1、第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征一、随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望二、二、随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望三、三、数学期望的性质数学期望的性质1.数学期望数学期望引例引例1 分赌本问题分赌本问题(产生背景产生背景)A,B 两人赌技相同两人赌技相同,各出赌金各出赌金100元元,并约定先胜三局者为胜并约定先胜三局者为胜,取得全部取得全部 200 元元.由于出现意外情况由于出现意外情况,在在 A 胜胜 2 局局 B 胜胜1 局时局时,不得不终止赌博不得不终止赌博,如果要分如果要分赌金赌金,该如何分配才算公平该如何分配才算公平?注注:1654年年,一个骑士就此问
2、题求教于帕斯卡一个骑士就此问题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论帕斯卡与费马通信讨论这一问题这一问题,共同建立了概率论的第一个基本概念共同建立了概率论的第一个基本概念-数学期望数学期望在已赌过的三局在已赌过的三局(A 胜胜2局局B 胜胜1局局)的基础上，若继续赌的基础上，若继续赌A 胜胜 1/2B 胜胜 1/2A 胜胜 1/2B 胜胜 1/2A胜出的概率胜出的概率 1/2+1/2*1/2=3/4 B胜出的概率胜出的概率 1/2*1/2=1/4 在赌技相同的情况下在赌技相同的情况下,A,B 最终获胜的可能性大小最终获胜的可能性大小之比为之比为,1:3即即A 应获得赌金的应获得赌金的 而而 B 只
3、能获得赌金的只能获得赌金的,43.41因而因而A期望所得的赌金即为期望所得的赌金即为X的的“期望期望”值值,等于等于X 的可能值与其概率之积的累加的可能值与其概率之积的累加.).(15041043200元元 即为即为若设随机变量若设随机变量 X 为为:在在 A 胜胜2局局B 胜胜1局的前提局的前提下下,继续赌下去继续赌下去 A 最终所得的赌金最终所得的赌金.则则X 所取可能值为所取可能值为:2000其概率分别为其概率分别为:4341 引例引例2(射击问题射击问题)射手在同样条件下进行射击，命中的环数为随机射手在同样条件下进行射击，命中的环数为随机变量变量 ，其分布律如下：，其分布律如下：求该射
4、手平均每次命中的环数。求该射手平均每次命中的环数。Y89100.30.10.6Yp8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3 1122 kkkkkEp xp xp xp x 数学期望又可以称为数学期望又可以称为期望期望，均值。均值。121213.1kkkkkxxxppppx pE 定义 设离散型随机变量 的分布律为定义 设离散型随机变量 的分布律为若级数绝对收敛若级数绝对收敛数学期数学期定义 的定义 的望望，则为，则为离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望关于定义的几点说明关于定义的几点说明(1)E(X)是一个实数是一个实数,它是一种它是一种加权平均加权平均,也称均值也称均值.(2
5、)级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变项次序的改变而改变.,甲甲、乙乙两两个个射射手手他他们们击击中中环环数数的的分分布布律律分分别别为为试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?例例1 谁的技术好谁的技术好?乙射手乙射手2X击中环数击中环数概率概率10982.05.03.0甲射手甲射手1X击中环数击中环数概率概率10983.01.06.0解解),(3.96.0101.093.08)(1环环 XE),(1.93.0105.092.08)(2环环 XE故甲射手的技术比较好故甲射手的技术比较好.例例2 2 投资理财决策投资理财决策 某人
6、某人现有现有10万元现金进行为期一年的投资，现有万元现金进行为期一年的投资，现有2种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获利息。种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获利息。若买股票，则一年收益主要取决于全年经济形式好（若买股票，则一年收益主要取决于全年经济形式好（概率概率30%）、中等（概率）、中等（概率50%）、和差（概率）、和差（概率20%）三种状态，形式好就能获利三种状态，形式好就能获利40000元，形式中等也能元，形式中等也能获利获利10000元，形式差就要损失元，形式差就要损失20000元。若存入银行元。若存入银行，则按，则按8%的年利率获得利息的年利率获得利息8000元。元。解解
7、设设 X 为投资利润，则为投资利润，则()40000 0.3 10000 0.520000 0.213000E X 存入银行的利息存入银行的利息:8000故应选择股票投资故应选择股票投资.Xp400003.00.51000020000 0.2 0132p0.4 0.30.20.1 练练 设设随随机机变变量量 的的分分布布律律为为 22-1EEE求求，0 0.41 0.32 0.23 0.11E 解解：2 02123222p0.40.30.20.12 随随机机变变量量的的分分布布律律为为20 0.41 0.34 0.29 0.12E 21 -1153p0.40.30.20.121 随随机机变变量
