1、2/16/2023计算机图形学计算机图形学1第第7 7章章 三维物体的表示三维物体的表示 2/16/2023计算机图形学计算机图形学27.1 平面物体的表示平面物体的表示 三维图形物体中运用边界表示的最普遍的方三维图形物体中运用边界表示的最普遍的方式是使用一组包围物体内部的表面多边形。式是使用一组包围物体内部的表面多边形。很多图形系统以一组表面多边形来存储物体很多图形系统以一组表面多边形来存储物体的描述。由于所有表面以线性方程形式加以的描述。由于所有表面以线性方程形式加以描述，因此会简化并加速物体的表面绘制和描述，因此会简化并加速物体的表面绘制和显示。显示。2/16/2023计算机图形学计算机
2、图形学37.1.1 多边形表多边形表 如图如图7.2所示，该方法阐述了一个物体表面的所示，该方法阐述了一个物体表面的两个相邻多边形。两个相邻多边形。图图7.2 7.2 两个相邻多边形小平面的几何数据表表示两个相邻多边形小平面的几何数据表表示 2/16/2023计算机图形学计算机图形学47.1.1 多边形表多边形表 为了加快信息的存取，为了加快信息的存取，可将边表扩充成包括可将边表扩充成包括指向多边形表面表的指向多边形表面表的指针，这样两个多边指针，这样两个多边形的公共边可以很快形的公共边可以很快地标识，如图地标识，如图7.3所所示。示。图图7.3 上图表面的边表扩充成上图表面的边表扩充成包含指
3、向多边形表的指针包含指向多边形表的指针 2/16/2023计算机图形学计算机图形学57.1.2 平面方程平面方程 平面方程可以表示如下：平面方程可以表示如下：Ax+By+Cz+D=0 运用运用Cramer规则，可解出系数规则，可解出系数A、B、C和和D，用行列式表示如下用行列式表示如下：112233111yzAyzyz111222333xyzBxyzxyz112233111xyCxyxy111222333xyzDxyzxyz2/16/2023计算机图形学计算机图形学67.1.2 平面方程平面方程 展开行列式，平面方程中的系数为展开行列式，平面方程中的系数为 平面的空间方向用平面的法向量来表示，
4、如平面的空间方向用平面的法向量来表示，如图图7.47.4所示。所示。123231312123231312123231312()()()()()()()()()Ay zzy zzy zzBz xxz xxz xxCx yxx yyx yy2/16/2023计算机图形学计算机图形学77.1.2 平面方程平面方程 图图7.5示例了一个单位立方体中的一个平面。示例了一个单位立方体中的一个平面。(阴影多边形表面的平面方阴影多边形表面的平面方程为程为x-1=0，法向，法向量为量为N(1,0,0)。2/16/2023计算机图形学计算机图形学87.1.3 多边形网格多边形网格 图图7.7表示了表示了20个顶点
5、形成个顶点形成12个四边形的网格。个四边形的网格。图7.6 三角形带由11个三角形和13个顶点相连而成图7.7 一个四边形网格含有12个四边形由54个顶点组成2/16/2023计算机图形学计算机图形学97.2 二二 次次 曲曲 面面 二次曲面是一类常用的物体，这类表面使用二次曲面是一类常用的物体，这类表面使用二次方程进行描述。其中包括球面、椭球面、二次方程进行描述。其中包括球面、椭球面、环面、抛物面和双曲面。二次曲面，尤其是环面、抛物面和双曲面。二次曲面，尤其是球面和椭球面，是最基本的图形场景，经常球面和椭球面，是最基本的图形场景，经常作为图元而用于图形软件包中，由此可以构作为图元而用于图形软
6、件包中，由此可以构造更复杂的物体。造更复杂的物体。2/16/2023计算机图形学计算机图形学107.2.1 球面球面 用参数形式来描述球用参数形式来描述球面，即使用纬度和经面，即使用纬度和经度度(如图如图7.8所示所示)：图图7.8 参数坐标位置参数坐标位置(r,)在半径为在半径为r的球面上的球面上 coscosxrcossinyrsinzr2/16/2023计算机图形学计算机图形学117.2.2 椭球面椭球面 椭球面可以被看成是球面的扩展，其中三条椭球面可以被看成是球面的扩展，其中三条相互垂直的半径具有不同的值相互垂直的半径具有不同的值(如图如图7.10所示所示)。椭球面中心在原点的笛卡儿表
