1、金融经济学第七章套利定价金融经济学第七章套利定价 举例：假定证券分析员要详细分析举例：假定证券分析员要详细分析50种股票，则种股票，则需要输入如下这些数据：需要输入如下这些数据：若若n扩大一倍，即为扩大一倍，即为100时，估计值几乎增加时，估计值几乎增加4倍倍达到达到5150个，进一步，如果个，进一步，如果n增大为增大为2700，估计值，估计值达到达到360万个万个 如此庞大的估计值个数，逼迫我们不得不寻找其如此庞大的估计值个数，逼迫我们不得不寻找其他更容易实现的办法。他更容易实现的办法。25050()/212251325nnnn个股票收益的估计个方差的估计个协方差的估计个估计值2金融经济学金
2、融经济学 引入因子模型可以大大简化计算量引入因子模型可以大大简化计算量由于因子模型的引入，使得估计由于因子模型的引入，使得估计Markowitz有有效集的艰巨而烦琐的任务得到大大的简化。效集的艰巨而烦琐的任务得到大大的简化。因子模型还给我们提供关于证券回报率生因子模型还给我们提供关于证券回报率生成过程的一种新视点成过程的一种新视点一元或者多元统计分析，以一个或者多个变量一元或者多元统计分析，以一个或者多个变量来解释证券的收益，从而比仅仅以市场来解释来解释证券的收益，从而比仅仅以市场来解释证券的收益更准确。证券的收益更准确。3金融经济学金融经济学8.2 因子模型因子模型（Factor model
3、）定义定义：因子模型是一种假设证券的回报率因子模型是一种假设证券的回报率只与不同的因子波动（相对数）或者指标只与不同的因子波动（相对数）或者指标的运动有关的经济模型。的运动有关的经济模型。因子模型是因子模型是APT的基础，其目的是找出这的基础，其目的是找出这些因素并确认证券收益率对这些因素变动些因素并确认证券收益率对这些因素变动的敏感度。的敏感度。依据因子的数量，可以分为单因子模型和依据因子的数量，可以分为单因子模型和多因子模型。多因子模型。4金融经济学金融经济学8.2.1 单因子模型单因子模型 引子引子若把经济系统中的所有相关因素作为一个总的若把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观经济指
4、数。宏观经济指数。假设假设：（：（1）证券的回报率仅仅取决于该指数证券的回报率仅仅取决于该指数的变化；（的变化；（2）除此以外的因素是公司特有风）除此以外的因素是公司特有风险险残余风险残余风险 则可以建立以宏观经济指数变化为自变量，以证则可以建立以宏观经济指数变化为自变量，以证券回报率为因变量的单因子模型。券回报率为因变量的单因子模型。例如，例如，GDP的预期增长率是影响证券回报率的的预期增长率是影响证券回报率的主要因素主要因素。5金融经济学金融经济学 例例1：设证券回报仅仅与市场因子回报有关：设证券回报仅仅与市场因子回报有关其中其中 =在给定的时间在给定的时间t，证券，证券i 的回报率的回报
5、率 =在同一时间区间，市场因子在同一时间区间，市场因子m的相对数的相对数 =截距项截距项 =证券证券i对因素对因素m的敏感度的敏感度 =随机误差项，随机误差项，itiim mtitrab reitrmtriaimbite0,cov(,)0,cov(,)0ititmtitjtE er6金融经济学金融经济学因子模型回归因子模型回归年份年份IGDPt（%）股票股票A收益率（收益率（%）15.7 14.326.4 19.23 8.923.44 8.015.65 5.1 9.26 2.913.07金融经济学金融经济学 4%trtGDPI613.0%r 63.2%e 62.9%GDPI8金融经济学金融经济
6、学APT的局限：决定资产的价格可能存在多种因素，模型本身不能确定这些因素是什么和因素的数量，实践中因素的选择常常具有经验性和随意性。1：假设n种资产其收益率m个因子决定（mn），即APT模型可以得到与CAPM类似的期望回报-b直线关系，但并不要求组合一定是市场组合，可以是任何风险分散良好的组合不存在对套利的限制以及套利成本小于套利收益。CAPM是建立在一系列假设之上的非常理想化的模型，这些假设包括Harry Markowitz建立均值-方差模型时所作的假设。每个人都会利用套利机会：在不增加风险的前提下提高回报率。不要求“同质期望”假设，并不要求人人一致行动。签订一份协议（远期利率协议），该协议
