1、来源2019 年齐齐哈尔市中考数学 适用范围:3 九年级 标题齐齐哈尔市二一九年初中学业水平考试 考试时间：120 分钟 满分：120 分 题型:1-选择题一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 题目1 （2019齐齐哈尔市，1）3 的相反数是( ) A3 B3 C3 D3 答案A 解析本题考查了相反数的概念因为只有符号不同的两个数叫做互为相反数所以 3 的相反数是 -3，因此本题选 A 分值3 章节:1-1-2-3相反数 考点:相反数的定义 类别:常考题 难度:1-最简单 题目2 （2019齐齐哈尔市，2）下面四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) 答
2、案D 解析本题考查了轴对称图形和中心对称图形选项 A 是中心对称图形，选项 B 是中心对称图形， 选项 C 是轴对称图形，选项 D 既是轴对称图形又是中心对称图形，因此本题选 D 分值3 章节:1-23-2-2中心对称图形 考点:轴对称图形 考点:中心对称图形 类别:常考题 难度:1-最简单 题目3 （2019齐齐哈尔市，3）下列计算不正确的是 ( ) A9=3 B2ab+3ba=5ab C(2-1)0=1 D(3ab2)2=6a2b4 答案D 解析本题考查了非负数的平方根，合并同类项，零指数幂，积的乘方其中积的乘方，等于先把 积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故(3ab2)2=9a
3、2b4，因此本题选 D 分值3 章节:1-15-2-3整数指数幂 考点:平方根的定义 考点:合并同类项 考点:零次幂 考点:积的乘方 类别:常考题 难度:2-简单 题目4 （2019齐齐哈尔市，4）小明和小强同学分别统计了自己最近 10 次“一分钟跳绳”的成 绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是( ) A平均数 B中位数 C方差 D众数 答案C 解析本题考查了平均数，中位数，方差，众数的意义根据它们各自的定义进行判断，其中要比 较两人的成绩稳定程度，即比较两组数据的波动性大小，即选用统计量方差，因此本题选 C 分值3 章节:1-10-1统计调查 考点:算术平均数 考点:中位数 考点:
4、众数 考点:方差 考点:方差的实际应用 类别:常考题 难度:2-简单 题目5 （2019齐齐哈尔市，5）如图，直线 ab，将一块含 30角（BAC=30）的直角三角 尺按图中方式放置，其中 A 和 C 两点分别落在直线 a 和 b 上若1=20，则2 的度数为( ) A20 B. 30 C40 D50 2 1 b a C B A （第 5 题图） 答案C 解析本题考查了平行线的性质和角的和差在ABC 中，ACB=90，BAC=30，ab， DAC+ECA=180，其中ECA=1+ACB =20+90=110，DAC=70， BAC=30，2=DAC -BAC=70-30=40，因此本题选 C
5、E D A B C a b 1 2 （第 5 题解） 分值3 章节:1-5-3平行线的性质 考点:平行线的性质与判定 类别:常考题 难度:2-简单 题目6 （2019齐齐哈尔市，6）如图是由几个相同大小的小正方体搭建而成的几何体的主视图和 俯视图，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数至少为 ( ) A5 B6 C7 D8 主视图 俯视图 （第 6 题图） 答案B 解析本题考查了三视图中的主视图和俯视图由俯视图可知小正方体至少为 4 个，再由主视图可 知，俯视图的左边这列中至少有一行是两个小正方体叠加，同理右边这一列亦是如此，故小正方体 至少为 6 个，因此本题选 B 分值3 章节:1-29-
