1、 第十三章第十三章 剪切剪切13-1 剪切的概念剪切的概念13-2 剪切和挤压的实用计算剪切和挤压的实用计算13-3 切应力互等定理和剪切胡克定理切应力互等定理和剪切胡克定理 剪应力的产生剪应力的产生 连接件的剪切一、连接件的受力特点和变形特点：1、连接件 在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件连接件。例如：螺栓、铆钉、键等。连接件虽小，却起着传递载荷的作用。特点：可传递一般 力，可拆卸。PP螺栓PP铆钉特点：可传递一般力，不可拆卸。如桥梁桁架结点处用它连接。无间隙m轴键齿轮特点：传递扭矩。m 2、受力特点和变形特点：nn（合力）（合力）PP以铆钉为例：受力特点受力特点：构件受两组大小相等、
2、方向相反、作用线相距很近（差一个几何平面）的平行力系作用。变形特点变形特点：构件沿两组平行力系的交界面发生相对错动。nn（合力）（合力）PP剪切面剪切面：构件将发生相互的错动面，如n n。剪切面上的内力剪切面上的内力：内力 剪力FS，其作用线与剪切面平行。PnnFS剪切面 3 3、连接处破坏的形式、连接处破坏的形式（1 1）剪切破坏剪切破坏 沿铆钉的剪切面剪断，如沿沿铆钉的剪切面剪断，如沿1-1面剪断。面剪断。nnPP（2 2）挤压破坏挤压破坏 铆钉和钢板在相互接触面上铆钉和钢板在相互接触面上因挤压而使接触的局部区域内产因挤压而使接触的局部区域内产生显著塑性变形，或发生破坏。生显著塑性变形，或
3、发生破坏。如如ab，cd接触接触面。面。（3 3）拉伸破坏拉伸破坏 钢板因铆钉连接，在铆钉孔处截面受到削弱，应钢板因铆钉连接，在铆钉孔处截面受到削弱，应力增大，易在连接处被拉断。力增大，易在连接处被拉断。二、剪切的实用计算实用计算方法：实用计算方法：根据构件的破坏可能性，采用能反映受力基本特征，并简化计算的假设，计算其名义应力，然后根据直接试验的结果，确定其相应的许用应力，以进行强度计算。适用适用：构件体积不大，真实应力相当复杂情况，如连接件等。实用计算假设：实用计算假设：假设切应力在整个剪切面上均匀分布，等于剪切面上的平均应力。1 1、剪切面、剪切面-A：错动面。错动面。剪力剪力FS：剪切面
4、上的内力。剪切面上的内力。SFA2 2、名义切应力、名义切应力-：3 3、剪切强度条件（准则）：、剪切强度条件（准则）：SFA njx:其中nn（合力）（合力）PPPnnFS剪切面工作应力不得超过材料的许用应力。三、挤压的实用计算1 1、挤压力、挤压力Fbs：接触面上的合力：接触面上的合力。挤压：构件局部面积的承压现象。挤压力：在接触面上的压力，记Fbs。假设：挤压应力在有效挤压面上均匀分布。2 2、挤压面积：接触面在垂直、挤压面积：接触面在垂直Fbs方向上的投影面的面积。方向上的投影面的面积。bsbsbsbsFA3 3、挤压强度条件（准则）：、挤压强度条件（准则）：工作挤压应力不得超过材料的
5、许用挤压应力。工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力。挤压面积bsAdt 1 bsbs、校核强度：；2 sbsQbsbsFFAA、设计尺寸：；3 sQbsbsbsFAFA、设计外载：；四、应用四、应用 切应力互等定律切应力互等定律 在物体上取一微小六面体，在物体上取一微小六面体，称之为单元体。称之为单元体。dxdydz x x y y0)()(0yyyydzdxdzdxX 0)()(0 xxxxdzdydzdyY xyzyxyxZdydzdxdxdzdyM 0)()(0 x x y y切应力互等定理：切应力互等定理：二个相互二个相互垂直的截面上，切应力成对垂直的截面上，切应力成对出现。大小相等
6、方向相反，出现。大小相等方向相反，都垂直于两平面的交线。都垂直于两平面的交线。zdxdydz当单元体上同时存在切应力和正当单元体上同时存在切应力和正应力时，切应力互等定理是否成应力时，切应力互等定理是否成立？为什么？立？为什么？剪应变剪应变 剪切胡克定律剪切胡克定律ABCDABCD FF剪切面剪切面1.剪应变剪应变直角的改变量直角的改变量2.2.剪切虎克定律剪切虎克定律ACDBcD其中其中G是材料的剪切弹性模量。是材料的剪切弹性模量。且且实验证明实验证明：当切应力不超过：当切应力不超过材料的比例极限材料的比例极限 时，剪时，剪应力应力 与剪应变与剪应变 成正比。成正比。即即pG单位：单位：Mp
7、a、Gpa.)1(2EG740100.952MPa12 35sQFPAbh740107.4MPa 4.5 12bsbsbsFPAcb 例例 木榫接头如图所示，a=b=12cm，h=35cm，c=4.5cm,P=40KN，试求接头的切应力和挤压应力。解：受力分析如图 切应力和挤压应力剪切面和剪力为 挤压面和挤压力为：PPPPPPbachQAjyAh;QsAbhFP;bsbsAcbFP解：键的受力分析如图 例例 齿轮与轴由平键（bhL=20 12 100）连接，它传递的扭矩m=2KNm，轴的直径d=70mm，键的许用剪应力为=60M Pa，许用挤压应力为jy=100M Pa，试校核键的强度。kN5
8、707.0222dmP2hmbLmdPPh综上，键满足强度要求。MPa6.281002010573bLPAQQ剪应力和挤压应力的强度校核PPQjyjyjyjyjyhLPAPMPa3.956100105723bhLdmQ解：受力分析如图例例 一铆接头如图所示，受力P=110kN，已知钢板厚度为 t=1cm，宽度 b=8.5cm，许用应力为=160M Pa；铆钉的直径d=1.6cm，许用切应力为=140M Pa，许用挤压应力为jy=320M Pa，试校核铆接头的强度。（假定每个铆钉受力相等。）4sbsPFFbPPttdPPP11 2233P/4钢板的2-2和3-3面为危险面切应力和挤压应力的强度条
