1、.2最优化问题提出背景最优化问题提出背景:l当被控对象的数学模型以及对控制系统的技术要求给定之后，为了确定控制器的结构和参数，需要进行大量的计算。l通常的工作步骤是：设计者根据对实际系统的了解，先假设控制器参数的一组初始值，通过仿真或者直接在实际系统上做试验，求出系统对典型输入的响应特性；l然后设计者分析所得结果，并依据理论分析和以往的经验修改控制器参数；l接着再进行仿真计算（或试验）；l再分析比较，再修改参数l .3当被控对象比较简单时以上做法可行。对于具有若干个输入的多回路的复杂系统，即使花费了大量的时间和精力，也不见得能够找到满足工程要求的最佳控制器结构以及相应的参数。为了获得最佳的设计
2、效果，出现了最优化技术最优化技术。为此，提出两类优化问题。上一页下一页返回.4.1.1 两类优化问题两类优化问题4.1.2 问题的提法及专用名词问题的提法及专用名词4.1.3 寻优途径及优化方法的评价寻优途径及优化方法的评价4.1.4 控制系统优化设计中目标函数的构成控制系统优化设计中目标函数的构成4.1.5 数字仿真在优化设计中的作用数字仿真在优化设计中的作用上一页下一页返回.上一页下一页返回函数优化问题函数优化问题参数优化问题参数优化问题.6 1函数优化问题函数优化问题上一页下一页返回函数优化问题也称为动态优化问题。对于控制器设计问题来说，相当于控制器的结构并不知道，需要设计出满足某种优化
3、条件的控制器。例如：应该选择例如：应该选择PI控制器，控制器，还是还是PID控制器？控制器？.7 2 2参数优化问题参数优化问题 参数优化问题也称为静态优化问题。在这类问题中，控制器的结构、形式已经确定，而需要调整或寻找控制器的参数，使得系统性能在某种指标意义下达到最优。【例4.2】对于如图4.2所示的PID控制系统，要求寻找理想的控制器参数，使系统性能指标为最优。图4.2上一页下一页返回.8 在该例中，被控对象数学模型G(s)已知，PID控制器的类型和形式已确定，为 式中，Kp,Ti,Td,为控制器参数。在某个给定信号r(t)作用下，测量系统输入量r(t)与输出量之间y(t)的偏差e(t)。
4、显然，e(t)是Kp,Ti,Td的函数。选择作为指标函数。式中，tf为系统调节时间。sTsTKsGdiPc1)(ftdiptteTTKQ02d)(),(上一页下一页返回.9 问题提法是：如何选择合适的参数值 ，使得目标函数Q为最小，即有 本章讨论参数优化问题。ftdipdiptteTTKQTTKQ02*d)(min),(min),(*pK*iT*dT上一页下一页返回.1.控制系统参数优化问题的一般提法 当被控对象已知，控制器的结构形式也已确定，需要调整或寻找控制器的某些参数，使系统性能在某种指标意义下达到最优。如果目标函数用Q()表示，需要优化的一组参数用向量表示，则对于数学模型为 （4.1）
5、的控制系统（式中，t为时间，x为n维状态向量，F为n维系统运动方程的结构向量，为m维寻优参数构成的向量），要求在满足 ),(x,FxtTm),2,(1上一页下一页返回.11不等式约束 hi()0,i=1,2,q （4.2）等式约束 gj()=0,j=1,2,p （4.3）等式终端约束 Sk(,tf)=0,k=1,2,l （4.4）（式中，tf为终止时间）的情况下，寻找一组参数=*，使目标函数满足 （4.5）称*为极小值点，对应的目标函数值Q(*)为极小值。)(min)(*QQ上一页下一页返回.12 2.优化设计专用名词（1 1）寻优参数）寻优参数 为m维寻优参数向量，也称之为设计变量（或设计参
6、数）。（2 2）约束条件）约束条件 在优化过程中，寻优参数的某些组合情况，可能会产生一些明显不合理的设计，超出了某些允许范围。在数学上可以化为约束条件。例如，在PID控制器的设计中，三个参数应满足约束条件 Kp0,Ti0,Td0 在许多工程问题中，约束条件往往不能写成寻优参数的显函数形式，只要是“可计算”的函数就可以了。例如，在PID控制系统中，超调量%是控制器参数Kp,Ti,Td的函数，但是不一定能具体写出来。上一页下一页返回.13 （3 3）目标函数）目标函数 在控制器的所有可行设计中，有些设计方案比另一些“要好些”。好的设计比差的设计肯定具有更好的某种（或某些）性质。如果这种性质可以表示