6、2三视图 考点:由三视图判断几何体 类别:常考题 类别:易错题 难度:2-简单 题目7 （2019齐齐哈尔市，7） “六一”儿童节前夕，某部队战士到福利院慰问儿童，战士们从 营地出发，匀速步行前往文具店选购礼物，停留一段时间后，继续按原速步行到达福利院（营地、 文具店、 福利院三地依次在同一直线上） ， 到达后因接到紧急任务， 立即按原路匀速跑步返回营地 （赠 送礼物的时间忽略不计） 下列图象能大致反映战士们离营地的距离 S 与时间 t 之间函数关系的是 ( ) S t O S tO S tOt S O A B C D 答案B 解析本题考查了距离与时间的图象由题意可得，刚开始，战士们去文具店选
7、购礼物，S 随 t 的增 大而增大，在选购礼物时，S 随 t 的增大而保持不变，从文具店继续前往福利院时，S 随 t 的增大而 增大，当战士们返回营地时，S 随 t 的增大反而减小，且在相同时间内，S 减小的程度比先前增大的 程度要大，因此本题选 B 分值3 章节:1-19-1-2 函数的图象 考点:距离时间图象 类别:易错题 难度:3-中等难度 题目8 （2019齐齐哈尔市，8）学校计划购买 A 和 B 两种品牌的足球，已知一个 A 品牌足球 60 元，一个 B 品牌足球 75 元学校准备将 1500 元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买） ，该学 校的购买方案共有 ( ) A3 种 B
8、4 种 C5 种 D6 种 答案B 解析本题考查了二元一次方程的实际应用设 A 品牌足球买了 x 个，B 品牌足球买了 y 个，根据 题意可得： 60x+75y=1500， 即 4x+5y=100， y=20- 4 5 x， x、 y 均是正整数， 符合题意的解有 5 16 x y = = ， 10 12 x y = = ， 15 8 x y = = ， 20 4 x y = = ，共有 4 种情况，因此本题选 B 分值3 章节:1-8-1二元一次方程组 考点:二元一次方程（组）的定义 考点:二元一次方程的解 类别:常考题 难度:3-中等难度 题目9 （2019齐齐哈尔市，9）在一个不透明的口
9、袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、 黑三种颜色的小球已知袋中有红球 5 个，白球 23 个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是 1 10 ， 则袋中黑球的个数为 ( ) A27 B23 C22 D18 答案C 解析本题考查了概率由题意得：红球是 5 个，且随机摸出一个红球的概率是 1 10 ，所以球的总数 为：5 1 10 =50 个，故黑球的个数为：50-5-23=22 个，因此本题选 C 分值3 章节:1-25-1-2概率 考点:概率的意义 考点:一步事件的概率 类别:思想方法 类别:易错题 难度:4-较高难度 题目10 （2019齐齐哈尔市，10）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（
10、a0）与 x 轴交于点（-3，0） ， 其对称轴为直线 x= 1 2 -，结合图象分析下列结论：abc0；3a+c0；当 x0 时，y 随 x 的增 大而增大；一元二次方程 cx2+bx+a=0 的两根分别为 x1= 1 3 -，x2= 1 2 ； 2 4 4 bac a - 0；若 m，n （mn）为方程 a（x+3） （x-2）+3=0 的两个根，则 m-3 且 n2其中正确的结论有( ) A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 y x x=- -1 2 - -3O （第 10 题图） 答案C 解析本题考查了二次函数的图象与不等式，一元二次方程的关系如图，由二次函数图象开口向 下，可得 a
11、0，又抛物线与 x 轴的交点（-3，0）关于直线 x= 1 2 -的对称点是（2，0） ，不妨设 y=a （x+3） （x-2）=ax2+ax-6a，b=a0，c= -6a0，abc0，即正确；3a+c=3a-6a= -3a0， 即正确；当 x 1 2 -时，y 随 x 的增大而增大，当 1 2 -x0 时， y 随 x 的增大而减小，故错 误；对于方程 cx2+bx+a=0，即为-6ax2+ax+a=0，a0，原方程可化为：6x2-x-1=0，x1= 1 3 -， x2= 1 2 ，故正确；因为抛物线的顶点在第二象限，所以顶点纵坐标 2 4 4 acb a - 0， 2 4 4 bac a
