1、函数极限函数极限(Limits of Functions).xxxsin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数极限的概念极限的概念极限定义极限定义(Definition of a limit)Definition of a limit)The number L is the limit of the function f(x)as x approaches c(or approaches infinity)if,as the values of x gets arbitrarily(but not equal)to c(or approaches infinity),values of
2、f(x)approach(or equal)L.We write lim()(or lim()xcxf xLf xL0and xxx 极限，即自变量的值无限趋近但不等于某规定数值（或自极限，即自变量的值无限趋近但不等于某规定数值（或自变量绝对值无限增大）时，函数值趋近于某个定值。变量绝对值无限增大）时，函数值趋近于某个定值。设函数设函数y=f(x)在点在点 附近有定义（在点附近有定义（在点 可以无定可以无定义），若当义），若当x无限接近于无限接近于 时，函数时，函数f(x)的值无限接的值无限接近于常数近于常数A，则称当，则称当x趋于趋于 时，时，f(x)以以A为极限，为极限，记作记作 或或 f
3、(x)A(x )0 x0lim()xxf xA0 x0 x0 x0 x（描述性定义描述性定义）1.xx0时函数的极限时函数的极限Consider the function as 2:()3.xf xxxf(x)xf(x)1.91.991.9991.9999x2（from the left）2lim()5xf x2lim()5xf x2 the left-hand limit equals the right-hand limit,we can write:lim()5xIff xThis is called the left-hand limit and is written:This is
4、called the right-hand limit and is written:4.94.994.9994.99995.15.015.0015.0001 2.1 2.01 2.001 2.0001 x2 （from the right）f(x)5f(x)5000000If lim()lim(),then llim(im )lim()lim()xxxxxxxxxxxxf xf xAf xf xf xAf xAA设函数设函数y=f(x)在点在点 左左(或右或右)侧有定义（在点侧有定义（在点 可可以无定义），若当以无定义），若当x无限接近于无限接近于 时，函数时，函数f(x)的值无限接近于常数
5、的值无限接近于常数A，则称当，则称当x趋于趋于 时，时，f(x)以以A为为左（或右）极限左（或右）极限，记作，记作 00 xx（或）00lim()lim()xxxxf xAf xA（或）0 x0 x00 xx（或）左极限与有极限统称为左极限与有极限统称为单侧极限（单侧极限（one-sided limit）.左右极限又可分别记为左右极限又可分别记为0000(0)lim()(0)lim()xxxxf xf xf xf x与2.x时函数的极限时函数的极限1Consider the function as:().xf xx If lim()lim(),then lim().xxxf xf xAf xA
6、1lim0 xx1lim0 xx1lim0 xx21020(1)lim(21)(2)lim()111(3)lim (4)lim;lim xxxxxxxhxxxFind theExample limit.1lim0nxx 01lim?nxx*1nynxN（）Consider the limit of the function010(6)()00;lim()10 xxxf xxf xxx 判判断断是是否否存存在在.0(5)lim xx0lim ln).xx 没没有有极极限限(极极限限不不存存在在例例00(),lim().20.xx axf xf xaxx己己知知存存在在求求 的的值值例例极限的运算
7、法则（极限的运算法则（Rules of limits）0000Suppose the limits lim()and lim g(),and lim()A,lim g()B.xxxxxxxxf xxf xxexistThen000000000000lim CC(C is a constant)lim()lim()Alim()()lim()lim()ABlim()()lim()lim()A Blim()()Alim(B0)()lim()Bxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxkf xkf xkf xg xf xg xf x g xf xg xf xf xg xg xIf lim()an
8、d limg()exist,it has the same conclusion.xxf xx前提很重要前提很重要Evaluate the following limits225151211)lim 2)lim3()3)lim(1)1 4)lim2xxxxxexxxxx282226665)lim 6)lim 7)lim22321118)lim()222xxxnnxxxxxxxnnn 个对于一切初等函数，当对于一切初等函数，当 在该函数的定义域内，求在该函数的定义域内，求 的的极限值时，只需把极限值时，只需把 代入代入 即可。即可。0 x0 xx0 x()f x00lim()()xxf xf x
9、当当x趋近无穷求有理函数的极限时，先把分子分母除趋近无穷求有理函数的极限时，先把分子分母除以以x的的，然后再化简。，然后再化简。1011101100lim0,0mmmmnnxnna xa xaxab xbxb x bab其中,:x一般的有理关时对于函数于有00,0,amnbmnmn当当x趋近无穷求有理函数的极限时，先把分子分母除趋近无穷求有理函数的极限时，先把分子分母除以以x的的，然后再化简。，然后再化简。exercise24327529986860542542()lim (b)lim33133542542()lim (d)lim 70317031xxxxxxxxaxxxxxxxxxcxxxx
