1、 3 单位荷载法单位荷载法 一、位移计算的一般公式一、位移计算的一般公式 (General Formula of Displacements) 将虚功原理用于将虚功原理用于实际协调位移实际协调位移和和虚设平虚设平 衡力状态间衡力状态间已介绍过已介绍过单位荷载法。单位荷载法。 下面从虚功方程入手，讨论杆系结构位下面从虚功方程入手，讨论杆系结构位 移计算的一般公式。杆系结构虚功方程为移计算的一般公式。杆系结构虚功方程为 We =pu+qv+mds + FPxu+FPyv+M i =FN+FQ+Mx +Mds = Wi 设待求的实际广义设待求的实际广义位移为位移为 设仅在广义力设仅在广义力P作用下，
2、与之平衡的轴作用下，与之平衡的轴 力、剪力、扭矩和弯矩分别为力、剪力、扭矩和弯矩分别为FN 、 FQ、 Mx和和M。 实际位移状态实际位移状态 FP ? Bx A B C 虚设的力状态虚设的力状态 P A B C FN 、 FQ、 Mx和和M ，与，与对应对应 的的广义力为广义力为P。 又设与内力又设与内力FN 、 FQ、Mx和和M对应的微对应的微 段实际变形分别为段实际变形分别为、和和。 若结构有已知支座位移为若结构有已知支座位移为ci 实际位移状态实际位移状态 FP ? Bx A B C 虚设的力状态虚设的力状态 P A B C FN 、 FQ、 Mx和和M 、和和 FR c ，与其对应与
3、其对应 的由广义力的由广义力 P 引起的支座反力为引起的支座反力为FRi 则杆系结构虚功方程为则杆系结构虚功方程为 We =FRi ci+P =FN+FQ+Mx +Mds = Wi 虚功方程等式两边同除广义力虚功方程等式两边同除广义力 P ，并记，并记 单位广义力单位广义力(P/ /P=1)作用下，与之平衡的轴作用下，与之平衡的轴 力、剪力、扭矩和弯矩分别为力、剪力、扭矩和弯矩分别为FN 、 FQ、 Mx和和M。单位广义力单位广义力引起的，与已知位移引起的，与已知位移 对应的反力为对应的反力为 FRi 。 则杆系结构虚功方程改写为则杆系结构虚功方程改写为 =- -FRi ci+FN+FQ+Mx
4、 +Mds 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 一般公式的普遍性表现在：一般公式的普遍性表现在： 2. 结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结 构；静定和超静定结构；构；静定和超静定结构； 1. 位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；位移原因：荷载、温度改变、支座移动等； 3. 材料性质：线性、非线性；材料性质：线性、非线性； 4. 变形类型：弯曲变形、拉变形类型：弯曲变形、拉(压压)变形、剪切变形、剪切 变形；变形； 5. 位移种类：线位移、角位移；相对线位移位移种类：线位移、角位移；相对线位移 和相对角位移。和相对角位移。 B A ? AB (b) 试确
5、定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。 A ? A (a) P=1 P=1 P=1 A B C d ? BC (c) d P 1 d P 1 A B C 2 d 1 d (d) ? ACAB 1 1 d 1 1 d 2 1 d 2 1 d 试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。 A B ? AB (e) P=1 P=1 C (f) C 左右 =？ P=1 P=1 试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。 P=1 ? A (g) A ? AB (h) A B P=1 P=1 试确定指定广义位移对应的单
6、位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。 二、二、 荷载作用下位移计算的一般公式荷载作用下位移计算的一般公式 iix cFsM sMFF R QN d d 在仅荷载作用时的位移计算一般公式在仅荷载作用时的位移计算一般公式 对于由对于由线弹性线弹性直杆直杆组成的结构，有：组成的结构，有： P P Q N , , , EI M EI M GA kF EA F xPP P P P P P sM sMFF x d d P PPQPNP 扭转项扭转项 式中：式中： E 弹性模量；弹性模量； G 剪切模量；剪切模量； A 横截面积；横截面积； I 截面惯性矩；截面惯性矩； k 截面形状系数。如：对矩