7、为寻优参数的一个可计算的函数，那么只需要寻求这个函数的极值，就可以得到“最优”的设计。这个用来使设计得以优化的函数就称为目标函数，为了强调它对寻优参数的依赖性，将其写成Q()。同样，在工程问题中，Q()不一定能写成显函数形式，只要求是“可计算”的函数。上一页下一页返回使目标函数为极大时,如何处理?此时只需要将目标函数变成-Q()即可。因为当-Q()达到极小时，Q()就达到了极大。.14（4 4）约束优化问题的无约束处理）约束优化问题的无约束处理 在工程问题中，寻优参数的取值范围总是要受到限制的，即要在一定的约束条件下来求目标函数的最优解。若约束对于寻优参数的限制是很宽的，以至于可以确信在*附近
8、约束都能满足的话，则把它看成是无约束优化问题来处理。若在*附近约束条件可能被破坏，就需要将约束优化问题转换成无约束优化问题来处理。例如,取 （4.6）式中，Q0()不考虑约束条件时的目标函数；gi()=0,i=1,2,p是p个等式约束条件；Ci正数权因子，表示第i个约束条件的重要性；Ci gi2()第i个约束条件不满足时的罚函数。)()()(120piiigCQQ上一页下一页返回.15常见的最优化问题分类常见的最优化问题分类:最优化问题最优化问题线性规划问题线性规划问题非线性规划问题非线性规划问题整数规划问题整数规划问题动态规划问题动态规划问题多目标规划问题多目标规划问题njmixxxxgts
9、xxxfjnin,2,1,2,100),(.),(min(max):2121最优化问题描述.16线性规划线性规划(Linear programming)问题举例问题举例:某人有一笔某人有一笔50万的资金可用于长期投资万的资金可用于长期投资,可供选择的投资机会包可供选择的投资机会包括购买国库券、购买公司债券、投资房地产、购买股票和银行储括购买国库券、购买公司债券、投资房地产、购买股票和银行储蓄等。各种投资方式的参数见下表蓄等。各种投资方式的参数见下表投资方式投资方式年限年限收益收益(%)风险系数风险系数增长潜力（增长潜力（%）1国库券35102公司债券10103153房地产6258304股票22
10、06205定期存款13156长期储蓄552107现金存款0200投资者希望投资组合的平均年限不超过投资者希望投资组合的平均年限不超过5年，平均期年，平均期望收益率不低于望收益率不低于13%，风险系数不超过，风险系数不超过4，增长潜力，增长潜力不低于不低于10%。问在上述前提下如何选择才能使平均。问在上述前提下如何选择才能使平均年收益率最高？年收益率最高？.17求解过程：求解过程：建立线性规划模型。设建立线性规划模型。设xi为第为第i种投资方式在总投资额种投资方式在总投资额中所占的比例，中所占的比例，015526103.2532025105max76543216543217654321ixxxx
11、xxxxxxxxxxtsxxxxxxx使用使用Matlab的线性规划求解函数的线性规划求解函数linprog()解得解得x=0.5575,0.0195,0.4230,0,0,0,0.18原料设备甲乙可供资源数量 A（吨）116 B（千克）5945 每台单位利润（万元）56 某厂在一计划期内拟生产甲、乙两种大型设备某厂在一计划期内拟生产甲、乙两种大型设备.该厂有该厂有充分的充分的生产能力生产能力来加工制造这两种设备的全部零件，所来加工制造这两种设备的全部零件，所需需原材料原材料和能源也可满足供应，但和能源也可满足供应，但A、B两种紧缺物资两种紧缺物资的供应受到严格限制，每台设备所需原材料如下的供
