1、徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章1Chapter 4 solution of plane problems in polar coordinates 第四章第四章 平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章2Polar coordinates 极坐标极坐标 The position of a point P in polar coordinates is defined by the radial coordinate r and the angular coordinate .一点一点P的极坐标用径向坐标的极坐标用径向坐标r和角坐标和角坐标 表示表示
2、 P(r,)displacements:位移位移：ur u strains:应变应变:r rr stresses:应力应力：r r body force:体力体力:Kr K 徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章3 x r r y徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章44.1 Differential equations of equilibrium in polar coordinates极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程 P54(E)Fig.4.1.1;P58(中)图4-1徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章5Review:differential equations o
3、f equilibrium in rectangular coordinate直角坐标直角坐标 平衡方程平衡方程 x/x+yx/y+X=0-x方向的平衡方程，体力方向的平衡方程，体力和应力都是和应力都是x方向，故应力的第二个下标为方向，故应力的第二个下标为x方方向。对应力的第一个下标求导。向。对应力的第一个下标求导。y/y+xy/x+Y=0 -y方向的平衡方程，体方向的平衡方程，体力和应力都是力和应力都是y方向，故应力的第二个下标为方向，故应力的第二个下标为y方向。对应力的第一个下标求导。方向。对应力的第一个下标求导。In the first(second)differential equat
4、ion of equilibrium,the body force and stresses are in the x(y)direction,the second coordinate subscript in stresses is x(y),the differential of stresses is respect to the first subscripts.徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章6两种坐标系中的平两种坐标系中的平衡微分方程的比较衡微分方程的比较 x/x+yx/y+X=0 y/y+xy/x+Y=0 (2.2.2)r/r+r/(r)+(r-)/r+Kr=0 (4.
5、1.1)/(r)+r/r+2 r/r+K=0 (4.1.2)(r-)/r-正正r面面积大于负面面积大于负r面面积面面积,与通过与通过形心的形心的r轴有一角度轴有一角度 2 r/r-r 作用的正作用的正r面面积大于负面面积大于负r面面积，面面积，r与通过形心的与通过形心的 轴有一角度轴有一角度徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章74.2 geometrical and physical equations in polar coordinates极坐标中的几何物理方程极坐标中的几何物理方程 P57(E)Fig.4.2.1;P60(中)图4-2徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章8Only
6、 the radial displacement takes place只有径向位移只有径向位移 PP=ur AA=ur+ur/rdr BB=ur+ur/d r=(P A -PA)/PA=(AA-PP)/PA=(ur+ur/rdr)-ur/dr=ur/r =(P B-PB)/PB=(r+ur)d-rd/(rd)=ur/r 徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章9Only the radial displacement takes place只有径向位移只有径向位移 the angle of rotation of PA will be =0 the angle of rotation of
7、PB will be =(BB-PP)/PB=(ur+ur/d)-ur/rd=ur/(r)rr =+=ur/(r)徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章10Only the circumferential displacement takes place只有环向位移只有环向位移 PP=u AA=u+u/rdr BB=u+u/d r=0 =(P B-PB)/PB=(BB-PP)/PB=(u+u/d)-u /(rd)=u/(r)徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章11Only the circumferential displacement takes place只有环向位移只有环向位移 t
8、he angle of rotation of PA will be =(AA-PP)/PA =(u+u/rdr)-u /dr=u/r the angle of rotation of PB will be =-a的圆周上的应力同无孔时的应力的圆周上的应力同无孔时的应力 x)r=b=q y)r=b=0 yx)r=b=0 p61(E)(4.4.4)to(4.4.6)r=0.5q+0.5q cos2 =0.5q-0.5q cos2 r=-0.5q sin2 徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章47徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章48 r=0.5q+0.5q cos2 r=-0.5q s
