1、第一部分第一部分 应用微分方程建立数学模型应用微分方程建立数学模型第一节第一节 基础知识基础知识l一、基本概念：一、基本概念：l微分方程、阶、解、通解、特解、积分曲线、初值问题l二、方程的类型及其解法二、方程的类型及其解法l五类一阶方程及其解法、简单的可降阶的高阶方程、简单的微分方程组三、微分方程稳定性理论简介三、微分方程稳定性理论简介l1、一阶方程的平衡点和稳定性、一阶方程的平衡点和稳定性l（1）定义定义1：设有微分方程()()(1)dx tf xdt()0(2)f x t右端不显含自变量，代数方程的实根0 xx称为方程（1）的平衡点平衡点（或奇点奇点），显然它是方程（1）的解（或称奇解）.
2、l定义定义2：如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解 都满足()x t0lim()(3)tx tx则称平衡点 0 x是稳定稳定的（或渐近稳定渐近稳定）；否则，称平衡点 0 x是不稳定稳定的（或不渐近稳定渐近稳定）；（2）判断平衡点）判断平衡点 是否稳定的两种常用方法是否稳定的两种常用方法：l 间接法：利用定义2，即利用（3）式.l 直接法：不求方程（1）的解 ，将 在点 处作泰勒展开，只取一次项，方程（1）近似为0 x00()()()(4)dx tfxxxdt()xt()f x0 x（4）称为（1）的近似线性方程，显然 0 x也为方程（4）的平衡点。l则关于平衡点 是否稳定有如下结论：l
3、若 ，则平衡点 对于方程（4）和（1）都是稳定的；l若 ，则平衡点 对于方程（4）和（1）都是不稳定的 0 x0()0fx0()0fx0 x0 x2、二阶方程的平衡点和稳定性、二阶方程的平衡点和稳定性l方程的一般形式可用两个一阶方程表示(,)(,)dxf x ydtdyg x ydt（5）(,)0(,)0f x yg x y00,xxyy000(,)P xy定义定义3：代数方程组的实数根，称它为（5）的一个平衡点平衡点（或奇点奇点），记为.l 定义定义4：如果从所有可能的初始条件出发，方程（5）的解 ，都满足 （6）l 则称平衡点 是稳定稳定的（或渐近稳定渐近稳定）；否则，称 是不稳定不稳定的
4、（或不渐近稳定不渐近稳定）.()x t()y t00lim(),lim()ttx txy ty000(,)P xy000(,)P xyl 为了用直接法讨论方程（5）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程组的一般形式为11122122dxa xa ydtdya xa ydt（7）显然 为系统的奇点，记系统系数矩阵 ，特征方程为为了书写方便，令 ，于是特征方程可写为特征根为.(0,0)O11122122aaAaa2112211221221()0aaa aa a1122()Taa 11221221Da aa a20TD21,242TTDl下面就分别特征根为相异实根、重根及复根三种情况加以研究：240T
5、D0D 0T O0T O0D O 1）二根同正,二根同负,是不稳定结点不稳定结点 二根异号,是鞍点鞍点是稳定结点稳定结点240TD0D 0T 2212210aaO2212210aa0T 2212210aa2212210aa2）负的重根 是不稳定的临界结点不稳定的临界结点 正的重根 O是不稳定的不稳定的退化退化结点结点 O是稳定的临界结点稳定的临界结点 O是稳定的稳定的退化退化结点结点 240TD0T 0T O0T O0T O3）复数根的实部不为零 是不稳定焦点不稳定焦点 是稳定焦点稳定焦点 复数根的实部为零 是中心中心这些结果可以全都反映在 下列参数平面上DT 从而，根据特征方程的系数、的正负
6、很容易判断平衡点的稳定性，准则如下：0T 0D 0T 0D 若、则平衡点稳定；或则平衡点不稳定.若对于一般的非线性方程（5），可以用近似线性方法判断其平衡点 的稳定性：设 是方程000(,)P xy000(,)P xy(,)(,)dxP x ydtdyQ x ydt（5）的奇点，总可以用坐标平移 0 xxx0yyy使 对应新坐标的原点000(,)P xy(0,0)在 点作泰勒级数展开得(0,0)11122122(,)(,)dxa xa yx ydtdya xa yx ydt（8）其中11122122(0,0),(0,0),(0,0),(0,0)xyxyaPaPaQaQ将右端高次项略去，得一次近
7、似11122122dxa xa ydtdya xa ydt（9）在一般情况下用下面的定理：定理定理1：对于非线性系统（5），若有（即我们讨论的奇点是初等奇点，也就是线性系统的系统矩阵 的特征值非零），且 为系统（7）的结点（不包括退化结点及临界结点）、鞍点或焦点.又 在 的邻域连续可微，且满足111221220aaaaA(0,0)(,),(,)x yx y(0,0)22220(,)lim0 xyx yxy22220(,)lim0 xyx yxy 则非线性系统（5）的奇点类型与其近似线性系统（7）的奇点类型完全相同.第二节第二节 微分方程模型微分方程模型l应用微分方程建立数学模型通常要运用如下两
