1、第三章第三章分析力学基础分析力学基础 3 31 1 自由度和广义坐标自由度和广义坐标 在完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参数的数目等于系统的自由度数自由度数。质点M被限定只能在球面2222)()()(Rczbyax（31）的上半部分运动，由此解出：222)()(byaxRcz（32）这样该质点在空间中的位置就由x,y这两个独立参数所确定，它的自由度数为2。一般来讲，一个n个质点组成的质点系，若受到s个完整约束作用，则其在空间中的3n个坐标不是彼此独立的。例如:xyzM 由这些约束方程，可将其中s个坐标表示成其余3n-s个坐标的函数，这样该质点系在空间中的位置，就可以用N=3n-s个独立参
2、数完全确定下来。描述质点系在空间中的位置的描述质点系在空间中的位置的独立独立参数，称为参数，称为广义坐标广义坐标。对于完整系统，广义坐标的数目等于系统的自由度数对于完整系统，广义坐标的数目等于系统的自由度数考虑由n个质点组成的系统受s个完整双侧约束，)321(0)(21sktrrrfnk，（33）设)3(21snNqqqN ，为系统的一组广义坐标可以将各质点的坐标表示为：)21()(21nitqqqrrNii，（34）由虚位移的定义，对上式进行变分运算，得到)21(1niqqrrkNkkii，（35）其中)21(Nkqk，为广义坐标 的变分kq，称为广义虚位移广义虚位移。3 32 2 以广义坐
3、标表示的质点系平衡条件以广义坐标表示的质点系平衡条件 设作用在第i个质点上的主动力的合力 ，iF在三个坐标轴上的投影分别为 ，(,)xiyiziFFF，将式（3-5）代入虚功方程，得到0)()(1111111 kNknikizikiyikixiniNkNkNkkkizikkiyikkixiniFiFqqzFqyFqxFqqzFqqyFqqxFWW（3-6）如令)21()(1NkqzFqyFqxFQnikizikiyikixik，（3-7）则式（36）可以写成01kNkkFqQW（3-8）上式中 具有功的量纲，kkqQ所以称 为与广义坐标kQkq相对应的广义力。广义力。由于广义坐标的独立性，kq
4、可以任一取值，因此若式（38）成立，必须有021 NQQQ（3-9）上式说明：质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零。质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零。这就是用广义坐标表示的质点系的平衡条件求广义力的方法有两种：一种方法是直接从定义式（37）出发进行计算。另一种是利用广义虚位移的任意性，令某一个 不等于零，kq而其他N-1个广义虚位移都等于零，代入kkFqQW从而kFkqWQ（310）在解决实际问题时，往往采用第二种方法比较方便例 3-1：杆OA和AB以铰链相连，O端悬挂于圆柱铰链上，如图所示，杆长OA=a AB=b，杆重和铰链的摩擦都忽略不计，今在点A和B分别作用向下的铅锤力
5、和 ，又在点B作用一水平力 。AFBFF试求：平衡时 与 ，之间的关系21，AFBFF解：系统有两个自由度，现选择 和 为系统的两个广义坐标，12计算其对应的广义力 和 ，1Q2Q用第一种方法计算：22221111BBBAABBBAAxFyFyFQxFyFyFQ（a）由于11212coscoscossinsinABByayabxab（b）故111111cossinsinaxayayBBA，22222cossin0bxbyyBBA，代入式（a），系统平衡时应有0cossin0cossin)(222111FbbFQFaaFFQBBA（c）解出BBAFFFFF21tantan，（d）用第二种方法计算