8、量的的分分布布律律为为 211 0.41 0.33 0.25 0.11E 例例3 3 最优订购方案最优订购方案 某商场订购下一年的挂历，零售价某商场订购下一年的挂历，零售价8080元元/本，进价本，进价5050元元/本，若当年卖不出去，则降价到本，若当年卖不出去，则降价到20元元/本全部销本全部销售出去。根据往年经验，需求概率如下：在当年售出售出去。根据往年经验，需求概率如下：在当年售出150本、本、160本、本、170本和本和180本的概率分别为本的概率分别为0.1，0.4，0.3，0.2。有以下四种订购方案。有以下四种订购方案：(1)订购订购150本；本；(2)订购订购160本；本；(3)
9、订购订购170本；本；(4)订购订购180本，请问哪本，请问哪种方案可使期望利润最大？种方案可使期望利润最大？(1)订购订购150本本:设随机变量设随机变量X表示该方案下的利润表示该方案下的利润(百元百元)Xp450.40.34545450.20.145 0.1 45 0.4 45 0.3 45 0.245EX (2)订购订购160本本:设随机变量设随机变量Y表示该方案下的利润表示该方案下的利润(百元百元)Yp420.40.34848480.20.142 0.1 48 0.4 48 0.3 48 0.247.4EY (3)订购订购170本本:设随机变量设随机变量Z表示该方案下的利润表示该方案下
10、的利润(百元百元)Zp390.40.34551510.20.139 0.1 45 0.4 51 0.3 51 0.247.4EZ (4)订购订购180本本:设随机变量设随机变量R表示该方案下的利润表示该方案下的利润(百元百元)Rp360.40.34248540.20.136 0.1 42 0.4 48 0.3 54 0.245.6ER 选择方案选择方案2或或3，可使期望利润最大。，可使期望利润最大。连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 例例 已知随机变量已知随机变量 在区间在区间a,b上服从均匀分布，上服从均匀分布，求求X.EX1,()0,Xaxbf xba 解解：随随机机变变量量
11、 的的概概率率密密度度为为其其他他 211().22bbaabaEXxf x dxxdxxbaba 10.vtTF tev 例设发现沉船的时间 的分布函数为例设发现沉船的时间 的分布函数为求发现沉船所需的平均搜索时间求发现沉船所需的平均搜索时间,0()()0,vtTvetp tF t 解解：随随机机变变量量 的的概概率率密密度度为为：其其他他0()1/vtETtp t dtt vedtv 故故，例：对圆的直径作近似测量，其值均匀分布在区间例：对圆的直径作近似测量，其值均匀分布在区间a,b上，求圆的面积的数学期望。上，求圆的面积的数学期望。1,()0,axbp xba 解解：设设直直径径为为随随
12、机机变变量量，则则 的的概概率率密密度度为为其其他他 22223222441413412babaxEEp x dxxdxbaxbaaabb =例例 设随机变量设随机变量XE(1)，求求2().XE e 解解 X的概率密度为的概率密度为 ,0()0,0 xexp xx22()()XxE eep x dx30 xedx3013xe 131(),()()(),kkkg xpEE gg x f x dx 离散型离散型连续型连续型1,(),kkkx pExf x dx 离散型离散型连续型连续型 求随机变量 的期望求随机变量 的期望Eg()求随机变量 函数的期望求随机变量 函数的期望小结小结三、三、数学期
13、望的性质数学期望的性质 性质性质1 1 若若C C是常数是常数,则则E(C)=C.性质性质2 2 若若C C是常数是常数,则则E(C )=CE().3().EEE性质性质 分布分布期望期望 X U a b,EX2ab ,X B n pnp X P X E 2,X N 1 1231231230 613,23,.2XXXXUXEXPYXXXEY例例 设设随随机机变变量量，相相互互独独立立，其其中中，,记记求求 123123=2323EY E XXXE XE XE X-11223310 6=3=223,=3.XUEXXEEXXPEX解解 ，；,；3 2 23 38-例例 应用数学期望提高工效应用数学
14、期望提高工效医院常用验血的方法在人群中普查某种疾病。假设共医院常用验血的方法在人群中普查某种疾病。假设共有有1010个人验血。有如下两种方案：个人验血。有如下两种方案：方案一方案一：每个人的血分别化验，要化验：每个人的血分别化验，要化验1010次；次；方案二方案二：把这：把这1010个人的血液样本混合起来进行化验。个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则如果结果为阴性，则1010个人只需化验个人只需化验1 1次；若结果为次；若结果为阳性，则需对阳性，则需对1010个人再逐个化验，总计化验个人再逐个化验，总计化验1111次。次。假定人群中这种病的患病率假定人群中这种病的患病率p为为10
15、%10%，且每人患病且每人患病（血液化验为阳性血液化验为阳性）与否是相互独立的。）与否是相互独立的。试问：哪种方案工作效率更高？试问：哪种方案工作效率更高？解：设化验次数为随机变量解：设化验次数为随机变量X结论：结论：分组化验法的平均化验次数少于逐一化验分组化验法的平均化验次数少于逐一化验法的次数法的次数,提高了工效提高了工效.1010()0.91(10.9)117.51310E X 方案一：方案一：X=10方案二：方案二：X的分布律为：的分布律为：1010111(10.1)10.9Xp进一步思考进一步思考（1）当人数为）当人数为10时，方案一有没有可能优于方案二，时，方案一有没有可能优于方案
