.4(t4)1.15(t5)0.895(t6)0.8
42、02(t7)0.868(t8)0.994(t9)1.077(t10)1.0 81(t11)无零阶保持器有零阶保持器以上采用事例说明分析系统的时间响应 离散系统的时域指标的定义与连续系统相同，如可以根据单位阶跃曲线分析离散系统的动态和稳态性能，所以可知上例性能如下。连续系统 只有采样器 采样器保持器%3.16%3.56.3sptt%21%53sptt%40%124sptt采样器和保持器对动态性能的影响 采样器使系统峰值时间，调节时间减小，但使超调上升，采样造成信息损失，降低系统的稳定程度。零阶保持器使系统峰值时间，调节时间变大，超调上升，除采样造成信息损失外，零阶保持器的相角滞后降低系统的稳定程
43、度。73二、二、Z平面上的特征根与系统的响应性能平面上的特征根与系统的响应性能mjmm 1j 1mm 110m12mnn 1nn12nnn 110ii 1(zz)b zbzb zbb(zz)(zz)(zz)M(z)T(z)KD(z)a(zp)(zp)(zp)a zaza za(zz)nkiiti 1M(1)c(kT)A pc()c(kT)(k0,1,2,)D(1)iis Ts kTkitiiiipec(kT)A pA eniiinmpzzAzzDMzzzDzMzzpzpzzzzzkzc1111)1()1(1)()(1)()()()()()2,1()(1)()(nipzpzzzzDzMAiii第
44、一项为稳态分量，第二项为瞬态分量由极点在单位圆的位置 确定动态响应形式)(*tc74tttt*f(t)a)b)c)e)d)jvutip*f(t)*f(t)*f(t)*f(t)上图中特征根模大于1时系统的响应是发散的 特征根模等于1响应为等幅脉冲序列均为不稳定故未画。1.0 1，闭环单极点位于单位圆正实轴上动态响应按指数规律收敛，越接近原点响应衰减越快2.负实轴上的闭环单极点 -1 1 响应为单调发散，-1响应震荡发散。ipkipipipipipipipkip3.闭环共轭复数极点 共轭复数极点位于单位圆内，动态响应为震荡收敛序列，越接近原点响应衰减越快 共轭复数极点位于左半单位圆内的震荡频率高于
45、共轭复数极点位于右半单位圆内。所以设计时闭环极点尽量位于右半单位圆内，靠近原点。模值大于1时振荡发散 当极点位于原点时(称为具有无穷大稳定度的离散系统)，输出序列在有限拍内结束，（连续系统时间无穷时响应结束）ip,1111iiiiiipzzcpzzczpp成对出现对应动态分量)cos(2,11111iikiikiikiiijiiiijiiiiikpcpcpcecccepppcc代如方程共轭，nmmmzabzbzbz0110)(78例例819 试求图试求图8-29所示离散控制系统的阶跃响应脉冲所示离散控制系统的阶跃响应脉冲序列。序列。Ts10.01T0.0050.50.50.50.5G(z)Z
46、ezZs(s0.01)ss0.01z1ze0.01T0.20.01T20.20.220.5(1e)0.5(1e)0.09(z1)(ze)z(1e)zez1.819z0.8192G(z)0.09T(z)1G(z)z1.819z0.909232G(z)0.09z0.09zC(z)R(z)1G(z)z1z1.819z0.909z2.819z2.728z0.909790.5s(100s1)r(t)T20se(t)*e(t)*c(t)Tsec(t)T20s01020304050607000.20.40.60.811.21.41.6Step ResponseTime(sec)Amplitude234567
47、89C(z)0.09z0.254z0.47z0.715z0.962z1.19z1.381z1.52z101112131415161.6z1.618z1.579z1.492z1.368z1.222z1.07z1718192021220.925z0.8z0.705z0.645z0.622z0.635z80例例 821 已知离散控制系统的闭环脉冲传递函数为已知离散控制系统的闭环脉冲传递函数为2320.117z0.468z0.059T(z)z0.353z0.392z0.389试应用试应用MATLAB命令绘制该系统的单位阶跃脉冲响应特命令绘制该系统的单位阶跃脉冲响应特性。性。解解:MATLAB环境下输入如环境下输入如下程序下程序num=0.117,0.468,0.059；den=1,-0.353,-0.392,0.389；dstep(num,den)运行后界面显示阶跃脉冲响应运行后界面显示阶跃脉冲响应曲线如图所示。曲线如图所示。051015202500.20.40.60.811.21.4Step ResponseTime(sec)Amplitude
