1、1:151引引 言言积分学分为不定积分与定积分两部分。不定积分是作为函数导数的反问题提出的，而定积分是作为微分的无限求和引进的，两者概念不相同，但在计算上却有着紧密的内在联系。1:152本章主要研究不定积分和定积分的概念、性质及基本积分方法，并揭示二者的联系，从而着重论证微积分学核心定理（牛顿莱布尼茨公式）,解决定积分的计算问题，同时研究定积分在几何、物理及医学等方面的应用，最后简单研究广义积分。1:153第3.1节 不定积分第3.2节 不定积分的计算第3.3节 定积分第3.4节 定积分的计算第3.5节 广义积分1:154一、不定积分定义一、不定积分定义在小学和中学我们学过逆运算：如：加法的逆
2、运算为减法 乘法的逆运算为除法 指数的逆运算为对数1:155微分法：微分法：)?()(xF积分法：积分法：)()?(xf互逆运算互逆运算1:156原函数原函数(primitive function)定义定义定义定义1 在某一区间上F(x)f(x)，则称F(x)为f(x)在这个区间上的一个原函数。例：(x2)2x(sin x)cos x所以x2是2x的一个原函数sin x是 cos x的一个原函数1:157不定积分不定积分因为 (x2)2x，(x21)2x，(x2ln2)2x设F(x)、G(x)都是f(x)的一个原函数，则：G(x)F(x)G(x)F(x)f(x)f(x)0从而G(x)F(x)C
3、 即G(x)F(x)C定理定理1 如果F(x)是f(x)的一个原函数,则：f(x)的所有原函数可表示为 F(x)C。1:158不定积分定义不定积分定义定义定义2 函数f(x)的所有原函数，称为f(x)的不定不定积分积分。记作：如果F(x)是f(x)的一个原函数,则由定义有dxxf)(CxFdxxf)()(积分号积分变量被积函数积分表达式积分常数1:159因为 x2,sin x 分别是 2x,cos x 的一个原函数，所以求已知函数的原函数的方法称为不定积分法或简称积分法积分法。Cxxdx22Cxxdxsincos积分法是微分法的逆运算。1:1510二、二、不定积分的不定积分的几何意义几何意义f
4、(x)的一个原函数F(x)的图形,称为f(x)的积分曲线。yF(x)yF(x)Cx0yox其斜率都是f(x),所以积分曲线上横坐标相同处切线彼此平行。CxFdxxf)()(表示一族积分曲线。1:1511由不定积分的定义可知，不定积分就是微分运算的逆运算。因此，有一个导数或微分公式，就对应地有一个不定积分公式。1:1512不定积分的基本公式不定积分的基本公式CedxeCaadxaCxdxxCxdxxCdxxxxx )5(ln1 (4)ln1 )3(1)(11 )2(0 )1(1注意绝对值CxdxxCxdxxCxxdxCxxdxCxxdxCxxdxarctan11)11(arcsin11)10(c
5、otcsc )9(tansec )8(sincos )7(cossin )6(22221:1513不定积分性质不定积分性质1.(f(x)dx)f(x)或 df(x)dx f(x)dx2.F(x)dx F(x)C 或 dF(x)F(x)C1:1514二、不定积分的运算法则二、不定积分的运算法则1.af(x)dx af(x)dx2.f(x)g(x)dx f(x)dx g(x)dx1:1515例例3.1.1dxxx)1(.1dxxxx)5sin34(.2dxxxx3)2)(1(.3dtt2cos .42)2cos12(cos2ttdxxx2211 .5dxexx2 .61:1516利用基本积分公式及
6、不定积分的性质直接计算不定积分，有时很困难，因此，需要引进一些方法和技巧。下面介绍不定积分的两大积分方法：换元积分法与分部积分法换元积分法与分部积分法1:1517通过适当的变量变换,使复杂的积分转换为简单的积分,称为换元积分法换元积分法1:1518一、第一类换元积分法（凑微分法）一、第一类换元积分法（凑微分法）例例3.2.1xdx3sin .1 xdx21 .2dxxx21 .3dxxxln1 .4xdxtan .51:1519第一类换元积分法步骤如下：第一类换元积分法步骤如下：dxxxgdxxf)()()(dudxxux)(,)(令CxGCuGduug)()()(1:1520例例3.2.2d