8、种方法：l1、所谓平衡原理平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.就象中学的数学应用题中等量关系的发现是建立方程的关键一样.l2、微元法、微元法是指在组建对象随着时间或空间连续变化的动态模型时，经常考虑它在时间或空间的微小单元变化情况，这是因为在这些微元上的平衡关系比较简单，而且容易使用微分学的手段进行处理这类模型基本上是以微分方程的形式给出的l 这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子.l 一、人口预测模型一、人口预测模型 l 由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人
9、口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.l 例例1（马尔萨斯马尔萨斯（Malthus）人口模型）人口模型或称指数指数增长模型增长模型）l 英国人口统计学家马尔萨斯（17661834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在人口原理一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程
10、中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.r 解解 设 时刻的人口为 ,把 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在 到 时间段内,人口的增长量为ttrNtNttN)()()(t)(tN)(tNttt0tt 0N，00)(ddNtNrNtN)(00e)(ttrNtN并设时刻的人口为,于是 这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为此式表明人口以指数规律随时间无限增长.l 模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为 ,而在以
11、后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,l 这样 ,于是 91006.319610t901006.3N02.0r)1961(02.09e1006.3)(ttN这个公式非常准确地反映了在17001961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只
12、得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改.l 例例2（Logistic模型模型或称阻滞增长模型阻滞增长模型）l 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.l 1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数 （最大人口容量）,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一
13、般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而 就越大）,并假设将增长率等于 ,即净增长率随着 的增加而减小,当 时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型.mNmNtNr)(1mN)(tNmNtN)(解解 由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为上式就是Logistic模型,该方程可分离变量,其解为下面,我们对模型作一简要分析.00d1d()mNNrNtNN tN，)(00e11)(ttrmmNNNtNl（1）当 ,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值 ；l（2）当 时,这说明 是时间 的单调递增函数；tmNtN)(mNmNN 001ddNNNrtNm)(tNt（3
14、）由于 ,所以当 时,单增；当时 ,单减,即人口增长率 由增变减,在 处最大,NNNNNrtNmm211dd2222mNN 0dd22tNtNddtNdd2mNN 0dd22tNtNdd2mN也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早会达到零,这是减速生长期；（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合,自从1930年以后,误差愈来愈大,一个明显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺点之一是 不易确定,事实上,随着一个国家经济
