1、第九章 直齿圆柱齿轮机构(Gear Mechanism)第一节 概述 第二节 渐开线及其特性 第三节 齿轮的基本参数 第五节 渐开线齿廓传动的特性 第四节 齿廓啮合基本定律 第六节 渐开线齿轮的啮合传动 第七节 齿轮加工 第八节 根切现象及避免根切的条件 第九节 无侧隙啮合方程式 第十节 齿轮机构的几何尺寸计算 第十一节 齿轮机构的传动设计 本章内容本章内容第一节 概述用于传递空间任意两轴之间的运动和动力传动准确可靠效率高摆线圆弧渐开线突出优点齿廓曲线齿轮机构可分为下列两大类齿轮机构可分为下列两大类一、平面齿轮机构（圆柱齿轮）一、平面齿轮机构（圆柱齿轮）二、空间齿轮机构二、空间齿轮机构一、平面
2、齿轮机构一、平面齿轮机构 （圆柱齿轮）外啮合齿轮机构external meshing gears mechanism内啮合齿轮机构internal meshing gears mechanism两齿轮轴线互相平行，相对运动为平面运动齿轮齿条机构pinion and rack mechanism外啮合齿轮机构内啮合齿轮机构齿轮齿条机构由螺旋角相反、大小相等的两个斜齿圆柱齿轮拼接而成。二、空间齿轮机构二、空间齿轮机构两齿轮的轴线不平行相对运动为空间运动 两两轴相交直齿圆锥齿轮机构曲齿圆锥齿轮机构（spiral bevel geare mechanism )两轴空间交错两轴垂直交错对制造和安装的精度
3、要求高功率大齿轮机构的优点齿轮机构的缺点效率高寿命长传动比准确结构紧凑价格较其他传动型式昂贵第二节 渐开线及其特性一、渐开线的形成rbKBOA发生线(generationg line)KB基圆（base circle)rbKArbKArbKArbKArbKArbKArbKAKABOrbri渐开线在起始点A的向径渐开线在K点的向径*展角展角(evolving angle)i渐开线起始点渐开线起始点A与与K点两向径间的夹角点两向径间的夹角i*发生线KB在基圆上纯滚动时，发生线上K点的轨迹渐开线(involute)二、渐开线的特性KABOrbri*1）KB=ABAB（p12）OrbriVK12nn法
4、线*2）渐开线在任意点的法线恒切于基圆渐开线在任意点的法线恒切于基圆KAOrbrin法线瞬心iK点的曲率半径12B（p12）nOrbrii*3）渐开线离基圆越近其曲率半径越小渐开线离基圆越近其曲率半径越小 kKiABKBOrbriAiBi*4）同一基圆上的任意两条渐）同一基圆上的任意两条渐 开线上各点之间的距离相等开线上各点之间的距离相等AKABOrbKBKKAKABOrbriiKABOrbriiKABOrbriiKABOrbriiKABOrbriiKABOrbrii*5）渐开线的形状取决于基圆）渐开线的形状取决于基圆KABOrbri*6）基圆内无渐开线）基圆内无渐开线KABOrbri渐开线的
5、特性1）KB=AB2）渐开线在任意点的法线恒切于基圆3）渐开线离基圆越近其曲率半径越小 4）同一基圆上的任意两条渐开线上各点之间的距离相等6）基圆内无渐开线5）渐开线的形状取决于基圆顺口溜：顺口溜：弧长等于发生线，弧长等于发生线，基圆切线是法线，基圆切线是法线，曲线形状随基圆，曲线形状随基圆，基圆内无渐开线。基圆内无渐开线。三、渐开线方程式KABOrbriinnVKii法线FN外力*i压力角：力作用线与受力压力角：力作用线与受力点速度方向线间所夹的锐角点速度方向线间所夹的锐角KABOrbri*渐开线方程inVKii*ri=rb/cosi*i=tani-iKB=rbtaninAB=rb(i+i)
6、invi渐开线函数渐开线函数(involute function)=KABOrbri渐开线方程innVKiiri=rb/cosiinvi=i=tani-i*cosi=rb/riricos i=rb 1、单位为rad（弧度）2、基圆上的压力角为零3、任意圆半径与其上压力角余弦的乘积恒等于基圆半径 第三节 齿轮的基本参数一、各部分名称与符号由两段反向的渐开线组成b轮齿齿槽齿数zrarfrb齿顶圆addendum circle齿根圆dedendum circle分度圆(reference circle)齿宽rsep分度圆上的齿厚(tooth tickness)s齿槽宽(space width)e 和