12、- 0， 故正确；方程 a（x+3） （x-2）+3=0 的两个根可以看作直线 y= -3 与抛物线的交点的横坐标，显 然两个交点在 x 轴的下方，在-3 和 2 的两侧，m-3 且 n2，故正确；综上所述，正确的有， ，共 5 个，因此本题选 C 分值3 章节:1-22-1-4二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 考点:二次函数的定义 考点:二次函数 yax2+bx+c 的性质 考点:二次函数的系数与图象的关系 考点:抛物线与一元二次方程的关系 考点:抛物线与不等式（组） 类别:思想方法 类别:常考题 类别:易错题 难度:5-高难度 题型:2-填空题二、填空题：本大题共 7 小题，每
13、小题 3 分，共 21 分 题目11 （2019齐齐哈尔市，11）预计到 2025 年我国高铁运营里程将达到 38000 公里，将数据 38000 用科学记数法表示为 答案3.8 104 解析本题考查了科学记数法，其中 38000=3.8 104 分值3 章节:1-1-5-2科学计数法 考点:将一个绝对值较大的数科学计数法 类别:常考题 难度:2-简单 题目12 （2019齐齐哈尔市，12）如图，已知在ABC 和DEF 中，B=E，BF=CE，点 B、 F、C、E 在同一条直线上，若使ABCDEF，则还需添加的一个条件是 （只 填一个即可） D FE C B A （第 12 题图） 答案AB=
14、DE（A=D 或ACB=DFE 或 ACDF） 解析本题考查了三角形全等的判定 BF=CE，BF+FC=CE+CF，即 BC=EF，又B=E， 要使ABCDEF，或是B 与E 的另一条夹边对应相等，或是另一对角对应相等 分值3 章节:1-12-2三角形全等的判定 考点:两直线平行内错角相等 考点:全等三角形的判定 SAS 考点:全等三角形的判定 ASA,AAS 类别:常考题 难度:2-简单 题目13 （2019齐齐哈尔市，13）将圆心角为 216，半径为 5cm 的扇形围成一个圆锥的侧面， 那么围成的这个圆锥的高为 cm 答案4 解析本题考查了圆锥的母线，底面半径与侧面展开图的圆心角、圆锥的高
15、之间的数量关 系= r l 360 ，其中 =216 ，l=5cm，r=3cm，h= 22 lr-=4 分值3 章节:1-29-2三视图 考点:几何体的展开图 考点:几何体的三视图 考点:圆锥侧面展开图 类别:常考题 类别:易错题 难度:3-中等难度 题目14 （2019齐齐哈尔市，14）关于 x 的分式方程 2 1 xa x - - - 1 1x- =3 的解为非负数，则 a 的取 值范围为 答案a4 且 a3 解析本题考查了分式方程的解由 2 1 xa x - - - 1 1x- =3，得 2x-a+1=3（x-1） ，得 x=4-a，关于 x 的 分式方程的解为非负数，x0，且 1-x0
16、，4-a0，1-（4-a）0，得 a4 且 a3 分值3 章节:1-15-3分式方程 考点:分式方程的解 考点:解含两个分式的分式方程 考点:分式方程的检验 考点:分式方程的增根 考点:不等式的解集 类别:常考题 类别:易错题 难度:3-中等难度 题目15 （2019齐齐哈尔市，15）如图，矩形 ABOC 的顶点 B，C 分别在 x 轴、y 轴上，顶点 A 在第二象限，点 B 的坐标为（-2，0） ，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转 60至线段 OD若反比例函 数 y= k x （k0）的图象经过 A、D 两点，则 k 的值为 x y C A B D O （第 15 题图） 答案 16 3