15、的腾飞,它所拥有的食物就越丰富,的值也就越大；mNmN (5）用Logistic模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计,又当人口总数为 时,人口每年以2%的速率增长,由Logistic模型得029.0r91006.3mNNrtNN1dd1mN91006.31029.002.0即 值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,Logistic模型有着广泛的应用.从而得 91086.9mN即世界人口总数极限值近100亿.二、市场价格模型二、市场价格模型 对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市
16、场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程.例例3 试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型 解解 假设在某一时刻 ,商品的价格为 ,它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格 的变化率 与需求和供给之差成正比,并记 为需求函数,为 供给函数（为参数）,于是t)(
17、tptpdd)(tp),(rpf)(pgr其中 为商品在时刻 的价格,为正常数.0d,d(0)pfp rg ptpp，0p0tbaprpf),(dcppg)(若设,则上式变为，0)0()()(ddppdbpcatp 其中 均为正常数.dcba,其解为 cadbcadbptptca)(0e)(下面对所得结果进行讨论:（1）设 为静态均衡价格,则其应满足 p0)(),(pgrpf即 dpcbpa于是得 cadbp从而价格函数 可写为)(tpppptptca)(0e)()(tptpt)(limpp 0p令,取极限得这说明,市场价格逐步趋于均衡价格.又若初始价格,则动态价格就维持在均衡价格整个动态过程
18、就化为静态过程；上,tcacapptp)(0e)()(ddpp 00ddtp)(tpppp 00ddtp)(tpp（2）由于所以,当时,单调下降向当时,单调增加向靠拢.靠拢；这说明：初始价格高于均衡价格时,动态价格就要逐步降低,且逐步靠近均衡价格;否则,动态价格就要逐步升高.因此,式在一定程度上反映了价格影响需求与供给,而需求与供给反过来又影响价格的动态过程,并指出了动态价格逐步向均衡价格靠拢的变化趋势.三、混合溶液的数学模型三、混合溶液的数学模型 l例例4 设一容器内原有100L盐,内含有盐10kg,现以3L/min的速度注入质量浓度为0.01kg/L的淡盐水,同时以2L/min的速度抽出混
19、合均匀的盐水,求容器内盐量变化的数学模型.解解 设时刻容器内的盐量为 kg,考虑 到 时间内容器中盐的变化情况,在 时间内容器中盐的改变量=注入的盐水中所含盐量 抽出的盐水中所含盐量 容器内盐的改变量为 ,注入的盐水中所含盐量为 ,时刻容器内溶液的质量浓度为 ,假设 到 时间内容器内溶液的质量浓度不变（事实上,容器内的溶液质量浓度时刻在变,由于 时间很短,可以这样看）.)(txtttddtxdt d301.0ttx)23(100)(tttddt于是抽出的盐水中所含盐量为 ttxtxd1002d03.0d即 txtx100203.0dd0td20.03d100(0)10 xxttx，,又因为时,
20、容器内有盐10kg,于是得该问题的数学模型为这是一阶非齐次线性方程的初值问题,其解为24)100(109)100(01.0)(tttx下面对该问题进行一下简单的讨论,由上式不难发现:t时刻容器内溶液的质量浓度为 34)100(10901.0100)()(tttxtpt01.0)(tp且当时,容器内盐水的质量浓度将趋于注入溶液的质量浓度.,即长时间地进行上述稀释过程,溶液混合问题的更一般的提法是：设有一容器装有某种质量浓度的溶液,以流量 注入质量浓度为 的溶液（指同一种类溶液,只是质量浓度不同）,假定溶液立即被搅匀,并以 的流量流出这种混合溶液,试建立容器中质量浓度与时间的数学模型.1V1C2V
21、)(tx0 xt2VttVCtVCxddd22111C2Ct，tVVVxC)(21021 1220dd(0)xCVC Vtxx，首先设容器中溶质的质量为,原来的初始质量为=0时溶液的体积为,在d其中是流入溶液的质量浓度,为中溶液的质量浓度,于是,有混合溶液的数学模型该模型不仅适用于液体的混合,而且还适用于讨论气体的混合.改变量等于流入溶质的数量减去流出溶质的数量,即时刻容器时间内,容器内溶质的传染病模型传染病模型建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是关注的课题。的变化规律
22、，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是关注的课题。不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，从一般的传播不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型（机理分析建立各种模型，如简单模型（I模型），模型），SI模型，模型，SIS模型，模型，SIR模型等模型等、SIS传染病模型传染病模型 SIS传染病模型是指易感者（Susceptible）被传染后变为染病者（Infective），染病者可以被治愈，但不会产生免疫力，所以仍为易感者，人员流动图为：SIS。已感染人数已感染人数(病人病人)i(t)每个病人每天有效接触每个病人每天有效接触(足以使人致病足以使
