1、2021/7/261(最新整理)近世代数基础 （中文）近世代数（英文）Abstract Algebra 教材教材1：，张禾瑞，高等教育出版，1978年修订本。教材教材：,徐德余、唐再良等编著，川大出版社，年月主要参考书主要参考书1BL瓦德瓦尔登著：代数学瓦德瓦尔登著：代数学、卷，科卷，科 学出版社学出版社1964年版年版2N贾柯勃逊著：抽象代数贾柯勃逊著：抽象代数1、2、3卷，科学卷，科学 出版社出版社1987年出版年出版3刘绍学著：近世代数基础，高等教育出版社刘绍学著：近世代数基础，高等教育出版社 1999年出版年出版4石生明著：近世代数初步、高等教育出版社石生明著：近世代数初步、高等教育出
2、版社 2002年出版年出版 5.5.近世代数近世代数，吴品山，人民教育出版社，吴品山，人民教育出版社，19791979。6.6.抽象代数学抽象代数学，谢邦杰，上海科学技术出版社，谢邦杰，上海科学技术出版社，19821982。7.抽象代数基础抽象代数基础，刘云英，北京师范大学出版，刘云英，北京师范大学出版 社，社，1990年。年。8.,杨子胥杨子胥,高等教育出版社高等教育出版社,2003年年.在学习在学习近世代数近世代数这门课之前，这门课之前，有必要了解一下有关近世代数的由来，有必要了解一下有关近世代数的由来，这有利于这门课程的学习。这有利于这门课程的学习。下一页加罗华加罗华阿贝尔阿贝尔返回返回
3、 KummerKummer方法的前提是形如方法的前提是形如a+b的复整数也象的复整数也象整数一样具有唯一的素因子分解，其中整数一样具有唯一的素因子分解，其中a与与b是通是通常整数。并不是对于每个整数常整数。并不是对于每个整数n,复整数复整数a+b都具都具有唯一分解性，有唯一分解性，KummerKummer把这种复整数的因子分解把这种复整数的因子分解称为理想数的分解。称为理想数的分解。用这种方法用这种方法 KummerKummer证明了证明了n100时费马大定时费马大定理成立理成立,理想数的方法不但能用于费马问题研理想数的方法不但能用于费马问题研,实实际上是代数数论的重要研究内容，其后德国数学际
4、上是代数数论的重要研究内容，其后德国数学家家R.Dedekind(1831-1916)R.Dedekind(1831-1916)把理想数的概念推广为把理想数的概念推广为一般的理想论，使它成为近世代数的一个重要的一般的理想论，使它成为近世代数的一个重要的研究领域。研究领域。德国人1845 至 1847 年间，提出了理想数的概念。又提出正规质数的概念，并证明当 n 为正规质数时，费尔马最后定理成立。返回 近世代数是在近世代数是在19世纪末至世纪末至20世纪初发展起来的世纪初发展起来的数学分支。数学分支。1930年荷兰数学家范德瓦尔登（年荷兰数学家范德瓦尔登（B.Lvan der Wearden 1
5、930-1996）根据该学科领域几位创始根据该学科领域几位创始人的演讲报告人的演讲报告,综合了当时近世代数的研究成果综合了当时近世代数的研究成果,编编著了著了近世代数学近世代数学(Moderne Algebra）一书）一书,这这是该学科领域第一本学术专著，也是第一本近世代是该学科领域第一本学术专著，也是第一本近世代数的教科书。数的教科书。下一页返回返回返回课后作业：简述近世代数的起源和发展概况简述本课程的基本内容和逻辑结构第第 1 讲讲 13 集合、映射及代数运算（2课时）（Sets mapping and algebra operation）AaAa否则记为,记为，记为，AB，记为，记为.A
6、B 思考题思考题1：如何用语言陈述“”？AB ，否则说否则说B不是不是A的子集的子集AB BaAa但AB 设，且存在 ，那么称B是A的真子集，否则称B不是A的真子集。思考题思考题2：若若 ，但，但B不是不是A的真子集，这的真子集，这意味着什么？意味着什么？若集合若集合A和和B含有完全一样的元素，含有完全一样的元素，那么称那么称A与与B相等，记为相等，记为A=B.显然，显然，.ABBABA且BxAxxBA或BxAxxBA且BxAxxBA且AxExxA且)()()()(BABAABBABAxBxAxxBA但或BbAabaBA且),(注注：BAmiAaaaaAAAAmAAAiimmmiim,2,1,