12、应受到严格限制，每台设备所需原材料如下 表所示表所示.问该厂在本计划期内应安排生产甲、乙设备多少台，问该厂在本计划期内应安排生产甲、乙设备多少台，才能使利润达到最大？才能使利润达到最大？整数规划问题举例：.19非线性规划（非线性规划（nonlinear programming)问题举例问题举例:f(x)=x1+x2 x1 0 x2 0 x12+x22 1 x12+x22 2 s.t.20多目标规划（多目标规划（Multi-objective optimization)问题举例问题举例:.21求解最优化问题的方法求解最优化问题的方法:线性规划线性规划:单纯形法、大单纯形法、大M法法无约束非线性规
13、划：无约束非线性规划：牛顿法、黄金分割法牛顿法、黄金分割法有约束非线性规划：有约束非线性规划：惩罚函数法、二次规划惩罚函数法、二次规划整数规划：分支定界法、隐枚举法整数规划：分支定界法、隐枚举法智能优化算法：智能优化算法：模拟退火算法、遗传算法、蚁群模拟退火算法、遗传算法、蚁群 算法、微粒群优化算法、差分进算法、微粒群优化算法、差分进化算法化算法.22 3优化方法的评价评价一种优化方法的优劣，主要考虑下列因素。（1）收敛性收敛性 寻优过程就是逐步搜索满足Q(*)=minQ()的值的迭代过程。迭代过程的收敛性好坏，表示某种优化方法适用范围的大小。（2）收敛速度收敛速度 为了求出同样精度的极小值点
14、，不同的优化方法所需要的迭代次数不同。上一页下一页返回 (3）每步迭代所需的计算量每步迭代所需的计算量.01.01)(21MxsssrsrDttwttwQ 控制系统参数优化设计中的目标函数一般可分为两大类：加权性能指标型目标函数和误差积分型目标函数。1加权性能指标型目标函数 这一类目标函数是根据经典控制理论设计系统的性能指标建立起来的，如系统在阶跃信号作用下的上升时间、调整时间、超调量以及振荡次数等。对这些性能指标的要求往往存在矛盾性，此时可以采用加权的方法建立目标函数。例如，.2402wMxD时当时当%0sssMxDsst%s式中，、为加权系数，满足 表示超调量在目标函数中的成份，其具体取值
15、为 （4.12）、和 分别为系统上升时间、调整时间和超调量的期望值。1w2w121 ww01wrst 2误差积分型目标函数对于一般随动系统，误差e(t)定义为输入信号r(t)和系统输出c(t)之差，即 e(t)=r(t)-c(t)（4.13）上一页下一页返回.250d)()(tteQ 02d)()(tteQ ttetQd)()(0ttteQ02d)()(ttetQd)()(02022d)()(ttetQ 常用的目标函数有如下几种：误差绝对值的积分（IAE）误差平方的积分（ISE）时间乘以误差绝对值积分（ITAE）时间乘以误差平方的积分（ITSE）时间平方乘以误差绝对值的积分（ISTAE）时间平
16、方乘以误差平方的积分（ISTSE）上一页下一页返回.4.2.1 单纯形法原理单纯形法原理4.2.2 单纯形的构成单纯形的构成4.2.3 改进单纯形法改进单纯形法 上一页下一页返回.l 单纯形法的基本思路 预先计算出在若干个点处的目标函数值，然后根据它们之间的大小关系，可以看出Q()变化的大致趋势，为寻求Q()的下降方向提供参考信息。l 单纯形法的寻优过程(二维情况，见图4.4)寻优参数为1和2，图中的实线为Q()=C（C为常数）的等高线族。先取1、2、3点并计算这3点处的目标函数值，对它们的大小进行比较，C1最大，故将1点抛弃，在1点的对面取一点4，构成一个新的三角形。计算4点处的目标函数值，
17、再比较三点处的函数值的大小，C2最大，上一页下一页返回.28将2点抛弃，在2点的对面取一点5，3、4、5点又构成一个新的三角形。如此不断重复上述过程，直至最后找到极小值点。图4.4上一页下一页返回.l 在一切几何图形（或超几何图形）中以单纯形（参数空间内简单的规则形体）的顶点为最少，所以寻优所用的几何图形以单纯形为最合适，在m维空间中，其顶点个数为m+1。l 求出正规单纯形各顶点的坐标的方法 若已选定(0)和任意两点之间的距离a（即正规单纯形的边长），于是（m+1）个点的坐标为上一页下一页返回.30miaqmpi,2,1)1(2222)()0(mjijiaqpji,2,1,)(2222)()(