7、规定该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借入资金1051万元（等于1000e0.APT与CAPM的比较对于证券i和j，其协方差为在两因子模型下，对于证券i，其回报率的均值在CAPM中，市场组合居于不可或缺的地位（若无此，则其理论瓦解），但APT即使在没有市场组合条件下仍成立。理解：必须落在Rm+1空间中，才能必然成立APT模型可以得到与CAPM类似的期望回报-b直线关系，但并不要求组合一定是市场组合，可以是任何风险分散良好的组合单因子模型具有两个重要的性质在两因子模型下，我们有（2）除此以外的因素是公司特有风险残余风险通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的一般形式：对时间t 的任何证券
8、i 有时间序列 图中，横轴表示图中，横轴表示GDP的增长率，纵轴表示的增长率，纵轴表示股票股票A的回报率。图上的每一点表示：在的回报率。图上的每一点表示：在给定的年份，股票给定的年份，股票A的回报率与的回报率与GDP增长增长率。率。通过线性回归，我们得到一条符合这些点通过线性回归，我们得到一条符合这些点的直线为（极大似然估计）的直线为（极大似然估计）4%2tGDP ttrIe9金融经济学金融经济学从这个例子可以看出，从这个例子可以看出，A在任何一期的在任何一期的回报率包含了三种成份：回报率包含了三种成份：1.在任何一期都相同的部分在任何一期都相同的部分a2.依赖于依赖于GDP的预期增长率，每一
9、期都不相的预期增长率，每一期都不相同的部分同的部分bIGDPt3.属于特定一期的特殊部分属于特定一期的特殊部分et。10金融经济学金融经济学 通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的一般形式：对时间一般形式：对时间t 的任何证券的任何证券i 有时间序列有时间序列 其中：其中：ft是是t时期公共因子的预测值；时期公共因子的预测值；rit在时期在时期t证券证券i的回报；的回报；eit在时期在时期t证券证券i的特有回报的特有回报ai零因子零因子bi证券证券i对公共因子对公共因子f的敏感度的敏感度(sensitivity),或因或因子载荷（子载荷（facto
10、r loading）itiititrab fe（8.1）11金融经济学金融经济学 为简单计，只考虑在某个特定的时间的因为简单计，只考虑在某个特定的时间的因子模型，从而省掉角标子模型，从而省掉角标t，从而（，从而（8.1）式变）式变为为并且假设并且假设(1)cov(,)0ie f(2)cov(,)0ije e0iE eiiiirab fe（8.2）12金融经济学金融经济学 假设假设(1)：因子：因子f具体取什么值对随机项没有具体取什么值对随机项没有影响，即因子影响，即因子f与随机项是独立的，这样保与随机项是独立的，这样保证了因子证了因子f是回报率的唯一因素。是回报率的唯一因素。若不独立，结果是什
11、么？若不独立，结果是什么？假设假设(2)：一种证券的随机项对其余任何证：一种证券的随机项对其余任何证券的随机项没有影响，换言之，两种证券券的随机项没有影响，换言之，两种证券之所以相关，是由于它们具有共同因子之所以相关，是由于它们具有共同因子f所所致。致。如果上述假设不成立，则单因子模型不准如果上述假设不成立，则单因子模型不准确，应该考虑增加因子或者其他措施。确，应该考虑增加因子或者其他措施。13金融经济学金融经济学对于证券对于证券i，由（由（8.2）其回报率的均值（期望值）为）其回报率的均值（期望值）为 其回报率的方差其回报率的方差2222iifeib因子风险因子风险非因子风险非因子风险对于证
12、券对于证券i和和j而言，它们之间的协方差为而言，它们之间的协方差为2cov(,)cov(,)ijijiiijjjijfr rab fe ab febbiiirab f（8.3）14金融经济学金融经济学单因子模型的优点单因子模型的优点 单因子模型能够大大简化我们在均值单因子模型能够大大简化我们在均值-方差方差分析中的估计量和计算量。假定分析人员需分析中的估计量和计算量。假定分析人员需要分析要分析n种股票，则种股票，则均值方差模型：均值方差模型：n个期望收益，个期望收益，n个方差，个方差，(n2-n)/2个协方差个协方差单因子模型：单因子模型：n个期望收益，个期望收益，n个个bi，n个残差个残差
