1、1.5 初等变换和初等矩阵初等变换和初等矩阵 同解变换同解变换 方程组的方程组的一、初等变换的引入一、初等变换的引入 二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换 三、初等矩阵的概念三、初等矩阵的概念 四、初等矩阵的应用四、初等矩阵的应用 五、小结、思考题五、小结、思考题 变换来求逆矩阵。变换来求逆矩阵。后介绍了如何用初等行后介绍了如何用初等行 矩阵之间的关系；最矩阵之间的关系；最并介绍初等变换与初等并介绍初等变换与初等阵阵 上，得到三类初等矩上，得到三类初等矩类变换限制到单位矩阵类变换限制到单位矩阵 的同解变换；再将这三的同解变换；再将这三引出方程组的三类可逆引出方程组的三类可逆 线性方程组入手，线
2、性方程组入手，本节首先从用消元法解本节首先从用消元法解 , I 学习思路学习思路 引例引例 一、初等变换的引入一、初等变换的引入- 线性方程组的同解变换线性方程组的同解变换 求解线性方程组求解线性方程组 12 13 02 321 21 321 xxx xx xxx 我们来分析用消元法解下列方程组的过程我们来分析用消元法解下列方程组的过程 解解 1 3 2 123 31 13 135 02 32 32 321 xx xx xxx 1 3 2 )(I 13 135 02 32 32 321 xx xx xxx 1 3 2 5 3 2 2 3 412 13 02 3 32 321 x xx xxx
3、1 3 2 3 1 0 02 3 2 321 x x xxx 1 3 2 3 23 ) 12 1 ( 3 3 1 0 02 3 2 321 x x xxx 1 3 2 3 12 2 1 3 1 0 3 1 3 2 1 x x x )(II 的解。的解。即原方程组即原方程组显然，方程组显然，方程组)()(III 小结：小结： 1上述解方程组的方法称为上述解方程组的方法称为Gauss消元法消元法 三类：三类： 中用到的变换不外中用到的变换不外经观察，发现解题过程经观察，发现解题过程 2 （1）交换两个方程的次序；）交换两个方程的次序； （3）一个方程加上另一个方程的常数）一个方程加上另一个方程的常
4、数k倍倍 i j （ 与与 相互替换）相互替换） （以（以 替换替换 ） i i （2）以不等于的常数）以不等于的常数 乘上某个方程；乘上某个方程； j（以（以 替换替换 ） k ij 3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的故这三种方程组与变换后的方程组是同解的故这三种 变换是变换是同解变换同解变换 ji )(A若若),(B )(B则则 );(A ji k )(A若若),(B ji )(A若若),(B i )(B则则 );(A i 1 )(B则则 ).(A )( k j i 因为在
5、上述变换过程中，仅仅只对方程组因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组 的系数和常数进行运算，未知量并未参与运的系数和常数进行运算，未知量并未参与运 算算 若记若记 1211 1013 0121 )(bAA 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵 (方方 程组（程组（I）的增广矩阵）的变换）的增广矩阵）的变换 A 线性方程组求解问题转化为矩阵问题！ 定义定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换: ）；）；记作记作两行两行对调两行（对调对调两行（对调 ij rji,1 ;02乘以某一行的所有元素乘以某一行的所有元素以数以数 ）记作记作
6、行乘行乘（第（第)(, i ri .)( 3 ）记作记作 行上行上倍加到第倍加到第行的行的对应的元素上去（第对应的元素上去（第 倍加到另一行倍加到另一行把某一行所有元素的把某一行所有元素的 kr jki k ij 二、矩阵的初等变换 定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称统称为为 初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型且变换类型 相同相同 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是所用记号是 把“把“r”换成“换成“c”)(row,column) ij r )( i r 逆变换逆变换 逆变
7、换逆变换 ;) 1 ( i r )(krij逆变换逆变换 . )( kr ij ij r ；自反性反身性）（A A)( 1 A;B , B A 2则则若若对称性对称性）（ C. AC,BB, A 3则则若若）传递性）传递性（ 三个性质初等变换过程满足上述 ，矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵BA 数学上将具有下述三条性质的关系称为等数学上将具有下述三条性质的关系称为等 价关系价关系 例如，两个线性方程组同解，例如，两个线性方程组同解， 就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价 3定义定义 等价，记作与所以可以称矩阵BABA 定义定义 由单位矩阵由单位矩阵 经过经过一次一次初等变换得到的方
