大学精品课件：结构动力学-6.ppt

1、3.多自由度体系的振动分析多自由度体系的振动分析 3.1 3.1 自由振动分析自由振动分析 自由振动分析的目的是确定体系的动力特性自由振动分析的目的是确定体系的动力特性. .可不计阻尼。可不计阻尼。 一一. .运动方程及其解运动方程及其解 0ykym 或或 m1 )( 1 ty m2 )( 2 ty 运动方程运动方程 11212111 ymykyk 22222121 ymykyk 设方程的特解为设方程的特解为 )sin( )sin( 22 11 tXy tXy 代入方程代入方程, ,得得 0 1 2 1212111 XmXkXk 0 2 2 2222121 XmXkXk 0 0 ) 0 0 (

2、 2 12 2 1 2221 1211 X X m m kk kk 0)( 2121 2 111 XkXmk 0)( 2 2 222121 XmkXk 0)( 2 Xmk 0 2 mk -频率方程频率方程 m1 )( 1 ty m2 )( 2 ty 解频率方程得解频率方程得 的两个根的两个根 2 0ykym 或或 运动方程运动方程 11212111 ymykyk 22222121 ymykyk 设方程的特解为设方程的特解为 )sin( )sin( 22 11 tXy tXy 代入方程代入方程, ,得得 0 1 2 1212111 XmXkXk 0 2 2 2222121 XmXkXk 0 0

3、) 0 0 ( 2 12 2 1 2221 1211 X X m m kk kk 0)( 2121 2 111 XkXmk 0)( 2 2 222121 XmkXk 0)( 2 Xmk 0 2 mk -频率方程频率方程 -振型方程振型方程 值小者记作值小者记作 2 1 称作第一频率称作第一频率 也称作基本频率也称作基本频率; ; 值大者记作值大者记作 称为第二频率或高阶频率称为第二频率或高阶频率. . 将将 频率代入振型方程频率代入振型方程 1 0)( 211211 2 1111 XkXmk 11 2 11 12 21 11 km k X X 特解特解1 1 )sin( )sin( 21212

4、1 111111 tXy tXy 特解特解2 2 )sin( )sin( 222222 221212 tXy tXy m1 )( 1 ty m2 )( 2 ty 解频率方程得解频率方程得 的两个根的两个根 2 值小者记作值小者记作 2 1 称作第一频率称作第一频率 也称作基本频率也称作基本频率; ; 值大者记作值大者记作 称为第二频率或高阶频率称为第二频率或高阶频率. . 将将 频率代入振型方程频率代入振型方程 1 0)( 211211 2 1111 XkXmk 11 2 11 12 21 11 km k X X 特解特解1 1 )sin( )sin( 112121 111111 tXy tX

5、y 特解特解2 2 )sin( )sin( 222222 221212 tXy tXy )sin( 11 21 11 1 2 1 t X X y y )sin( 22 22 12 2 2 1 t X X y y 通解通解 )sin()sin( 22 22 12 11 21 11 2 1 t X X t X X y y 二二. .频率与振型频率与振型 体系按特解振动时有如下特点体系按特解振动时有如下特点 1)1)各质点同频同步各质点同频同步; ; 21 11 1121 1111 2 1 )sin( )sin( )( )( X X tX tX ty ty )sin( )sin( 112121 11

6、1111 tXy tXy 11 2 11 12 21 11 km k X X 2)2)任意时刻任意时刻, ,各质点位移的比各质点位移的比 值保持不变值保持不变 定义定义: :体系上所有质量按相同频率作自由振动时体系上所有质量按相同频率作自由振动时 的振动形状称作体系的主振型。的振动形状称作体系的主振型。 几点说明：几点说明： 1.1.按振型作自由振动时，各质点的按振型作自由振动时，各质点的 速度的比值也为常数，且与位移速度的比值也为常数，且与位移 比值相同。比值相同。 21 11 11121 11111 2 1 )cos( )cos( )( )( X X tX tX ty ty 2.2.发生按