13、，一个因子，一个因子f方差方差 ，共，共3n1个估计值。个估计值。若若n50，前者为，前者为1325，后者为，后者为151。2ei2f15金融经济学金融经济学无风险：在因子模型条件下，因子波动导致风险，因此，无风险就是套利组合对任何因子的敏感度为0。通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的一般形式：对时间t 的任何证券i 有时间序列=截距项2 构建套利组合（Arbitrage portfolio）资产的回报可以用因子表示CAPM是建立在一系列假设之上的非常理想化的模型，这些假设包括Harry Markowitz建立均值-方差模型时所作的假设。除CAPM理论外，另一种重要的定价理论是由Step
14、hen Ross在1976年建立的套利定价理论（Arbitrage pricing theory，APT），从另一个角度探讨了资产的定价问题。（2）除此以外的因素是公司特有风险残余风险使用套利定价理论确定该股票的均衡收益率。套利定价理论中的套利是无风险套利。图中，横轴表示GDP的增长率，纵轴表示股票A的回报率。按12%的利率贷出一笔1年期的款项金额为1000万元。假定分析人员需要分析n种股票，则3 套利定价理论（APT）有关资产组合有效边界的估计和计算量大大减少（但比单因子增加），若要计算均方有效边界，需要4 APT与CAPM的比较这其中最关键的假设是同质性假设。投资者在特定市场同时进行买入、
15、卖出交易的行为。由于因子模型的引入，使得估计Markowitz有效集的艰巨而烦琐的任务得到大大的简化。APT假设证券回报可以用预期到的回报和未预期到的回报两个部分来解释，构成了一个特殊的因子模型单因子模型具有两个重要的性质单因子模型具有两个重要的性质风险的分散化风险的分散化分散化导致因子风险的平均化分散化导致因子风险的平均化分散化缩小非因子风险分散化缩小非因子风险21222limlim()limnpiiiinnipfepnDw ab feb22211nnpiiepieiiibwbw其中，16金融经济学金融经济学假设残差有界，即假设残差有界，即22eis 且组合且组合p高度分散化，即高度分散化，
16、即wi充分小，则对于充分小，则对于资产资产i成立成立/iwn则有则有222222111nepissnn从而从而222222limlimppfeppfnnbb17金融经济学金融经济学 单因素模型的简化是有成本的，它仅仅将单因素模型的简化是有成本的，它仅仅将资产的不确定性简单地认为与仅仅与一个资产的不确定性简单地认为与仅仅与一个因子相关，这些因子如利率变化，因子相关，这些因子如利率变化，GDP增增长率等。长率等。例子：公用事业公司与航空公司，前者对例子：公用事业公司与航空公司，前者对GDP不敏感，后者对利率不敏感。不敏感，后者对利率不敏感。单因素模型难以把握公司对不同的宏观经单因素模型难以把握公司
17、对不同的宏观经济因素的反应。济因素的反应。8.2.2 多因子模型多因子模型18金融经济学金融经济学两因子模型两因子模型 若只考虑一期的模型，则可以省略表示时若只考虑一期的模型，则可以省略表示时间的下标，从而两因子模型方程为间的下标，从而两因子模型方程为1 122iiiiirab fb fe0,cov(,)0iijE eee其 中，12cov(,)0,cov(,)0iiefef19金融经济学金融经济学在两因子模型下，对于证券在两因子模型下，对于证券i，其回报率的均值，其回报率的均值 1122iiiirab fb f其回报率的方差其回报率的方差122222221212122cov(,)iififi
18、ieibbb bff对于证券对于证券i和和j，其协方差为，其协方差为1 1221 122cov(,)cov(,)ijijiiiijjjjr rab fb feab fbfe22111222122112()cov(,)ijfijfijijb bb bb bb bff证券证券i对因子对因子1的敏感度的敏感度20金融经济学金融经济学 两因子模型同样具有单因子模型的重两因子模型同样具有单因子模型的重要优点：要优点：有关资产组合有效边界的估计和计算量大有关资产组合有效边界的估计和计算量大大减少（但比单因子增加），若要计算均大减少（但比单因子增加），若要计算均方有效边界，需要方有效边界，需要n个期望收益，
19、个期望收益，n个个bi1，n个个bi2，n个残差，个残差，2个因子个因子f方差，方差，1个因子间的协方差，共个因子间的协方差，共4n3个估计值。个估计值。分散化导致因子风险的平均化。分散化导致因子风险的平均化。分散化缩小非因子风险。分散化缩小非因子风险。21金融经济学金融经济学多因子模型多因子模型对于对于n种证券相关的种证券相关的m（mn)个因子，证券个因子，证券i的的收益可以表示为收益可以表示为1miijjijrab fe0,cov(,)0cov(,)0,iijikE eefeeik1,.,;1,.,in jm其中，22金融经济学金融经济学 CAPM与与APT建立在均值建立在均值-方差分析基