7、达式为椭球面中心在原点的笛卡儿表达式为 2221xyzxyzrrr2/16/2023计算机图形学计算机图形学127.2.2 椭球面椭球面 图图7.10中，使用纬度中，使用纬度角角和经度角和经度角所表所表示的参数方程为示的参数方程为 y=rycoscos z=rzsin 图图7.10 中心在原点、半径中心在原点、半径为为 的椭球面的椭球面 coscosxxr,xyzrrr2/16/2023计算机图形学计算机图形学137.2.3 环面环面 环面是轮胎状的物体，环面是轮胎状的物体，如图如图7.11所示。所示。可以将环面看成是满足可以将环面看成是满足下列方程的解集：下列方程的解集：图图7.11 环面，
8、其圆剖面中心环面，其圆剖面中心在坐标原点处在坐标原点处(cos)cosxx r r(cos)sinyyr rsinzzr2/16/2023计算机图形学计算机图形学147.3 孔斯孔斯(Coons)曲面曲面 1964年年S.A.Coons将将Hermite多项式所描述的多项式所描述的处理曲线的方法推广用以处理曲面，提出一处理曲线的方法推广用以处理曲面，提出一种曲面分片、拼合造型的思想。他用四条边种曲面分片、拼合造型的思想。他用四条边界构造曲面片，并通过叠加修正曲面片，产界构造曲面片，并通过叠加修正曲面片，产生满足用户需要的曲面。生满足用户需要的曲面。2/16/2023计算机图形学计算机图形学15
9、7.3.1 第一类第一类Coons曲面曲面 (1)对对P(0,w)、P(1,w)在在u向进行线性插值，得向进行线性插值，得到如图到如图7.12所示的直纹面。所示的直纹面。图图7.127.12 对对P P(0,(0,w w)、P P(1,(1,w w)在在u u向进行线性插值的直纹面向进行线性插值的直纹面 2/16/2023计算机图形学计算机图形学167.3.1 第一类第一类Coons曲面曲面(2)对对P(u,0)、P(u,1)在在w向进行线性插值，得向进行线性插值，得到如图到如图7.13所示的直纹面。所示的直纹面。图图7.137.13 对对P P(u u,0),0)、P P(u u,1),1)
10、在在w w向进行线性插值的直纹面向进行线性插值的直纹面 2/16/2023计算机图形学计算机图形学177.3.2 第二类第二类Coons曲面曲面 第二类第二类Coons曲面又称为双三次曲面又称为双三次Coons曲面，曲面，是较为常用的是较为常用的Coons曲面。与第一类曲面。与第一类Coons曲曲面一样，第二类面一样，第二类Coons曲面也可看作是三张曲面也可看作是三张面的组合，即面的组合，即 。区别在于。区别在于第二类第二类CoonsCoons曲面不仅插值于曲面的四条边界，曲面不仅插值于曲面的四条边界，而且插值于给定边界的斜率。而且插值于给定边界的斜率。123(,)(,)(,)P u wP
11、u wP u w2/16/2023计算机图形学计算机图形学187.4 贝塞尔贝塞尔(Bezier)曲面曲面 7.4.1 Bezier曲面的定义曲面的定义 给定空间的给定空间的 个点个点 (i i=0,1,=0,1,m m；j j=0,1,=0,1,n n)，称如下形式的张量积参数曲面，称如下形式的张量积参数曲面为为 次的次的BezierBezier曲面：曲面：(1)(1)mnijPm n,00(,)()()mniji mj nijP u wP Bu Bw,0,1u w2/16/2023计算机图形学计算机图形学197.4.1 Bezier曲面的定义曲面的定义 Bezier曲面的矩阵表达式为曲面的
12、矩阵表达式为 当当m=n=3m=n=3时，上述曲面片称为双三次时，上述曲面片称为双三次BezierBezier曲曲面面 0,000101,101110,1,01()()(,)(),(),()()nmnmmmn mm nnnnmBwPPPBwPPPP u wBu BuBuBwPPP2/16/2023计算机图形学计算机图形学207.4.2 Bezier曲面的性质曲面的性质 (1)角点位置。角点位置。Bezier曲面的四个角点分别是其控制网格的曲面的四个角点分别是其控制网格的四个角点，即四个角点，即 (2)边界线。边界线。00(0,0)PP0(0,1)nPP0(1,0)mPP(1,1)mnPP0,0