7、齿距(pitch)pp=s+erarfrsehfha齿顶高（addendum)ha齿根高(dedendum)hfrarfrpripisiei任意圆上的齿厚si，齿槽宽ei和齿距pipi=si+ei二、基本参数rpdo圆周长：d=?令m=p/d=zm.m模数(module)（单位mm)d=zp d=z(p/)rpdorb*分度圆计算的基准圆，其上的模数和压力角为标准值规定分度圆上的压力角=200模数m为标准值m=1m=2m=1m=4m=2m=1m=1m=2m=41.模数的单位为mm2.模数愈大，尺寸也愈大 表9-2 标准模数系列（摘自GB135787）（mm）第一系列 0.1 0.12 0.15
8、 0.2 0.25 0.3 1.25 1.5 2 2.5 3 4 16 20 25 32 40 50第二系列 0.35 0.7 0.9 1.75 2.25 2.75 (6.5)7 9 (11)14 18第一系列 0.4 0.5 0.6 0.8 1 5 6 8 10 12第二系列 (3.25)3.5(3.75)4.5 5.5 22 28 36 45 注：选用模数时，应优先采用第一系列，其次是第二系列，括号内的模数尽可能不用。rarfrsehfha齿顶高(addendum)ha齿根高(dedendum)hfddhddhaaff22三、齿条齿廓为直线且相互平行nn外力F齿条运动速度V法线压力角压力角
9、廓线上各点的压力角相等，即齿条的齿形角与齿顶线平行的任一直线称为节线(pitch line)p齿距均相等：p=mpppse*e=s的节线称为分度线（也称为中线）pse中线hahfpse中线hahf*正常齿：其齿顶高系数ha*=1.0 齿根高系数hf*=ha*+c*=1.25 径向间隙系数c*=0.25*P=m;e=s=m/2;ha=mha*;hf=mhf*.四、内齿轮rarrfeshahf内齿轮rarrfehahfsrarfrsehfhae内s外s内e外内齿轮内齿轮:rf rararfrsehfhararrfehahfsddhaa2ddhff2内齿轮的齿顶圆直径内齿轮的齿根圆直径ddhddha
10、aff22第四节 齿廓啮合基本定律o1o212传动比传动比i12=1/2齿廓1齿廓2*共轭齿廓共轭齿廓满足满足预定预定传动比的一传动比的一对对齿廓齿廓o1o212齿廓1主动齿廓接触点K（K1，K2）K（K1，K2）nnttK点的法线K点的切线12o1o212K（K1，K2）nntt12F力沿法线方向传递VK1VK2K1点的速度K2点的速度o1o212K（K1，K2）nntt12保证K1、K2点相互接触的条件：VnK1=VnK2VnK1VnK2可得到：VnK1-VnK2=0VK1VK2o1o212K（K1，K2）nntt12VtK2K1=VK2K1VK1VK2VnK1VnK2o1o212K（K1
11、，K2）nntt12VK1VK2VnK1VtK2K1=VK2K1VnK2o1o212K（K1，K2）nntt12VnK1VK1VK2VtK2K1=VK2K1VnK2o1o212K（K1，K2）nntt12单位法矢nn*齿廓啮合基本方程：VK2K1 =0nVtK2K1=VK2K1o112K（K1，K2）nn1o22p点点P即瞬心即瞬心P12 1 o1 p 3 2 o2 pi12=1/2=o2 p/o1 p=Ko112nn1o22pi12=1/2=o2 p/o1 pN1N2*齿廓啮合基本定律：齿廓啮合基本定律：任一位置的传动比等于连任一位置的传动比等于连心线心线o1o2被齿廓公法线分被齿廓公法线分
12、成的两段长度的反比成的两段长度的反比*P点称为啮合节点或称节点(pitch piont)o1o212nnp12o1o212nnp12o1o212nnp两齿廓接触过程中P点位置变化则i12不为常数o1o212nnpVP2VP1齿廓在节点P啮合的特点 两齿廓接触点在节点处的速度相等其相对滑动速度为零o1o212nnp12若要求i12=常数，即无论齿廓在何处啮合，接触点的法线必交于连心线于定点P。观察P点(P1和P2)随1、2齿廓运动*i12=常数，则常数，则P为定点。为定点。o1o212nnp12o1o212nnp12o1o212nnp12o1o212nnp12o1o212nnp12*P点(P1和