20、础上的方差分析基础上的CAPM是一种是一种理论上相当完美的模型，但实际上只有理论意理论上相当完美的模型，但实际上只有理论意义，因为假设条件太多、太严格！义，因为假设条件太多、太严格！除除CAPM理论外，另一种重要的定价理论是由理论外，另一种重要的定价理论是由Stephen Ross在在1976年建立的套利定价理论（年建立的套利定价理论（Arbitrage pricing theory，APT），从另一个），从另一个角度探讨了资产的定价问题。角度探讨了资产的定价问题。市场均衡条件下的最优投资组合理论市场均衡条件下的最优投资组合理论=CAPM无套利假定下因子模型无套利假定下因子模型=APT8.3
21、套利定价理论（套利定价理论（APT）23金融经济学金融经济学 CAPM是建立在一系列假设之上的非常理是建立在一系列假设之上的非常理想化的模型，这些假设包括想化的模型，这些假设包括Harry Markowitz建立均值建立均值-方差模型时所作的假方差模型时所作的假设。这其中最关键的假设是同质性假设。设。这其中最关键的假设是同质性假设。相反，相反，APT所作的假设少得多。所作的假设少得多。APT的基的基本假设之一是：个体是非满足，而不需要本假设之一是：个体是非满足，而不需要风险规避的假设！风险规避的假设！每个人都会利用套利机会：在不增加风险的前每个人都会利用套利机会：在不增加风险的前提下提高回报率
22、。提下提高回报率。只要一个人套利，市场就会出现均衡！只要一个人套利，市场就会出现均衡！24金融经济学金融经济学 定义：套利（定义：套利（Arbitrage）是同时持有一种）是同时持有一种或者多种资产的多头或空头，从而存在不或者多种资产的多头或空头，从而存在不承担风险的情况下锁定一个高于无风险利承担风险的情况下锁定一个高于无风险利率的收益。率的收益。不花钱就能挣到钱，即免费的午餐！不花钱就能挣到钱，即免费的午餐！两种套利方法：两种套利方法：当前时刻净支出为当前时刻净支出为0，将来获得正收益（收益，将来获得正收益（收益净现值为正）净现值为正）当前时刻一系列能带来正收益的投资，将来的当前时刻一系列能
23、带来正收益的投资，将来的净支出为零（支出的净现值为净支出为零（支出的净现值为0）。）。25金融经济学金融经济学1.特征：特征：（1）买入、卖出同时完成；）买入、卖出同时完成；（2）交易者不承担任何风险；）交易者不承担任何风险；（3）不需要投资但有正的收益，或者交易利润率大）不需要投资但有正的收益，或者交易利润率大于无风险利率。于无风险利率。2.风险套利：实践中的套利行为风险套利：实践中的套利行为 投资者在特定市场同时进行买入、卖出交易的行为投资者在特定市场同时进行买入、卖出交易的行为。先寻找具有不同价格的商品交易机会，当价差大。先寻找具有不同价格的商品交易机会，当价差大到足以补偿交易成本以及所
24、承担的可能风险时，套到足以补偿交易成本以及所承担的可能风险时，套利者会迅速两边下单，完成交易。利者会迅速两边下单，完成交易。套利与投机交易的区别套利与投机交易的区别 盈利的理念不同。盈利的理念不同。操作的方式不同。操作的方式不同。套利的风险较小。套利的风险较小。套利的成本较低。套利的成本较低。假设现在假设现在6个月即期年利率为个月即期年利率为10%（连续复（连续复利，下同），利，下同），1年期的即期利率是年期的即期利率是12%。如。如果有人把今后果有人把今后6个月到个月到1年期的远期利率定年期的远期利率定为为11%，则有套利机会。，则有套利机会。套利过程是：套利过程是：交易者按交易者按10%的
25、利率借入一笔的利率借入一笔6个月资金（假个月资金（假设设1000万元）万元）1.签订一份协议（远期利率协议），该协议规定签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按该交易者可以按11%的价格的价格6个月后从市场借个月后从市场借入资金入资金1051万元（等于万元（等于1000e0.100.5）。）。28金融经济学金融经济学利用两种不同的，但相互关联的品种的合约价格差异进行套利，即买入某一交割月份某种品种的合约，同时卖出另一相同交割月份、相互关联的品种的合约，以期在有利时机同时将两种合约对冲平仓获利。也就是，如果CAPM成立，则必然要求上述条件成立，它构成了对APT中 的约束。假设现在6