7、xxex2 .1xdxxdx32cos cos .2xdxx52sincos .322 .4xadx22 .5xadx22 *.6axdx65 *.72xxdx24 *.8xxdxxdxxdxcsc sec *.91:1521解解622axdxaxaxaaxaxax1121)(1122dxaxaxa1121原式Caxaxalnln21Caxaxaln211:1522解解7652xxdx41)25()25(2xxdCxx21)25(21)25(ln2121Cxx23lndxxxxxdx2131)3)(2(原式Cxx2ln3lnCxx23ln1:1523解解824xxdx2)2(4)2(xxdCx
8、22arcsin1:1524解解9xdxxdxcsc secdxxcos1dxxx2coscosuxxxdsin sin1)(sin2令Cuuudu11ln2112Cxx1sin1sinln21Cxx22sin1)sin1(ln21Cxxtansecln1:1525续续xdxcscdxxsin12cos2sin2xxdx2cos2sin22cos2xxxdx2tan2tanxxdCx2tanln1:1526*思考题思考题：xdxcot .1)(.2bxaxdxcxxxdx|cotcsc|lncsc .3cxxdx|)42tan(|lnsec .41:1527解解1xdxcotdxxxsinco
9、sxxdsin)(sinCx sinln1:1528解解2)(bxaxdxbxaxbabxax111)(1dxbxaxba111原式Cbxaxbalnln1Cbxaxbaln11:1529解解3cxxxdx|cotcsc|lncscdxxxdxx2sinsinsin1uxxxdxxdcos 1cos)(coscos1)(cos22令Cuuudu11ln21 12Cxxcos1cos1ln21Cxx22cos1)cos1(ln21Cxxcotcscln1:1530解解4Cxxdx|)42tan(|lnsec2sin2cos1xxddxxCx221tanlnCx42tanln1:1531总结如下：
10、总结如下：)()(1)(baxdbaxfadxbaxf)()(21)(222xdxfdxxxf)(ln)(ln)(lnxdxfdxxxf)()()(xxxxedefdxefe)(sin)(sincos)(sinxdxfxdxxf)(arcsin)(arcsin1)(arcsin2xdxfxdxxf)(tan)(tancos)(tan2xdxfdxxxf1:1532二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法第一类换元积分法是利用凑微分的方法，把一个较复杂的积分化成便于利用基本积分公式的形式，但是，有时不易找出凑微分式，却可以设法作一个代换x (t)，而积分 f(x)dx f(t)(t)dt可用基本
11、积分公式求解1:1533定理定理2设f(x)连续,x (t)是单调可导的连续函数,且其导数(t)0,x(t)的反函数t1(x)存在且可导,并且 f(t)(t)dtF(t)C,则 f(x)dxF1(x)C1:1534例例3.2.3*dxxa22 .122 .2axdx22 .3axdx21 .4xxxdxdxxxx10252 .52dxxx1 .6xxdx)1(.73dxxx23)4(.8231 .92xxdx1 .1022xxdx1:1535解解1dxxa22则 ,2,2,sinttaxtataaxacossin22222dttadxcosdttatdtata22coscoscos原式Ctta
12、42sin22Cxaxaxa2222arcsin2axaaxttt222cossin22sin1:1536解解2.)0(d22aaxxtaataaxsectan22222则设 ,2,2,tan ttaxtdtadx2secdttatasecsec2原式dtt sec1tanseclnCtt122 lnCaxaaxCaxx22ln1:1537解解322axdxtdttadxtaxtansec 则：,sec 设taataaxtansec22222tatdttatantansec原式dtt sec1tanseclnCtt122 lnCaaxaxCaxx22ln1:1538特例特例用尤拉代换计算解：解
13、：22axdxxuax22 令：uxuaxuxuax22222222duxuudxxduudxudu)(2220uduaxdxuduxudx22CaxxCuuduaxdx2222lnln1:1539解解421xxxdxdxxxx21)21(2121221)21(21 121xxdxxxxdx2221)1(21)21(45)21(21xxxxdxxdCxxx1212)1(1211214521arcsin21Cxxx21512arcsin211:1540解解5dxxxx102522dxxxx1027)22(2222)1(3)1(7102)22(xxdxxdxxCxxx31arctan37)102l