18、ammq211ammmp211 显然，(0)-(1)，(0)-(2)，(0)-(m)为m个线性无关的向量。TmmmTmiiiiTmTmpqqqqqpqqqqqqp),(),(),(),()0()0(1)0(2)0(1)()0()0(1)0()0(1)0(2)0(1)()0()0(3)0(2)0(1)1()0()0(2)0(1)0(（4.20）（4.21）（4.22）有上一页下一页返回.改进单纯形法的基本思想是：给定初始点(0)和步长a，产生初始单纯形S0，通过反射、扩张、收缩和紧缩等一系列动作将单纯形翻滚、变形，从而产生一系列的单纯形S1，S2，S3，,逐渐向极小值点靠拢。当满足精度指标时，迭
19、代停止，取当前单纯形的“最好点”作为极小点的近似。上一页下一页返回.32 改进单纯形法的迭代规则:假设当前单纯形为Sk,对组成单纯形的(m+1)个顶点，记L为“最好点”,H为“最坏点”,G为“次坏点”,即 首先，计算当前单纯形的(m+1)个顶点中去掉最坏点H后的形心 (4.26)判别是否满足终止条件，即计算 (4.27)mjQQmjQQmjQQjHjGjHjL,1,0)(max)(,1,0)(max)(,1,0)(min)()()()(Hjjm)(1mjjQQm02)()()(11error上一页下一页返回.33如果error(为给定的精度指标),则停止迭代,取当前单纯形的“最好点”L作为所极
20、小值点*的近似。否则,计算“最坏点”H关于形心 的反射点R （4.28）对二维单纯形，如图4.5所示。图4.5根据反射点的目标函数值的大小,共有四种可能：1 Q(R)Q(L),即R比“最好点”L还要好。2 Q(L)Q(R)Q(G),即R虽不优于“最好点”L,但优于“次坏点”G。HR 2.34 3 Q(G)Q(R)1为扩张因子。如图4.6所示。图4.6)(RE上一页下一页返回.35 如果Q(E)Q(L)，则扩张成功，以E作为新顶点，取代“最坏点”H，构成新单纯形Sk+1,，如图4.7所示。图4.7 反之，扩张失败，以R作为新顶点，取代“最坏点”，构成新单纯形Sk+1，如图4.8所示。图4.8上一
21、页下一页返回.36 情况情况2 2 以R取代“最坏点”H，构成新单纯形Sk+1，如图4.8所示。情况情况3 3 计算收缩点 （4.30）式中，01为收缩因子。如图4.9所示。图4.9)(RC上一页下一页返回.37 如果Q(C)Q(H)，以C作为新顶点，取代“最坏点”H，构成新单纯形Sk+1，如图4.10所示。否则，将当前单纯形的各个顶点向“最好点”L紧缩，即 (4.31)如图4.11所示。LjmjLjLj；，,1,0)(21)()(图4.10图4.11上一页下一页返回.38 情况情况4 4 计算收缩点C （4.32）式中，0main 后，显示如图4.24所示的空白界面。点击选择文件栏，选择系统
22、模型名称：ccontroller。在系统模型参数栏中填入对应的参数，控制器名称：corrector；待调参数个数：2；待调参数名称：T1，T2；待调参数初始值：5 5；仿真时间：1.5；目标函数：ISE。选择精度指标：0.0000001。点击“开始仿真”按钮，经过一段时间的运行后得到如图4.29所示的仿真寻优结果。上一页下一页返回.60图4.29上一页下一页返回.61 3运行结果分析 一般而言，如果将任意选定的参数初始值的控制器直接加入到系统中，该系统都不稳定。例如，当T1(0)=15，T2(0)=10时，系统的阶跃响应如图4.30所示。图4.30 （T1=15，T2=10）上一页下一页返回.