6、：保持 不变，2只有 时，1如图所示，由式（b）的变分1111cossinaxayyBBA，（e）则对应于 的广义力为，11111BBAAxFyFyFWQ可得一组虚位移将式（e）代入上式，得111cossin)(FaaFFQBA保持 不变，1只有 时，2如图所示，由式（b）的变分，可得另一组虚位移2222cossin0bxbyyBBA，代入对应于 的广义力表达式，2得222222cossinFbbFxFyFyFWQBBBBAA试求：平衡时重物C的重量CP以及重物A与水平面间的静滑动摩擦因数。例 3-2：如图所示，重物A和B分别连接在细绳两端，重 物A放置在粗糙的水平面上，重物B绕过定滑轮E铅直
7、悬挂，在动滑轮H的轴心上挂一重物C，设重物A重量为 ，重物 B重量为 ，不计动滑轮H的重量。P2P解：系统具有两个自由度，选取重物A向右的水平坐标 和重物B向下的铅直坐标 为广义坐标，AxBy则对应的虚位移为 和 。AxBy此时除重力外，重物A与台面间的摩擦力 也应视为主动力AF首先令 向右，Ax0By此时重物C的虚位移 ，2/ACxy方向向下。主动力所做虚功的和为：ACACCAAAxPFyPxFW)21(对应广义坐标 的广义力为：AxACAAxAFPxWQ21（a）再令 向下 ，By0Ax同理可解得：PPxWQCBByB21（b）因为系统平衡时应有 ，0yBxAQQ解得：PPFPPCAC21
8、2，因此平衡时，要求物块与台面间静摩擦因数5.02PFfA如果作用在质点系上的主动力都是有势力，则势能应如果作用在质点系上的主动力都是有势力，则势能应为各点坐标的函数，记为为各点坐标的函数，记为)(111BBBzyxzyxVV，（311）此时虚功方程（36）中各力的投影，都可以写成用势能V表达的形式，即：iziiyiixizVFyVFxVF，于是有VzzVyyVxxVzFyFxFWiiiiiiiziiyiixiF)()(这样，虚位移原理的表达式成为0V（312）上式说明：在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件为质点系的势能在平衡位置处一阶变分为零。
9、为质点系的势能在平衡位置处一阶变分为零。如果用广义坐标 表示质点系的位置，则质点系的势能可以写成广义坐标的函数，即Nqqq，21)(21NqqqVV，根据广义力的表达式（37）在势力场中可将广义力 写成用势能表达的形式kQ)21()()(NkqVqzzVqyyVqxxVqzFqyFqxFQkkiikiikiikizikiyikixik，（313）这样，由广义坐标表示的平衡条件可写成如下形式)21(0NkqVQkk，（314）即：在势力场中具有理想约束的质点系的平衡条件是势能在势力场中具有理想约束的质点系的平衡条件是势能对于每个广义坐标的偏导数分别等于零。对于每个广义坐标的偏导数分别等于零。在稳
10、定平衡的平衡位置处，系统势能具有极小值在不平衡位置上，系统势能具有极大值对于随遇平衡，系统在某位置附近其势能是不变的，所以其附近任何可能位置都是平衡位置。稳定平衡稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡对于一个自由度系统，系统具有一个广义坐标q因此系统势能可以表示为q的一元函数，即)(qVV 当系统平衡时，根据式（314），在平衡位置处有0ddqV 如果系统处于稳定平衡状态，则在平衡位置处。系统势能如果系统处于稳定平衡状态，则在平衡位置处。系统势能具有极小值，即系统势能对广义坐标的二阶导数大于零。具有极小值，即系统势能对广义坐标的二阶导数大于零。0dd22qV上式是一个自由度系统平衡的稳定性判据。对于多自
11、由度系统平衡的稳定性判据可参考其他书籍。例 3-3：如图所示一倒置的摆，摆锤重量为 ，摆杆长度为l，在摆杆上的点A连有一刚度为k的水平弹簧，摆在铅直位置时弹簧未变形，设OA=a，摆杆重量不计。P试确定：摆杆的平衡位置及稳定平衡时所应满足的条件。解：该系统是一个自由度系统，选择摆角 为广义坐标，摆的铅直位置为摆锤重力势能和弹簧弹性势能的零点。则对任一摆角系统的总势能等于摆锤的重力势能和弹簧的弹性势能之和。当 时1有22222212sin221)cos1(kaPlkaPlV由22sin上述势能表达式可以写成22)(21PlkaV将势能V对 求一阶导数有)(dd2PlkaV由0ddV得到系统的平衡位