17、3 - 解析本题考查了反比例函数与几何图形的结合 如图， 作 DEx 轴， 垂足为点 E 不妨设矩形 ABOC 的一边长 OC=m（m0） ，A（-2，m） ，C（0，m） ，OC 绕点 O 逆时针旋转 60 至线段 OD， COD=60 ，OD=OC=m，DOE=30 ，DE=ODsin30 = 1 2 m，OE=ODcos30 = 3 2 m，D （- 3 2 m， 1 2 m） ，点 A、D 均在反比例函数 y= k x 的图象上，-2m= - 3 2 m1 2 m，m0， m= 8 3 3 ，A（-2， 8 3 3 ） ，k= -283 3 = -163 3 x y EO D B A
18、C （第 15 题解） 分值3 章节:1-28-1-2解直角三角形 考点:矩形的性质 考点:双曲线与几何图形的综合 考点:旋转的性质 考点:解直角三角形 考点:方程的解 类别:易错题 难度:4-较高难度 题目16 （2019齐齐哈尔市，16）等腰ABC 中，BDAC，垂足为点 D，且 BD= 1 2 AC，则等 腰ABC 底角的度数为 答案45 或 75 或 15 解析本题考查了等腰三角形的性质如图，在等腰ABC 中，若 AC 是底边，AB=CB，BD AC，BD 平分 AC，AD=CD= 1 2 AC，BD= 1 2 AC，AD=BD，A=ABD，BDC=90= A +ABD， A=ABD
19、=45， 即等腰ABC底角的度数为45； 如图， 若BC是底边， AB=AC， ABC=C，BDAC，BD= 1 2 AC，BD= 1 2 AB，BAD=30，BAD=ABC +C =2 C，C=15，即等腰ABC 底角的度数为 15；如图，若 BC 是底边，如上同理可得 BAD=30， BAD +ABC +C =180， ABC=C=75， 即等腰ABC 底角的度数为 75； 若 AB 是底边，同理可得等腰ABC 底角的度数为 15或 75；综上可得：等腰ABC 底角的度数 为 45或 15或 75 C A D B BC A D BC A D 图 图 图 （第 16 题解） 分值3 章节:1
20、-13-2-1等腰三角形 考点:等边对等角 考点:三线合一 考点:等腰直角三角形 考点:含 30 度角的直角三角形 考点:三角形的外角 类别:思想方法 类别:易错题 难度:4-较高难度 题目17 （2019齐齐哈尔市，17）如图，直线 l：y= 3 3 x+1 分别交 x 轴、y 轴于点 A 和点 A1，过 点 A1作 A1B1l，交 x 轴于点 B1，过点 B1作 B1A2x 轴，交直线 l 于点 A2；过点 A2作 A2B2l，交 x 轴于点 B2，过点 B2作 B2A3x 轴，交直线 l 于点 A3，依此规律，若图中阴影A1OB1的面积为 S1， 阴影A2 B1B2的面积为 S2，阴影A
21、3 B2B3的面积为 S3，则 Sn= x y l B3B2B1 A3 A2 A1 A O （第 17 题图） 答案 22 34 63 n- 骣 琪 琪 桫 解析本题考查了一次函数与几何图形的结合，含有 30 度的直角三角形的边长关系如图，对于 y= 3 3 x+1， 可得： A （-3， 0） ， A1（0， 1） ， AO=3， A1O=1， A1OA=90 ， tanA1AO= 1 AO AO = 3 3 ， A1AO =30 ，AnBnl（n 为正整数） ，AnBn A=60 ，BnBn+1= 3 3 An+1Bn（n 为正整数） ， OB1= 3 3 A1O， Sn= 1 2 AnB
22、n-1Bn-1Bn= 1 2 AnBn-1 3 3 AnBn-1= 3 6 AnBn-12（n2， 且 n 为正整数） 其 中 A1O=1，OB1= 3 3 A1O= 3 3 ，AB1=AO+ OB1=3+ 3 3 = 4 3 3 ，A2B1= 3 3 AB1= 4 3 ， B1B2= 3 3 A2B1= 4 3 9 ，AB2=AB1+B1B2= 4 3 3 + 4 3 9 = 16 3 9 ，A3B2= 3 3 AB2=16 9 = 2 4 3 骣 琪 琪 桫 ，依 次规律， 可得 AnBn-1= 1 4 3 n- 骣 琪 琪 桫 （n2， 且 n 为正整数） ， Sn= 3 6 AnBn-