23、人致病)人数为人数为 模型模型1 1假设假设ttititti)()()(若有效接触的是病人，若有效接触的是病人，则不能使病人数增加则不能使病人数增加必须区分已感染者必须区分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模0)0(iiidtdiitteiti0)(?sidtdi1)()(tits模型模型2 2区分已感染者区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)假设假设1）总人数）总人数N不变，病人和健康不变，病人和健康 人的人的 比例分别为比例分别为)(),(tsti 2）每个病人每天有效接触人数）每个病人每天有效接触人数为为,且且使接触的健康人致病使接触的健
24、康人致病建模建模ttNitstittiN)()()()(0)0()1(iiiidtdi 日日接触率接触率SI 模型模型teiti1111)(00)0()1(iiiidtdi模型模型21/2tmii010t11ln01itmtm传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻 (日接触率日接触率)tm 1itLogistic 模型病人可以治愈！病人可以治愈！?t=tm,di/dt 最大最大模型模型3传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染为健康人，健康人可再次被感染增加假设增加假设SIS 模型模型3）病人每天治愈的比例为）病人每天治愈的比例为 日日治愈率治愈率ttNitt
25、itNstittiN)()()()()(建模建模/日接触率日接触率1/感染期感染期 一个感染期内一个感染期内每个病人的每个病人的有效接触人数，称为有效接触人数，称为接触数接触数。0)0()1(iiiiidtdi1,01,11)(i)11(iidtdi模型模型3i0i0接触数接触数 =1 阈值阈值/1)(ti形曲线增长按Sti)(感染期内感染期内有效接触感染的有效接触感染的健康者人数不超过病人数健康者人数不超过病人数小01i1-1/i0iiidtdi)1(模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例idi/dt01 10ti 11-1/i0t 1di/dt
26、1/i(t)先升后降至先升后降至0P2:s01/i(t)单调降至单调降至01/阈阈值值P3P4P2S0ssss00lnln模型模型4SIR模型模型预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 (日接触率日接触率)卫生水平卫生水平 (日日治愈率治愈率)医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件s01/的估计的估计0ln1000sssis0i忽略 降低降低 s0提高提高 r0 1000ris 提高阈值提高阈值 1/降低降低 (=/),群体免疫群体免疫模型模型4SIR模型模型被传染人数的估计被传染人数的估计0ln1000sssis记被传染人数比例记被传染人数比例ssx00)211(200sx
27、sx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xxs0i0s/1P10ssi0 0,s0 1 小小,s0 1提高阈值提高阈值1/降低降低被传染人数比例被传染人数比例 xs0-1/=模型模型5传染病有潜伏期传染病有潜伏期SEIR模型模型假设假设1）总人数）总人数N不变，病人、健康人、潜伏不变，病人、健康人、潜伏者和移出者的比例分别为者和移出者的比例分别为)(),(),(),(trtetsti2）病人的日接触率）病人的日接触率 ,日日治愈率治愈率,接触数接触数 =/建模建模1)()()()(trtetits建立建立 方程方程)(),(),(),(trtetsti3）单位时间内潜伏者以比例常数）单位
28、时间内潜伏者以比例常数 转为染转为染 病者病者 模型模型5SEIR模型模型 000)0(,)0(,)0(eessiiidtdriedtdiesidtdesidtds l 参参 考考 文文 献献l 1.数学模型数学模型 姜启源（第二版）姜启源（第二版）P110-221 高等教育出版高等教育出版社社l 2.数学建模数学建模 沈继红等沈继红等 P38-81 哈尔滨工程大学出版社哈尔滨工程大学出版社l 3.数学模型引论数学模型引论 唐焕文唐焕文、贺明峰（第二版）、贺明峰（第二版）P208-239 高等教育出版社高等教育出版社l 4.常微分方程及其应用常微分方程及其应用方法、理论、建模、计算机方法、理论
29、、建模、计算机 l 周义仓周义仓 靳祯靳祯 秦军林秦军林 科学出版社科学出版社l 5.常微分方程常微分方程 王高雄等王高雄等 高等教育出版社高等教育出版社第二部分第二部分 应用差分方程建立数学模型应用差分方程建立数学模型 引言引言l 1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律.通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程.l 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程.通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期
