1、5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化 一、实对称矩阵的性质一、实对称矩阵的性质 对角化的方法对角化的方法 对称矩阵对称矩阵二、利用正交矩阵将实二、利用正交矩阵将实 三、小结、思考题三、小结、思考题 性质性质1 1 实实对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数. . 一、实对称矩阵的性质 说明说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指明，均指实对称矩阵实对称矩阵 （证明略！）（证明略！） 性质性质1 1的意义的意义 ., 0, 0)( , 以取实向量以取实向量从而对应的特征向量可从而对应的特征向量可系系 知必有实的基础解知必有实的基础解由由是实
2、系数方程组是实系数方程组 线性方程组线性方程组 所以齐次所以齐次为实数为实数的特征值的特征值由于对称矩阵由于对称矩阵 IA xIA A i i i 性质性质2 2 ，都有，都有的每一个特征值的每一个特征值阶实对称矩阵阶实对称矩阵 An . m，即，即代数重数等于几何重数代数重数等于几何重数 . ,)( , , 2 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量恰有恰有对应特征值对应特征值 从而从而的秩的秩则矩阵则矩阵重根重根 的特征方程的的特征方程的是是阶对称矩阵阶对称矩阵为为设设性质性质 r rnIArIAr AnA 也可描述为也可描述为 ., , 3 21212 121 正交正交与与则则若若是对
3、应的特征向量是对应的特征向量 的两个特征值的两个特征值是对称矩阵是对称矩阵设设性质性质 ppp pA 证明证明 , 21222111 AppApp , A AA T 对称对称 T TT Appp 11111 , 11 Ap A p T T T 于是于是 22121211 ppApppp TTT , 212 pp T . 0 2121 pp T , 21 . 21 正交正交与与即即pp. 0 21 pp T . , , 4 1 素的对角矩阵素的对角矩阵 个特征值为对角元个特征值为对角元的的是以是以其中其中 使使则必有正交矩阵则必有正交矩阵阶对称矩阵阶对称矩阵为为设设性质性质 nAAPP PnA
4、证明证明 , 21s 它们的重数依次为它们的重数依次为 s rrr, 21 ).( 21 nrrr s 根据性质根据性质1（对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数）和性）和性 质质2可得：可得： 设设 的互不相等的特征值为的互不相等的特征值为 A , 21 知知由由nrrr s 由性质由性质3知知对应于不同特征值的特征向量正交对应于不同特征值的特征向量正交， . , ), 2 , 1( 单位正交的特征向量单位正交的特征向量 个个即得即得把它们正交化并单位化把它们正交化并单位化关的实特征向量关的实特征向量 个线性无个线性无恰有恰有对应特征值对应特征值 r r i ii si PPAPP 1
5、1 . , 11 个特征值个特征值的的是是 恰恰个个个个的对角元素含的对角元素含其中对角矩阵其中对角矩阵 nA rr ss 这样的特征向量共可得这样的特征向量共可得 个个. n 故这故这 个单位特征向量两两正交个单位特征向量两两正交. n 以它们为列向量构成正交矩阵以它们为列向量构成正交矩阵 ，则，则 P 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为对角矩阵，其具体步骤为：为： 二、利用正交矩阵将对称矩阵对 角化的方法 将特征向量正交化将特征向量正交化(如果有重根的话如果有重根的话); 3. 将特征向量单位化将特征向量单位化. 4. 2
6、. ;, 0的特征向量的特征向量求出求出由由AxIA i 1. ;的特征值的特征值求求A 解解 20 212 022 IA 214 0 . 2, 1, 4 321 得得 , 020 212 022 )1( A 310 130 004 )2(A 例例1 1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使使 为对角阵为对角阵. APP 1 P (1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值 A P，求相似变换阵，求相似变换阵（一）、已知具体矩阵（一）、已知具体矩阵 的特征向量的特征向量求出求出由由第二步第二步AxIA i , 0 得得由由对对, 04, 4 1 xIA
7、 042 0232 022 32 321 21 xx xxx xx 解之得基础解系解之得基础解系 . 1 2 2 1 得得由由对对, 0, 1 2 xIA 02 022 02 32 31 21 xx xx xx 解之得基础解系解之得基础解系 . 2 1 2 2 得得由由对对, 02, 2 3 xIA 022 0232 024 32 321 21 xx xxx xx 解之得基础解系解之得基础解系 . 2 2 1 3 第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化 ., ,3, 3 21321 故它们必两两正交故它们必两两正交的特征向量的特征向量 个不同特征值个不同特征值的的是属于是属于由于由于
8、A 第四步第四步 将特征向量单位化将特征向量单位化 . 3 , 2 , 1, i i i i 令令 , 31 32 32 1 得得, 32 31 32 2 . 32 32 31 3 , 221 212 122 3 1 , 321 P作作 . 200 010 004 1 APP则则 310 130 004 )2(A 310 130 004 IA ,42 2 . 4, 2 321 得特征值得特征值 得基础解系得基础解系由由对对, 02, 2 1 xIA 1 1 0 1 得基础解系得基础解系由由对对, 04, 4 32 xIA . 1 1 0 , 0 0 1 32 , 32 恰好正交恰好正交与与 .
9、, 321 两两正交两两正交所以所以 得得令令单位化单位化再将再将3 , 2 , 1, 321 i i i i , 21 21 0 1 , 0 0 1 2 . 21 21 0 3 于是得正交阵于是得正交阵 21021 21021 010 , 321 P . 400 040 002 1 APP则则 . A阵征值性质，反过来求矩（二）、已知矩阵的特 2例例, 2, 4 3, 21 的特征值为的特征值为设实对称矩阵设实对称矩阵A .,1, 2, 1 11 A T 求求的特征向量为的特征向量为且对应于且对应于 :解2 32 ， ，对应于，对应于由实对称矩阵的性质知由实对称矩阵的性质知 1 征向量，且它
10、们都与征向量，且它们都与必有两个线性无关的特必有两个线性无关的特 其基础其基础亦即亦即正交，即满足正交，即满足, 01, 2, 1, 0 1 xx T 解系是解系是 , 1 0 1 2 , 2 1 0 3 .2向量向量的两个线性无关的特征的两个线性无关的特征此即对应于特征值此即对应于特征值 进行正交化，得进行正交化，得，对对 32 1 1 1 1 0 1 2 2 2 1 0 , , , 2 22 23 3322 再进行单位化，得再进行单位化，得，对对 321 , 61 62 61 1 1 1 , 21 0 21 2 31 31 31 3 为正交阵，且有为正交阵，且有，则，则令令PP 321 ,
11、 ，即，即于是于是 T PPPPAAPP 11 , 121 222 121 2 2 4 T PPA 1. 对称矩阵的性质：对称矩阵的性质： 三、小结 (1)(1)特征值为实数；特征值为实数； (2)(2)属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量正交； (3)(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等；特征向量的个数相等； (4)(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵对角元素即为特征值且对角矩阵对角元素即为特征值 2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)将特征向将特征向 量正交化；量正交化；(4)最后单位化最后单位化