23、12= 3 6 (1) 2 4 3 n-? 骣 琪 琪 桫 = 22 34 63 n- 骣 琪 琪 桫 ， 经检验，当 n=1 时，上述关系式仍成立；综上所述，Sn= 22 34 63 n- 骣 琪 琪 桫 （n 为正整数） 分值3 章节:1-28-2-1特殊角 考点:一次函数的图象 考点:一次函数与几何图形综合 考点:含 30 度角的直角三角形 类别:思想方法 类别:易错题 类别:发现探究 难度:4-较高难度 题型:3-解答题三、解答题：本大题有 7 小题，共 69 分 题目18 （2019齐齐哈尔市，18） （1）计算： 1 1 ( ) 3 - +12 -6tan60 +24 3- （2）
24、因式分解：a2+1-2a+4（a -1） 解析本题考查了实数的综合运算能力，如负整数指数幂，算术平方根，60的正切值，绝对值， 以及因式分解完全平方公式和提取公因式在计算中，对负整数指数幂，算术平方根，60的 正切值，绝对值分别进行计算，再根据实数的运算法则求得计算结果；在因式分解中，先运用公式 法对部分进行因式分解，再运用整体思想进行提取公因式 答案解： （1）原式=3+2 3-6 3+4 3-2=1 （2）原式=（a -1）2+4（a -1）=（a -1） （a -1+4）=（a -1） （a +3） 分值10（第（1）小题 6 分，第（2）小题 4 分） 章节:1-14-3因式分解 难度
25、:2-简单 类别:常考题 类别:易错题 考点:算术平方根的应用 考点:特殊角的三角函数值 考点:实数与绝对值、相反数 考点:因式分解提公因式法 考点:因式分解完全平方式 题目19 （2019齐齐哈尔市，19）解方程：x2+6x= -7 解析本题考查了一元二次方程的解法根据题意可以用配方法求解，也可以把原方程化为一般式， 利用公式法求解 答案解：x2+6x +9= -7+9 （x+3）2=2 x+3=2 x1= -3+2，x2= -3-2 分值5 章节:1-21-2-1 配方法 难度:3-中等难度 类别:常考题 类别:易错题 考点:配方法解一元二次方程 题目20 （2019齐齐哈尔市，20）如图
26、，以ABC 的边 BC 为直径作O，点 A 在O 上，点 D 在线段 BC 的延长线上，AD=AB，D=30 （1）求证：直线 AD 是O 的切线； （2）若直径 BC=4，求图中阴影部分的面积 BOCD A （第 20 题图） 解析本题考查了切线的判定，三角形和扇形的面积计算根据ABD 是以D=30为底角的等腰 三角形，利用等边对等角，直径所对的圆周角是 90等性质，通过角的和差关系证明DAO=90 即可证明 AD 是O 的切线；阴影部分的面积可以看作ADO 的面积减去扇形 AOC 的面积 答案证明： （1）如图，连接 AO， AD=AB，D=30，B=D=30， BC 是O 的直径，BAC
27、=90，ACB=60， OA=OC，AOC 是等边三角形， CAO=60， D=30，ACB=60，DAC=30， DAO=CAO +DAC=90， AD 是O 的切线 （2）BC=4，OA=2，OD=4， AD=ODcos30=2 3， SADO= 1 2 AOAD=2 3， 又S扇形AOC= 604 360 p = 2 3 p， 阴影部分面积=2 3- 2 3 p A DCOB （第 20 题解） 分值8 章节:1-28-3锐角三角函数 难度:3-中等难度 类别:常考题 类别:易错题 考点:等边对等角 考点:等边三角形的判定 考点:直径所对的圆周角 考点:切线的判定 考点:特殊角的三角函数
28、值 考点:扇形的面积 题目21 （2019齐齐哈尔市，21）齐齐哈尔市教育局想知道某校学生对扎龙自然保护区的了解程 度， 在该校随机抽取了部分学生进行问卷， 问卷有以下四个选项： A 十分了解； B 了解较多； C 了 解较少；D不了解（要求：每名被调查的学生必选且只能选择一项） 现将调查的结果绘制成两幅 不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： （1）本次被抽取的学生共有 名； （2）请补全条形图； （3）扇形图中的选项“C了解较少”部分所占扇形的圆心角的大小为 ； （4）若该校共有 2000 名学生，请你根据上述调查结果估计该校对于扎龙自然保护区“十分了解” 和“了解较多”的
