1、第四章 静定拱 4-1 概述 4-2 三铰拱的计算 4-3 三铰拱的合理拱轴线 4-1 概述 拱：拱：杆轴线为曲线在竖向荷载作用下会产生水平反力的结构。杆轴线为曲线在竖向荷载作用下会产生水平反力的结构。 常用的形式有常用的形式有 三铰拱三铰拱静定结构静定结构 两铰拱两铰拱超静定结构超静定结构 无铰拱无铰拱超静定结构超静定结构 水平反力指向内方称为推力水平反力指向内方称为推力 竖向荷载作用下会产生水平反力的结构可称为竖向荷载作用下会产生水平反力的结构可称为拱式结构拱式结构或或推力结构推力结构。 4-1 概述 拉杆拱：拉杆拱： 拱两支座间的拉杆代替支座承受水平推力拱两支座间的拉杆代替支座承受水平推
2、力 拉杆做成折线形可获得较大空间拉杆做成折线形可获得较大空间 高跨比：高跨比：f/l 平拱平拱： 两拱趾在同一水平线上两拱趾在同一水平线上 斜拱斜拱： 两拱趾不在同一水平线上两拱趾不在同一水平线上 4-2 三铰拱的计算 1、支座反力的计算、支座反力的计算 由拱的整体平衡由拱的整体平衡 l aF FM l bF FM ii BVA ii AVB 0 0 HBHAHx FFFF 0 取左半拱为隔离体取左半拱为隔离体 f alFlF FM AV HC )( 0 1111 相应简支梁相应简支梁 可可 得得 f M F FF FF C H BVBV AVAV 0 0 0 三铰拱的反力只三铰拱的反力只 与
3、荷载及三个铰的位与荷载及三个铰的位 置有关，与拱轴线形置有关，与拱轴线形 状无关；状无关； 推力推力FH 与拱高与拱高 f 成反比。成反比。 4-2 三铰拱的计算 2、内力的计算、内力的计算 计算图计算图a所示三铰拱所示三铰拱K截面的内力截面的内力 取隔离体如图取隔离体如图b 相应简支梁相应简支梁 yFMM H 0 yFaxFxFM HAV )( 11 相应简支梁相应简支梁K截面的弯矩为截面的弯矩为M 0 相应简支梁相应简支梁K截面的剪力为截面的剪力为FS0 sincos 0 SSH FFF 相应简支梁相应简支梁K截面的轴力为截面的轴力为FN0 三铰拱的内力与荷载及三个铰的三铰拱的内力与荷载及
4、三个铰的 位置有关，与拱轴线形状有关；位置有关，与拱轴线形状有关； cossin 0 SNH FFF压力为正压力为正 4-2 三铰拱的计算 例例4-1 试作图试作图a所示三铰拱的内力图。拱轴线为抛物线，方程所示三铰拱的内力图。拱轴线为抛物线，方程 为为 )( 4 2 xlx l f y 解：求支座反力，结果如图解：求支座反力，结果如图a。 求内力，将拱沿水平方向分为求内力，将拱沿水平方向分为 8等分，如图等分，如图a。 4-2 三铰拱的计算 计算图（计算图（a）斜拱的支反力）斜拱的支反力 时为避免解联立方程，可将反力时为避免解联立方程，可将反力 分解如图（分解如图（b）。）。 由平衡条件可得由
5、平衡条件可得 h M FFFFF C BVBVAVAV 0 R 00 , f M FF C 0 RH cos tan H 0 FFF AVAV tan H 0 FFF BVBV （a） （b） 4-3 三铰拱的合理拱轴线 合理拱轴线合理拱轴线：拱上所有截面的弯矩都等于：拱上所有截面的弯矩都等于0（剪力也为（剪力也为0），只有轴力），只有轴力 时的拱轴线。时的拱轴线。 由由 0 H 0 yFMM H 0 F M y 得得 合理拱轴线方程合理拱轴线方程 例例4-2 试求图试求图a所示对称三铰拱在图示荷载作用下的合理拱轴所示对称三铰拱在图示荷载作用下的合理拱轴 线。线。 解：相应简支梁（图解：相应简
6、支梁（图b）的弯矩方程为）的弯矩方程为 )( 2 1 0 xlqxM 三铰拱的推力为三铰拱的推力为 f ql f M F C 8 20 H 合理拱轴线方程为合理拱轴线方程为 )( 4 2 H 0 xlx l f F M y 4-3 三铰拱的合理拱轴线 例例4-3 试求图示对称三铰拱在上填料重量作用下的合理拱轴线。试求图示对称三铰拱在上填料重量作用下的合理拱轴线。 荷载集度荷载集度q=qc+y，qc为拱顶处的荷载集度，为拱顶处的荷载集度，为填料容重。为填料容重。 解：由图中所示的坐标系截面弯矩为解：由图中所示的坐标系截面弯矩为 由由M=0可得可得 )( H 0 yfFMM H 0 )( F M
7、yf 相应简支梁的弯矩方程无法写出，对上式两边求导得相应简支梁的弯矩方程无法写出，对上式两边求导得 2 02 H d d1 x M F y q x M 2 02 d d 当当q向下为正时向下为正时 可得可得 H F q y 将已知条件代入得将已知条件代入得 HH F q y F y c （二阶常系数线性非齐次微分方程）（二阶常系数线性非齐次微分方程） 4-3 三铰拱的合理拱轴线 方程的一般解为方程的一般解为 c q x F Bx F Ay HH sinhcosh 由边界条件由边界条件 0:0, 0 :0, 0 Byx q Ayx c 合理拱轴线的方程为合理拱轴线的方程为 ) 1(cosh H
8、x F q y c 4-3 三铰拱的合理拱轴线 例例4-3 试求三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载作用下的合理试求三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载作用下的合理 拱轴线。拱轴线。 解：由图解：由图a，荷载为非竖向荷载。，荷载为非竖向荷载。 思路思路：假定拱处于无弯矩状态，根据平衡：假定拱处于无弯矩状态，根据平衡 条件推求合理拱轴线方程。条件推求合理拱轴线方程。 取一微段为隔离体如图取一微段为隔离体如图b。 0)d(0 NNN FFFMO 可得可得 0d N FFN =常数常数 沿沿s-s 写出投影方程为写出投影方程为 0d 2 d sin2 N qF 因因 极小极小 d 2 d 2 d sin 合理拱轴线方程为合理拱轴线方程为 q FN 圆弧线圆弧线