8、初等变换得到的方 阵称为初等矩阵阵称为初等矩阵. . I 三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛用广泛. 三、初等矩阵的概念 行（列）上去行（列）上去乘某行（列）加到另一乘某行（列）加到另一以数以数 乘某行或某列；乘某行或某列；以数以数 对调两行或两列；对调两行或两列； k. 3 0. 2 . 1 行（列）矩阵行（列）矩阵 ，得初等，得初等两行（列），即两行（列），即中第中第对调对调)(, ijij crjiI 对调两行或两列对调两行或两列、1 1 1 01 1 1 10 1 1 ij
9、ij CR 行行第第i 行行第第 j 列列第第i列列第第 j ).( ijij CR ，得，得左乘左乘阶初等行矩阵阶初等行矩阵用用 nmijij aARm )( mnmm inii jnjj n ij aaa aaa aaa aaa AR 21 21 21 11211 行行第第i 行行第第 j ).( ij rjiA A 行对调行对调行与第行与第的第的第把把 ：施行第一种初等行变换施行第一种初等行变换相当于对矩阵相当于对矩阵 ，右乘矩阵右乘矩阵阶初等列矩阵阶初等列矩阵以以 类似地，类似地， ACn ij mnmimjm nij nij ij aaaa aaaa aaaa AC 1 22221
10、11111 ).( ij cjiA A 列对调列对调列与第列与第的第的第把把 ：施行第一种初等列变换施行第一种初等列变换相当于对矩阵相当于对矩阵 02乘某行或某列乘某行或某列、以数、以数 阵阵），得初等行（列）矩），得初等行（列）矩（ 即即列列第第行行乘单位矩阵的第乘单位矩阵的第以数以数 )( )()(0 i i c rji 1 1 1 1 )()( ii CR行行第第i 第第 i 列列 ).()( ii CR ；行行的第的第乘乘相当于以数相当于以数)( i riA mnmm inii n i aaa aaa aaa AR 21 21 11211 )( 行行第第i 类似地，类似地， ，得，得左
11、乘矩阵左乘矩阵以以ARi)( ).( )( i i ciA AC 列列的第的第乘以乘以相当于以数相当于以数 ，其结果，其结果矩阵矩阵右乘右乘以以 上去上去列列加到另一行加到另一行列列乘某行乘某行、以数、以数)()(3k )( )( kcijIk krjiIk ji ij 列上列上列加到第列加到第的第的第乘乘或以或以 行上行上行加到第行加到第的第的第乘乘以以 1 1 1 1 )()( k kCkR jiij 行行第第i 行行第第j ，得，得左乘矩阵左乘矩阵以以AkRij)( mnmm injnijij inii n ij aaa kaakaakaa aaa aaa AkR 21 2211 21
12、11211 )( ).(krjkiA ij 行上行上加到第加到第行乘行乘的第的第等价于把等价于把 ).( )( kcikjA AkC ji ji 列上列上加到第加到第列乘以列乘以的第的第把把 ，其结果相当于，其结果相当于右乘矩阵右乘矩阵类似地，以类似地，以 mnmjmjmim njji njji ji aakaaa aakaaa aakaaa kAC 1 222221 111111 )( 特别注意： 初等行变换与初等列变换所得初等矩阵之间的 关系满足： )()( )()( kCkR CR CR jiij ii ijij 定理定理1 1 设设 是一个是一个 矩阵，对矩阵，对 施行一施行一 次初等
13、行变换，相当于在次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于施行一次初等列变换，相当于 在在 的右边乘以相应的的右边乘以相应的 阶初等矩阵阶初等矩阵. . nm m n A A AA A 综合得综合得 初等变换初等变换 初等矩阵初等矩阵 初等逆变换初等逆变换 初等逆矩阵初等逆矩阵 初等变换对应初等矩阵，由初等变换可逆，可 知初等矩阵可逆，且此初等变换的逆变换就对 应此初等矩阵的逆矩阵！ 1 ； 的逆变换是其本身，则的逆变换是其本身，则变换变换 ijij ij RR r ); 1 ()( ) 1 ()( 1 ii ii RR
14、rr ，则，则的逆变换为的逆变换为变换变换 . )()( )()( 1 kRkR krkr ijij ijij ，则，则的逆变换为的逆变换为变换变换 四、初等矩阵的应用 的的变换把它变为形如下式变换把它变为形如下式 总可经过有限次初等总可经过有限次初等对于任何矩阵对于任何矩阵, nm A 2定理定理 .标准形标准形 nm r OO OI N ，必可找到初等矩阵，必可找到初等矩阵矩阵矩阵亦即，对任一亦即，对任一Anm 使得使得, 11sl CCRR nm r OO OI sl CACRR 11 .为零为零 阵，其余元素全阵，其余元素全的左上角是一个单位矩的左上角是一个单位矩N特点特点： ., ,
