1、 由前面例题可见由前面例题可见: :若分析出塑性铰的位置，由结构的极限状态的平衡即若分析出塑性铰的位置，由结构的极限状态的平衡即 可求出极限荷载可求出极限荷载。 同时也可推知超静定结构的极限荷载与结构的温度变化、支座移动等同时也可推知超静定结构的极限荷载与结构的温度变化、支座移动等 因素无关因素无关。 5. 比例加载时判定极限荷载的定理比例加载时判定极限荷载的定理 比例加载比例加载-作用于结构上的所有荷载按同一比例增加，且不出现作用于结构上的所有荷载按同一比例增加，且不出现 卸载的加载方式。卸载的加载方式。 1 P 2 P 1 q2 q PP 11 PP 22 Pq 22 Pq 11 求极限荷
2、载相当于求求极限荷载相当于求P P的极限值。的极限值。 结构处于极限状态时，应同时满足下面三个条件：结构处于极限状态时，应同时满足下面三个条件： 1.1.单向机构条件；单向机构条件； 2.2.内力局限条件；内力局限条件； 3.3.平衡条件。平衡条件。 可破坏荷载可破坏荷载- 同时满足单向机构条件和平衡条件的荷载。同时满足单向机构条件和平衡条件的荷载。 可接受荷载可接受荷载- 同时满足内力局限条件和平衡条件的荷载。同时满足内力局限条件和平衡条件的荷载。 P P 极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载。极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载。 1.1.基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。基本定理：
3、可破坏荷载恒不小于可接受荷载。 比例加载时关于极限荷载的定理：比例加载时关于极限荷载的定理： PP 证明：证明： 取任一可破坏荷载取任一可破坏荷载 P，给与其相应的破坏机构虚位移，列虚功方程，给与其相应的破坏机构虚位移，列虚功方程 n i iui MP 1 取任一可接受荷载取任一可接受荷载 P，在与上面相同虚位移上列虚功方程，在与上面相同虚位移上列虚功方程 n i ii MP 1 uii MM PP 1.1.基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。基本定理：可破坏荷载恒不小于可接受荷载。 PP 证明：证明： 取任一可破坏荷载取任一可破坏荷载 P，给与其相应的破坏机构虚位移，列虚功方程，给与其相
4、应的破坏机构虚位移，列虚功方程 n i iui MP 1 取任一可接受荷载取任一可接受荷载 P，在与上面相同虚位移上列虚功方程，在与上面相同虚位移上列虚功方程 n i ii MP 1 uii MM PP 2.2.唯一性定理：极限荷载是唯一的。唯一性定理：极限荷载是唯一的。 证明：证明： 设同一结构有两个极限荷载设同一结构有两个极限荷载 和和 。 1u P 2u P 若把若把 看成可破坏荷载，看成可破坏荷载， 看成可接受荷载。看成可接受荷载。 1u P 2u P 21uu PP 若把若把 看成可破坏荷载，看成可破坏荷载， 看成可接受荷载。看成可接受荷载。 1u P 2u P 21uu PP 故有
5、故有 21uu PP 3.3.上限定理（极小定理）：极限荷载是所有可破坏荷载中最小的。上限定理（极小定理）：极限荷载是所有可破坏荷载中最小的。 证明：证明： 由于极限荷载由于极限荷载 是可接受荷载，由基本定理是可接受荷载，由基本定理 u P 2.2.唯一性定理：极限荷载是唯一的。唯一性定理：极限荷载是唯一的。 证明：证明： 设同一结构有两个极限荷载设同一结构有两个极限荷载 和和 。 1u P 2u P 若把若把 看成可破坏荷载，看成可破坏荷载， 看成可接受荷载。看成可接受荷载。 1u P 2u P 21uu PP 若把若把 看成可破坏荷载，看成可破坏荷载， 看成可接受荷载。看成可接受荷载。 1
6、u P 2u P 21uu PP 故有故有 21uu PP PP u 4.4.下限定理（极大定理）：极限荷载是所有可接受荷载中最大的。下限定理（极大定理）：极限荷载是所有可接受荷载中最大的。 证明：证明： 由于极限荷载由于极限荷载 是可破坏荷载，由基本定理是可破坏荷载，由基本定理 u P PP u 列出所有可能的破坏机构，用平衡条件求出这些破坏机列出所有可能的破坏机构，用平衡条件求出这些破坏机 构对应的可破坏荷载，其中最小者既是极限荷载。构对应的可破坏荷载，其中最小者既是极限荷载。 定理的应用：定理的应用： 穷举法：穷举法： 每次任选一种破坏机构，由平衡条件求出相应的可破坏每次任选一种破坏机构
7、，由平衡条件求出相应的可破坏 荷载，再检验是否满足内力局限性条件；若满足，该可荷载，再检验是否满足内力局限性条件；若满足，该可 破坏荷载既为极限荷载；若不满足，另选一个破坏机构破坏荷载既为极限荷载；若不满足，另选一个破坏机构 继续运算。继续运算。 试算法：试算法： 极小定理的应用极小定理的应用 唯一性定理的应用唯一性定理的应用 例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu 。 P P A l/3 l/3 BC P P l/3 D 解：解：1.1.用穷举法求解用穷举法求解 共有三种可能的破坏机构共有三种可能的破坏机构 P P A l/3 l/3 BC P