10、Homework2222212230221.Evaluate the limits333(1)lim (2)lim (3)lim 4434331 1(4)lim (5)lim(sincos)(6)lim911(7)lim(1)(2)xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 2.Find the limit of function(),if exist,at 0.f xx 22,0|(1)()0,0 (2)()1,0 xxxf xxf xxxx2113.If lim3,find,.1xaxbxa bx0sinlim1xxx两个重要极限两个重要极限(Two important lim
11、its)(Two important limits)?如何证明如何证明?measured in radiansx00tansin1limlim()cosxxxxxxx00sin1limlimcosxxxxx解解1 11 0sin1lim()cosxxxx这个结果可以作为公式使用这个结果可以作为公式使用1tanlim0 xxx0tanlimxxx例例 1求求例例 2 5,0,0 xtxt令当时 有0sin,5limttt所以 原式注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：0sin5 limxxx求(),x推广：设为趋近于0的一个整体()0sin()lim1()x
12、xx0sin5 limxxx解：05sin5lim5xxx0sin55lim5xxx0sin55lim5 155xxx 0sin5limxxx5 15 练习练习1.求下列极限求下列极限:00sin3 1 limsin52 lim3xxxxxx（）（）00sin33sin3 limlim3xxxxxx解：0sin33lim3xxx3 13 00sin5sin55 limlim()()353xxxxxx解：55133 0sin lim1 :xxx使用时须注意(1)类型：(2)推广形式:0 lim1si(3)nxxx等价形式：00型()0sin()lim1()xxx21sin(1)lim1xxx求2
13、11sin(1)sin(1)limlim1(1)(1)xxxxxxx11lim1)1sin(lim11xxxxx211111 例例 3解解1 lim sinxxx求例例 41lim sinxxxxxx11sinlim1解解1sin(1)1lim11xxxxxxxsinlim1sinlim0 xxx1limsinxxx10|sin|1 xxx 当 时且sin lim0 xxx故夹逼定理夹逼定理(Sandwich(Squeeze)theorem),(),()()()()(),lim()lim(),lim().xcxcxcf x g xh xg xf xh xg xAh xf xA在同一极限过程中
14、如果函数及满足且那么Proof:1sin1Since,for all,1 sinx1,it follows that,if 0,then.11sin,limlim()0 therefore by the Squeeze theorem lim0.sin the same way,lim0.Therefore limxxxxxxxxxxxxButxxxxInx，sin0 xxsinexampleprove that lim0.xxx：222sinlimxxxx 例例 用夹逼准则求用夹逼准则求01lim sinxxx练习练习3 3：下列等式正确的是（：下列等式正确的是（）sin.lim1;xxAx
15、1.lim sin1;xBxx 01.lim sin1;xCxx1sin.lim1xxDx B练习练习4 4：下列等式：下列等式不不正确的是正确的是（）A;1sinlim0 xxx B;1sinlim0 xxx C;11sinlimxxx D11sinlim0 xxxDsinlim_xxxx0sinlim_xxxx练习练习5.1001 coslim_xxx0201 coslim_xxx121lim 1xxex0sinlim1xxx两个重要极限两个重要极限(Two important limits)(Two important limits)?exxx )11(lim,1xt 令令1lim(1)
16、xxx 10lim(1)ttte (1)(1)10lim(1)ttte 1()()()()01lim(1)lim(1()()xxxxexex或.11lim2xxx 计计算算解解因为因为，1111212 xxxx，且e11limxxx所以，有所以，有21211lim11limxxxxxx.e11lim2121 xxx例例 1 .1lim20 xxx 计计算算例例 2 解解方法一方法一令令 u=-x，因为因为 x 0 时时 u 0，uuxxux2020)1(lim1lim 120lim(1)uuu 2e 所以所以120lim(1)uuu 方法二方法二掌握熟练后可不设新变量掌握熟练后可不设新变量 1
17、2200lim 1lim(1)xxxxxx 120lim(1)xxx 2e 3311lim()lim(1)xxxxxxx 31lim()xxxx 例例331lim1)xxx（3e解解10(1)lim(12)xxx练习练习解解1122200lim(12)lim(12)e.xxxxxx(2)lim()1xxxx111lim()lim.111e(1)lim(1)xxxxxxxxxx 23(3)lim()2xxxx2 24211lim(1)(1).22xxexx原式0ln(1)(4)limxxx极限的应用极限的应用1：找渐近线找渐近线Application of limits：Finding asym
18、ptotesA line y=c is a horizontal asymptote of graph of y=f(x),ifA line x=k is a vertical asymptote of graph of y=f(x),iflim()or lim()xxf xcf xclim()or lim()xkxkf xf x Example:find all asymptotes of the function 22221 212231(1)(2)(3)(4)214423xxxxyyyyxxxxxx极限的应用极限的应用2：连续：连续Application of limits：Contin
19、uity连续的定义连续的定义（Definition of continuity）直观认识直观认识：坐标平面上的图像是一条连绵不断的曲线坐标平面上的图像是一条连绵不断的曲线.（图像一笔画图像一笔画）函数在某点连续函数在某点连续(Continuous at a point)设函数在设函数在 附近有定义，若附近有定义，若 ，则称则称 在点在点 连续连续.0 x00lim()()xxf xf x()f x0 x000The function()is continuous at ,if lim()().xxf xxxf xf x22()21 is continuous at 2,because lim(