29、学生共有多少名？ 人数人数 成绩成绩 40 30 20 10 0 DCBA 30% A B C D 解析本题考查了扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体因为“了解较少”的人有 30 人，占 问卷人数的 30%，所以总数为：3030%=100（名） ；根据条形统计图，可得选项 A、C、D 所对应 的总人数为： 20+30+10=60， B 组人数： 100-60=40 （名） ； 选项 C 所占圆心角为： 30%360=108； 在抽取的 100 名学生中“十分了解”和“了解较多”的学生共有 20+40=60（名） ，所以在 2000 名学 生中， “十分了解”和“了解较多”的学生的人数是：60
30、1002000=1200（名） 答案解： （1）本次被抽取的学生共有 100 名 （2）补全图形如下： ABCD 0 10 20 30 40 成绩成绩 人数人数 （3）108 （4）解：由题意可知：200060%=1200（名） “十分了解”和“了解较多”的学生共有 1200 名 分值10 章节:1-10-1统计调查 难度:3-中等难度 类别:常考题 类别:易错题 考点:抽样调查 考点:扇形统计图 考点:条形统计图 题目22 （2019齐齐哈尔市，22）甲、乙两地间的直线公路长为 400 千米，一辆轿车和一辆货车 分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行货车比轿车早出发 1 小时，途中
31、轿车出现 了故障，停下维修，货车仍继续行驶，1 小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按 原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计） ，最后两车同时到达甲地已知两车距各自出发地的 距离 y（千米）与轿车所用的时间 x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）货车的速度是 千米/小时，轿车的速度是 千米/小时，t 值为 ； （2）求轿车距其出发地的距离 y（千米）与所用时间 x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）请直接写出货车出发多长时间两车相距 90 千米 400 240 50 D y/千米千米 x/小时小时Ct B A O （第 22 题图
32、） 解析本题考查了一次函数的解析式和图象 （1）由图象可得货车 1 小时行驶 50 千米，则速度即为 50km/h，所以从乙地到甲地的总时间为 40050=8h，所以点 C 对应的坐标为（7，0） ，轿车一来一 去共行驶480千米， 中途有1小时的故障排除， 所以行驶时间为7-1=6小时， 则速度为4806=80km/h， 所以 t 所对应的数为：24080=3； （2）轿车距离出发地的距离 y 与时间 x 的图象是一条折线，故在 此应用分类讨论思想，利用待定系数法进行求解即可； （3）货车和轿车一开始是相向而行，当轿车 恰好发生故障时，两车一共行驶的路程：240+50 （3+1）=44040
33、0，说明此时两车已经相遇，且 相距 40km，当轿车经 1 小时排除故障时，货车恰行驶 50 千米，此时两车相距 50+40=90 千米，此时 货车共行驶 3+1+1=5 小时； 当两车未相遇时， 不妨设货车出发 x 小时后， 两车相距 90km， 则： 50x+80 （x-1）+90=400，可得：x=3；综上所述，货车出发 3 小时或 5 小时时两车相距 90km 答案解： （1）50；80；3； （2）解：由题意得：A（3，240） ，B（4，240） ，C（7，0） ， 设直线 OA 的解析式为 y=k1x（k10） y=80x（0x3） ； 当 3x4 时，y=240； 设直线 BC