14、n(2Cxxxxxd31arctan317102)102(221:1541解解6dxxx1tdtdxtxtx2 ,112令tdttt2)1(2原式dttt)(224Ctt)35(235Cttt)53(15224Cxxx)23(115221:1542解解7xxdx)1(3dttdxtx566,令325)1(6ttdtt原式2216tdttdttt2211)1(6dtt21116Ctt)arctan(6Cxx)arctan(6661:1543解解8dxxx23)4(23tdtdxtxcos2,sin2令ttxcos2sin44422tdtttcos2)cos2(sin2333原式dttt23cos
15、sin2tdttcoscoscos1222tdtcoscos1122Cttcos1cos2Cxx22422421:1544解解912xxdxdttdxtx21,1令111122ttdtt原式21 tdtCt arccosCx1arccos1:1545解解10122xxdxdttdxtx21,1令1111222ttdtt原式21 ttdt221)1(21ttdCt121)1(211212Cx2111:1546三三.几个积分公式：几个积分公式：cxxdxcoslntancxxdxsinlncotcxxxdxtanseclnseccxxxdxcotcsclncsccaxaxadxarctan122c
16、axaxaaxdxln21221:1547续续caxxadxarcsin22caxxaxdx2222lncxaxaxadxxa222222arcsin2caxxaaxxdxax2222222ln221:1548如果u u(x)与v v(x)都有连续的导数，则由函数乘积的微分公式d(uv)vduudv 移项得 udv d(uv)vdu从而udv uvvdu这个公式叫作分部积分公式,当积分udv不易计算，而积分vdu 比较容易计算时，就可以使用这个公式。1:1549例例3.2.4*xdxxsin .12dxexx2 .2xdxx arctan .3xdxln .4xdxexsin .5dxax22
17、 .6dxex .71:1550解解1xdxxsin2)cos(sin xdxdx)cos(2xdxuv)(coscos22xxdxxxdxxxxcos2cos2)(sincos xdxdx)(sin2cos2xxdxxuv)sinsin(2cos2xdxxxxxCxxxxx)cossin(2cos21:1551解解2)(xxeddxe)(2xedxuv)(22xdeexxxdxxeexxx22)(22xxexdexuv)(22dxexeexxxxdxexx2)(xxeddxe又Cexeexxxx)(22Cxxex)22(21:1552解解3xdxx arctan)2(arctan2xxddx
18、xxxx222121arctan21xdxxx)111(21arctan2122Cxxxx)arctan(21arctan2121:1553解解4xdxln)(lnlnxxdxxCxxxlndxxxxx1ln1:1554解解5xdxexsin)cos(xdexxdxexexxcoscos)(sinsincosxxxexdxexeCxxexxexx)cos(sin21dsin)(sincosxdexexxxdxexexexxxsinsincos1:1555另解另解5xdxexsin)(sinxexd)(sinsinxdexexx)(cossinxxexdxeCxxexxexx)cos(sin21
19、dsinxdxexexxcossin)(coscossinxdexexexxxxdxexexexxxsincossin1:1556解解6dxax222222axxdaxxxdxaxxaxx2)(21212222dxaxxaxx22222dxaxaaxaxx22222222222222axdxadxaxaxx2222222lnaxxadxaxaxxCaxxaaxxdxax2222222ln221:1557解解7dxextdtdxtxtx2,2令tdtet2)(2tetd)(2dtetettCetett)(2Cxex)1(21:1558总结总结axdxxPaxdxxPdxexPnnaxncos)(