13、P2)随1、2齿廓运动的轨迹分别为两个圆o1o212nnpVP1VP212r1r2*过节点作的圆称为节圆(pitch circle)（r1,r2)节圆瞬心P在两轮平面上的轨迹o1o212nnp12r1r2*i12=常数的一对齿廓的传动，相当于它们的一对节圆的纯滚动VP2VP1O2J222P11O1J1P点的轨迹为非圆封闭曲线变传动比传动:i=f()或 i=f(t)椭圆齿轮椭圆齿轮第五节 渐开线齿廓传动的特性一、渐开线齿廓满足 定传动比传动要求rb1rb2K(K1,K2)N2O1O21主动轮主动轮rb1rb2N2O1O21K(K1,K2)PN1nnrb1rb2N2O1O2K(K1,K2)PK(K
14、1,K2)O1O2nnPK(K1,K2)nnO1O2N1N2P*齿廓公法线为两基圆的内公切线nnO1O2N1N2aPN1N2O1O2n沿该方向的内共切线仅此一条，故P点为定点，即i12为常数。*渐开线齿廓的两齿轮其渐开线齿廓的两齿轮其传动比为常数传动比为常数二、渐开线齿廓传动的特点1.渐开线传动的啮合线为直线渐开线传动的啮合线为直线rb1rb2PN2O1O2N1主动轮转向rb1rb2PN2O1O2N1接触（啮合）点Krb1rb2PN2O1O2N1rb1rb2PN2O1O2N1接触（啮合）点Krb1rb2PN2O1O2N1接触（啮合）点Krb1rb2PN2O1O2N1接触（啮合）点Krb1rb2
15、PN2O1O2N1接触（啮合）点Krb1rb2PN2O1O2N1接触（啮合）点K接触（啮合）点K在固定平面上的轨迹 啮合线(line of action)rb1rb2PN2O1O2N1渐开线齿廓传动的啮合线是一条直线，即公法线N1-N2。rb1rb2PN2O1O2N1啮合线ttnnr1r2*啮合角(working pressure angle)节圆的切线与啮合点的公法线间的夹角rb1rb2PN2O1O2N1Pttnnr1r2节圆1节圆2rb1rb2N2O1O2N1nP*啮合角啮合角 为常数为常数其值等于节圆上的压力角其值等于节圆上的压力角 r1r2节圆1节圆2 rb1rb2N2O1O2N1tt
16、nPr1r2外力沿固定方向传递，运动平稳rb1rb2N2O1O2N1ttnnPrb1rb2N2O1O2N1ttnnr1r2节圆1节圆2*渐开线传动的啮合线是一条直线渐开线传动的啮合线是一条直线即两基圆的内公切线即两基圆的内公切线N1-N22.渐开线齿廓传动具有可分性渐开线齿廓传动具有可分性rb1rb2PN2O1O2N1r1r2ai12 =1/2=O2P/O1P =r2/r1i12=O2P/O1P=r2/r1=rb2/rb1rb1rb2PO1O2N1r1r2aN2rb1rb2PO1O2N1r1r2aN2O1O2aO1O2aO1O2ala中心距增大laPN2O1O2N1r1r2ala中心距增大la
17、rb1PO1O2r1r2a由于i12=rb2/rb1，故传动比不变larb2N2N1rb1rb2PN2O1O2N1r1r2ai12=O2P/O1P=r2/r1=rb2/rb1*渐开线齿廓具有中心距的可分性，即当渐开线齿廓具有中心距的可分性，即当中心距中心距a稍有变化时其传动比不变的特性稍有变化时其传动比不变的特性第六节第六节 渐开线齿轮的啮合传动渐开线齿轮的啮合传动一、渐开线直齿圆柱齿轮的啮合过程O1O221N2N1P B2从动轮顶圆 与啮合线的交点 起始啮合点O1O221N2N1PO1O221N2N1PO1O221N2N1PB2B1实际啮合线B1B2极限啮合线O1O221N2N1P二、渐开线
18、直齿圆柱齿轮的正确啮合条件O1O2任意两个渐开线齿轮放在一起能正确地传动吗？12pnAAKBKB保证正确保证正确啮啮合的要求：相邻两齿合的要求：相邻两齿同时在点同时在点K和和K 分别接触分别接触*正确啮合的表达式：pn1=pn2*pn法向齿距相邻两齿同侧齿廓的法向距离12pb2pb1pnAAKBKBrb2rb1基圆基圆齿距pb相邻两齿同侧齿廓在基圆上的弧长12pb2pb1pnAAKBKB由渐开线的特性知：由渐开线的特性知：KK=BB=pb12pb2pb1pnAAKBKB由渐开线的特性知：由渐开线的特性知：KK=BB=pbcosddbzdpbb/coscos)/(pzdpbcos*ppb12pb
19、2pb1pnAAKBKBpn=pb2=pb1p1cos1=p2cos2m1 cos1=m2 cos2由于模数和压力角均已标准化由于模数和压力角均已标准化且且 1=2=200 故故 1=2=m1=m2=m*pb=pcos 12pb2pb1pnAAKBKB*正确啮合条件：两轮的模数和压力角分别相等 1=2=；m1=m2=m三、渐开线直齿圆柱齿轮的重合度(contact ratio)O1O2PN2N121pbB2B1一对齿轮保持连续传动：前对轮齿退出啮合之前，后一对轮齿应进入前对轮齿退出啮合之前，后一对轮齿应进入啮合。啮合。1重合度的定义O1O2PN2N121基圆齿距pbB2B1法向齿距pnpn=p