9、in2 r=0.5q r=0 part 1 r=+0.5q cos2 part2 r=-0.5q sin2 徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章49Part 1 r=b:r=0.5q r=0 P66 Eqs.(4.6.5)with qb=-0.5q and a/b=0 become Eqs.(4.9.4)p72 徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章50Part 2 r=b:r=0.5q cos2 r=-0.5q sin2 Since r=/(r r)+2/(r22)=2/r2 r=-(/r)/(r )we assume =f(r)cos2 4=/(r r)+2/(r22)+2/r2 2
10、 =0(4.3.9)cos2 f(4)(r)+2/r f(r)-9/r2f+9/r3f=0 f(4)(r)+2/r f(r)-9/r2f+9/r3f=0 f=Ar4+Br2+C+D/r2 =cos2 Ar4+Br2+C+D/r2 p73 Eqs.(4.9.5)r r 徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章51Part 2-boundary condition r)r=a=0 r )r=a=0 r)r=b=0.5q cos2 r )r=b=-0.5q sin2-A B C D Solution=part1+part 2 Eqs.(4.9.6)徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章52 )r=
11、a=q(1-2cos2)max )r=a=3q independent of a两端受拉，产生压应力。两端受拉，产生压应力。徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章53B.a rectangular plate with a small circular hole of radius a and subjected to uniform tensile force of intensity q1 and q2 in the x and y direction respectively.具有半径为具有半径为a的小圆孔的矩形板在的小圆孔的矩形板在x和和y方向分别受到均布荷载方向分别受到均布荷载q1
12、和和q2作用。作用。1.Put q=q1 in Eqs.(4.9.6)用用 q=q1 代入式代入式(4.9.6)2.put q=q2 and replace by +/2 in Eqs.(4.9.6)式式(4.9.6)中中q用用q2代代,用用 +/2 代代.3.Adding the results together,we obtain Eqs.(4.9.7)上述结果相加得本问题解答上述结果相加得本问题解答(4.9.7)徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章54C.A plate of any shape in plane stress or strain condition with a s
13、mall circle hole located at some distance away from the boundary is subjected to any external forces.Assume that there is no hole,find the stress components and then the magnitudes and directions of the principal stresses,1 and 2,at the point corresponding to the center of the hole.Place the origin
14、of coordinates at the center of the hole,with x and y axes along 1 and 2 respectively,and apply Eqs.(4.9.7)with q1=1 and q2=2.徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章55C.任意平面问题的板中有一离边界较远的任意平面问题的板中有一离边界较远的半径为半径为a的小圆孔，受到任意荷载的小圆孔，受到任意荷载作用作用。假定无洞，求出洞中心处的应力，主应力假定无洞，求出洞中心处的应力，主应力 1 和和 2 及方向。及方向。置坐标原点于洞中心，置坐标原点于洞中心，x 轴在轴在 1 方
15、向，方向，y 轴轴在在 2 方向，将方向，将 q1=1 和和 q2=2 代入式代入式(4.9.7)得得欲求的解答。欲求的解答。徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章564.10 wedge loaded at the vertex or on the edges 契形体在契顶或契边受力契形体在契顶或契边受力 P75(E)Fig.4.10.1徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章57A.a wedge is subjected to a concentrated load at its vertex.契形体在契顶受集中力契形体在契顶受集中力 因次分析因次分析 dimensional anal
16、ysis stress-forcelength-2 P-forcelength-1 r -length ,-dimensionless stresses-P/r =r f()徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章58 =r f()(1)substitution of (1)into 4 =/(r r)+2/(r22)+2/r2 2 =0 yields 1/r3f(4)()+2f +f=0 f(4)()+2f +f=0 f=A cos +B sin+(C cos+Dsin)=rA cos +B sin+(C cos+Dsin)=r(C cos+Dsin)徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章