30、性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解.l 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用.实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型.差分方程模型有着非常广泛的实际背景.在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用.可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解.l 3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变
31、量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程.l 或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程.在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或
32、向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程.l 在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会.l差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则.同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等.第一节第一节 差分方程的基本知识差分方程的基本知识l一
33、、基本概念一、基本概念l1、差分、差分 nxnnnxxx1:nxn1nnnxxxnxnnxn 设数列，定义差分算子为在处的向前差分.而为在以后我们都是指向前差分.可见是的函数.处的向后差分.nxnnxx2)(nnk)(1nknkxx从而可以进一步定义的差分：，称之为在处的二阶差分，它反映的是的增量的增量.类似可定义在处的阶差分为：nnnnxIxxEx,1EInnnnxIEIxExx)(IE inkiikiknikiikiknknkxCxECxIEx00)1()1()(nxnknxknnn.1,2 2、差分算子、差分算子 、不变算子、平移算子、不变算子、平移算子，称为平移算子，为不变算子.由上述
34、关系可得：这表明在处的阶差分由在所线性决定.记则有：（1），处的取值nnnxxx1nnnxxx1nnnnxxxx1222nnnnxxxx2122,)1(10kninkiikiknkxxCxnkinkiikikknxxCx10)1(knxnknnxxx,.,反之，由 得，得：这个关系表明：第n+2项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来表现和计算.即一个数列的任意一项都可以用其前面的k 项和包括这项在内的k+1 项增量的增量的增量.第k 层增量所构成.得：可以看出：可以由的线性组合表示出来（2）nx),.,(1nknnnkxxxnfx),.,(11knnnknxxxnFxnx3 3、差分方程、差分
35、方程以及它的差分所构成的方程称之为k阶差分方程.由（1）式可知（3）式可化为故（4）也称为k阶差分方程（反映的是未知数列前面k项之间的关系）.由（1）和（2）可知，（3）和（4）是等价的.我们经常用的差分方程的形式是（4）式.由（3）（4）任意一项与其前，nxknnx xxnx),.,(xxnFx xxnnxnxxxnnlimx),.,(xxnFx4 4、差分方程的解与有关概念、差分方程的解与有关概念使阶差分方程（4）对所有的成立，则称 为方程（4）的解.（为常数）是（4）的解，即则称为（4）的平衡解或叫平衡点.平衡解可能不只一个.是（4）的解，考虑的变化性态，则方程（4）两边取极限（就存在在
36、这里面），应当有 （1）如果（2）如果平衡解的基本意义是：设其中之一是极限状况，如果nx xxnnxxxxynn),.,(1knnknyynGy0y（3）如果（4）的解使得既不是最终正的，为关于平衡点是振动解.，则方程（4）会变成 （5）成为（5）的平衡点.也不是最终负的，则称（4）如果令：则0yk0yknyyN0nNnySupynynx xxLimnnnx（5）如果（5）的所有解是关于振动的，则称（5）是振动方程.如果（5）的所有解是关于非振动的，阶差分方程（5）是非振动方程.，使得对任意大的有 则称为正则解.（即不会从某项后全为零）使得，则称为稳定解.阶差分方程则称（6）如果（5）有解（7