7、形截截面形状系数。如：对矩形截 面面k=6/5;圆形截面圆形截面k=10/9。 s GI MM s EI MM GA FFk EA FF xPx P P P d d P QQ NN P IP 截面极惯性矩；截面极惯性矩； 轴向轴向 剪切剪切 弯曲弯曲 扭转扭转 例例 1：求刚架：求刚架A点的竖向位移。点的竖向位移。 解：构造虚设状态解：构造虚设状态 （实际状态）（实际状态） 分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力 方程（或画出内力图），如：方程（或画出内力图），如： （虚拟状态）（虚拟状态） qx x P FQ ql ql P FN x 2 2 1 qx
8、P M 2 2 1 ql 荷载内力图荷载内力图 x x l M x 1 P FQ 1 P FN 单位内力图单位内力图 内力的正负号规定如下：内力的正负号规定如下： 轴力轴力 以拉力为正；以拉力为正； NN ,FF P 剪力剪力 使微段顺时针转动使微段顺时针转动 者为正；者为正； QQ ,FF P 弯矩弯矩 只规定乘积的正负只规定乘积的正负 号。使杆件同侧纤维受拉时，号。使杆件同侧纤维受拉时， 其乘积取为正。其乘积取为正。 MM P , 将内力方程代入公式将内力方程代入公式 讨论：讨论： 22 5 4 )(, 5 8 )(,1)( GAl kEI Al I QAyNAyMAy 轴向轴向 剪切剪切
9、 弯曲弯曲 GA sFFk EA sFF EI sMM P PP Ay ddd QQ NN ) 5 4 5 8 1( 8 5 22 4 GAl kEI Al I EI ql ，有：，有： 引入符号引入符号 5 6 , 12 , 3 k bh IbhA 22 )( 25 2 )(,)( 15 2 )( l h G E l h QAyNAy 问题：问题： 的取值范围是什么？的取值范围是什么？ G E )1(2 E G5.00 32 G E 设杆件设杆件截面截面为为 b h 的矩形截面杆，有：的矩形截面杆，有： %13. 0 )( )( ,%2 . 0 )( )( MAy NAy MAy QAy 因
10、此因此,对受弯细长杆件对受弯细长杆件,通常略去通常略去FN, FQ的影响的影响。 取：取： ， ，有：，有： 10 1 l h 5 . 2 G E 500 1 )(, 750 1 )( QAyNAy ) 500 1 750 1 1( 8 5 4 EI ql Ay 即：即： 三、几点讨论（只有荷载作用）：三、几点讨论（只有荷载作用）： GA sFFk EA sFF EI sMM P PP P ddd QQ NN 一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。 1. 对梁和刚架：对梁和刚架： EI sMM P P d 2. 对桁架：对桁架： EA lFF EA
11、 sFF PP P NNNN d 3. 对组合结构：对组合结构： EA lFF EI sMM PP P NN d 例例 2：求曲梁：求曲梁B点的竖向位移点的竖向位移 和水和水 平位移平位移 。(EI、EA、GA已知已知) Bx By R O B A FP 解：构造虚设的力状态如图示解：构造虚设的力状态如图示 FP=1 R sinRM y FP =1 R )cos1( RM x FP R P M sin PR FMP l PP By EI PR R EI MM s EI MM 0 2 0 3 )( 4 dd )( 2 3 EI PR Bx 同理有：同理有： 将内力方程代入位移计算公式将内力方程代入位移计算公式,可得可得 三铰拱的分析三铰拱的分析同此类似，但一般同此类似，但一般要考要考 虑轴力对位移的贡献虑轴力对位移的贡献，也即，也即 EA sFF EI sMM PP P dd NN 例例 3：求对称桁架：求对称桁架D点的竖向位移点的竖向位移 。图中。图中 右半部各括号内数值为杆件的截面积右半部各括号内数值为杆件的截面积A ，设，设 E=210GPa。 )m10( 21 Dy FN 解：解： 构造虚拟状态并求出实际和虚拟状构造虚拟状态并求出实际和虚拟状 态中各杆的内力态中各杆的内力 代入公式得：代入公式得： )(mm 8 NN EA lFF Dy 返返 章章 菜菜 单单 FN
