1、2.3 n2.3 n级行列式级行列式第二章第二章 行列式行列式问题：如何定义n级行列式？、二级与三级行列式的构造、二级与三级行列式的构造1 2121 21112112212211221221j jjjj jaaa aa aa aaa特点：（1）二级行列式是一个含有2!项的代数和；（2）每一项都是两个元素的乘积，这两个元素既位于不同的行，又位于不同的列，并且展开式恰好是由所有这些可能的乘积组成；（3）任意项中每个元素都带有两个下标，第一个下标表示元素所在行的位置，第二个下标表示该元素所在列的位置。当把第二章第二章 行列式行列式每一项乘积的元素按行指标排成自然顺序后，每一项乘积的符号由这一项元素的
2、列指标所成的排列的奇偶性决定，奇排列取负号，偶排列取正号。对三级行列式也有相同的特点1 2 31231 2 31112132122233132331122331223311321 321322311221 331123321231j j jjjjj j jaaaaaaaaaa a aa a aa a aa a aa a aa a aa aa第二章第二章 行列式行列式特点：（1）共有3！项的代数和；（2）每一项是三个元素的乘积，这三个元素既位于不同的行又位于不同的列，展开式恰由所有这些可能的乘积组成；（3）当把每一项乘积的元素按行下标排成自然顺序后，每一项的符号由这一项元素的列指标所成的排列的奇
3、偶性决定。二、二、n级行列式的定义级行列式的定义1、111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa为一个n级行列式，它等于所有第二章第二章 行列式行列式取自不同行不同列的n个元素乘积1212njjnja aa的代数和，这里12,njjj是 1,2,n的一个排列。每一项 1212njjnja aa中把行下标按自然顺序排列后，其符号由列下标排列12nj jj的奇偶性决定。当12nj jj偶排列时取正号，当是12nj jj是奇排列时取负号，即 1 2121 2121nnnj jjjjnjj jjDa aa根据定义可知：ln级行列式共由级行列式共由n!项组成；项组成；l要计算要计算n级行列式
4、，首先作出所有可能的位于级行列式，首先作出所有可能的位于不同行不同列元素构成的乘积；不同行不同列元素构成的乘积；l把构成这些乘积的元素的行下标排成自然顺把构成这些乘积的元素的行下标排成自然顺第二章第二章 行列式行列式 序，其符号由列下标所成排列的奇偶性决定；序，其符号由列下标所成排列的奇偶性决定；ln级行列式的定义是二、三级行列式的推广。级行列式的定义是二、三级行列式的推广。2、例子例1：计算行列式0001002003004000D 432114233241124a a a a 第二章第二章 行列式行列式例2：计算行列式00000000abcdDefgh1 2 3 412341 2 3 412
5、341j j j jjjjjj j j ja aaadegacfhadehbbcfg例3：用行列式定义计算112122112000nnnnaaaDaaa1122nna aa第二章第二章 行列式行列式111212222000nnnnaaaaaDa1122nna aa例4：设111213142122232413132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa问：132142,a a a12243241,a a a a14213243,a a a a23124134,a a a a是不是四级行列式1D的项？如果是，应取何符号？14213243,a a a a是，取符号：-123124
6、134,a a a a是，取符号：-1第二章第二章 行列式行列式例5：设2abcdghpqDstuvwxyz问：（1）dhsy与ptaz是否为2D的项？应取何符号？（2）2D含有t的项有多少？（6项）注：在一个行列式中，通常所写的元素本身不一定有下标，即使有下标，其下标也不一定与这个元素本身所在的行与列的位置完全一致。因此要确定一项的符号，必须按因此要确定一项的符号，必须按照各元素在行列式中实际所在的行与列的序数计算照各元素在行列式中实际所在的行与列的序数计算。在一般情况下，把n级行列式中第i行与第j列交叉位置上的元素记为ija在行列式D中，从左上角到右下角这条对角线称为主对角线第二章第二章
7、行列式行列式定理定理2.3.1 在n级行列式D中，项1 12 2n ni ji ji jaaa所带的符号是1 21 21nni iij jj证明：1、交换项1 1s st tn ni ji ji ji jaaaa(1)中任两个元素s si ja与 t ti ja的位置，不改变11()()stnstniiiijjjj 把（1）中s si ja与 t ti ja对换后得1 1t ts sn ni ji ji ji jaaaa(2)由于对换改变排列的奇偶性,故1()stniiii 与 1()tsniiii 1()stnjjjj与 1()tsnjjjj的奇偶性互化，2、逐次交换（1）中的元素的次序，可
8、以把（1）化为故(3)1()stniiii 1()stnjjjj+与 有相同的奇偶性1()tsniiii 1()tsnjjjj+的奇偶性。第二章第二章 行列式行列式1212nkknka aa（4）而（4）的行下标与列下标所成排列和1 21 212nnnk kkk kk的奇偶性与（3）相同，于是111211stnstnniiiijjjjk kk 因此项1 12 2n ni ji ji jaaa所带的符号是1 21 21nni iij jj注：本定理说明在确定行列式中某项应取的符号时，可以同时考虑该项行排列与列排列的逆序数之和，而不一定要把行下标排成自然顺序。例6：试确定四级行列式中项312412
9、43a a a a的符号，写出四级行列式中包含24a且取正号的所有项。解 所带符号是:3214142311 11243243a a a a取正号的项包括，12243341,a a a a13243142a a a a第二章第二章 行列式行列式几种特殊的行列式：几种特殊的行列式：对角形行列式上三角行列式下三角行列式第二章第二章 行列式行列式对角形行列式11223344000000000000aaaa第二章第二章 行列式行列式上三角行列式111212222000nnnnaaaaaDa第二章第二章 行列式行列式下三角行列式112122112000nnnnaaaDaaa第二章第二章 行列式行列式作业nP97n8(1)(3)n9