7、振型的自由振动是有条件的发生按振型的自由振动是有条件的. . 21 11 2 1 21 11 2 1 ) 0( ) 0( , ) 0( ) 0( X X y y X X y y 3.3.振型与频率是体系本身固有的属性振型与频率是体系本身固有的属性, , 与外界因素无关与外界因素无关. . 几点说明：几点说明： 1.1.按振型作自由振动时，各质点的按振型作自由振动时，各质点的 速度的比值也为常数，且与位移速度的比值也为常数，且与位移 比值相同。比值相同。 21 11 11121 11111 2 1 )cos( )cos( )( )( X X tX tX ty ty 2.2.发生按振型的自由振动是

8、有条件的发生按振型的自由振动是有条件的. . 21 11 2 1 21 11 2 1 ) 0( ) 0( , ) 0( ) 0( X X y y X X y y 3.3.振型与频率是体系本身固有的属性振型与频率是体系本身固有的属性, , 与外界因素无关与外界因素无关. . 4 4。N N自由度体系有自由度体系有N N个频率和个频率和N N个振型个振型 0 2 mk频率方程频率方程 解频率方程得解频率方程得 的的N,N,从小从小 到大排列到大排列 N 21, 依次称作第一频率依次称作第一频率, ,第二频率第二频率 第一频率称作基本频率第一频率称作基本频率, ,其它为高其它为高 阶频率阶频率. .

9、 将频率代入振型方程将频率代入振型方程 ), 2 , 1(NiX i 得得N N个振型个振型 0)( 2 Xmk N N个振型是线性无关的个振型是线性无关的. . 5 5。若已知柔度矩阵时。若已知柔度矩阵时 6 6。求振型、频率可列幅值方程。求振型、频率可列幅值方程. . 4 4。N N自由度体系有自由度体系有N N个频率和个频率和N N个振型个振型 0 2 mk频率方程频率方程 解频率方程得解频率方程得 的的N,N,从小从小 到大排列到大排列 N 21, 依次称作第一频率依次称作第一频率, ,第二频率第二频率 第一频率称作基本频率第一频率称作基本频率, ,其它为高其它为高 阶频率阶频率. .

10、 将频率代入振型方程将频率代入振型方程 ), 2 , 1(NiX i 得得N N个振型个振型 0)( 2 Xmk N N个振型是线性无关的个振型是线性无关的. . 振型方程振型方程 0)( 2 XmI 频率方程频率方程 0 2 mI 按振型振动时按振型振动时 )sin( )sin( 22 11 tXy tXy )sin( )sin( 2 22 2 11 tXy tXy )sin( )sin( 2 222 2 111 tXmI tXmI 5 5。若已知柔度矩阵时。若已知柔度矩阵时 6 6。求振型、频率可列幅值方程。求振型、频率可列幅值方程. . 振型方程振型方程 0)( 2 XmI 频率方程频率

11、方程 0 2 mI 按振型振动时按振型振动时 )sin( )sin( 22 11 tXy tXy )sin( )sin( 2 22 2 11 tXy tXy )sin( )sin( 2 222 2 111 tXmI tXmI m1 1 X m2 2 X 1 2 1 Xm 2 2 2 Xm 2 2 2221 2 1212 2 2 2121 2 1111 XmXmX XmXmX 0)( 2 XmI 0 2 mI 振型可看作是体系按振型振动时，振型可看作是体系按振型振动时， 惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移 三三. .求频率、振型例题求频率、振型例题 例一例一.

12、.求图示体系的频率、振型求图示体系的频率、振型 mm 1 mm 2 3/ l3/ l3/ l EI 解解 1 1 11 12 22 21 EI l 3 2211 243 4 EI l 3 2112 486 7 0 2 mI 0 /1 /1 2 222211 122 2 111 mm mm 令令 2 111 1 m 0 1/ /1 1121 1112 0)8/7()1 ( 22 8/18/15 21 3 2 3 1 045.22 692. 5 ml EI ml EI mm 1 mm 2 3/ l3/ l3/ l EI 1 1 11 12 22 21 8/18/15 21 3 2 3 1 045.