26、个月即期年利率为10%（连续复利，下同），1年期的即期利率是12%。投资者为获利必定尽可能地购入证券h，从而使其价格上升，预期收益率下降，最终到达APT定价线。证券i对因子1的敏感度若给定等投资额的证券h多头和证券l空头，则形成套利组合。121），并用1110万元（等于1051e0.在同一市场（主要是指同一交易所）上同时买入、卖出标的相同、不同交割月份的期货合约，以期在有利时机同时将两个交割月份不同的合约对冲平仓获利。CAPM与APT的区别如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为11%，则有套利机会。5 APT对资产组合的指导意义交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假设1000万元）使用
27、套利定价理论确定该股票的均衡收益率。理解：必须落在Rm+1空间中，才能必然成立4 APT的另一种表达某种期货合约，当期货市场与现货市场在价格上出现差距，交易者就会利用两个市场低买高卖，从而缩小现货市场与期货市场间的价差。3 套利定价理论（APT）因子模型还给我们提供关于证券回报率生成过程的一种新视点APT承认有多种因素影响证券价格，从而扩大了资产定价的思考范围（CAPM认为资产定价仅有一个因素），也为识别证券风险的来源提供了分析工具。因子模型是APT的基础，其目的是找出这些因素并确认证券收益率对这些因素变动的敏感度。图中，横轴表示GDP的增长率，纵轴表示股票A的回报率。按按12%的利率贷出一笔
28、的利率贷出一笔1年期的款项金年期的款项金额为额为1000万元。万元。1年后收回年后收回1年期贷款，得本息年期贷款，得本息1127万元万元（等于（等于1000e0.121），并用），并用1110万元（万元（等于等于1051e0.110.5）偿还）偿还1年期的债务后年期的债务后，交易者净赚，交易者净赚17万元（万元（1127万元万元-1110万元）。万元）。29金融经济学金融经济学套利交易的基本方式套利交易的基本方式（一）跨品种交易（一）跨品种交易 利用两种不同的，但相互关联的品种的合利用两种不同的，但相互关联的品种的合约价格差异进行套利，即买入某一交割月约价格差异进行套利，即买入某一交割月份某种
29、品种的合约，同时卖出另一相同交份某种品种的合约，同时卖出另一相同交割月份、相互关联的品种的合约，以期在割月份、相互关联的品种的合约，以期在有利时机同时将两种合约对冲平仓获利。有利时机同时将两种合约对冲平仓获利。在商品期货市场，分成两种情况：一是相在商品期货市场，分成两种情况：一是相关商品之间的套利；二是原料与成品之间关商品之间的套利；二是原料与成品之间的套利。的套利。（二）跨市场套利（二）跨市场套利 在某个交易所买入（或卖出）某一交割月在某个交易所买入（或卖出）某一交割月份的某种商品合约的同时，在另一个交易份的某种商品合约的同时，在另一个交易所卖出（或买入）同一交割月份的同种商所卖出（或买入）
30、同一交割月份的同种商品合约，以期在有利时机分别在两个交易品合约，以期在有利时机分别在两个交易所对冲在手的期货合约，以期在有利时机所对冲在手的期货合约，以期在有利时机分别在两个交易所对冲在手的合约获利。分别在两个交易所对冲在手的合约获利。注意的因素：运输费用、交割品级的差异注意的因素：运输费用、交割品级的差异、交易单位与汇率波动、保证金和佣金成、交易单位与汇率波动、保证金和佣金成本。本。有什么有什么错误？错误？（三）期现套利（三）期现套利 某种期货合约，当期货市场与现货市场在某种期货合约，当期货市场与现货市场在价格上出现差距，交易者就会利用两个市价格上出现差距，交易者就会利用两个市场低买高卖，从
31、而缩小现货市场与期货市场低买高卖，从而缩小现货市场与期货市场间的价差。场间的价差。（四）跨期套利（四）跨期套利在同一市场（主要是指同一交易所）上同时买入、卖在同一市场（主要是指同一交易所）上同时买入、卖出标的相同、不同交割月份的期货合约，以期在有利时出标的相同、不同交割月份的期货合约，以期在有利时机同时将两个交割月份不同的合约对冲平仓获利。机同时将两个交割月份不同的合约对冲平仓获利。分类分类:1.牛市套利牛市套利:在正向市场上，如果攻击不足，需求相对旺在正向市场上，如果攻击不足，需求相对旺盛，则会导致近期月份合约价格的上升幅度大于远期月盛，则会导致近期月份合约价格的上升幅度大于远期月份合约，则