15、 有关的实数有关的实数 是个与是个与三个数唯一确定，其中三个数唯一确定，其中此标准形由此标准形由 nm rrnm )(19略构造性证明，见书上 P 00000 31000 30110 40101 例如，例如， 00000 31000 40101 30110 B 12 r 00000 31000 30110 40101 )1( )1( 24 14 c c N 00000 00100 00010 00001 00000 30100 31010 41001 34 c 00000 30100 30010 40001 .的标准形的标准形即为矩阵即为矩阵矩阵矩阵BN )4( 15 c )3( 25 c )
16、3( 35 c 注意注意有四种变形：有四种变形：标准形标准形N OIr,)1( O Ir )2( )()4(nmrIr OI 0 )3( 1211 1013 0121 )(bAA 比如对节首的引例，有比如对节首的引例，有 31100 0010 31001 r 0100 0010 0001 ) 3 1 ( 14 c ) 3 1 ( 34 c OI , 3 矩阵的标准形分解矩阵的标准形分解 ，使得，使得阶可逆阵阶可逆阵、 阶可逆阵阶可逆阵，必可找到，必可找到矩阵矩阵对任一对任一定理定理 QnP mAnm 2 Q OO OI PA nm r )2 . 5 . 1( .)2 . 5 . 1(的标准形分
17、解的标准形分解为矩阵为矩阵一般称式一般称式A 由于初等矩阵均可逆，可逆阵的乘积仍是可逆由于初等矩阵均可逆，可逆阵的乘积仍是可逆 阵，所以定理阵，所以定理2 2可改写成：可改写成： 1 1 111 1 , CCQRRP sl 式中： 1例例. 34 21 72 建立标准形分解建立标准形分解试对矩阵试对矩阵 A 解解 34 21 72 A 12 r )4( )2( 13 12 r r 50 30 21 )5( ) 3 1 ( 23 2 r r 00 10 21 )2( 12 c 00 10 01 O I2 标准形标准形 有有初等矩阵的对应关系，初等矩阵的对应关系，于是，根据初等变换与于是，根据初等
18、变换与 O I2 )2()2()4() 3 1 ()5( 12121213223 ACRRRRR 仍是初等阵，即得仍是初等阵，即得根据初等矩阵的逆矩阵根据初等矩阵的逆矩阵 )2()2()4() 3 1 ()5( 1 12 2 1 121213223 C O I RRRRRA )2( )5() 3 1 ()4()2( 12 2 1 23 1 2 1 13 1 12 1 12 C O I RRRRR )2()5()3()4()2( 12 2 232131212 C O I RRRRR )2()5()3()4()2( 12 2 3232131212 C O I IRRRRR)( )2( 150 01
19、0 001 )3()4()2( 12 2 2131212 C O I RRRR )2( 150 030 001 )4()2( 12 2 131212 C O I RRR )2( 154 030 001 )2( 12 2 1212 C O I RR )2( 154 030 001 )2( 12 2 1212 C O I RR )2( 154 032 001 12 2 12 C O I R )2( 154 001 032 122 2 CI O I )( Q O I P O I 22 10 21 154 001 032 .解毕解毕 定理定理3 3 A为可逆方阵的充分必要条件是存在有为可逆方阵的充分必
20、要条件是存在有 限个初等方阵限个初等方阵 ., 2121ll PPPAPPP 使使 证证 充分性：充分性： A=P1P2Pl 其中其中Pi(1=i=l)为初等方阵。为初等方阵。 由初等方阵可逆，其乘积也可逆，可得由初等方阵可逆，其乘积也可逆，可得 A可逆。可逆。 矩阵可逆的又一个重要定理 矩阵的乘积。可以表示为有限个初等即 ，从而定 则右式不可逆。所以必如果其标准型中 ，其乘积亦可逆。可逆，初等矩阵均可逆由 使，必可找到初等矩阵由定理 A CCRRA nr nr A 00 0I CACRR CCRR2 1 1 1 s 1 t 1 1 r s11t s1t1 , , 必要性：必要性： 2推论推论
21、可经过可经过可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是阶矩阵阶矩阵AAn .的充分必要条件的充分必要条件 可逆可逆为单位矩阵，即矩阵为单位矩阵，即矩阵有限次初等行变换后化有限次初等行变换后化A IA r （事实上，由（事实上，由 l PPPA 21 即得即得 ）IAPPP l 1 1 1 2 1 逆矩阵的方法。逆矩阵的方法。 变换求变换求，可以得到利用初等行，可以得到利用初等行利用推论利用推论2 注意：注意： ., :1 BPAQQnPm BAnm 使使阶可逆方阵阶可逆方阵及及阶可逆方阵阶可逆方阵 存在存在的充分必要条件是的充分必要条件是矩阵矩阵推论推论 （应用一）（应用一）利用初等变换求逆阵的
22、方法：利用初等变换求逆阵的方法： ，有可逆时，由当方阵 l PPPAA 21 , 1 1 1 1 1 IAPPP ll , 11 1 1 1 1 AIPPP ll 及及 IPPPAPPP llll 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 AI IAPPP ll 1 1 1 1 1 . )(2 1 AIIA IAnn 就变成就变成时，原来的时，原来的变成变成当把当把 施行初等行变换，施行初等行变换，矩阵矩阵即对即对 矩阵分块思想 特别注意：特别注意：为什么不能既用行变换又用列变换？为什么不能既用行变换又用列变换？ . , 343 122 321 1 AA求求设设 解解 例例 2 2 10362