20、,sin)(,)()1(xdxxPxdxxPxdxxPnnnarctan)(,arcsin)(,ln)()2(bxdxebxdxeaxaxcos,sin )3(1:1559有理函数总可以写成两个多项式的比nnnnmmmmnmbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(其中n为正整数,m为非负整数,a00,b00,设分子与分母之间没有公因子,当nm时,叫做真分式;当mn时,叫做假分式,假分式可以用除法把它化为一个多项式与一个真分式之和。1:1560例例3.2.5*dxxxx322 .12dxxxx)2()1(1 .22dxxxxxx1223 .3232)1)(12(122223x
21、xxxx1:1561解解1dxxxx322213)1)(3(23222xBxAxxxxxx2)3()1(xxBxA4334:,1BBx得令4114:,3AAx得令143341xdxxdx原式Cxx1ln433ln411:1562解解2dxxxx)2()1(122)1(1)2()1(122xCxBxAxxx1)1()2()2)(1(2xxCxBxxA22:,1BBx得令3:,2Cx得令3122:,0ACBAx得令23)1(2132xdxxdxxdx原式1:1563解解3dxxxxxx1223232)1)(12(122223xxxxx112)1)(12(3222xCBxxAxxxx3)12)()1
22、(22xxxCBxxA51141145:,21AAx得令543:,0CCAx得令533)(2:,1BCBAx得令1:1564续续1541531251122xdxxxdxxdx原式xxxdxarctan541)1(10312ln101122Cxxxarctan541ln10312ln101121:1565总结总结“积不出”的积分：dxex2dxxxsindxxexxdxx sin1:1566例例3.2.6)(,)25(.12bxaxxdx)(,48 .222cxbxaxxdxdxxxx3291 .3)91()91(992232xxdxxxdxxxdxxxdx1:1567P112四6(13)dxx
23、x2sinsinln)cot(sinlnxxd)sin(lncotsinlncotxxdxxdxxxxxxsincoscotsinlncotdxxxxx22sinsin1sinlncotCxxxxcotsinlncot1:1568P112四8(3)xdxtan1xxxdxsincoscosxxdxxxx22sincos)sin(coscosxxdxxxxdx2coscossin2coscos2xdxdxxx2tan212cos2cos121xxxdx2cosln41212cos21Cxxxx212cosln412tan2secln41Cxx212sin1ln41Cxxx21cossinln21
24、1:1569解法二xdxtan1xxxdxsincoscosxxdxxxxxsincos)sincoscossin(21Cxxx21cossinln21dxxxxx1sincoscossin21xxxxxd21sincos)sin(cos211:1570在初等数学中，我们会求有规则的图形面积，如三角形、圆形、多边形的面积，但是对无规则封闭曲线围成的平面图形面积如何计算，就是定积分解决的问题。计算这类平面图形的面积，最终归结为求特定结构的和式极限。定积分在科学技术和医药等领域有广泛的应用，本节将研究它的概念、性质、计算及其应用。1:1571我们先介绍曲边梯形的概念，然后由求曲边梯形面积和变速直线
25、运动的路程入手，引出定积分的概念。1:1572一、曲边梯形的面积一、曲边梯形的面积设yf(x)在区间a,b上连续,且f(x)0,则由直线xa,xb,x轴及曲线yf(x)所围成的图形aMNb称做曲边梯形(curvilinear trapezoid)。Mb)(xfy xoayN1:1573abxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积。abxyo（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程观察下列演示过程,注意当分割加细时注意当分割加细时,矩形面积和与曲边梯形面积的关系。矩形面积和与曲边梯形面积的关系。播放播放1:1575曲边梯