32、买入近期月份合约的同时，卖出远期月份合份合约，则买入近期月份合约的同时，卖出远期月份合约而进行牛市套利。约而进行牛市套利。2.熊市套利熊市套利:在正向市场上，若近期供给增加，需求减少在正向市场上，若近期供给增加，需求减少，则近期合约价格的跌幅大于远期合约的跌幅，或者近，则近期合约价格的跌幅大于远期合约的跌幅，或者近期合约的涨幅小于远期合约价格的涨幅，则卖出近期合期合约的涨幅小于远期合约价格的涨幅，则卖出近期合约的同时，买入远期合约而进行熊市套利。约的同时，买入远期合约而进行熊市套利。3.蝶式套利：利用不同交割月份的价差进行套期获利，蝶式套利：利用不同交割月份的价差进行套期获利，由两个方向相反、
33、共享居中交割月份合约的跨期套利组由两个方向相反、共享居中交割月份合约的跨期套利组成。成。f是证券i的某个因子的变化，基于有效市场理论，它是不可预测的。1和bj是该空间的一组基APT承认有多种因素影响证券价格，从而扩大了资产定价的思考范围（CAPM认为资产定价仅有一个因素），也为识别证券风险的来源提供了分析工具。套利行为将导致一个价格调整过程，最终使同一种资产的价格趋于相等，套利机会消失对于证券i和j，其协方差为即如果纯因子组合不是市场组合，APT与CAPM可能不一致。CAPM与APT的区别若市场有效，则t-1时刻的信息集预测t时刻的价格无效，这等价于t-1时刻信息无法预测t时刻的因子，即对于因
34、子的变化没有任何倾向公平赌局（Fair game）使用套利定价理论确定该股票的均衡收益率。交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假设1000万元）从有效市场的理论来看，价格（回报）的不可预测，本质上是信息的不可预测，也就是因子的变化不可预测，这些信息既有宏观的、也有微观的。单因子模型能够大大简化我们在均值-方差分析中的估计量和计算量。rit在时期t证券i的回报；若不存在套利机会，则该套利组合的收益为0假设现在6个月即期年利率为10%（连续复利，下同），1年期的即期利率是12%。若给定等投资额的证券h多头和证券l空头，则形成套利组合。建立在均值-方差分析基础上的CAPM是一种理论上相当完美的模
35、型，但实际上只有理论意义，因为假设条件太多、太严格！使用套利定价理论确定该股票的均衡收益率。（五）无风险套利（五）无风险套利 套利定价理论中的套利是无风险套利。它套利定价理论中的套利是无风险套利。它的特点是完全没有风险。的特点是完全没有风险。套利交易发生的条件套利交易发生的条件 资产定价出现偏差资产定价出现偏差 1.相同的资产的不同市场上价格不同相同的资产的不同市场上价格不同 2.相同现金流的资产价格不同相同现金流的资产价格不同 3.用未来价格确定的资产用未来价格确定的资产 不存在对套利的限制以及套利成本小于套不存在对套利的限制以及套利成本小于套利收益。利收益。无套利原则（无套利原则（Non-
36、arbitrage principle)：根：根据一价定律（据一价定律（the law of one price），两种），两种具有相同风险的资产（组合）不能以不同具有相同风险的资产（组合）不能以不同的期望收益率出售。的期望收益率出售。套利行为将导致一个价格调整过程，最终使同套利行为将导致一个价格调整过程，最终使同一种资产的价格趋于相等，套利机会消失一种资产的价格趋于相等，套利机会消失 APT的基本原理：由无套利原则，在因子的基本原理：由无套利原则，在因子模型下，具有相同因子敏感性的资产（组模型下，具有相同因子敏感性的资产（组合）应提供相同的期望收益率。合）应提供相同的期望收益率。APT与与C
37、APM的比较的比较 APT对资产的评价不是基于马克维茨模型，对资产的评价不是基于马克维茨模型，而是基于无套利原则和因子模型。而是基于无套利原则和因子模型。不要求不要求“同质期望同质期望”假设，并不要求人人一致假设，并不要求人人一致行动。只需要少数投资者的套利活动就能消除行动。只需要少数投资者的套利活动就能消除套利机会。套利机会。不要求投资者是风险规避的！不要求投资者是风险规避的！46金融经济学金融经济学8.3.1 APT的基本假设的基本假设市场是有效的、充分竞争的、无摩擦的市场是有效的、充分竞争的、无摩擦的（Perfectly competitive and frictionless capi