12、置为0为判别系统是否处于稳定平衡，将势能对 求二阶导数，得PlkaV222dd对于稳定平衡，要求0dd22V即02 Plka或kPla 设有一质点系由n个质点组成，质点系中第i个质点质量为mi，作用在该质点上的主动力的合力为Fi，约束反力的合力为FNi.如果假想地加上该质点的惯性力FIi=-miai，由达朗贝尔原理，Fi 、Fni、FIi构成平衡力系。整个质点系应组成平衡力系，质点系具有理想约束.应用虚位移原理，得到：3-3 动力学普遍方程动力学普遍方程0)(iIiirFFkFjFiFFiziyixikzjyixriiiiIiiiiiiiFmxim y jmz k0)()()(1niiiiiz
13、iiiiyiiiixzzmFyymFxxmF 在理想约束的条件下，质点系的各个质点在任一瞬时所在理想约束的条件下，质点系的各个质点在任一瞬时所受的主动力和惯性力在虚位移上所作的虚功和等于零。受的主动力和惯性力在虚位移上所作的虚功和等于零。称为称为动力学普遍方程。0)(iIiirFF得到：例 3-4:如图所示滑轮系统中，动滑轮上悬挂着质量为 的重物，绳子绕过定滑轮后悬挂着质量为 的重物，设滑轮和绳子的重量以及轮轴摩擦都忽略不计。1m2m求:质量为 的物体下降的加速度2m解：取整个滑轮系统为研究对象，系统具有理想约束。系统所受的主动力为 和 ，gm1gm2惯性力为222I111 IamFamF，给
14、系统以虚位移 和 ，1s2s由动力学普遍方程得0)()(11112222samgmsamgm这是一个单自由度系统，所以 和 中只有一个是独立的1s2s由定滑轮和动滑轮的传动关系，有222121aass，代入前式，有02)2()(22112222samgmsamgm消去2s得gmmmma12122424例 3-5：如图所示两相同均质圆轮半径皆为R，质量皆为m，轮I可绕轴O转动，轮II绕有细绳并跨于轮I上，当细绳直线部分为铅垂时，求轮II中心C的加速度。解：研究整个系统，设I,II的角加速度分别为 ，21aa，轮II质心C的加速度为a，则系统的惯性力系为22I212I112121amRMamRMm
15、aF，此系统具有两个自由度，取轮I、II的转角 为广义坐标21，令 ，0021，则点C下降 。2Rh 根据动力学普遍方程02I21MhFhmg或0212RaagCo12gm1IM2IMIF再令 ，0021，则 ，1Rh 代入动力学普遍方程011I1MhFhmg（a）或0211Raag（b）考虑到运动学关系RaRaa21（c）联立式（a）（b）（c）解出ga54 3-4 3-4 第一类拉格朗日方程第一类拉格朗日方程引入符号kzfjyfixfrfikikikik（3-16）对式（3-3）两边取变分)321(01skrrfiniik，（3-17）引用拉格朗日乘子)21(skk，将（3-17）式两端乘
16、以 并对k求和k0)()(1111 niiskikiniikskkrrfrrf（3-18）将（3-15）式与（3-18）式相减，得0)(11iniikskkiiirrfrmF 在3n个质点坐标中，独立坐标有3n-s个，对于s个不独立的坐标变分,可以选取适当的 ，使得变分前的系数为零k而此时独立坐标变分前的系数也应等于零，从而有)21(01nirfrmFikskkiii，（3-19）这就是带拉格朗日乘子的质点系动力学方程。又称为第一类拉格朗日方程又称为第一类拉格朗日方程0)()(11INiniiiiiniiiirrmFrFFF（315）若将（3-19）式与质点系统的达朗贝尔原理相对比，可以看出:
