1、第四章第四章 超静定结构的解法超静定结构的解法 Methods of Analysis of Statically Indeterminate Structures 4 4- -1 1 求解超静定问题的求解超静定问题的 一般方法一般方法 4 4- -2 2 力法力法 4 4- -3 3 力法计算的简化力法计算的简化 4 4- -4 4 位移法位移法 4 4- -5 5 混合法和弯矩分配混合法和弯矩分配 法法 4 4- -6 6 超静定结构特性超静定结构特性 4 4- -7 7 结论与讨论结论与讨论 遵循材料力学中遵循材料力学中同时考虑“变形、本构、平衡”分同时考虑“变形、本构、平衡”分 析超静
2、定问题的思想析超静定问题的思想，可有不同的出发点：，可有不同的出发点： 以力作为基本未知量以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础在自动满足平衡条件的基础 上进行分析上进行分析，这时主要应解决变形协调问题这时主要应解决变形协调问题，这种这种 分析方法称为分析方法称为力法力法（forceforce methodmethod）。 以位移作为基本未知量以位移作为基本未知量，在自动满足变形协调条件在自动满足变形协调条件 的基础上来分析的基础上来分析，当然这时主要需解决平衡问题当然这时主要需解决平衡问题， 这种分析方法称为这种分析方法称为位移法位移法（displacementdisplacement
3、 methodmethod）。 如果一个问题中如果一个问题中既有力的未知量既有力的未知量，也有也有 位移的未知量位移的未知量，力的部分考虑位移协调力的部分考虑位移协调，位移的部位移的部 分考虑力的平衡分考虑力的平衡，这样一种分析方案称为这样一种分析方案称为混合法混合法 （mixturemixture methodmethod）。 在本章中将主要介绍力法和位移法在本章中将主要介绍力法和位移法(含弯矩分配法含弯矩分配法)。 返 返 回回 1. 力法的基本原理力法的基本原理 (Fundamentals of the Force Method) 有一个多于约束有一个多于约束 的超静定结构，的超静定结构
4、， 有四个反力，只有四个反力，只 有三个方程。有三个方程。 只要满足只要满足 i ByiiA ByAy lFaFM FFFF 1 P 1 1 P2P1 1 By F 1 为任意值，均平衡。为任意值，均平衡。 因此必须设法补充方程因此必须设法补充方程 力法的基本思路力法的基本思路 超静定计算简图超静定计算简图 解除约束转解除约束转 化成静定的化成静定的 基本结构承受荷基本结构承受荷 载和多余未知力载和多余未知力 基本体系受力、变形解法已知基本体系受力、变形解法已知 力法的基本思路力法的基本思路 用已掌握的方法，分析单个基本未用已掌握的方法，分析单个基本未 知力作用下的受力和变形知力作用下的受力和
5、变形 同样方法分析同样方法分析 “荷载”下的“荷载”下的 受力、变形受力、变形 位移包含基本未知力位移包含基本未知力Xi 为消除基本结构与原结构差别，建立位移协调条件为消除基本结构与原结构差别，建立位移协调条件 2 P2 22 21 1 P1 12 11 由此可解得基本未知力，从由此可解得基本未知力，从 而解决受力变形分析问题而解决受力变形分析问题 基本原理举例基本原理举例 例例1. 求解图示单跨梁求解图示单跨梁 原结构原结构 待解的未知问题待解的未知问题 A B 基本结构基本结构 已掌握受力、变形已掌握受力、变形 primary structure or fundamental struct
6、ure 基本体系基本体系 fundamental system or primary system 转化转化 变形协调条件变形协调条件 力法典型方程力法典型方程 (The Compatibility Equation of Force Method ) 未知力的位移未知力的位移 “荷载”的位移荷载”的位移 0 11111 P 总位移等于已知位移总位移等于已知位移 以掌握的问题以掌握的问题 消除两者差别消除两者差别 叠加作弯矩图叠加作弯矩图 或或 0 1111 P X 0 11111 P 1 X 系数求法系数求法 单位弯矩图单位弯矩图 荷载弯矩图荷载弯矩图 位移系数位移系数 ij 自 乘 自 乘
7、 系数和未知力等于多少？系数和未知力等于多少？ 广义荷载位移广义荷载位移 互乘互乘 Pi 例例 2. 求解图示结构求解图示结构 原原 结结 构构 FP 基基 本本 体体 系系 一一 FP 解法解法1: 有两个多于约束有两个多于约束 解除约束代以未知力解除约束代以未知力 基基 本本 未未 知知 力力 P FP 0 0 222212 112111 p p 或或 0 0 2222121 1212111 p p XX XX 基本未知力引起的位移基本未知力引起的位移 荷载引起的位移荷载引起的位移 变形协调条件变形协调条件 力法典型方程力法典型方程 0 166 5 4 0 96 5 46 P21 P21
8、FXX FXX 88 3 11 4 P 2 P 1 F X F X FP FPa 作单位和荷载弯矩图作单位和荷载弯矩图 求系数、建立力法方程并求解求系数、建立力法方程并求解 仅与刚仅与刚 度相对度相对 值有关值有关 88 3 11 4 P 2 P 1 F X F X FP FPa FP （Fpa） 由叠加原理求得由叠加原理求得 P MXMXMM 2211 力法基本思路小结力法基本思路小结 根据结构组成分析，正确判断多余约束个根据结构组成分析，正确判断多余约束个 数数超静定次数超静定次数。 解除多余约束，转化为静定的解除多余约束，转化为静定的基本结构基本结构。 多余约束代以多余未知力多余约束代以