23、62 给定三组不同的参数初始值，经过参数寻优后，得到了三组不同的优化参数及相应的目标函数值：T1(0)=15,T2(0)=10,T1*=1.9535,T2*=0.41391,Q(T1*,T2*)=0.054648 T1(0)=5,T2(0)=5,T1*=1.9454,T2*=0.41220,Q(T1*,T2*)=0.054648 T1(0)=10,T2(0)=15,T1*=1.9553,T2*=0.41449,Q(T1*,T2*)=0.054648 仿真结果表明，3组优化参数的阶跃响应曲线比较相似，没有本质上的差异。上一页下一页返回.63图4.31所示为第一组优化参数的单位阶跃响应曲线。图4.
24、31（T1=1.9535，T2=0.41391）从仿真结果中可以看出，系统的阻尼比太小，超调量偏大。上一页下一页返回.64 三种不同的优化参数均表明，采用误差积分型目标函数进行参数寻优存在两个问题：寻优结果不可预断。因为误差积分型目标函数是系统整个过渡过程的一个综合性指标，它反映不出系统性能指标的具体要求（例如，超调量，上升时间等性能指标），人们不能确信优化结果结果在实际中是否有意义；当优化结果不满足要求时，对目标函数无法进行调整。由此可见，在许多场合下利用误差积分型目标函数进行参数寻优的效果不一定好。上一页下一页返回.65 4采用参考模型法目标函数的运行结果及分析 采用图4.18的目标函数模
25、型(controller.mdl)，同样给定三组不同的参数初始值，经过参数寻优后，得到了三组不同的优化参数及相应的目标函数值：T1(0)=15,T2(0)=10,T1*=2.188,T2*=0.20661,Q(T1*,T2*)=0.0029808 T1(0)=5,T2(0)=5,T1*=2.1875,T2*=0.20684,Q(T1*,T2*)=0.0029809 T1(0)=10,T2(0)=15,T1*=2.188,T2*=0.20634,Q(T1*,T2*)=0.0029808 图4.32所示为第一组优化参数的单位阶跃响应曲线。上一页下一页返回.66 从仿真结果中可以看出，系统特性趋向于
26、参考模型的特性。参考模型法的目标函数是按过渡过程中每一点的系统响应与参考模型响应之差作为指标来进行计算的。目标函数就是要求实际系统响应的N个离散输出值与参考模型响应的N个离散输出值之间的误差平方的平均值为最小。只要参考模型选择合适，所得到的优化参数一般都能使系统满足性能指标要求。图4.32（T1=2.188，T2=0.20661）上一页下一页返回.l控制系统的优化设计又称为最优设计，是根据一定的工程技术要求，选择出一个最优设计方案，使某一数学化后的目标函数达到最优。l要使控制系统的动态性能达到最优，其目标函数必须与系统的动态响应之间存在密切关系。对于绝大多数控制系统，由于目标函数很难以寻优参数的解析形式给出，通常只能在对系统瞬态响应进行仿真的过程中计算出来，因此直接寻优过程就是一个仿真试验的优化过程，即进行一系列的仿真，以寻求使目标函数达到极小值的参数。l单纯形法是一种不需要计算目标函数梯度的方法，因而特别适合于对控制系统的参数寻优。上一页下一页返回.l当系统模型采用Simulink构模，而寻优程序采用MATLAB语言编写时，需要解决二者之间的信息相互传递等问题。l在仿真寻优中，选择不同的参照对象会得到不同的目标函数。根据系统给定或期望的具体性能指标来构造参考模型，并要求控制器参数的寻优能使系统的输出有效地跟踪参考模型的输出，往往会取得比较理想的效果。上一页返回