17、对应于s个约束作用于)(1skikkrf含拉格朗日乘子项系统内各质点上的约束力。方程中共有3n+s个未知量，故须与方程（3-3）联立求解。)21(01nirfrmFikskkiii，例3-6 如图所示的运动系统中，可沿光滑水平面移动的重物M1的质量为m1；可在铅直面内摆动的摆锤M2的质量为m2。两个物体用无重杆连接，杆长为l。求此系统的运动微分方程。2M1MxyCO解：1）取整个系统为研究对象。选取坐标轴如图所示，则M1和M2的坐标各为x1、y1和x2、y2。2）运动分析：系统受到水平面和刚性杆的约束，有2个约束方程。011 yf0)()(22212212lyyxxf2,1 01irfrmFs
18、kikkiii 1,011212111yfyfxfxf011 yf0)()(22212212lyyxxf)(2),(2)(2),(22122211221222112yyyfyyyfxxxfxxxf2M1MxyCOgm1gm2121 11211121111211122212221222112220()0()00()0()0ffm xxxffm gm yyyffm xxxffm gm yyy0)(20)(20)(20)(222121221222121211121211gmyyymxxxmgmyyymxxxm 0)(20)(20)(20)(222122221222121211121211gmyyym
19、xxxmgmyyymxxxm 01y0)()(2221221lyyxx0)()()()(0)()(00)(22121212212121222112121122111yyyyyyxxxxxxgmymxmxxyyyxyymxm 约束方程微分，消去21,2M1MxyCOgm1gm2得到系统的运动微分方程0)()()()(0002212121221212122211212112211yyyyyyxxxxxxgmymxmxxyyyxmxm 而)(2212222211211xxxmymymgmgm 与矢量力学的运动学方程相对照，可知 是光滑接触面的约束力，)(1是二力杆 的内力。)2(2l21MM 当系统
20、各质点的虚位移不独立时，要找到虚位移之间的关系不方便。动力学普遍方程用独立的广义坐标表示，可推导出第二类拉格朗日方程，这种方法便于求解非自由质点系的动力学问题。设一质点系由n个质点组成，系统具有s个完整理想约束，具有N=3n-s个自由度。用q1、q2、qn表示系统的广义坐标。设系统中第i个质点的质量为m1，矢径为 ri，矢径ri可表示为广义坐标和时间的函数：3-5 第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程),(21tqqqrrNii由质点系普遍方程：011niiiiniiiramrF上式第一项又可以表示为：11nNiikkikFrQqNkkkiiqqrr1注意：这里不是研究平衡问题，所以Qk不一定
21、为零。代入上式第二项得:111nnNiiiii ikiiikrmarmrqqnikkiiiNiqqrrm11)(niiiiniiiramrF110)(11NikkiiikNiqqrrmQ 1Niikkkrrqq011niiiiniiiramrF11nNiikkikFrQq对于完整约束的系统，其广义坐标是相互独立的。所以广义坐标的变分是任意的，为使上式成立，必须有：),3,2,1(01nkqrrmQNikiiik 这是具有N个方程的方程组，其中第二项与广义力对应，称为广义惯性力。表明广义力与广义惯性力相平衡，是达朗伯原理的广义坐标表示。对广义力做如下变换Nikiiiqrrm1)()(11Niki
22、iiNikiiiqrdtdvmqrvdtdm0)(11NikkiiikNiqqrrmQ 1.证明：kikiqrqr),(21tqqqrrNii进一步简化，先证明两个等式kikiqrqrkikiqrqrdtd)(对时间求导数 trqqrrdtrdikNikiii1其中,kiqrtri是广义坐标和时间的函数，而不是广义速度的函数。kikiqrqrkq 再对 求偏导数：得证在完整约束下trqqrrdtrdikNikiii1对某qj求偏导数 1NiiikijjkrrrqqqqttqrqqqrjikNikji212将 jiqr对时间求导数得：tqrqqqrqrdtdjikNikjiji212)(2.证明