9、多余未知力基本未知力基本未知力。 分析基本结构在单位基本未知力和外界因分析基本结构在单位基本未知力和外界因 素作用下的位移，建立素作用下的位移，建立位移协调条件位移协调条件力力 法典型方程法典型方程。 从典型方程解得基本未知力，由从典型方程解得基本未知力，由叠加原理叠加原理 获得结构内力。获得结构内力。超静定结构分析通过转化为超静定结构分析通过转化为 静定结构获得了解决。静定结构获得了解决。 将未知问题转化为将未知问题转化为 已知问题，通过消除已已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别，知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。使未知问题得以解决。 这是科学研究的这是科学研究的 基本方法之
10、一。基本方法之一。 由于从超静定转化为静定，将什么由于从超静定转化为静定，将什么 约束看成多余约束不是唯一的，因此约束看成多余约束不是唯一的，因此 力法求解的基本结构也不是唯一的。力法求解的基本结构也不是唯一的。 解法 2： 原原 结结 构构 基基 本本 体体 系系 FP FP 解法3： 原原 结结 构构 基基 本本 体体 系系 FP FP 原原 结结 构构 FP 基基 本本 体体 系系 FP M1图图 M2图图 FPa FP MP图图 单位和荷载弯矩图单位和荷载弯矩图 FPa FP 由单位和荷载弯矩图可勾画出基本体系变形图由单位和荷载弯矩图可勾画出基本体系变形图 FP FPa FP 由单位和
11、荷载由单位和荷载 M 图可求得位移系数、建立方程图可求得位移系数、建立方程 0 0 p222212 p112111 0 0 P2222121 P1212111 XX XX P2P1 11 4 , 88 15 FXaFX FP （Fpa） 原原 结结 构构 FP 基基 本本 体体 系系 FP FPa FP 单位和荷载弯矩图单位和荷载弯矩图 aFXaFX P2P1 88 3 , 88 15 能否取基本体系为能否取基本体系为 FP 小结：小结：力法的解题步骤力法的解题步骤 问题：问题： 超静定次数超静定次数 = = 基本未知力的个数基本未知力的个数 = = 多余约束数多余约束数 = 变成基本结构所需
12、解除的约束数变成基本结构所需解除的约束数 ( ) (1) 确定结构的超静定次数和基本结构确定结构的超静定次数和基本结构(体系体系) （3 次） 或 （14 次） 或或 (1 次） (6 次) (4 次) (b) 一个超静定结构可能有多种形式的基本结一个超静定结构可能有多种形式的基本结 构，不同基本结构带来不同的计算工作量。构，不同基本结构带来不同的计算工作量。 因此，要选取工作量较少的基本结构。因此，要选取工作量较少的基本结构。 确定超静定次数时应注意：确定超静定次数时应注意： (c) 可变体系不能作为基本结构可变体系不能作为基本结构 (a) 切断弯曲杆次数切断弯曲杆次数3、链杆、链杆1，刚结
13、变单铰，刚结变单铰1， 拆开单铰拆开单铰2。总次数也可由。总次数也可由计算自由度计算自由度得到。得到。 (2) (2) 建立力法典型方程建立力法典型方程 nnPnnnn Pnn XX XX 11 111111 P X 或写作矩阵方程或写作矩阵方程 (3) (3) 作基本结构在单位未知力和荷载（如果作基本结构在单位未知力和荷载（如果 有）作用下的弯矩（内力）图有）作用下的弯矩（内力）图 Pi MM , (4) 求基本结构的位移系数求基本结构的位移系数 ij (5) (5) 求求基本结构的基本结构的广广义荷载义荷载位移位移 iP 注意：注意： 用图乘法求用图乘法求 和和 时应注意图乘条件时应注意图
14、乘条件 ij iP (6) 解方程求未知力解方程求未知力 i X 图乘来求图乘来求 (7)(7)根据叠加原理作超静定结构根据叠加原理作超静定结构的的内力图内力图 (8) (8) 任任取取一基本结构，求超静定结构一基本结构，求超静定结构的位移的位移 P i ii MXMM P NNN FXFF i i i QPQQ FXFF i i i 例如求例如求 K 截面竖向截面竖向 位移：位移： FP （Fpa） K FP （Fpa） K )( 1408 3 162 ) 88 15 88 3 ( 2 1 2 1 88 3 6 5 8 1 1 3 P 3 P 2 PP 1 P 2 1 EI aFaFa aF
15、aF EI aF a EI Ky )( 1408 3 88 3 2 1 8 1 1 3 P P 2 1 EI aF aF a EI Ky （9）对计算结果进行校核）对计算结果进行校核 对结构上的任一部分，其对结构上的任一部分，其 力的平衡条件均能满足。力的平衡条件均能满足。 0 C M 如：如： 问题：使结构上的任一部分都处于平问题：使结构上的任一部分都处于平 衡衡 的解答是否就是问题的正确解？的解答是否就是问题的正确解？ FP （Fpa） 原原 结结 构构 FP 基基 本本 体体 系系 FP 假如：假如： 由由 0 0 2222121 1212111 P P XX XX 可证：平衡条件均能满足。可证：平衡条件均能满足。 0,0 21 PByPBx 求得：求得： 0,0 21 XX() 但：但： FP FPa M 图图 结论：结论：对计算结果除需进行力的校核外，对计算结果除需进行力的校核外， 还必需进行位移的校核。还必需进行位移的校核。 链链 举举 例例 FP （Fpa） 0 16388 15 2 1 3 2 88 3 2 1 2 1 88 3 3 2 2 1 3 P 2 P 2 P 1 P 2 1 aFa aF a aF EI aF a EI Ax 返返 章章 首首 参看课程教材参看课程教材 结束结束