17、59 stresses =r(C cos+Dsin)r=/(r r)+2/(r22)=2/r(Dcos-Csin)(4.10.3)=2/r2=0 (4.10.4)r=-(/r)/(r)=0 (4.14.5)徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章60 boundary condition r=2/r(Dcos-Csin)=0 r=0 )=/2=0 r )=/2=0 are satisfied 徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章61boundary condition r=2/r(Dcos-Csin)free body 0AB Fx=0 -/2/2 rcos rd+Pcos=0 Fy=0
18、-/2/2 rsin rd+Psin=0徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章62boundary condition r=2/r(Dcos-Csin)free body 0AB Fx=0 -/2/2 rcos rd+Pcos=0 Fy=0 -/2/2 rsin rd+Psin=0 solving for D C and substituting D C into Eq.(4.10.3),we obtain:r=-2P/r(cos cos)/(+sin)+(sin sin)/(-sin)=0 r=0 (4.10.6)徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章63 special case 1特
19、例特例1:=/2 Fig.P y x r=-2Psin/(r)=0 r=0 徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章64Special case 2 特例特例2:=0-4.11 concentrated normal load on a straight boundary(Flamant s problem)直线边界上作直线边界上作用法向集中荷载用法向集中荷载(符拉芒问题）符拉芒问题）r=-2P cos /(r)=0 r=0 (4.11.1)徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章65displacements 平面应力问题的位移平面应力问题的位移 r=-2Psin/(r)=0 r=0 ur=
20、-2Pcos lnr/(E)-(1-)P sin /(E)+Icos u=2Psin lnr/(E)+(1+)Psin/(E)-(1-)P cos/(E)-Isin in which I is the rigid-body translation in the x direction.其中其中I为为x向刚体平动向刚体平动。徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章66Settlement-vertical displacement,positive downward.沉陷沉陷-铅直向位移，向下为正铅直向位移，向下为正 u=2Psin lnr/(E)+(1+)Psin/(E)-(1-)P cos/
21、(E)-Isin M(r,=/2)-arbitrary point on the surface M点沉陷点沉陷=-u)M=-2Plnr/(E)-(1+)P/(E)+I M(r,=-/2)-arbitrary point on the surface M点沉陷点沉陷=u)M=-2Plnr/(E)-(1+)P/(E)+I B(s,=/2)-base point B点沉陷点沉陷=-2Plns/(E)-(1+)P/(E)+I M点相对沉陷点相对沉陷=M点沉陷点沉陷-B点沉陷点沉陷 =u)M-u)B=2P/(E)ln(s/r)徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章67 P y x中文书 4-10B.
22、Uniform normal loads on a straight boundary 直线边界上作用法向分布荷载直线边界上作用法向分布荷载 徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章68 习题作业（英文书）4.12.1 4.12.5徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章69 4-12-1 Derive the following equations for coordinate transformation of displacement components:推导位移分量的坐标变换式：ur=u cos+v sin u=-u sin+v cos u=ur cos-u sin v=ur sin
23、+u cos 徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章70 4-12-2 A hollow cylinder with inner radius a and outer radius b is subjected to an internal pressure of intensity q.Find the change of the inner radius,the outer radius and the thickness.4-1 设有内半径为设有内半径为a外半径为外半径为b的圆筒受内压的圆筒受内压q，求内半径，求内半径 外半径和圆筒厚度的改变。外半径和圆筒厚度的改变。ur)r=a ur
24、)r=b ur)r=b-ur)r=a 徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章71 4-2 设有一刚体，具有半径为设有一刚体，具有半径为b的圆柱形孔道，的圆柱形孔道，孔道内放置内半径为孔道内放置内半径为a外半径为外半径为b的圆筒，受的圆筒，受圆筒内压圆筒内压q，求圆筒的应力。，求圆筒的应力。平面应变问题，轴对称应力平面应变问题，轴对称应力 r=A/r2+2C =-A/r2+2C r=0 r)r=a=-q ur)r=b=0 徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章724-12-5 A wedge of infinite length is subjected to uniform shearing forces of intensity q on its edges.Find stress components by using Eq.(4.10.12)徐汉忠第一版2000/7弹性力学 第四章73 =r2(A cos2+B sin2+C+D)r=/(r r)+2/(r22)=-2A cos2-2B sin2 +2C+2D =2/r2 =2A cos2+2B sin2 +2C+2D r=-(/r)/(r)=2A sin2-2B cos2 -C )=/2=0 r)=/2=q ABCD