34、 的解析式为 y=kx+b（k0） 将 B（4，240） ，C（7，0）代入上式： 4240 70 kb kb + = + = ，得 80 560 k b =- = ， y= -80x+560（4x7） ， 80 (03) 240(34) 80560(47) xx yx xx ? =? -+ （3）3 小时或 5 小时 分值10 章节:1-19-2-2一次函数 难度:4-较高难度 类别:思想方法 类别:常考题 类别:易错题 考点:待定系数法求一次函数的解析式 题目23 （2019齐齐哈尔市，23）综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过 程
35、还蕴含着丰富的数学知识 折一折：把边长为 4 的正方形纸片 ABCD 对折，使边 AB 与 CD 重合，展开后得到折痕 EF，如 图；点 M 为 CF 上一点，将正方形纸片 ABCD 沿直线 DM 折叠，使点 C 落在 EF 上的点 N 处，展 开后连接 DN，MN，AN，如图 F E A D CB M F N E AD BC 图 图 （一）填一填，做一做： （1）图中，CMD= ；线段 NF= ； （2）图中，试判断AND 的形状，并给出证明 剪一剪，折一折：将图中的AND 剪下来，将其沿直线 GH 折叠，使点 A 落在点A处，分 别得到图、图 G H A A D N A G H N A D
36、 图 图 （二）填一填： （3）图中阴影部分的周长为 ； （4）图中，若AGN=80，则AHD= ； （5）图中的相似三角形（包括全等三角形）共有 对； （6）如图点落在边 ND 上，若 A N A D = m n ，则 AG AH = （用含 m、n 的代数 式表示） 解析本题综合考查了折叠的性质，正方形的性质，30 的特殊角，等边三角形的判定和性质，矩形 的性质，相似三角形的判定和性质等 （1）由折叠可得 A、D 关于直线 EF 成轴对称，AN=DN， 又由折叠可得 DN=DC=AD，CDM=NDM，DMC=NMD，CM=NM，易证ADN 是等边三角 形，ADN=60 ，NDC=30 ，C
37、DM= 1 2 NDC=15 ，CDM +DMC =90 ，DMC =75 =NMD，NMF=30 ，不妨设 CM=NM =x，FM=NMcosNMF= NMcos30 = 3 2 x， NF= NMsinNMF= NMsin30 = 1 2 x，易证四边形 CDEF 是矩形，所以 CF=DE，则 x+ 3 2 x =2， 得 x=8-43， 则 NF= 1 2 x= 1 2 （8-43） =4-23；（2） 欲证AND 是等边三角形， 可说明 AD=DN=AN 相等得证， 或是通过说明EDN=60 ， 利用“有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形”得证；（3） 对于阴影部分周长可通过折叠
38、进行线段的等量转化，即得阴影部分周长即为ADN 的周长；由 AGN=80 ，可得其邻补角为 100 ，AGH= 1 2 AGA= 1 2 100 =50 ，由“三角形内角和为 180 ”可得AHG=70 ，AHA=2AHG=140 ，AHD =180 -AHA=180 -140 =40 ； 易得 3 个阴影三角形中均有一个角为 60 ，且分别有一对对顶角相等，易证它们均相似，此时有 3 对，又由折叠可知AHGAHG，所以一共有 4 对相似三角形；根据一线三等角的基本图形， 易证AGNHAD，其中AGN 的周长=NG+AG+NA=NG+AG+NA=AN+NA=4+NA， 同理可得HAD 的周长=