13、22 692. 5 ml EI ml EI 2 2 2221 2 1212 2 2 2121 2 1111 XmXmX XmXmX 2 2 2121 2 1111 XmXmX 2 111 2 212 2 1 1 m m X X 1 1 2 1111 2 1212 21 11 m m X X 1 1 2 2111 2 2212 22 12 m m X X 1 1 1 1 1 1 1 1 第一振型第一振型 第二振型第二振型 2 2 2221 2 1212 2 2 2121 2 1111 XmXmX XmXmX 2 2 2121 2 1111 XmXmX 2 111 2 212 2 1 1 m m

14、X X 1 1 2 1111 2 1212 21 11 m m X X 1 1 2 2111 2 2212 22 12 m m X X 1 1 1 1 1 1 1 1 第一振型第一振型 第二振型第二振型 1 1 1 X 1 1 2 X 对称体系的振型分对称体系的振型分 成两组成两组: : 一组为对称振型一组为对称振型 一组为反对称振型一组为反对称振型 mm 1 mm 2 3/ l3/ l3/ l EI 1 1 11 12 22 21 1 1 1 1 1 1 1 1 第一振型第一振型 第二振型第二振型 mm 1 mm 2 3/ l3/ l3/ l EI 1 1 1 X 1 1 2 X 对称系的振

15、型分对称系的振型分 成两组成两组: : 一组为对称振型一组为对称振型 一组为反对称振型一组为反对称振型 1 1 11 12 22 21 按对称振型振动按对称振型振动 m 3/ l6/ l EI l 3 11 162 5 =1=1 l/3 11 2 1 m 3 /692. 5mlEI 按反对称振型振动按反对称振型振动 1 1 1 1 第二振型第二振型 mm 1 mm 2 3/ l3/ l3/ l EI 1 1 1 X 1 1 2 X 对称系的振型分对称系的振型分 成两组成两组: : 一组为对称振型一组为对称振型 一组为反对称振型一组为反对称振型 1 1 11 12 22 21 按对称振型振动按对

16、称振型振动 m 3/ l6/ l EI l 3 11 162 5 =1=1 l/3 11 2 1 m 3 /692. 5mlEI 按反对称振型振动按反对称振型振动 m 3/ l6/ l 对称系的振型分对称系的振型分 成两组成两组: : 一组为对称振型一组为对称振型 一组为反对称振型一组为反对称振型 1 1 11 12 22 21 mm 1 mm 2 3/ l3/ l3/ l EI 按对称振型振动按对称振型振动 m 3/ l6/ l EI l 3 11 162 5 =1=1 l/3 11 2 1 m 3 /692. 5mlEI 按反对称振型振动按反对称振型振动 m 3/ l6/ l =1=1 l

17、/9 EI l 3 11 486 1 3 /045.22mlEI 3 1 /692. 5mlEI 3 2 /045.22mlEI 解解: : 例二例二. .求图示体系的频率、振型求图示体系的频率、振型. . 已知已知: : .; 2121 mmmkkk 0 2 22221 12 2 111 mkk kmk m1 2 k 1 EI 1 EI 1 k m2 0 1 2 1212111 XmXkXk 0 2 2 2222121 XmXkXk kkkk2 2111 kkk 2112 kk 22 0 2 2 2 mkk kmk 0)(2( 222 kmkmk mk /618. 0 1 mk /618. 1 2 618. 0 1 ; 618. 1 1 22 12 21 11 X X X X 618. 1 1 1 X 618. 0 1 2 X 1 1 1.6181.618 1 1 0.6180.618 1 X 2 X 练练 q A B l/2 l/2 C ql 8 1 q 2 16 1 ql q A Y A B l q A B l A M C M A M P AC D B 2 l 2 ql A X B Y B X 0 x F 0 y F 0 A M ql Q M N MP Mi M1 MP