38、tal markets）；）；投资者是不知足的：只要有套利机会就投资者是不知足的：只要有套利机会就会不断套利，直到无利可图为止。会不断套利，直到无利可图为止。因此，不必对投资者风险偏好作假设？因此，不必对投资者风险偏好作假设？资产的回报可以用因子表示资产的回报可以用因子表示47金融经济学金融经济学 APT假设证券回报可以用预期到的回报和假设证券回报可以用预期到的回报和未预期到的回报两个部分来解释，构成了未预期到的回报两个部分来解释，构成了一个特殊的因子模型一个特殊的因子模型iiiirrb fe1()0ttE f未预期到的变化未预期到的变化预期的回报预期的回报f是证券是证券i的某个因子的变化，基
39、于有效市场理的某个因子的变化，基于有效市场理论，它是不可预测的。论，它是不可预测的。要依靠要依靠“旧旧”的的f来获利是不可能的！来获利是不可能的！48金融经济学金融经济学 若市场有效，则若市场有效，则t-1时刻的信息集预测时刻的信息集预测t时刻时刻的价格无效，这等价于的价格无效，这等价于t-1时刻信息无法预时刻信息无法预测测t时刻的因子，即对于因子的变化没有任时刻的因子，即对于因子的变化没有任何倾向何倾向公平赌局（公平赌局（Fair game）从有效市场的理论来看，价格（回报）的从有效市场的理论来看，价格（回报）的不可预测，本质上是信息的不可预测，也不可预测，本质上是信息的不可预测，也就是因子
40、的变化不可预测，这些信息既有就是因子的变化不可预测，这些信息既有宏观的、也有微观的。宏观的、也有微观的。1()0ttE f49金融经济学金融经济学8.3.2 构建套利组合（构建套利组合（Arbitrage portfolio）零投资：套利组合中对一种证券的购买所需要零投资：套利组合中对一种证券的购买所需要的资金可以由卖出别的证券来提供，即自融资的资金可以由卖出别的证券来提供，即自融资（Self-financing）组合。）组合。无风险：在因子模型条件下，因子波动导致风无风险：在因子模型条件下，因子波动导致风险，因此，无风险就是套利组合对任何因子的险，因此，无风险就是套利组合对任何因子的敏感度为
41、敏感度为0。正收益：套利组合的期望收益大于零。正收益：套利组合的期望收益大于零。50金融经济学金融经济学 用数学表示就是用数学表示就是111000niiniiini iiwbwwr11121()(=()=()()nni iiiiiiiniiiniiiDwrDw rb feDwb fD fwb11()0,0nni iiiiiDwrwb若要则要（8.1）（8.2）（8.3）51金融经济学金融经济学例子：构建套利组合例子：构建套利组合iE(R)b股票120%4股票215%2.5股票310%3金融经济学金融经济学 条件：条件：例子：例子：123123112233042.530()()()0wwwwww
42、w E Rw E Rw E R1230.050.10.15www 金融经济学金融经济学8.3.3 套利定价模型套利定价模型 假设投资者构造这样的资产组合：（假设投资者构造这样的资产组合：（1）无风）无风险利率借入险利率借入1元钱；（元钱；（2）1元钱投资在两种资元钱投资在两种资产，这样构造一个自融资组合。产，这样构造一个自融资组合。00()(1)()1()()piijjijjijjrw rb fwrb fw rrrw bbbf 0ij设设无无风风险险利利率率为为，两两个个资资产产是是资资产产 和和资资产产，在在因因子子模模型型的的假假定定下下，套套利利组组合合的的收收益益为为（忽忽略略残残差差
43、）l54金融经济学金融经济学若不存在套利机会，则该套利组合的收益为若不存在套利机会，则该套利组合的收益为0jpijbwrbb 时,无风险根据条件（根据条件（2），），()0ijjw bbb当，即0()0,jpijjijbrrrrbb=001jiijrrbb01iirb55金融经济学金融经济学1miiijjjrrb f命题命题8.1：假设：假设n种资产其收益率种资产其收益率m个因子决定个因子决定（mn），即），即其中，其中，i=1,2,n，j=1,2,m，则，则01miijjjrb01,.,j 为常数严格证明严格证明56金融经济学金融经济学 证明：假设在资产证明：假设在资产i上投资上投资wi，构
44、造零投资，构造零投资且无风险的组合，即且无风险的组合，即wi满足下列条件满足下列条件10nTiiww 1112211000nTiiinTiiinTiimmiwbwbwb1w bw bw b零投资零投资无风险无风险（8.5）（8.4）即，即，1、bj（j=1,2,m)线性无关。线性无关。57金融经济学金融经济学如果市场有效，则不会有套利均衡，即零投如果市场有效，则不会有套利均衡，即零投资、无风险的组合必然是无收益的，从而只资、无风险的组合必然是无收益的，从而只要（要（8.4）和（）和（8.5）成立，则蕴含）成立，则蕴含(followed),1,.,jjmw1,wbwr这等价于，只要这等价于，只要