20、b正好满足连续传动B1B2=pb基圆齿距（法向齿距）实际啮合线B1B2O112O2B2B1N1N2PpbB1 B2 pb，满足连续传动21pbB2B1N1N2B1B20（x 0）称为正变位；xm 0（x 0）称为负变位。刀具远离轮坯向轮坯靠近变位系数位于该位置的刀具将加工出什么样的齿轮?节线xm中线分度圆齿厚与齿槽宽不再相等ABCSeS=AB e=BC节线xm中线ABCxmABC节线中线sem/2xmtanS=AB=m/2+2xmtan;e=BC=m/2-2xmtan.m保证标准顶隙，应将顶高降低mha=m(h*a+x-)c*mda=d+2ha 为齿顶高降低系数x0正变位齿轮齿廓标准齿轮齿廓与
21、标准齿轮比较：1.均为相同的渐开线，仅采用区段不同；x0正变位齿轮齿廓2.正变位齿轮：da、df、ha,、s及根部齿厚,sa、hf;x0 *x0,a a 说明两齿轮的分度圆分离说明两齿轮的分度圆分离inv=2tan(x1+x2)/(z1+z2)+inv a=acos/cos N1PN2O1O2rb1rb2 r2r1 apr2r1 x=x1+x2=0 x=x1+x2 0N1PN2PO1O2rb1rb2 r2r1 a apN1PN2PO1O2rb1rb2 r2r1 apr2r1 x=x1+x2=0r1r2 a=a-a x=x1+x2=0N1PN2PO1O2rb1rb2 r2r1 apr2r1 x=
22、x1+x2 0N1PN2PO1O2rb1rb2 r2r1 pr2r1 x=x1+x2=0N1PN2PO1O2rb1rb2 r2r1 apr2r1 x=x1+x2 0 a=a-a0a 0 或 x1+x2 0即顶高应降低m二、齿轮传动的几何尺寸计算二、齿轮传动的几何尺寸计算齿轮传动的几何尺寸计算齿轮传动的几何尺寸计算 1)计算分度圆、基圆直径计算分度圆、基圆直径2)计算标准中心距计算标准中心距3)计算实际中心距计算实际中心距先算先算，再按再按 计算计算a coscosinvtan)(2inv2121aazzxx计算步骤计算步骤 yaamxxy 124）先算先算y,然后计算其他尺寸然后计算其他尺寸5
23、）计算齿高）计算齿高ha=(h*a+x-)mhf=(h*a+c*-x)m6）计算齿轮的直径）计算齿轮的直径 da=d+2ha df=d-2hf d=dcos/cos 7）齿轮的齿厚与齿距）齿轮的齿厚与齿距 s=m/2+2xm tan e=m/2-2xm tan p=m=s+e si=s(ri/r)-2ri(invi-inv)(2cosarccos)(2cos2arccosarccos*a*aabaxhzzmxhmzmzrr8）各圆上的压力角）各圆上的压力角ibi/cosrr当当 x1=x2=0 时，时，得标准齿轮传动的计算公式得标准齿轮传动的计算公式 a9)验算重合度及小齿轮齿顶厚验算重合度及
24、小齿轮齿顶厚Sa0.4 m第十一节第十一节 齿轮机构的传动设计齿轮机构的传动设计一、齿轮机构的传动类型一、齿轮机构的传动类型标准齿轮标准齿轮顶顶高为标准值高为标准值零变位非标准齿轮顶高不是标准值正变位齿轮正变位齿轮（x0）负变位齿轮负变位齿轮（x0*负传动负传动x ,a ay 0,正角变位齿轮传动 ,a ay 两齿轮分度圆相交两齿轮分度圆相交两齿轮分度圆分离两齿轮分度圆分离负角变位齿轮传动invinv2121212()tancos/cos()/xxzzaayaamxxy二、选择齿轮传动类型的二、选择齿轮传动类型的齿数条件齿数条件*z1 zmin,z2 zmin 使大、小两齿轮均不根切的齿数条件
25、是:标准齿轮传动标准齿轮传动其它传动类型其它传动类型min212*zzzxxhzzzz12122a*minmin()两齿轮均不发生根切的条件*等变位齿轮传动等变位齿轮传动 x1+x2=0min212*zzz*负传动负传动x 0 可正可负xxhzzzz12122a*minmin()min212*zzz*负传动负传动x 0 min212*zzz*等变位齿轮传动等变位齿轮传动 x1+x2=0*z1 zmin标准齿轮传动标准齿轮传动选择齿轮传动类型的齿数条件选择齿轮传动类型的齿数条件三、各类齿轮传动的优缺点三、各类齿轮传动的优缺点2）z1 zmin,结构尺寸较大1）最大优点是具有互换性3）只能于a=a