23、0 012520 001321 100343 010122 001321 IA )2( 12 r )3( 13 r 111100 012520 011201 111100 563020 231001 )2( 31 r )5( 32 r . 111 2 5 3 2 3 231 1 A )1( 21 r )1( 23 r 111100 2 5 3 2 3 010 231001 ) 2 1 ( 2 r ）（ 1 3 r 103620 012520 001321 ）回顾一下分块矩阵运算矩阵 方法，还可用于求的利用初等行变换求逆阵 ( . 1B A I )()( 11 BAIBAA )(BA BA 1
24、初等行变换初等行变换 即即 （应用二）（应用二） 例例 3 3 . 34 13 52 , 343 122 321 , BA BAXX，其中，其中使使求矩阵求矩阵 解解 . 1B AXA 可逆，则可逆，则若若 34343 13122 52321 )(BA )2( 12 r )3( 13 r 122620 91520 52321 )1( 21 r )1( 23 r )2( 31 r )5( 32 r 122620 91520 52321 31100 91520 41201 31100 64020 23001 . 31 32 23 X ) 2 1 ( 2 r ）（ 1 3 r 31100 64020
25、 23001 ， 31100 32010 23001 . 1 CAY即可得即可得 作初等行变换，作初等行变换， 改为对改为对也可两边取转置得也可两边取转置得),( TTTTT CACYA , 作初等列变换，作初等列变换，则可对矩阵则可对矩阵如果要求如果要求 C A CYA ,)( C A 1 1 CA I A 列变换列变换 ),)( ,(), 1TTTT CAICA （ 行变换行变换 TT1 C)( AY T 即可得即可得,)( 1 T CA . 1 CAY于是可求得于是可求得 （应用三）（应用三） . 112 510 324 100 001 010 100 010 201 X 求下列方程的根
26、求下列方程的根例例4 则原式变为则原式变为， ，三已知矩阵分别记为三已知矩阵分别记为均为初等矩阵，不妨将均为初等矩阵，不妨将 阵阵阶方阵，且其两边的矩阶方阵，且其两边的矩必为必为经观察知经观察知解解 , 3 CB A X CAXB 实际上，即为实际上，即为 CXCR 1231 )2( 解之得解之得 1 12 1 31 )2( CCRX 1 12 1 31 )2( CCRX 12 112 510 324 100 010 201 C 1231 )2(CCR 100 001 010 112 510 548 121 501 584 1.1.初等行初等行( (列列) )变换变换 ;1 ijij cr )
27、0(;)()(2 ii cr .)()(3kckr ijij 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相且变换类型相 同同 3.3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质 ;1 反身性反身性 ;2 对称性对称性 .3 传递性传递性 2.2. A 初等变换初等变换 B. BA 五、小结 4. 4. 单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵. . 一次初等变换一次初等变换 5. 利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是: ;1 I A IA或或构造矩阵构造矩阵 .), (, ,2 1 1 AIIA I A AI IAIA 对应部分即为对应部分即为后后划为单位阵划为
28、单位阵将将变换变换 施行初等列施行初等列或对或对对应部分即为对应部分即为右边右边后后 化为单位矩阵化为单位矩阵将将施行初等行变换施行初等行变换对对 方阵可逆的简单判别法 . , ）（或（或 为可逆，即必有为可逆，即必有均为可逆阵，且它们互均为可逆阵，且它们互、则则 ），），（或（或若若阶方阵阶方阵为为、设设 IABIBA BA IBAIABnBA 定理定理 )(nrQ OO OI PA r ）式可）式可解定理及（解定理及（证：由矩阵的标准形分证：由矩阵的标准形分2 . 5 . 1 使成立使成立、阶可逆阵阶可逆阵，必存在两个，必存在两个知，对矩阵知，对矩阵,QPnA ，故，故因因IAB IQB OO OI P r IQB OO OI P r 即即 1 PQB OO OIr 而而不可能为可逆阵），从不可能为可逆阵），从最后一行全为零，因而最后一行全为零，因而 的的，则，则（否则若（否则若由此可断定其中的由此可断定其中的 1 Pnrnr PQQPIA n 为可逆阵。为可逆阵。积，故积，故可表达成俩可逆阵之乘可表达成俩可逆阵之乘即即AA 右乘前式，即得右乘前式，即得再用再用左乘左乘用用AIABA, 1 IAAABAA 11 BAI .证毕证毕