26、形如曲边梯形如图所示图所示在a,b内插入n1个分点：ax0 x1x2xi1 xixn1xnb。将区间分成 n个小区间xi1,xi,长度为xixixi1,在每个小区间上任取一点i(xi1ixi)。以xi1,xi为底,f(i)为高的小矩形面积为：Ai f(i)xia bxyoi ix1x1 ix1 nx1:1576曲边梯形面积的近似值当分割无限加细，即小区间的最大长度，max1inixniiixfA1)(iniixfA)(lim10趋近于零(0)时，曲边梯形面积为：1:1577二、变速直线运动的路程二、变速直线运动的路程设某物体作直线运动,已知速度vv(t)是时间间隔T1,T2上t的一个连续函数,
27、且v(t)0,求物体在这段时间内所经过的路程。思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值。1:1578（1）分割：）分割：T1 t0t1t2tn1tn T2（2）取近似：）取近似：1iiitttiiitvs)(iinitvs)(1（3）求和：）求和：（路程的精确值）max1initiniitvs)(lim10（4）取极限：）取极限：部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度1:1579三、定积分的定义三、定积分的定义设f(x)在a,b上有界,在a,b内任意插入n1个分点：ax0 x1xi1
28、xi0，为曲线yf(x)和x轴及两条直线xa、xb所围曲边梯形面积曲边梯形面积f(x)0，是一个负数，其绝对值绝对值为曲线yf(x)和x轴及两条直线xb、xc所围曲边梯形面积曲边梯形面积一般地，定积分为曲线yf(x)和x轴及两条直线xa、xd所围曲边梯形面积的代数和代数和oxyabdc1:1585举例：举例：用定义求定积分yx2在0,1上连续，定积分存在。故可将0,1区间n等份：0 x0 x1xixn1，且取小区间的右端点。102dxxnixinxi1 ,nixii ,nnixfdxxnininii1lim)(lim1210102ninin1231lim6)1)(12(1lim3nnnnn31
29、111261limnnn1:1586性质性质1 若函数f1(x)、f2(x)在区间a,b上可积，则f1(x)f2(x)在a,b上也可积,且性质性质2 若函数f(x)在a,b上可积,则cf(x)在a,b也可积,c为任意常数,且bababadxxfdxxfdxxfxf)()()()(2121dxxfcdxxcfbaba)()(1:1587性质性质3 若函数f(x)在a,b上可积,且acp2。若血管某截面上某一点与血管中心距离为r,其流速v(r)其中为血液黏滞系数,求单位时间内,通过该截面的血流量Q。)(4)(2221rRLpprv1:151271P2PRLdrrdr2dQ1:15128解：解：将半
30、径为R的截面圆上,求出通过截面的某个圆环的血流量Q的近似值。在0,R上任取一点r,在r,rr上圆环面积近似值为2rr,所以在单位时间内,区间上的血流量微元是dQ v(r)2rrRRrdrrvdQQ002)(RrdrrRLpp02221)(2)(4218)(RLpp1:15129课堂练习课堂练习*1 11 12221sin1dxxxdxxx?1sin1 122dxxxx1 12201dxxx102212dxxx102)111(2dxx10arctan2xx221:15130思考思考椭圆绕x轴与绕y轴旋转所成的体积是否相同，为什么？12222byaxyox1:15131在一些实际问题中，我们常遇到
31、积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分，它们已经不属于前面所说的定积分了。因此，我们对定积分作如下两种推广，从而形成“广义积分”的概念。无穷区间上广义积分无界函数的广义积分1:15132211)121(11 :2121 2xdxx例?1,1 2ndxxn311)131(113131 2xdxx10011)11001(1110011001 2xdxxnnxdxxnn11)11(1111 21:15133定义定义4 设函数f(x)在区间a,)内连续,b是a,)内任一实数,若极限存在,则称此极限值为函数f(x)在区间a,)内的广义积分,记做并称此时广义积分收敛,否则,若不存在,则称此时广义
32、积分发散。babdxxf)(limbabadxxfdxxf)(lim)(babdxxf)(lim1:15134同样可定义在区间(,b上的广义积分f(x)在区间(,)上的广义积分,如果对任意实数C,广义积分baabdxxfdxxf)(lim)(ccdxxfdxxf )()(与都收敛,则称广义积分dxxf)(收敛或存在,否则称为发散。ccdxxfdxxfdxxf )()()(1:15135例例3.5.1 计算广义积分dxx2110 20 21111 :dxxdxx原式解bbaadxxdxx020211lim11limbbaaxx00arctanlimarctanlim2)2(arctanlimar
