1、第第5章章 变分法解平面问题变分法解平面问题 2 1 2 )1 (2 2 1 2 1 222 2 1 1 xyyxyx xyxyyyxx T E U U xy xy y y x x UUU 111 , U1是应力或者应变分量的函数泛函 从上式求导数再利用物理方程，得到： 弹性体的势能密度U1： (单位体积的变形能P.94) 变形势能和外力势能 U，V是应力或者应变分量的函数泛函 变形势能： A T A dxdydAUU 2 1 1 dxdyU xyxyyyxx A 2 1 S yx A yx dsvfufdxdyvfufW 面力和体力所做的功： WV 外力的势能(定义)： 泛函数 描述性定义：
2、自变函数的函数。 泛函的值是数，自变量是函数。 普通函数的自变量是数、值也是数 势能密度是普通函数，势能是泛函 给定问题中，变形势能U是一个具体的数值。 应变为自变函数(平面问题有三个)，如果应变 发生变化，则变形势能的值也发生变化。 A xyyxyx A dxdy E dAUU 2 1 2 )1 (2 )( 222 2 1 变分变分- -自变函数的变分自变函数的变分 自变函数y(x)的变分y(x)是x的一个任意函数。 它与y属于同一个函数空间(自变函数如果连续则它也 应该连续，自变函数如果可导则它也可导)。 通常在实用中我们总认为y很小。令：Y=y+y。 则Y与y的差异就是y，也就是给y一个
3、十分小的变化。 函数的微分dy不是变分它依赖于y。 任意函数：自变函数的变分是任意函数(可以很 小)。函数的微分也是一个x的函数，但是它与 原来的函数是有关系的(等于fdx)。 举例：弹性力学中自变函数的变分虚位移等 用途：变分用于研究因自变函数的改变导致泛 函的改变(泛函的变分)。 微分用于研究当自变 量发生微小的变化时，函数的变化情况。 泛函的变分运算定义 泛函变分的定义与函数微分的定义类似，运算 相同（学习指导P.104） v v U u u U vuUdy y u dx x u yxdu ),(),( 求导数和求积分的运算可以与求变分运算交换 次序。 AA udAudA x u x u
4、 ) )( ()( 根据能量守恒: WU S yx A yx dsvfufdxdyvfufW A xyxyyyxx A xy xy y y x xA dxdy dA UUU dAUU 2 1 2 1 )( 2 1 )( 111 1 0VU S yx A yx dsvfufdxdyvfufW 计算以上两势能的变分： A dAUU)( 1 这说明实际问题总是要总势能的变分为零。 最小势能原理 最小势能原理：在给定外力的作用下，满足位满足位 移边界条件移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在 的一组位移，应使得总势能为极值(最小值)。 也就是说：满足位移边界条件总势能为极值 等价于原问题(按位移求解
5、时需要：满足平衡 方程满足两种边界条件) 也就是说：总势能为极值等价于平衡方程和应 力边界条件。（学习指导 P.107） 求极值比解微分方程更困难，但是可以采用近 似解法来求极值。把泛函极值的问题变成函数 极值的问题，变成求解代数方程。 近似解法中使用的几个定理 00 , 321 321 cbacba 则：是不恒为零的任意函数若 只需要依次取两个为零，另一个非零即可证明 0)(0)()( ,),( xyxxy baxx 则：是不恒为零的任意函数若 既然不恒为零，则取其不为零 推论： 变分法的基本引理变分法的基本引理 这个引理可以推广到多元函数。实际上只需要 把x看成是一个向量就可以了。 这里相
6、当于乘以任何数都为零的实数一定是零 这个基本事实的推广。实际上如果一个连续函 数与另外任何一个连续函数相乘其结果都为零， 那么这个函数也必然处处为零。只不过在这里 我们进行了积分，证明的方法也完全类似。 设 若对于任何具有连续函数 均有： ),()(baCx )(x 0)()( b a dxxx , 0)(baxx则： 位移变分方程（5-24）可以写成如下 形式(指导书P.122) 0 S yyxy S xxyx A y yxy A x xy x vdsfmludsfml vdxdyvf yx udxdyf yx 位移变分方程来自最小势能原理。 利用它可以证明最小势能原理等价于平衡方程 和力的
7、边界条件(证明过程)。 如果所取的位移满足位移边界条件，就是问题 的正确解答。 位移变分法近似方法 .,;, ),(),(),(),( 00 00 的已知函数均为yxvvuu yxvByxvvyxuAyxuu mm m mm m mm 取位移为已知函数的线性组合 这里对u的变分就变成了对常系数的变分： m mm m mm ByxvvAyxuu),(),( 总势能目前是这些任意常系数的函数(泛函),其变分为： m m m m m B B U A A U U m S mmymmx m A mmymmx S yx A yx dsByxvfAyxuf dxdyByxvfAyxuf dsvfufdxdy
8、vfufW ),(),( ),(),( 显然外力的势能也是 这些任意常系数的函 数(泛函),其变分为： 0)(VUorWU m S mmymmx m A mmymmx S yx A yx dsByxvfAyxuf dxdyByxvfAyxuf dsvfufdxdyvfufW ),(),( ),(),( 0)(VUorWU 0 m m AS mymy m m m AS mxmx m Bdsufdxdyuf B U Adsufdxdyuf A U m m m m m B B U A A U U ), 2 , 1( m dsufdxdyuf B U dsufdxdyuf A U AS mymy m
9、AS mxmx m 任意常系数的变分为任意常数所以结果为： 这里有2m个方程，右端为已知函数，可以求解系数Am,Bm。 例题 yBvxAu 11 取位移为以下函数(满足位移边界条件)： 求得应变以后代入到势能中 112 1 112 1 22 )1 (2 22 )1 (2 AB Eab B U BA Eab A U 势能对任意常数的导数为： 11 2 1 2 1 2 2 )1 (2 BABA Eab U abqxdyqdsuf fxuqf b S mx xx 1 0 1 11 0 第一个方程的右端项为： ), 2 , 1( m dsufdxdyuf B U dsufdxdyuf A U AS mymy m AS mxmx m abqAB Eab abqBA Eab 2112 1112 22 )1 (2 22 )1 (2 yqq E yBvxqq E xAu 121211 1 , 1 对当前问题这恰好是精确解 ENDEND
