1、1.4 分块矩阵分块矩阵 一、矩阵的分块一、矩阵的分块 则则二、分块矩阵的运算法二、分块矩阵的运算法 三、小节、思考题三、小节、思考题 一、矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵对于行数和列数较高的矩阵 ，为了，为了 简化运算，经常采用简化运算，经常采用分块法分块法，使大矩阵的，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算运算化成小矩阵的运算. . 具体做法是：将具体做法是：将 矩阵矩阵 用若干条纵线和横线分成许多个小用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为矩阵，每一个小矩阵称为 的的子块子块，以子，以子 块为元素的形式上的矩阵称为块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵分块矩阵. . A A A
2、, 3 2 1 B B B b b a a A 110 101 000 001 例例 A 001a b a 110 000 b110 1 B 2 B 3 B 即即 b b a a A 110 101 000 001 , 43 21 CC CC A 1a 1 C 00 2 C 10 01 0a 3 C b b 1 1 00 4 C 即即 又例如又例如 , BI OA , 4321 AAAA b b a a A 110 101 000 001 b b a a A 110 101 000 001 a a A 0 1 其中其中 b b B 1 1 10 01 I 00 00 O 0 1 0 1 a A
3、其中其中 1 0 1 2 a A 1 0 0 3 b A b A 1 0 0 4 有有相同的分块法相同的分块法 采用采用列数相同列数相同的行数相同的行数相同与与设矩阵设矩阵 , ,1BA 那么那么列数相同列数相同的行数相同的行数相同与与其中其中, ijij BA . 11 111111 srsrss rr BABA BABA BA 二、分块矩阵的运算规则 srs r srs r BB BB B AA AA A 1 111 1 111 , 那末那末为数为数设设,2 1 111 srs r AA AA A . 1 111 srs r AA AA A 分块成分块成矩阵矩阵为为矩阵矩阵为为设设,3nl
4、BlmA , 1 111 1 111 trt r sts t BB BB B AA AA A 那末的行数 的列数分别等于其中 , , 2121tjjjitii BBBAAA srs r CC CC AB 1 111 ., 1;, 1 1 rjsiBAC kj t k ikij 其中其中 阶方阵中。为现在那末常见的应用一般出的行数 的列数分别等于由于要求 44, , 2121 BA BBBAAA ijjjitii 例：例： , 4310 2101 0010 0001 A , 0000 0000 1087 0165 B 计算：计算：AB 即即是方阵是方阵 且非零子块都且非零子块都其余子块都为零矩阵
5、其余子块都为零矩阵上有非零子块上有非零子块 角线角线的分块矩阵只有在主对的分块矩阵只有在主对若若阶矩阵阶矩阵为为设设 . , ,5AnA , 2 1 s A A A A O O ,4 11 sr A A A 设设 r A 1 1s A . 11 T sr T T A A A 则则 T s A 1 T r A 1 T s A 1 T r A 1 . 11 T sr T T A A A 则则 , 2 1 s A A A A O O . , 2 , 1 对角矩阵对角矩阵 为分块为分块那末称那末称都是方阵都是方阵其中其中AsiAi 并有并有 均可逆均可逆、则则都可逆都可逆每个子块每个子块若若, 2 ,
6、 1BAsiAi ,6 2 1 s A A A A 设设 o o ; 2 1 s A A A A o o 1 1 1 1 1 2 s OA A B AO OA A AO B s 1 2 1 1 1 1 ss B B B A A A 00 00 00 00 00 00 7 2 1 2 1 . 00 00 00 22 11 ssB A BA BA 10 01 10 01 A 00 00 11 21 例例 设设 , 1011 0121 0010 0001 A, 0211 1401 1021 0101 B .AB求求 解解 分块成分块成把把BA, , I I O 1 A 0211 1401 1021
7、0101 B 11 B I 21 B 22 B 则则 2221 11 1 BB IB IA OI AB . 22121111 11 BABBA IB . 22121111 11 BABBA IB AB 又又 21111 BBA 11 01 21 01 11 21 11 01 20 43 , 11 42 02 14 11 21 221 BA, 13 33 于是于是 22121111 11 BABBA IB AB . 1311 3342 1021 0101 例例 设设 , 120 130 005 A. 1 A求求 解解 120 130 005 A , 2 1 AO OA ,5 1 A ; 5 1
8、1 1 A , 12 13 2 A; 32 11 1 2 A ; 32 11 1 2 A 1 2 1 11 AO OA A ; 5 1 1 1 A . 320 110 00 5 1 例例 设设 , 00310 00051 0400 2000 A . 1 A求求 解解.算算看成分块矩阵可简化计看成分块矩阵可简化计显然将显然将A , 2 1 OA AO A取取, 021 410 1 1 A则则, 30 05 1 2 A 于是于是 OA AO OA AO A 1 1 1 2 1 2 11 00021 00410 3000 0500 1 A 2 A 例例 设设n n阶方阵阶方阵 T i i ii nn
9、 e ine nieAb eeebbbA ),( , 010 21 2121 ，即 列，阶单位矩阵的第是其中 即： 可得： 的分块矩阵，都按列分成和可以将nIB1 ,IABBA即满足的逆矩阵为 例例 试证明：试证明： . , 00 AAx xnnmA 的充分必要条件是 维列向量矩阵，则对任一是设 ),( , ni exn T i 21 010 取维列向量的任意性，可由 条件）必要性：（结论 显然满足； 结论）：证明：充分性（条件 00 AxA , , 0 0 1 0 0 1 1 inii ni AeAx AA 得则由 分块成将矩阵 0A Ai iA 每一列都是零向量，即 的的任意性，可知矩阵由
10、 列为零向量。的第即矩阵 例例 设设 有分块形式：有分块形式：阶方阵阶方阵An n A , 21 T n T T A 2 1 及及 . , 21 AA diag n ；乘积乘积 ，试求矩阵，试求矩阵又有对角矩阵又有对角矩阵 解：解：AA有意义，必需取矩阵有意义，必需取矩阵依题意，为使依题意，为使 的行分块形式，即有的行分块形式，即有 n A 2 1 T n T T 2 1 T nn T T 22 11 同理，有同理，有 n 2 1 n A , 21 nn , 2211 三、小结 在矩阵理论的研究中在矩阵理论的研究中, ,矩阵的分块是一种最矩阵的分块是一种最 基本基本, ,最重要的计算技巧与方法
11、最重要的计算技巧与方法. . (1) 加法加法 采用相同的分块法采用相同的分块法同维矩阵同维矩阵, (2) 数乘数乘 的每个子块的每个子块乘乘需需乘矩阵乘矩阵数数AkAk, (3) 乘法乘法 .,的行划分相一致的列的划分与需相乘与若BABA 分块矩阵之间的运算分块矩阵之间的运算 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似 (4) 转置转置 sr A A A 11r A 1 1s A T s A 1 T r A 1 T sr T T A A A 11 (5) 分块对角阵的逆阵分块对角阵的逆阵 s A A A A 2 1 O O s A A A A 2 1 O O ., , 2 , 1 11 2 1 1 1 s i AAAdiagA siAA 且且可逆可逆可逆可逆 思考题 ,都是可逆方阵都是可逆方阵和和其中其中设设CB CO DB A ., 1 AA并求并求可逆可逆证明证明 思考题解答 证证 , 1 YW ZX A设设 . 0 0 0 I I YW ZX C DB 则则 . , , , ICY OCW ODYBZ IDWBX . , , , 11 1 1 OW DCBZ CY BX . 1 111 1 CO DCBB A因此因此 验算左乘！同样成立！验算左乘！同样成立！