33、ctanlimbaba1:15136这个广义积分值的几何意义是：当a,b时,虽然图中阴影部分向左、右无限延伸,但面积却有极限值。211xy简单地说,它是位于曲线的下方,x轴上方的图形面积。yxo211xy1:15137例例3.5.2 讨论广义积分敛散性。1 1dxxp11|ln1,1:xdxxp时当解111|111,1ppxpdxxp时当收敛发散 1 11 1ppp1:151381:15139定义定义5 设函数f(x)在(a,b上连续,且如果对于任意0,极限)(limxfax存在,则称此极限值为函数f(x)在a,b上的广义积分,记为babadxxfdxxf 0)(lim)(并称此时广义积分收敛
34、,否则就说广义积分发散,其中a称为瑕点,此积分也称为瑕积分。badxxf 0)(lim1:15140同样,若设函数f(x)在a,b)上连续,且任取 0,则定义广义积分)(limxfbxbabadxxfdxxf 0)(lim)(1:15141若函数f(x)在区间a,b内除xc外连续,且任取10,20,则定义广义积分只有当右边两个极限都存在时,广义积分才收敛,否则称此广义积分发散。)(limxfcxbccabadxxfdxxfdxxf)()()(badxxf)(bccadxxfdxxf 0 02211)(lim)(lim1:15142例例3.5.3 计算广义积分)0(1022adxxaa解解：因为
35、xa为瑕点221limxaaxaxadx0 220lim原式aax00arcsinlim2arcsinlim0aa1:15143例例3.5.4 判别敛散性1 121dxx解解：被积函数在积分区间1,1上除x0外皆连续，且201limxx并由于0 1200 121lim1dxxdxx0101limx发散11lim0所以原广义积分发散。1:15144注意：注意：如果疏忽于x0是被积函数的瑕点(或无穷间断点),就会得到以下错误结果211111 11 12xdxx1:15145分部积分在广义积分中的应用00 xxxdedxxe00)(dxexexx00)(xdeexxx100 xe1:15146广义积
36、分在医药学中的应用例例 假设口服一定剂量的某种药物后,血药浓度与时间的关系为：C(t)40(e0.2t e2.3t)研究表明：血药浓度与时间曲线下的面积反映药物吸收程度。代表药物的生物利用度大小。试求ct曲线下的面积AUC。0 )(:dttcAUC解6.182)(400 3.22.0dteett1:151471:15148万有引力和宇宙速度万有引力和宇宙速度n空间技术的动力学原理基本上是牛顿力学。n使物体绕地球作圆周运动的速度被称为第一宇宙速度(7.9km/s)；n使物体摆脱地球引力，飞离地球的速度被称为第二宇宙速度(11.2 km/s)；n使物体摆脱太阳引力，飞出太阳系的速度被称为第三宇宙速
37、度(16.7km/s)。1:15149第二宇宙速度第二宇宙速度（宇宙飞船脱离地球引力所需速度）（宇宙飞船脱离地球引力所需速度）222,(,)()111()(),(),SSSRRRrMmFGGMmrRSWF r drGMmdrGMmrRSSGMmWF r drRMmmgGWR 由 万 有 引 力 定 律 飞 船 与 地 心 距 离 为 时 地 球 对 飞 船 的 引 力 是为 引 力 常 数为 地 球 质 量为 飞 船 质 量把 飞 船 从 地 球 表 面发 射 到 距 地 心 距 离 为处 所 做 的 功 为使 飞 船 脱 离 地 球 引 力 场 相 当 于 发 射 飞 船 至 无 穷 远当
38、物 体 在 地 球 表 面 时 地 球 对 物 体 引 力 即 为 重 力从 而21211.2/2 mgRmgRmvvgRkms根 据 能 量 守 恒 定 律 发 射 飞 船 所 做 的 功 即 为 飞 船 飞 行 时 的 动 能1:15165牛顿牛顿艾萨克艾萨克（16421727）最负盛名的数学家、科学家和哲学家。他在1687年7月5日发表的自然哲学的数学原理里提出的万有引力定律以及他的牛顿运动定律是经典力学的基石。牛顿还和莱布尼茨各自独立地发明了微积分。1:15166是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。