23、：kikiqrqrdtd)(kikiqrqrdtd)(由此得证 111()()NNNiiii iiiiiiiikkkrrrddmrmvmvqdtqdtqjiiiavvr,kikiqrqrkikiqrqrdtd)(Nikiiiqrvm111()()NNiiiii iiikkvvdmvmvdtqq111()()2NNiiiiiiiikkvdmvmv vdtqq NiiikNiiikvmqvmqdtd1212)21()21(kkqTqTdtd其中)21(12NiiivmT为质点系的动能kkkQqTqTdtd该方程组中方程式的数目等于质点系的自由度数，每一个方程都是二阶常微分方程。),3,2,1(01
24、NkqrrmQNikiiik kkNikiiiqTqTdtdqrvm1得 上式称为拉格朗日方程kkqVQ于是拉格朗日方程可写成kkkqVqTqTdtd上式就是保守系统的拉格朗日方程。记L=T-V，L称为拉格朗日函数或动势。如果作用在质点系上的主动力都是有势力，则广义力Qk可写成拉格朗日方程用动势L=T-V表示),2,1(0NkqLqLdtdkk 拉格朗日方程是解决具有完整约束的质点系动力学问题的普遍方程，是分析力学中重要的方程。拉格朗日方程的表达式非常简洁，应用时只需计算系统拉格朗日方程的表达式非常简洁，应用时只需计算系统的动能和广义力；的动能和广义力；对于保守系统，只需计算系统的动能和势能。
25、对于保守系统，只需计算系统的动能和势能。0kqV因为势能是坐标的函数例 3-7：如图所示的系统中，轮A沿水平面纯滚动，轮心以水平弹簧联于墙上，质量为 的物块C以细绳跨过定滑轮B联于点A，A，B两轮皆为均质圆盘，半径为R，质量为 ，弹簧刚度为k质量不计，当弹簧较软，在细绳能始终保持张紧的条件下1m2m求此系统的运动微分方程解：此系统具有一个自由度，以物块平衡位置为原点取x为广义坐标如图，以平衡位置为重力零势能点，取弹簧原长处为弹性力零势能点，系统在任意位置x处的势能为gxmxkV120)(21其中 为平衡位置处弹簧的伸长量。0由运动学关系式，当物块速度为 时，x 轮B角速度为 ，Rx/轮A质心速
26、度为 ，x 角速度亦为 ，Rx/此系统的动能为2122222222221)21()(212121)(212121xmmRxRmxmRxRmxmT系统的动势为gxmxkxmmVTL120212)(21)21(代入拉格朗日方程0)(ddxLxLt得0)2(1012gmkxkxmm注意到gmk10则系统的运动微分方程为0)2(12kxxmm 例 3-8：仍以例36为例如图所示的运动系统中，可沿光滑水平面移动两个物体用无重杆连接，杆长为l。试建立此系统的运动微分方程重物 的质量为 ，1M1m摆锤 的质量为 ，2M2m该问题也可以用第二类拉格朗日方程来求解解：选 和 为广义坐标，1x则有cossin02
27、121lylxxy，（a）将式（a）两端对时间求导数，得sincos02121lylxxy，（b）系统的动能)cos2(2)(21)(212112221212222221xllmxmmyxmxmT选质点 在最低处时的位置为系统的零势能位置，2M则系统的势能为)cos1(2glmV由此得2212111cos)(0lmxmmxTxT，2221211sincos)()(dd lmlmxmmxTt01xVQxcossin122212x lmlmTxlmT，)sincos()(dd112 xxllmTtsin2glmVQ把以上结果代入拉格朗日方程中，得0sincos)(222121 lmlmxmmsin
