1、2.1行列式的定义行列式的定义 一、排列及逆序一、排列及逆序 阶行列式的定义阶行列式的定义二、二、n 三、小结、思考题三、小结、思考题 一、排列及其逆序数 同的排法？同的排法？ ，共有几种不，共有几种不个不同的元素排成一列个不同的元素排成一列把把 n问题问题 定义定义 个不同的元素的所有排列的种数，通常个不同的元素的所有排列的种数，通常 用用 表示表示. n n P nP n )1( n)2( n123 !.n 由由 组成的一个有序数列称为一个组成的一个有序数列称为一个 n, 2, 1 n 级排列。级排列。 在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 则称这两个数组成一个逆序则称这两个数组成一个逆
2、序. nst iiiii 21 st ii 例如例如 排列排列32514 中，中， 定义定义 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个个 不同的自然数，规定由小到大的排列为不同的自然数，规定由小到大的排列为自然顺序自然顺序. 排列的逆序数排列的逆序数 3 2 5 1 4 逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 定义定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数逆序数. 分别计算出排列中每个元素前面比它大的分别计算出排列中每个元素前面比它大的 数字个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数字个数之和，即算出排列中每个元素的逆序
3、 数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列 的逆序数的逆序数. 方法方法 计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法 . 记作记作 例例1 1 求排列求排列32514的逆序数的逆序数. 解解 在排列在排列32514中中, 3排在首位排在首位,逆序数为逆序数为0; 2的前面比的前面比2大的数只有一个大的数只有一个3,故逆序数为故逆序数为1; 3 2 5 1 4 01031 5的前面没有比的前面没有比5大的数大的数,其逆序数为其逆序数为0; 1的前面比的前面比1大的数有大的数有3个个,故逆序数为故逆序数为3; 4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个,故逆序
4、数为故逆序数为1; 逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列; 逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列. 排列的奇偶性排列的奇偶性 于是排列于是排列32514的逆序数为的逆序数为 13010)32514( . 5 例如例如 排列排列 32514 就是个奇排列。就是个奇排列。 例例2 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性偶性. 2179863541 解解 453689712 544310010 18 此排列为此排列为偶排列偶排列. 54 0100134 321212 nnn 解解 12 , 2 1 nn 当当 时为偶
5、排列；时为偶排列； 14 ,4 kkn 当当 时为奇排列时为奇排列. 34 , 24 kkn 1 n 2 n 32121 nnn 1 n 2 n 二、n阶行列式的定义 定义定义 阶方阵阶方阵对任意对任意n, 21 22221 11211 nnnn n n aaa aaa aaa A 用记号用记号 nnnn n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 相联系相联系表示一个与矩阵表示一个与矩阵A ,的数或表达式的数或表达式)det(AAA或记为或记为的行列式的行列式为为常称常称 n njjj aaa 21 21 个元素个元素不同列的不同列的行行的值等于所有取自不同的值等于所有
6、取自不同nA 的乘积项的乘积项 n jjj 21 n, 2, 1 这里这里的代数和的代数和,是是,的一个排列的一个排列 项求和，项求和，故共有故共有 !n符号：符号：每一项按下列规则带有每一项按下列规则带有 当当 为偶排列时，带有正号；为偶排列时，带有正号； n jjj 21 当当 n jjj 21 为奇排列时，带有负号。为奇排列时，带有负号。 这一定义可以写成这一定义可以写成 级排列求和。级排列求和。表示对所有表示对所有其中其中n n jjj 21 n n jjj jjj nnnn n n aaa aaa aaa A 21 21 )( 21 22221 11211 )1( n njjj aa
7、a 21 21 . 1111 aa 规定一阶行列式规定一阶行列式 说明说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相等的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相等的一次方程组的需要而 定义的定义的;它是一个与方阵相关的数或表达式。它是一个与方阵相关的数或表达式。 2、 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和; n!n 3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列列 个元素的乘积个元素的乘积; n n 4、 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆; aa 5、 的符号为
8、的符号为 n njjj aaa 21 21 .1 )( 21n jjj 例例1 1 计算对角行列式计算对角行列式 0004 0030 0200 1000 分析分析 展开式中乘积项的一般形式是展开式中乘积项的一般形式是 4321 4321jjjj aaaa 4 1 j若若, 0 1 1 j a则则从而这个项为零，从而这个项为零， 所以所以 只能等于只能等于 , 1 j 4同理可得同理可得 1, 2, 3 432 jjj 解解 0004 0030 0200 1000 43211 4321 .24 即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为 .aaaa 41322314 例例2 2 计算计算上三角
9、行列式上三角行列式 nn n n a aa aaa 00 0 222 11211 分析分析 展开式中乘积项的一般形式是展开式中乘积项的一般形式是 . 21 21 n nppp aaa 时，该行元素才时，该行元素才npn , 1 1 npn, 1, 2, 12 pp 即不为零的项只有即不为零的项只有 . 2211nn aaa nn n n a aa aaa 00 0 222 11211 nn n aaa 2211 12 1 . 2211nn aaa 解解 行元素，只有行元素，只有观察第观察第n 不为零，同理不为零，同理 例例 3 ? 8000 6500 1240 4321 D 44332211
10、8000 6500 1240 4321 aaaaD .1608541 同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式 nnnnn aaaa aa a 321 2221 11 00 000 . 2211nn aaa n 2 1 )2( .1 21 2 1 n nn ; 21n n 2 1 )1( 例例4 4 证明证明对角行列式对角行列式 n 2 1 11, 21 211 1 nnn nn aaa .1 21 2 1 n nn 证明证明 第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式. 若记若记 , 1, inii a 则依行列式定义则依行列式定义 1 1,2 1 n n n a a a 证毕证
11、毕 有对所有三类初等矩阵， 1; ijij RC );0()()( ii CR . 1)()( kCkR jiij 4 、行列式是一个特定的算式，它是根据求解行列式是一个特定的算式，它是根据求解 方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需 要而定义的要而定义的. 它是一个与方阵相关的数或表达式。它是一个与方阵相关的数或表达式。 5、 阶行列式共有阶行列式共有 项，每项都是位于不同项，每项都是位于不同 行、不同列行、不同列 的的 个元素的乘积个元素的乘积,正负号由下标排正负号由下标排 列的逆序数决定列的逆序数决定. n n !n 三、小结 2 2 、 排列具
12、有奇偶性排列具有奇偶性. 3、 掌握计算排列逆序数的常用方法掌握计算排列逆序数的常用方法. 1 1、 个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种数为 n!.n 思考题思考题 已知已知 1211 123 111 211 x x x x xf . 3 的系数的系数求求 x 解解 含含 的项有两项的项有两项,即即 3 x 1211 123 111 211 x x x x xf 对应的两项和是对应的两项和是 43342211 1243 1aaaa 44332211 )1234( 1aaaa ,1 3 44332211 )1234( xaaaa 3 43342211 1243 21xaaaa . 1 3 的系数为的系数为知知 x 由由