8、P l/3 D 例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu 。 解：解：1.1.用穷举法求解用穷举法求解 共有三种可能的破坏机构：共有三种可能的破坏机构： （1 1）A A、B B出现塑性铰出现塑性铰 3 2 3/2l 3/l 032 33 2 uu MM l P l P u M l P 5 （2 2）A A、C C出现塑性铰出现塑性铰 03 33 2 uu MM l P l P u M l P 4 3 2 3/2l 3/l 2 3/l （3 3）B B、C C出现塑性铰出现塑性铰 02 3 uu MM l P u M l P 9 uu M l P 4
9、 例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为例：求图示等截面梁的极限荷载。极限弯矩为Mu 。 P P A BC P P D 解：解： （1 1）选）选A A、B B出现塑性铰形成的破坏机构出现塑性铰形成的破坏机构 3 2 3/2l 3/l 032 33 2 uu MM l P l P u M l P 5 2.2.用试算法求解用试算法求解 lMu/5 u M u M lMu/5 3/4 u M 由作出的弯矩图可见，由作出的弯矩图可见，C C截面不满足内力截面不满足内力 局限性条件。局限性条件。 （2 2）选）选A A、C C出现塑性铰形成的破坏机构出现塑性铰形成的破坏机构 由作出的弯矩图可见，满足
10、内力局限性条件。由作出的弯矩图可见，满足内力局限性条件。 03 33 2 uu MM l P l P 3 2 3/2l 3/l u M u M lMu/4 lMu/4 3/ u M u M l P 4 uu M l P 4 例例: :求图示等截面梁的极限荷载求图示等截面梁的极限荷载. .已知梁的极限弯矩为已知梁的极限弯矩为Mu。 A l B q 解解: : 用上限定理（极小定理）计算。用上限定理（极小定理）计算。 l M xlx xl q u 2 )( 2 024 22 llxx 0 dx dq A B u M C u M x q 0 2 1 CuAu MMlq A B C xxl AB ;
11、) 11 ( xxl BAC 0) 11 ( 2 xxl M x M l q uu 0) 11 ( 1 2 xxl M x M l q uu lx lx )22( )22( 2 1 2 min 66.11 l M qq u u 6. 连续梁的极限荷载连续梁的极限荷载 连续梁的破坏机构连续梁的破坏机构 一跨单独破坏一跨单独破坏 相邻跨联合破坏相邻跨联合破坏 不会出现不会出现 在各跨等截面、荷在各跨等截面、荷 载方向相同条件下，载方向相同条件下， 破坏机构只能在各破坏机构只能在各 跨内独立形成。跨内独立形成。 例：求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的例：求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截
12、面的,AB,AB、BCBC跨的极限跨的极限 弯矩为弯矩为Mu ，CDCD跨的极限弯矩为跨的极限弯矩为3 3Mu 。 解：先分别求出各跨独自破坏时的解：先分别求出各跨独自破坏时的 可破坏荷载可破坏荷载. . （1 1）ABAB跨破坏时跨破坏时 0.8P0.8P A BC D P P P P q=P/=P/a EF a a a a a 2a 0.8P0.8P D P P P P q=P/=P/a 2 uu MMaP28 . 0 aMP u /75. 3 （2 2）BCBC跨破坏时跨破坏时 uuu MMMaa a P 22 2 1 aMP u /4 0.8P0.8P P P P P q=P/=P/a
13、 2 （3 3）CDCD跨破坏时跨破坏时 有三种情况：有三种情况： 例：求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的例：求图示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的,AB,AB、BCBC跨的极限跨的极限 弯矩为弯矩为Mu ，CDCD跨的极限弯矩为跨的极限弯矩为3 3Mu 。 0.8P0.8P A BC D P P P P q=P/=P/a EF a a a a a 2a 0.8P0.8P D P P P P q=P/=P/a 3 2 解：先分别求出各跨独自破坏时的解：先分别求出各跨独自破坏时的 可破坏荷载可破坏荷载. . （1 1）ABAB跨破坏时跨破坏时 uu MMaP28 . 0 aMP u /75. 3 （2 2）BCBC跨破坏时跨破坏时 uuu MMMaa a P 22 2 1 aMP u /4 （3 3）CDCD跨破坏时跨破坏时 有三种情况有三种情况 0.8P0.8P P P P P q=P/=P/a 0.8P0.8P P P P P q=P/=P/a 332 uu MMaPaP aMP u /33. 3 aMP uu /33. 3