28、)sincos(2112glmxxllm 如果质点 摆动很小，2M可以近似地认为 。1cossin，且可以忽略含 和 的高阶小量，21x上式可改写为0)(2121 lmxmm（c）gxl1 （d）从以上两式中消去 ，1x 得到0121lgmmm（e）这是自由振动的微分方程，其解为)sin(0tA（f）固有角频率为lgmmm1210摆动周期glmmmT211022（g）如果21mm 则质点 的位移 将很小，1M1x质点 的摆动周期将趋于普通单摆的周期2MglTm2lim1若将式（e）代入（d）得到gmmx121（h）将式（f）代入，可见质点 沿x方向也作自由振动1M可以将例36的结果与例38进行
29、对比，将（a）（b）两式代入例36中式（g）的第4式，当 摆动很小时 ，2M1cossin，且可以忽略含 和 的高阶小量2 得到021 yy 代入例36中式（g）的第3式并注意01y 得到02112121gyymxxmx （k）由本例中的式（a）1221tanyyxx代入式（k）得到与式（h）同样的结果 3-6 3-6 拉格朗日方程的初积分拉格朗日方程的初积分对于保守系统，在一定条件下，可以直接给出初积分的一般形式。1.1.能量积分能量积分若系统所受到的约束均为定常约束，则式（34）中不显含时间t，从而kNikiiiqqrr1lkNlkklnilNllikNkkiiiniiiqqmqqrqqr
30、mmT1111121)()(2121，（327）为关于 的二次齐次函数，iq 其中likiniiklqrqrmm1是广义坐标的函数，称为广义质量，容易证明TqqTkNkk21（328）上式也称为关于齐次函数的欧拉定理欧拉定理，注意势能V不含 项，iq 从而TqqTqqLkNkkkNkk211将式（326b）对k求和0)2(dddddd2)()(dd)(dd)(dd1111LTttLtTqqLqqLqqLtqqLqqLqLtqqLqqLtkkNkkkNkkkNkkkkkkNkkkkk （329）积分上式，有2T-L=T+V=常数（330）这就是保守系统的机械能守恒定律。也称为保守系统中拉格朗日方
31、程的能量积分。2.2.循环积分循环积分如果拉格朗日函数L中不显含某广义坐标 ，kq则称该坐标为循环坐标.此时0)(dd0kkqLtqL，从而有kqL常数（331）上式称为拉格朗日方程的循环积分。如果引入广义动量kkqLp则有kp常数（331a）式（331a）也称为广义动量守恒例 3-9：图表示一个均质圆柱体，可绕其垂直中心轴自由转动，圆柱表面上刻有一倾角为的螺旋槽，今在槽中放一小球M，自静止开始沿槽下滑，同时使圆柱体绕轴线转动，设小球质量为 ，圆柱体的质量为 ，半径为R，不计摩擦。1m2m求：当小球下降的高度为h时，小球相对于圆柱体的速度以及圆柱体的角速度。解：小球与圆柱体组成的系统是具有两个
32、自由度的系统，并具有稳定、完整、理想约束，因为系统所受的主动力是重力，所以是保守系统。取圆柱体的转角 ，和沿螺旋槽方向的弧坐标s为广义坐标。取小球为动点，圆柱体为动系，利用点的速度合成公式，则小球的动能为)cos2(2)cos(221212221221211sRRsmmmTrere圆柱体的动能为2222222241)2(2121RmRmJT系统的动能为cos4)2(241122212121sRmRmmsmTTT可见此时动能T是广义速度 和 的二次齐次函数。s 若选择小球起点为零势能点。则系统势能V可表示为sin1gsmV系统的拉格朗日函数为：sincos4)2(24111222121gsmsR
33、mRmmsmVTL由于L中不显含时间t和广义坐标 ，系统有能量积分和循环积分，于是我们有两个一次积分式1CT2CVT将动能和势能表达式代入上式得11221cos22CsRmRmm（a）211222121sincos4)2(241CgsmsRmRmmsm（b）将初始条件t=0时000，ss，代入上式得 ，021 CC由此，从式（a）中解得cos)2(2211sRmmm（c）代入式（b），并令 ，sinsh 得ghsmmmm22sin2221221由此得小球相对于圆柱体的速度为ghmmmmsr2sin2222121（d）再由式（c）得圆柱体转动的角速度为)sin2)(2(2cos2221211mmmmghRm