9、件 72211010136.8MPa3.14 1.6sQFPAd MPa7.15510)6.125.8(41103)2(4372dbtP711010171.9MPa44 1 1.6bsbsbsbsFPAtd MPa4.15910)6.15.8(1110)(73dbtP综上，接头安全。ttdPPP11 2233P/4 第十四章第十四章 扭转扭转14-1 概述概述14-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图外力偶矩、扭矩和扭矩图14-3 圆轴扭转时的应力与强度条件圆轴扭转时的应力与强度条件14-4 圆轴扭转时的变形与刚度条件圆轴扭转时的变形与刚度条件 概概 述述 轴：轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器
10、中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。扭转：扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA 扭转角（扭转角（）：）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变（剪应变（）：直角的改变量。mmOBA工工 程程 实实 例例D力偶矩PDm 汽车前后桥之间的传动轴汽车前后桥之间的传动轴攻丝丝锥攻丝丝锥电动机与减速器之间的传动轴联轴器A、B之间的轴段只承受扭距。对称扳手拧紧螺帽对称扳手拧紧螺帽请判断哪一杆件将发生扭转？当两只手用力相等时，拧紧螺母的工具杆将产生扭转。传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 一、传动轴的外力偶矩一、传动轴的
11、外力偶矩 传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：m)(kN559nP.mm)(kN0247nP.mm)(kN1217nP.m其中：P 功率，千瓦（kW）n 转速，转/分（rpm）其中：P 功率，马力（PS）n 转速，转/分（rpm）其中：P 功率，马力（HP）n 转速，转/分（rpm）1PS=735.5Nm/s,1HP=745.7Nm/s,1kW=1.36PS 3 扭矩的符号规定：扭矩的符号规定：“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。反之为负。二、扭矩及扭矩图二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记
12、作“T”。2 截面法求扭矩截面法求扭矩mmmTmTmTmx00 x 4 扭矩扭矩图图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。目目 的的扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。xT例例已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：计算外力偶矩解：计算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555911nP.mm)(kN 7843001509.55559232.nP.mmm)
13、(kN 3763002009.5555944.nP.mnA B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）mkN78.4 0 ,02121mTmTmxmkN569784784(,0 322322.).mmTmmTmkN37.6 ,0-4243mTmTx绘制扭矩图绘制扭矩图mkN 569max.TBC段为危险截面。段为危险截面。xTnA B C Dm2 m3 m1 m44.789.566.37 等直圆杆在扭转时的应力等直圆杆在扭转时的应力 强度条件强度条件等直圆杆横截面应力等直圆杆横截面应力变形几何方面变形几何方面物理关系方面物理关系方面静力学方面静
14、力学方面 横截面变形后是否为平面？1.横截面变形后仍为平面，形状、大小、间距不变，半径保持为直线；2.轴向无伸缩；无变形，所以没有线应变，进而没有正应力。3.纵向线变形后仍为平行，横截面像刚性平面一样绕轴线转动。等直圆杆扭转实验观察：等直圆杆扭转实验观察：等直圆杆扭转时横截面上的应力：等直圆杆扭转时横截面上的应力：1.变形几何关系：变形几何关系：xxGGdddtg1xdd距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与该点到圆心的距离与该点到圆心的距离 成正比。成正比。xdd 扭转角沿长度方向变化率。切应变 2.物理关系：物理关系：虎克定律：代入上式得：GxGxGGddddxGdd 3.静力学关系：