26、 的场合标准齿轮传标准齿轮传OO4）小齿轮的齿根厚度和齿顶厚度小，强度低，易磨“尖”。等变位齿轮传动等变位齿轮传动 正传动正传动 负传动负传动 成对设计，不具互换性结构尺寸结构尺寸 与标准齿轮传与标准齿轮传动比较动比较强度强度 接近等强度接近等强度 可等强度可等强度 强度强度 重合度重合度 使用场合使用场合较小结构；较小结构；修复标准齿修复标准齿轮传动的大轮传动的大齿轮齿轮较小结构较小结构较好性能较好性能a a的情况的情况优选*一般应采用正传动 正传动的优点较多缺点较多*凑配中心距才采用负传动四、基本参数的取值条件1要求足够大的齿顶厚(略)2保证齿廓为渐开线(略)3不产生过渡曲线干涉(略)4
27、基本参数选择基本参数选择标准齿轮标准齿轮:z1 zmin非标准齿轮非标准齿轮:z,sa,sf 一般 z1=17-24齿数1)提高小齿轮的性能，使大、小齿轮的性能趋近，故一般希望 x1x22）对齿数多的负变位齿轮，为保证齿高部分的齿廓为渐开线，按下式确定x的范围。3)防止根切:xhcza*(cos)/121）选定传动类型2）选定两轮的变位系数3）计算两轮的几何尺寸4）验算重合度和小齿轮的齿顶厚度一般程序如下五、齿轮传动设计步骤两种不同传动类型的齿轮传动设计inv =2tan(x1+x2)/(z1+z2)+inv a=a：标准或等变位齿轮传动aa：正传动a|x2|1已知已知Z1、Z2、m、a 及及
28、ha*满足无侧隙啮合2)由啮合角变位系数之和 amzzmzi22112112()cos/cos()cos/cos得zami11221()cos/cos令 zami101221()若若Z10为整数为整数若若Z10不为整数不为整数z1z2=i12z1,圆整为整数圆整为整数传动比与已知值传动比与已知值有一定误差有一定误差2已知已知m、ha*、a 及两轮的传动比及两轮的传动比 i12（1）计算两轮的齿数标准齿轮传动及等变位齿轮传动标准齿轮传动及等变位齿轮传动取小于取小于Z 1的整数的整数得到正传动得到正传动例例9-1已知m=3.5mm,=20,h*a=1.0,a=250mm,i12=4.5。试设计该对
29、齿轮。zami101221225035 14525974().(.).m=3.5mm,=20,h*a=1.0,a=250mm,i12=4.5 arccoscosarccos.cos.aa241520250248047xxzz1212225 1132480472022027179()()tan()(.)tan.invinvinvinvyaamxxy()/(.)/.2502415352428627179242860289312dmzdmzddddsmx msmx m112211221122352587535 113395582223137164842235 22143520906472288555
30、.cos.cos./tan./.tan./tan.mmmmmmmmmmmmmmmmbbhm hxhm hxhm hcxhm hcxaaaafafammmmmmmmmmmm1122112235 1 14028937387535 1 13179028937100135 1025 140525035().(.).().(.).().(.).().*(.).1025 1317902377 mmmmddhddhddhddhaaaaffffmmmmmmmm11122211122221022750240970022885523959754.aaa1111222520252 1 1402893364918113201132 1 1317902893248893arccoscos()arccoscos(.).arccoscos(.).*zzhxss dddsmaaaaainvinvinvinvmm111111190647102275 875 10227536491820160190457704/()./.(.)./.121225364918248047113248893248047113711122(tantan)(tantan)(tan.tan.)(tan.tan.).zzaa作业9-4，9-5，9-9，9-14，9-17,9-19,9-22,9-26。