37、）如果方程（4）的解nnnnyxyx)(.)(11()()nnnnnnnnxyxxyyyynnnnnnyxxyyx1)(bakkkabakabbkkyxyxyxxy111niiinnnnxCxIxEx0000)(5 5、差分算子的若干性质、差分算子的若干性质（2）（3）（4）（5）（1）nx0)()(kkknzxxZzXz21RzR2R1R)(nxZnxzz)(1zXZxn6 6、Z Z变换变换定义：对于数列，定义复数级数这是关于洛朗级数.它的收敛域是：其中可以为可以为0.称为的-变换.从而有逆变换，记为：（7）（6）由复变函数展开成洛朗级数的唯一性可知：变换是一一对应的，zz)()()(nn
38、nnyZxZyxZ)()(10NkkkNNnzxzXzxZ变换是研究数列的有效工具.变换的若干重要性质：（2）平移性质 （1）线性性z0,00,)(nnn001)1()()(kkkkzzknZ0,00,1)(kknu00,1,1)()(kkkkzzzzzkunuZ,)(nanf0,0,)(kkknaazazzzaaZ,!1)(nnf0,!1)!1(01zezknZkzk变换举例：（1）,则（2），则（3）设则 （4）设则第二节 差分方程常用解法与性质分析差分方程常用解法与性质分析)(.110nbxaxaxankknknkaaa,.,100.110nkknknxaxaxa1 1、常系数线性差分方
39、程的解、常系数线性差分方程的解其中为常数，称方程（8）为常系数线性方程.为方程（8）对应的齐次方程.方程（8）又称方程（9）nnx0.1110kkkkaaaa 如果（9）有形如的解，代入方程中可得：称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程.显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解.（10）nkknnncccx.2211nmmncncc).(121iiearctan,22ncncnnsincos21基本结果如下：（1）若（10）有k个不同的实根，则（9）有通解：（2）若（10）有m重根，则通解中有构成项：（3）若（10）有一对单复根 ，令：，则（9）的通解中有构成项：iie1121
40、122(.)cos(.)sinmnmmnmmmcc nc nnccncnnnx（4）若有m 重复根：，则（9）的通项中有构成项：综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程（9）的通解中必有k个独立的任意常数.通解可记为：*nxnxnx*nx)(),()(npnpbnbmmn)(nqbmn)(nqmrnnb)(nqm 如果能得到方程（8）的一个特解：，则（8）必有通解：+（8）的特解可通过待定系数法来确定.为n 的多项式，形式的特解，为m次多项式；如果b是r重根时，可设特解：，将其代入（8）中确定出系数即可.（11）例如：如果则当b不是特征根时，可设成形如其中nxnxknxnx2 2、
41、差分方程的、差分方程的z z变换解法变换解法取Z变换，利用的Z 变换F（z）的Z变换，然后通过解代数方程求出F（z），对差分方程两边关于来表示出并把F(z)在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的1,0,0231012xxxxxnnnnx02322,121nnnccx)2()1(211,010 xxnnnx)2()1(例1、设差分方程求解法1：特征方程为有根：故：为方程的解.由条件得：nx0)(2)(3)1.)(0102zFxzFzzxxzFz1,010 xx23)(2zzzzF2z000)21()1(2)1(1)1(211111)2111()(kkkkkkkkkkzzzzzz
42、zzzFnnnx)2()1(解法2：设F（z）=Z(),方程两边取变换可得：由条件得由F（z）在中解析，有所以，)(nz)(nyxn)(dcbaA)()1(nAznz)1()1(zAnzn3 3、二阶线性差分方程组、二阶线性差分方程组设，形成向量方程组 则 （13）即为（12）的解.（12）（13）nA)1()()1(,111zppnzppAppAnnn 为了具体求出解（13），需要求出这可以用高等代数的方法计算.常用的方法有：（1）如果A为正规矩阵，则A必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是A的特征值，相似变换矩阵由A的特征向量构成：,/,AAAnnn.)(.).(1/./)1(.)()1(
43、)1(1/AzzAnznn（2）将A 分解成为列向量，则有从而，kii.2,1,1i)(1nnxfxx)(xfx4 4、关于差分方程稳定性的几个结果、关于差分方程稳定性的几个结果（1）k 阶常系数线性差分方程（8）的解稳定的充分必要条件是它对应的特征方程（10）所有的 特征根满足（2）一阶非线性差分方程（14）的平衡点由方程决定，（14）)(nxfx)()()(/xfxxxfxfnn1)(/xfx1)(/xfx 将在点处展开为泰勒形式：故有：时，（14）的解是稳定的，时，方程（14）的平衡点是不稳定的.（15）第三节第三节 差分方程建模举例差分方程建模举例l差分方程建模方法的思想与与一般数学建