15、静力学关系：AxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令 （极惯性矩）xGI Tpdd pGITx dd 代入物理关系式 得：xGdd pITOpdA pIT横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式。4.公式讨论：公式讨论：仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。直杆。式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。Ip截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。单位：单位：mm4，m4。AIApd2
16、尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是只是Ip值不同。值不同。4420221032 d2 dD.DAIDApa.对于实心圆截面：DdO b.对于空心圆截面：)1(10)1(32 )(32 d2 d4444442222D.DdDAIDdAp)(DddDOd 应力分布应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。pIT 确定最大切应力：确定最大切应力：pIT由知：当max ,2dR)2(22 maxdIWWTdITIdTptpp令tWTmaxWt 抗扭截面系数（抗扭截面模量）
17、，几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：332016D.DRIWpt对于空心圆截面：)-(12016)1(4343D.DRIWpt 圆轴扭转时的强度计算圆轴扭转时的强度计算强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：maxmaxtWT(称为许用切应力。)强度计算三方面：强度计算三方面：校核强度：设计截面尺寸：计算许可载荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：实：433116 16 DDWt例 功率为功率为150150kW，转速为，转速为15.415.4转转/秒的电动机转子轴如图，秒的电动机转子轴如图，许用切应力许用切应力 =30=30M Pa,Pa,试校核其强度。试
18、校核其强度。nNmTBC2103m)(kN551m)(N4151432101503.Tm解：求扭矩及扭矩图解：求扭矩及扭矩图计算并校核切应力强度计算并校核切应力强度此轴满足强度要求。此轴满足强度要求。D3=135D2=75 D1=70ABCmmxMPa23160701055133max.WTt 等直圆杆在扭转时的变形等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件一、扭转时的变形一、扭转时的变形由公式pGITx dd 知：长为长为 l一段杆两截面间相对扭转角一段杆两截面间相对扭转角 为值不变）若(d d0TGITlxGITplp 二、单位长度扭转角二、单位长度扭转角 ：(rad/m)dd pGITx/
19、m)(180 dd pGITx 或三、刚度条件三、刚度条件或GIp反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度的抗扭刚度。称为许用单位长度扭转角。(rad/m)maxmaxpGIT /m)(180 maxmaxpGIT 刚度计算的三方面：刚度计算的三方面：校核刚度：设计截面尺寸：计算许可载荷：max max GT Ip max pGIT 有时，还可依据此条件进行选材。例例 长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，G=80GPa，许用切应力=30MPa，试设计杆的外径；若=2/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：设计杆
20、的外径maxTWt 116D 43）（tW314max 116）（TD314max 116）（TD40NmxT代入数值得：D 0.0226m。由扭转刚度条件校核刚度由扭转刚度条件校核刚度180maxmaxPGIT40NmxT180maxmaxPGIT 8911108018040324429.)(D右端面转角为：弧度）(0330 4102040202200.)xx(GIdxGIxdxGITPPLP 等直圆杆的扭转超静定问题等直圆杆的扭转超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；几何方程变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。例例 长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，外径 D=0.0226m，G=80GPa，试求固定端反力偶。解：杆的受力图如图示，杆的受力图如图示，这是一次超静定问题。这是一次超静定问题。平衡方程为：平衡方程为：02BAmmmAB几何方程变形协调方程0BA 综合物理方程与几何方程，得补充方程：040220200PAPALPBAGImdxGIxmdxGITmN 20 Am 由平衡方程和补充方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。mN 20Bm