39、4+AD， A N A D = m n ，又AD + AN=4，NA= 4m mn+ ，AD = 4n mn+ ，根据“相似三角形的周长之比等于相似比” ，可得： AG AH = A G A H = A GN HA D C C = 4 4 A N A D + + = 4 4 4 4 m mn n mn + + + + = 2 2 mn mn + + 答案解： （一）填一填，做一做： （1）图中，CMD= 75 ；线段 NF= 42 3- ； （2）AND 是等边三角形，证明如下： 由折叠可得：DN=CD=AD， DE= 1 2 AD，DE= 1 2 DN， EFAD，END=30， ADN=6
40、0，ADN 是等边三角形 （二）填一填： （3）图中阴影部分的周长为 12 ； （4）图中，若AGN=80，则AHD= 40 ； （5）图中的相似三角形（包括全等三角形）共有 4 对； （6）如图点落在边 ND 上，若 A N A D = m n ，则 AG AH = 2 2 mn mn + + （用含 m、n 的代数 式表示） 分值12 章节:1-27-1-3相似三角形应用举例 难度:4-较高难度 类别:思想方法 类别:易错题 考点:等边三角形的性质 考点:等边三角形的判定 考点:正方形的性质 考点:轴对称的性质 考点:轴对称图形 考点:解一元一次方程（移项） 考点:矩形的性质 考点:相似三
41、角形的性质 考点:相似三角形的判定（两角相等） 考点:相似三角形周长的性质 题目24 （2019 齐齐哈尔市，24）如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，OA=2，OC=6，连结 AC 和 BC （1）求抛物线的解析式； （2）点 D 在抛物线的对称轴上，当ACD 的周长最小时，点 D 的坐标为 ； （3）点 E 是第四象限内抛物线上的动点，连接 CE 和 BE，求BCE 面积的最大值及此时点 E 的坐 标； （4）若点 M 是 y 轴上的动点，在坐标平面内是否存在点 N，使以点 A、C、M、N 为顶点的四边形 是菱形？若存在，请直接写出点 N
42、 的坐标；若不存在，请说明理由 O B C y xA O B C y xA （备用图） 解析本题综合考查了抛物线的解析式，抛物线的轴对称性，“将军饮马”问题，面积最值，菱形 的判定 （1）根据点 A，C 坐标，利用待定系数法即可求出抛物线解析式； （2）ACD 的周长 =AC+AD+CD， 其中 AC 为定值， 即原问题等价于对称轴上一动点 D 到两定点 A、 C 的距离之和最短， 即为“将军饮马”问题， 利用轴对称性可得 AD+CD=BD+CDBC， 即当 B、 C、 D 三点共线时， AD+CD 之和最小，此时点 D 在 D1的位置（如图所示） ，由抛物线解析式可求得点 B（3，0） ，对
43、称轴为直 线 x= 1 2 ，又由点 C（0，-6） ，利用待定系数法可求得 BC 解析式：y=2x-6，令 x= 1 2 ，y=21 2 -6= -5， 则点 D 坐标（ 1 2 ，-5） ； （3）设点 E（x，x2-x-6） ，用含 x 的代数式表示BCE 面积，进而求出BCE 面积的最大值； （4）根据 AC、CM 是菱形的对角线和边进行分类讨论由 A（-2，0） ，C（0，-6） ， 易得 AC= 22 26+=2 10，AC 解析式：y= -3x-6，AC 中点坐标（-1，-3） ，若 AC 是对角线，CM 是边 （如图所示） ， 根据“菱形的对角线互相垂直且平分”， 可得 MN
44、解析式： y= 1 3 （x+1） -3= 1 3 x- 8 3 ， 则 M（0，- 8 3 ） ，MN 与 AC 互相平分， 2 8 6 3 N N x y =- -=- ，得 2 10 3 N N x y = - = - ，N（-2，-10 3 ） ；若 AC 是边，CM 是对角线（如图） ，则点 A 关于 y 轴的对称点即为点 N，此时 N（2，0） ；若 AC 为 边，CM 也为边（如图） ，则 ANCM，且 AN=AC=2 10，N（-2，2 10） ，同理在图中可 求得 N（-2，2 10-） ，即符合题意的点 N 共有四个 AOBx D D1 C y y x O N M A C y x O C A M N y xO C A M N y xO C A
