1、第 十 章 定 积 分 的 应 用 1平 面 图 形 的 面 积教学内容：平面图形面积的计算教学目的：理解定积分的意义；学会、掌握微元法处理问题的基 本思想 熟记平面图形面积的计算公式。教学难点：利用定积分对直角坐标系以及极坐标系下平面图形面积的计算。一一 直角坐标系下平面图形的面积直角坐标系下平面图形的面积 ：1、由定积分的几何意义，连续曲线轴所围成的曲边梯形的面积为)(xfy a0 xyb(),().()()()().bacdacebdef xa bAf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx2、若在上不都是非负的则所围成图形（如右图）的面积为bo)(xfy cdexyo
2、ayxo)(11xfy)(22xfy ab112212()()()().baxyf xyf xxaxbAf xf x3、若平面区域是区域：由上曲线、下曲线左直线、右直线所围成，则其面积公式为：1122()()yxg yxg yyayb4、若平面区域是区域：由左曲线、右曲线、下直线、上直线21,()().baAg yg y dy所围成 则其面积公式为：如图所示。xyoab)(1ygx)(2ygx 5、如果平面区域既不是x型区域，也不是y型区域，则用一组平行于坐标轴的直线，把平面区域分成尽可能少的若干个x型区域与y型区域，然后计算每一区域的面积，则平面区域总的面积等于各区域面积之和。如右下图：xE
3、abABCDFGo 显然：由图可以知道上部分曲线由三 条不同的曲线：AB、BC与CD 构成；下 部分曲线由两条不同曲线：EF与FG所构 成。为计算其面积，可分别过点B、C与 F作平行于 y轴的直线，这样则把平面区 域分成4个x型区域，然后利用前面的X 型区域的公式就可以计算了。下面看几个计算的例子我们就清楚利 用定积分如何计算不规则图形的面积了。21230.yxxy 例求抛物线与直线：所围成的平面区域的面积我们可以先做出其图形如下：AB1A2A分析1：所给的区域不是一个规范的x-域,如图 为了便于计算需将其图形进行分割,即可化 成两个x-形区域的面积问题。第一块的面积：1104()3Axxdx
4、 92112328()23323xAxdxAAA第 二 块 的 面 积：则 总 面 积：23212,23,1,322310.3yxyxyyyyAyydy分析：若把围成的平面区域看成 型区域：则左曲线为：右曲线为：下直线上直线为：直接由 型区域面积的计算公式得面积 二、由参数方程表示的曲线所围成平面图形的二、由参数方程表示的曲线所围成平面图形的面积面积 设区间 上的曲边梯形的曲边由方程由参量方程表示,a b()()xx ttyy t(),(),(),(),()0 xt yta xb xx t 在，上 连 续，()()()Syt dxyt x t dt则 注记：计算中，主要的困难是上下限的确定。上
5、下限的确定通常有两种方法：1、具体计算时常利用图形的几何特征 2、从 参数方程定义域的分析确定例2 求摆线(sin),(1 cos)02 0 x att y atta 的一拱与x 轴所围的平面图形的面积(如图阴影部分)642-2-4-55GCOBt2a2 aa642-2-4-55GCOBt2a2 aa 由图可以看出0,t 对应（0，0）2t对应一拱的终点。22(1 cos)(sin)(1 cos)at att dtat dt2200所 以 其 面 积 为：S=222 3aa 三、极坐标下平面图形面积 drACrrrC)(21.2,)(,)(2平面图形的面积：所围成的、两射线：与由曲线上连续，在
6、给出，其中由极坐标方程曲线设o)(rr)(1irr)(irrix 和参数方程一样，极坐标情况面积的计算主要困难是积分上下限的确定。确定上下限方法通常也是 1）利用图象；2）分析定义域（见下页示图）)(rAoD)(2r)(1rAoDDdrr)()(21212122ADo)(2r)(1r202)(21drDA)(ro 例 3 求双扭线 2cos22ar 围成的平面图形的面积 解 先看一下双纽线的图象，xy40,4分析：如图所示，它所围成的平面图形是关于坐标轴对称的，故其面积是其在第一象限部分面积的倍。而 在第一象限变化的范围为：42204cos2Aada故双纽线所围成的平面区域的面积为：xy小结：本节主要讲述了利用定积分的性质来求曲边梯形的面积,主要讲述了直角坐标系下及参数方程，和极坐标系下曲边梯形面积的计算公式，对于直角坐标系下面积的计算，主要转化为 型和 型区域进行计算，而对于参数方程和极坐标系下关键是计算出上下限，然后按照所给公式即可求解。1sincos(sin)0)(1 cos)sin30)yx yxx attay atr aa练 习：、，在 0，2 上 所 围 成 的 面 积。2、求 旋 轮 线(的 一 拱 与 x轴 围 成 的 面 积。3、求 三 叶 线(所 围 成 的 面 积。