16、二，此时对患病率此时对患病率p有什么要求？有什么要求？（2）当患病率）当患病率p=0.1时，要使方案二优于方案一，时，要使方案二优于方案一，对验血人数有什么要求？对验血人数有什么要求？1、概率、概率p对是否分组的影响对是否分组的影响若p=0.2，则当p0.2057时，E(X)10()0.91(1 0.9)11 10nnE X 1010()0.81(1 0.8)11 9.9262E X 2、概率、概率p对每组人数对每组人数n的影响的影响 21.86n 当当p=0.2时，可得出时，可得出n10.32，才能保证，才能保证EX10.当p=0.1时，为使时，为使 3 方差方差一、一、随机变量方差的概念二
17、、随机变量方差的计算三、随机变量方差的性质X2P 2 3 5 7 81/8 1/8 1/2 1/8 1/8X1P 4 5 61/4 1/2 1/4设有两种球形产品，其直径的取值规律如下：设有两种球形产品，其直径的取值规律如下：两种产品的直径均值是相同的，但产品两种产品的直径均值是相同的，但产品2的偏差大，的偏差大，如果需要使用直径为如果需要使用直径为5的产品，则产品的产品，则产品1较产品较产品2理想。理想。引例引例一、随机变量方差的概念若需要直径为若需要直径为5的产品，选哪种产品较理想？的产品，选哪种产品较理想？甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点发炮弹，
18、其落点距目标的位置如图：距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙炮乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.中心中心中心中心1 1、方差的定义、方差的定义 2DEE 称为称为均方差均方差或或标准差标准差.D 即即 方差刻画了随机变量的取值与数学期望的方差刻画了随机变量的取值与数学期望的偏离偏离程度程度,它的大小可以衡量它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性随机变量取值的稳定性.D()Var 设设 是一随机变量，如果是一随机变量，如果 存在，则称存在，则称为为 的方差，记作的方差，记作
19、 或或 .2(EE ）2.方差的意义方差的意义(1)方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量 取值分散取值分散程度的量程度的量.如果如果 值大值大,表示表示 取值分散程度取值分散程度大大,的代表性差的代表性差;而如果而如果 值小值小,则表示则表示 的取值比较集中的取值比较集中,以以 作为随机变量的代表性作为随机变量的代表性好好.D E D E（2）若方差若方差 ，则随机变量则随机变量 恒取常数恒取常数值。值。0D 解解 222111(45)(55)(65)0.5424D P 4 5 61/4 1/2 1/4例例 设有一种球形产品，其直径的取值规律如下：设有一种球形产品，其直径的
20、取值规律如下：求求 。D 5E ().2x0 x1f x0D 已已知知随随机机变变量量 的的概概率率密密度度为为其其它它求求例例 1301222033Exf x dxxxdxx 2221023212318DEExf x dxxxdx ()iiPxp 1,2,i 2()iiiDxEp u离散型离散型u连续型连续型2()()Dx Ef x dx 小结：用定义计算小结：用定义计算2()DEE 设设离散型离散型随机变量随机变量 的分布律为的分布律为 设设连续型连续型随机变量随机变量 的概率密度为的概率密度为 f(x)2、（、（常用的常用的）计算方差的简化公式）计算方差的简化公式:22()()DEE 2
21、DEE 解解 222211145625.5424E P 4 5 61/4 1/2 1/4例例 设有一种球形产品，其直径的取值规律如下：设有一种球形产品，其直径的取值规律如下：求求 。D 5E 2225.5250.5DEE ().2x0 x1f x0D 已已知知随随机机变变量量 的的概概率率密密度度为为其其它它求求例例 13 10022233Exf x dxxxdxx 412221001222xEx f x dxxxdx 221412918DEE 三、方差的性质3()DDD 、当当随随机机变变量量，相相互互独独立立时时，C 为常数为常数22()D aa D 、a为常数为常数1()0D C 、分布
22、分布期望期望 X U a b,DX 212ba ,X B n p 1npp X P X E 2,X N 21 2 1231231230 613,23,.2XXXXUXEXPYXXXDY例例 设设随随机机变变量量，相相互互独独立立，其其中中，,记记求求 123123=2349DY D XXXD XD XD X 11223310 6=3=423,=3.XUDXXEDXXPDX解解 ，；,；34 49 346 2 -3,11,(24);(24).EEED例 设求例 设求 (24)(2)(4)24()24314EEEE 解解：222(24)(2)(4)016()1616 11332DDDDEE 123
23、451234512345,().(200,225),(240,240),(180,225),(260,265),(320,270),5XXXXXkgXNXNXNXNXNXXXXX练 家商店联营，它们每两周售出的某种产品的练 家商店联营，它们每两周售出的某种产品的数量分别为数量分别为已知已知相互独立。相互独立。求 家商店两周的总销售量的均值和方差。求 家商店两周的总销售量的均值和方差。2 1,10()1,010,(1-2),(2-1),().xxf xxxDDDD 练 设 的概率密度为练 设 的概率密度为其他其他求求0110(1)d(1)d=0Exxxxxx 解：解：01222101(1)(1)=6Exx dxxx dx 22=DEE 11-0=662422()()()DEE01442101(1)d(1)d()6xxxxxx 1171536180212(1-2)(2)4.63DD 212(2-1)24.63DD