44、模的思想是一致的，也需要经历 背景分析、确定目标、预想结果、引入必要的数值表示（变量、常量、函数、积分、导数、差分、取最等）概念和记号、几何形式（事物形状、过程轨迹、坐标系统等），也就是说要把事物的性态、结构、过程、成分等用数学概念、原理、方法来表现、分析、求解.l 当然，由于差分方程的特殊性，首先应当把系统或过程进行特别分解，形成表现整个系统的各个部分的离散取值形式，或形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量.然后通过内在的机理分析，找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程.另外，有时有可能 通过多个离散变量的关系得到我们关心的变量的关系，这实际上建立的是离
45、散向量方程，它有着非常重要的意义.有时还需要找出决定变量的初始条件.有时还需要将问题适当分成几个子部分，分别求解.l一、种群生态学中的虫口模型：一、种群生态学中的虫口模型：l在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化的昆虫数目的变化，它的变化规律是：每，它的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子二年春天每个虫卵孵化成一个虫子.建立数建立数学模型来表现虫子数目的变化规律学模型来表现虫子数目的变化规律.nPnncPP1)1(21nnpp221np21nnnbPcPP模型假设与
46、模型建立模型假设与模型建立：假设第n年的虫口数目为成虫平均产卵c个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体的产卵分布状况），则有：如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁，第n+1年的成虫数会减少，如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗，由于虫子配对数为，故减少数应当与它成正比，从而有：，每年一个，这是一种简单模型；l 如果还考虑其它的影响成虫孵卵及成活的因素的定量关系，这个模型在此基础上仍可进一步改进，更加符合实际情形.这种关系一方面可以通过机理分析，确定减少量与影响因素的定量关系，另一方面也可以用统计的方法来线性估计影响程度.或者还可以用影响曲线的方法来直观表现影响的比例
47、关系、周期关系、增量关系等等.这个模型可化成：)1(1nnnxxx这是一阶非线性差分方程.这个模型的解的稳定性可以用相应一阶差分方程的判断方法，即（14）式来获得.二、具周期性的运动过程的差分方程模型二、具周期性的运动过程的差分方程模型 建立差分方程描述振动台上的乒乓球垂直运动的方程，即把运动过程中的某些离散变化取值的变量的变化规律表现出来.1,tsinHjt)(jtu)(jtv 假设：乒乓球与振动台之间的振动恢复系数为振动台台面的上下位移是在离台面垂直距离为H处为自由落体运动又假设为第j 次碰撞时刻，第 j次碰撞前的速度为，碰撞后的速度为，乒乓球初始时刻)()(1jjtvtuttdtdtco
48、s)sin()(gvvt2,gtvttjjj)(211gvttjjj12)(jjjv1假设.振动台台面的运动速度为又记则有：（3.1）)()(1111jjjjtutv)cos(1jjjjvvv11cos()jjjjjjjvvvv另外，由碰撞规律分析可知：该式经简化处理后可得：由（3.1）和（3.2）式联立可得二阶差分非线性方程组（3.2）三、蛛网模型三、蛛网模型l（1）经济背景与问题：）经济背景与问题：l 在自 由市场经济中，有些商品的生产、销售呈现明显的周期性.农业产品往往如此，在工业生产中，许多商品的生产销售是有周期性的，表现在：商品的投资、销售价格、产量、销售量在一定时期内是稳定的，因而
49、整个某个较长的时期内这些经济数据表现为离散变量的形式.在这些因素中，我们更关心的是商品的销售价格与生产产量这两个指标，它们是整个经营过程中的核心因素，要想搞好经营，取得良好的经济效益，就必须把握好这两个因素的规律，作好计划.试分析市场经济中经营者根据市场经济的规律，如何建立数学模型来表现和分析市场趋势的.l（2）模型假设与模型建立）模型假设与模型建立l 将市场演变模式划分为若干段，用自然数n来表示；nxny)(nnxfy 设第n个时段商品的数量为，价格为由于价格与产量紧密相关，因此可以用一个确定的关系来表现：即设有 这就是需求函数，f 是单调减少的对应关系;，n=1,2.;（3.3）1nx)(
50、1nnyhx)(1nnxgy)(1nnxfhx)(1nnyhfy又假设下一期的产量是决策者根据这期的价格决定的，h是单调增加的对应关系，g 也是单调增加的对应关系.因此可以建立差分方程：（3.5）这就是两个差分方程.属一阶非线性差分方程.即：设从而，有关系：（3.4）（3.6）nxny),(nnyx),(1nnyx)(,(),(),(,(),(111nnnnnnnnxgxyxxfxyx（3 3）模型的几何表现与分析）模型的几何表现与分析.和借助已有的函数f和g,通过对应关系的几何表现把点列，和在坐标系中描绘出来，进而分析它们的变化规律、趋势、找稳定点等等.其中为了表现出两个变量的变化过程，我们