45、10ni iiwrTw r对于任意的对于任意的W，必然有，必然有58金融经济学金融经济学 又由于非零向量又由于非零向量1,b1,b2,bm线性无关，则线性无关，则 必定落在由必定落在由1,b1,b2,bm张成的向量空间张成的向量空间Rm+1中，也中，也就是存在一组不全为零的数就是存在一组不全为零的数 使得使得r01,.,m 01122,.,mmr1bbb证毕。证毕。理解：理解：必须落在必须落在Rm+1空间中，才能必然成立空间中，才能必然成立 rwr1和和bj是该空间的一组基是该空间的一组基59金融经济学金融经济学abCd在向量空间中，如果向量在向量空间中，如果向量a、b正交于正交于c，蕴，蕴含
46、着含着d正交与正交与c，则，则d必须落在由必须落在由a和和b张成的张成的二维空间上，二维空间上，d可以由可以由a、b线性表示！线性表示！0示意图：向量空间示意图：向量空间错误的证明错误的证明10nTiiww 1112211000nTiiinTiiinTiimmiwbwbwb1w bw bw b10ni iiwrTw r01122,.,mmr1bbbAPT的意义的意义01miijjjrb若bij0，则上式退化为无风险资产，则意味着01mfifijjjrrrb若bij0，则期望回报 随着 的增加而增大，所以 是因子 的风险价格。ijbirjif自变量自变量62金融经济学金融经济学1,1,.,ifi
47、rrb in在单因子条件下，有12112,.,ffnfnrrrrrrbbbAPT1对于所有风险资产则有由此可见，方程的斜率 实际上是因子1的风险价格。结论：当所有证券关于因子的风险价格相等时，结论：当所有证券关于因子的风险价格相等时，则证券之间不存在套利。则证券之间不存在套利。APT的意义的意义63金融经济学金融经济学01iribhrlrhlhlbb若给定等投资额的证券若给定等投资额的证券h多头和证券多头和证券l空头，则形成套空头，则形成套利组合。投资者为获利必定尽可能地购入证券利组合。投资者为获利必定尽可能地购入证券h，从从而使其价格上升，预期收益率下降，最终到达而使其价格上升，预期收益率下
48、降，最终到达APT定定价线。在均衡时，所有的证券都落在套利定价线上，价线。在均衡时，所有的证券都落在套利定价线上，只要证券偏离只要证券偏离APT定价线就会有套利机会。定价线就会有套利机会。APT定价线定价线64金融经济学金融经济学8.3.4 APT的另一种表达的另一种表达11ppfbprr在单因子模型下，考虑一个使的（资产）组合，即，则有,()mifmfirrrrr b特别地，当即纯因子组合为市场组合时有1pfrr101,()pfiiffirrrbrr b令即风险价格,则则称该组合则称该组合p为纯因子组合为纯因子组合(类似于类似于CAPM的市场组合的市场组合)65金融经济学金融经济学在两因子模
49、型下，我们有在两因子模型下，我们有1122ifiirrbb11211,0,iipbb若存在纯因子组合，使得且其期望收益为 则11ifrr11fr即即66金融经济学金融经济学2122220,1,iifpbbr同理，若存在纯因子组合，使得其期望收益为，则=从而第第1因子的风险价格因子的风险价格第第2因子的风险价格因子的风险价格1122()iffifirrr br b(22fr这样可将这样可将APT的表达式可以改写为的表达式可以改写为67金融经济学金融经济学在多因子模型下在多因子模型下01122,.,iiimimrbbb证券的期望收益率等于无风险收益率，加上证券的期望收益率等于无风险收益率，加上j个
50、因个因素的风险补偿（风险价格素的风险补偿（风险价格风险因子载荷）；风险因子载荷）；资产对风险因子的敏感度（因子载荷）越大，则其资产对风险因子的敏感度（因子载荷）越大，则其应得到的风险补偿越大。应得到的风险补偿越大。1122(),.,()ffifimfimrr br br b（j1,.,j jm其中，为因子（）的纯因子组合的期望收益68金融经济学金融经济学111()(),APTCAPMififfiifimfmiirrbrrbrrrrrb显然，若纯因子组合是市场组合即代表，则与一致。8.4 APT与与CAPM的比较的比较nAPT与与CAPM的一致性的一致性若只有一个风险因子，且纯因子组合是市场组合