7、),(,2121121：成的卡氏积为个集合，那么由它们做是令 中的元素可看成由中的元素可看成由A和和B坐标轴所坐标轴所张成的平面上的点。张成的平面上的点。AAAAAA,AAAAA,ABBAABBA;)()(CBACBA;)()(CBACBA)()()(CABACBA)()()(CBCACBA)()(BACBAC)()(BABABA)()()(CABACBA)()()(CABACBABCACCAB则若,ABABABAB,则若思考题3：（1）；那么：设,4,2,5,2,1,4,1,5,4,3,2,1CBAEBABACBA)(CBA（2）证明等式：）证明等式：（3）设有集合）设有集合A，B：若，则若
8、，则A与与B有什么关系有什么关系？若，则若，则A与与B有什么关系有什么关系？)()()()()()()(CBACABABACACABABBAABBA 定义定义6：)(ab 是集合是集合A到到B的一个对应法则：如果对的一个对应法则：如果对A中任中任一元素一元素a，关于，关于 都有都有B中的元素中的元素b与其对应，那么称与其对应，那么称法则法则是由是由A到到B的一个映射。的一个映射。，b是是a关于关于的象，的象，a是是b在在下的逆象。下的逆象。设设其中，记其中，记设的映射。到是BABAf:单射），则称，则若或：设单射，那么称则若设fafafaaAaafaaafafAaa)()(,(),()(,21
9、2121212121是满射。）则（或为满射则称使都存在fAfBfafbAaBb),(),(,若 f 既是单射又是满射，则 f 是双射。是双射则使都存在唯一的fafbAaBb),(,思考题思考题4：试说一说：当试说一说：当 f 不是单射；不是单射；不是满射不是满射时该怎样叙述？时该怎样叙述？或。是相等的，记为与么称，那都有如果是映射都设gfgfagafAaBAgBAf)()(:,:设给定 如果n=2时，f 就叫做代数运算。一般地有定义定义8：任一个事实上，我们都接触过代数运算。DAAAfDAAAmm2121:的映射到DBA到DBA到的映射都叫做的一个代数运算。例例13：为方便起见，以后凡是代数运
10、算都不用为方便起见，以后凡是代数运算都不用映射符号映射符号 等。等。6)10,4(,5)3,2(:,),(,:fffbabafZZZf整数内的加法就是故知设,，而是用gf 每一个代数运算都可以用运算表来表示。每一个代数运算都可以用运算表来表示。设设BA,DBA到mnbbbBaaaA,2121：当当都是有限集时，那么都是有限集时，那么的的 ，则运算表，则运算表为：为：其中其中dij=aibj。这个表通常称为运算表或凯莱（这个表通常称为运算表或凯莱（Cayley）表。）表。一个代数运算可以用“例14一个 的映射到 QZZ*baba),(:的代数运算到QZZ*,”来表示（当然也可用其它运算符号，如
11、“”,“”，“”，“”等表示）。：是 ，这就是普通数的除法。例15 普通加法，减法与乘法都是Z、Q、R、C的代数运算。例16 法则 例17 设A是一个非空集合，则集合的并与交是幂集Zbababa,),1(),(:A2是的代数运算。的两个代数运算。1.设 ，问下列各命题是否正确？（1）；(2）；（3）；(4）；（5）;（6）;AA 14,3,2,1AAAAAAAA 1AAA.2AAA2判定下列法则“”是否为有理数域Q的代数运算？)(21baba22babba22bababaabba.baba （1）（2）（3）（4）（5）1 (3)，(4)，（5）都正确；（1），（2），（5）都不正确。2（1）
12、，（3），（5）是;（2），（4）不是。原来住在距离都柏林差不多20英里的一个小乡村，哈密尔顿的叔叔杰姆哈密顿是那里的副牧师，这叔叔是语言专家，懂许多欧洲语言、方言以及近东的语言。小哈密尔顿从岁就受叔叔的教养，很快就一个语言学会后又飞到另一种语言去。他在13岁时遇见一位来自美国计算神速的儿童，这时引起他对数学的兴趣。哈密尔顿从小到进入大学之前沒有进过学校读书，他的教育是靠叔父传授以及自学。哈密尔顿本身很喜欢文学，而且也能写相当不错的诗歌，可惜他的诗歌赢不到非常现实的少女的心。他结婚后，吃饭不定时，有时候连饭也沒吃，而哈密尔顿习惯工作 12 14 小时，有时沒有饭吃，就以酒当作饮料来喝，长久下去哈密尔顿对酒上瘾，酒精中毒而变成了酒鬼。他的工作房间就像一个猪窝，坑里坑脏。哈密尔顿 只会生 活在 抽象的数学天地，不懂得要把自己的研究环境弄得清洁些，而他的佣人也从没进入他的工作房间收拾，外人很难想像他是怎样工作的。他的儿子回忆他有时走路想到问题沒有带纸，就写在手指甲上，吃早餐时写在鸡蛋壳上。返回