13、(,0)()mii miP uP Bu,0(,1)()mini miP uP Bu0,0(0,)()njj njPwP Bw,0(1,w)()nmjj njPP Bw2/16/2023计算机图形学计算机图形学217.4.2 Bezier曲面的性质曲面的性质(3)角点切平面。角点切平面。在角点在角点 处，曲面的处，曲面的u u向切矢量和向切矢量和w w向切矢量向切矢量分别为分别为 和和 ，从而曲面在该点，从而曲面在该点的切平面即为的切平面即为 ，三个控制顶点确定的三个控制顶点确定的平面。平面。(4)角点法矢量。角点法矢量。(5)凸包性。凸包性。曲面曲面 包含于其控制顶点包含于其控制顶点Pij(i
14、=0,1,m；j=0,1,n)的凸包之内。的凸包之内。00P1000()m PP0100()n PP00P10P01P(,)P u w2/16/2023计算机图形学计算机图形学227.4.2 Bezier曲面的性质曲面的性质(6)平面再生性。平面再生性。当所有的控制顶点落于一张平面内时，由凸当所有的控制顶点落于一张平面内时，由凸包性，包性，Bezier曲面也落于该平面内。曲面也落于该平面内。(7)仿射不变性。仿射不变性。曲面的某些几何性质不随坐标变换而变化，曲面的某些几何性质不随坐标变换而变化，并且对任一仿射变换，对曲面作变换等价于并且对任一仿射变换，对曲面作变换等价于对其控制顶点作变换。对其
15、控制顶点作变换。(8)拟局部性。拟局部性。当修改一个控制顶点时，曲面上距离它近的当修改一个控制顶点时，曲面上距离它近的点受影响大，距离它远的点受影响小。点受影响大，距离它远的点受影响小。2/16/2023计算机图形学计算机图形学237.5 B样条曲面样条曲面 给定空间给定空间 个点个点 (i i=0,1,=0,1,m m；j j=0,1,=0,1,n n)和和u u,w w参数轴上的节点向量参数轴上的节点向量 ，称下面张量积参数，称下面张量积参数曲面为曲面为 阶阶B B样条曲面。样条曲面。，(1)(1)mn ijP,0m km kiiUu,0n hn hjjWwkh,00(,)()()mnij
16、i kj hijP u wP Bu Bw1111(,),kmhnuwuuw w2/16/2023计算机图形学计算机图形学247.5 B样条曲面样条曲面 当当 ，为均匀节点向量时，称为均匀节点向量时，称 为均为均匀匀B B样条曲面，否则称为非均匀样条曲面，否则称为非均匀B B样条曲面。样条曲面。B B样条曲面公式也可写成如下矩阵形式：样条曲面公式也可写成如下矩阵形式：P Pyzyz (u u,w w)=)=U Uk kM Mk kP PkhkhM MT Th hW WT Th h ，B样条曲面具有局部性、凸凹性、仿射不变性样条曲面具有局部性、凸凹性、仿射不变性等性质。等性质。,m kU,n hW
17、(,)P u w1,2ymk1,2znh,0,1u w2/16/2023计算机图形学计算机图形学257.5 B样条曲面样条曲面 已知曲面的控制点已知曲面的控制点 (i,j=0,1,2,3)，参数，参数u,w且且 ，则构造双三次，则构造双三次B B样条曲面的步骤样条曲面的步骤如下：如下：(1)(1)沿沿w w(或或u u)向构造向构造 均匀三次均匀三次B B样条曲线样条曲线(i=0,1,2,3)(i=0,1,2,3)：ijP,0,1u w()iP wTT000010203()BP wPPPP MWTT110111213()BP wPPPP MWTT220212223()BP wPPPP MWTT
18、330313233()BP wPPPP MW2/16/2023计算机图形学计算机图形学267.5 B样条曲面样条曲面(2)再沿再沿u(或或w)向构造均匀三次向构造均匀三次B样条曲线，样条曲线，此时可认为顶点沿此时可认为顶点沿 滑动，每组顶点对应相滑动，每组顶点对应相同的同的w w，当，当w w值由值由0 0到到1 1连续变化，即形成连续变化，即形成B B样条样条曲面，此时表达式为曲面，此时表达式为 ()iP w01TTBBB23()()(,)()()P wP wP u wUMUM PM WP wP w2/16/2023计算机图形学计算机图形学277.5 B样条曲面样条曲面 双三次双三次B样条曲面如图样条曲面如图7.16所示。所示。图图7.16 双三次双三次B样条曲面样条曲面