20、)lim(21)5(2Example:.)xxf xxxf xxf若函数若函数f在区间在区间I上的每一个点都连续，则称上的每一个点都连续，则称f为为I上的连续函数上的连续函数.注：基本初等函数在其定义域内都是连续函数，即幂函数、注：基本初等函数在其定义域内都是连续函数，即幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、多项式函指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、多项式函数、有理函数在其定义域上都是连续函数数、有理函数在其定义域上都是连续函数.有理函数有理函数 在在 处不连续处不连续.()()()0)()P xf xQ xQ x()0Q x 2,1:If the function()1,
21、1 2,1 E is continuxamplous at e1?xxf xxxxx2:For what value of the constant a is the function 1,4()is continuous on(,)?1,4Exampleaxxf xaxx 非连续性分类非连续性分类（Kinds of discontinuity）间断点间断点：若若f在点在点x0无定义，或无定义，或f在在x0有定义而不连续，则称有定义而不连续，则称x0为为函数函数f的间断点或不连续点的间断点或不连续点.1.可去间断可去间断 点点(Removable discontinuity)若若 f在在 无定
22、义，或有定义但无定义，或有定义但0lim()xxf xA0 x0()f xA2.跳跃间断点（跳跃间断点（Jump discontinuity）若函数若函数f在点在点 的左右极限都存在，的左右极限都存在，但但 ，则称点则称点 为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点.0 x0 x00lim()lim()xxxxf xf x3.无穷间断点（无穷间断点（Infiite discontinuity）至少有一侧极限不存在至少有一侧极限不存在.2 (0)The function()0 (0)xxf xxx(A)is continuous everywhere(B)is continuous except x=
23、0(C)has a removable discontinuity at x=0(D)has a infinite discontinuity at x=0(E)has x=0 as a vertical asymptote连续函数定理连续函数定理(Theorems of continuous function)1.最值定理（最值定理（Extreme value theorem）若函数若函数f在在闭区间闭区间a,b上连续上连续，则，则f在在a,b上有最大上有最大值与最小值值与最小值.If f is continuous on the closed interval a,b,then f att
24、ains a minmum value and a maximum value somewhere in that interval.2.介值定理（介值定理（Intermediate value theorem）若函数若函数f在闭区间在闭区间a,b上连续，且上连续，且f(a)f(b).若若M为介于为介于f(a)与与f(b)之间的任何实数之间的任何实数(f(a)Mf(b)or f(b)Mf(a)，则至少存在一点，则至少存在一点 c(a,b)，使得，使得f(c)=M.If f is continuous on the closed interval a,b,f(a)f(b),and M is a
25、number such that f(a)Mf(b)（or f(b)Mf(a),then there is at least one number,c,between a and b such that f(c)=M.特别的，若特别的，若f(a)f(b)0，那么，那么存在存在c(a,b)，使得，使得f(c)=0零点定理零点定理Zero point theoremHomework010230001.Evaluate the limitssin3sin(1)1 cos(1)lim (2)lim (3)lim (4)lim 5sin222sintan2sinsinh tanh1(5)lim (6)l
26、im (7)lim (8)lim()sin532(9)lim(xxxxxxxhxxxxxxxxxxxxxxxxxhx1001111)(10)lim(1)(11)lim()(12)lim cos2xxxxxxxxxxxx322231(1)(2)1233231310(3)(4)545xxxxyyxxxexxyyexx2.Find all vertical or horizontal asymptotes of the function:31sin (0)3.Let()=(0)Determine the value of such that the function is continuous on
27、(,).xxf xxaxxa 224.Identify the points of discontinuity of the function 2 (1)();(2)()45xxf xg xxxx25.The function is shown on the graph 1 (10)22 (01)()2 (12)1 (2)24 (23)xxxxf xxxxxx 000000()lim()()()().0-,(2)xxf xAf xAf xAyf xxxx xxAf xxxxx设函数在点 的某个邻域内有定设函数在点 的某个邻域内有定义 但在 可以没有定义 若对于任意给定的一个义 但在 可以没有定
28、义 若对于任意给定的一个无论多么小的正数,总存在一个正数,对于满足无论多么小的正数,总存在一个正数,对于满足的一切 不等式恒成立的一切 不等式恒成立则称常数 为函数当时的则称常数 为函数当时的记作 记作 定定或或义义.极限极限（分析性定义分析性定义）AxyoA+A x0y=f(x)x0 x0+0(1)(),;:,f xAxx中中的的 刻刻划划与与常常数数 的的接接近近程程度度刻刻划划 与与的的接接近近程程度度是是任任意意给给定定的的正正数数是是随随 而而注注意意定定义义确确定定的的.000000000(2)|,0|,0|(,)(,).xxxxxxxxxxxxxxx中中的的表表示示 与与 的的距距离离小小于于而而表表示示因因此此表表示示定定义义0000(3)0|,(),().xxxxxxf xf xx中的表示所以时中的表示所以时有没有极限 与在点 是否有定义有没有极限 与在点 是否有定义义义并无关系并无关系定定
