1、4. 位移法的基本原理位移法的基本原理 (Fundamentals of Displacement Method) 已有的知识：已有的知识： （2）静定结构的内力分析和位移计算；）静定结构的内力分析和位移计算； （1）结构组成分析；）结构组成分析； （3）超静定结构的内力分析和位移计算）超静定结构的内力分析和位移计算 力法；已解得如下单跨梁力法；已解得如下单跨梁 结果。结果。 A B A B 位位 移移 法法 中中 的的 基基 本本 单单 跨跨 梁梁 表示要熟记！表示要熟记！ 超静定单跨梁的力法结果超静定单跨梁的力法结果(1) 形形 形形 载载 形形=形常数形常数 载载=载常数载常数 超静定单
2、跨梁的力法结果超静定单跨梁的力法结果(2) 载载 载载 载载 超静定单跨梁的力法结果超静定单跨梁的力法结果(3) 载载 载载 载载 1 超静定单跨梁的力法结果超静定单跨梁的力法结果(4) 形形 载载 形形 载载 超静定单跨梁的力法结果超静定单跨梁的力法结果(5) 载载 载载 载载 超静定单跨梁的力法结果超静定单跨梁的力法结果(6) 载载 载载 载载 载载 超静定单跨梁的力法结果超静定单跨梁的力法结果(7) 载载 载载 载载 形形 超静定单跨梁的力法结果超静定单跨梁的力法结果(8) 载载 载载 载载 载载 超静定单跨梁的力法结果超静定单跨梁的力法结果(9) 载载 载载 载载 载载 2 超静定单跨
3、梁的力法结果超静定单跨梁的力法结果(10) 载载 载载 载载 回顾力法的思路：回顾力法的思路： （1）解除多余约束代以基本未知力，确）解除多余约束代以基本未知力，确 定基本结构、基本体系；定基本结构、基本体系； （2）分析基本结构在未知力和“荷载”）分析基本结构在未知力和“荷载” 共同作用下的变形，消除与原结构共同作用下的变形，消除与原结构 的差别，建立力法典型方程；的差别，建立力法典型方程； （3）求解未知力，将超静定结构化为）求解未知力，将超静定结构化为 静定结构。静定结构。 核心是化未知为已知核心是化未知为已知 在线性小变形条件下，由叠加原理可得在线性小变形条件下，由叠加原理可得 单跨超
4、静定梁在荷载、温改和支座移动单跨超静定梁在荷载、温改和支座移动 共同作用下共同作用下 FP x y F BAABABBA F ABABBAAB M l i iiM M l i iiM 6 24 6 24 其中：其中： l EI i 称杆件的称杆件的线刚度线刚度。 F BA F AB MM, 为由荷载和温度变化引起的为由荷载和温度变化引起的 杆端弯矩，称为杆端弯矩，称为固端弯矩固端弯矩。 转角位移方程转角位移方程(刚度方程刚度方程) Slope-Deflection (Stiffness) Equation F ABABAAB M l i iM 3 3 同理，另两类杆的转角位移方程为同理，另两类
5、杆的转角位移方程为 A端固定端固定B端铰支端铰支 F BAABA F ABAAB MiM MiM A端固定端固定B端定向端定向 位移法第一种基本思路位移法第一种基本思路 图示各杆长度为图示各杆长度为 l ,EI 等于常数等于常数, ,分布集度分布集度q, , 集中力集中力FP , ,力偶力偶M . .如何求解如何求解? ? q FP FP M 力法未知数力法未知数 个数为个数为3,3,但但 独立位移独立位移 未知数只未知数只 有一有一( (A A 点点 转角转角, ,设为设为 ).). FP FP 位移法第一种基本思路位移法第一种基本思路 在此基础上在此基础上, ,由图示结点平衡得由图示结点平
6、衡得 0 M MM AD 8 3 2 ql iM AC 8 4 Pl F iM AB 2 Pl F iM AE 利用转角位移利用转角位移 方程可得方程可得: : 第一种基本思路第一种基本思路 位移法思路位移法思路(平衡方程法平衡方程法) 以某些结点的位移为基本未知量以某些结点的位移为基本未知量 将结构拆成若干具有已知力将结构拆成若干具有已知力-位移位移(转角转角-位移位移) 关系的单跨梁集合关系的单跨梁集合 分析各单跨梁在外因和结点位移共同作用下分析各单跨梁在外因和结点位移共同作用下 的受力的受力 将单跨梁拼装成整体将单跨梁拼装成整体 用平衡条件消除整体和原结构的差别用平衡条件消除整体和原结构
7、的差别,建立建立 和位移个数相等的方程和位移个数相等的方程 求出基本未知量后求出基本未知量后,由单跨梁力由单跨梁力-位移关系可位移关系可 得原结构受力得原结构受力 第二种基本思路第二种基本思路 图示各杆长度为图示各杆长度为 l ,EI 等于常数等于常数, ,分布集度分布集度q, , 集中力集中力FP , ,力偶力偶M . .如何求解如何求解? ? q FP FP M FP FP 以以A 点转角做点转角做 基本未知量基本未知量, ,设设 为为 . .在在A 施施 加限制转动的加限制转动的 约束约束, ,以如图所以如图所 示体系为基本示体系为基本 体系体系( (基本结构基本结构 的定义和力法的定义
8、和力法 相仿相仿).). 第二种基本思路第二种基本思路 利用“载常数”可作利用“载常数”可作 图示荷载弯矩图图示荷载弯矩图 利用“形常数”可作利用“形常数”可作 图示单位弯矩图图示单位弯矩图 根据两图结点平衡根据两图结点平衡 可得附加约束反力可得附加约束反力 第二种基本思路第二种基本思路 位移法思路位移法思路(典型方程法典型方程法) 以位移为基本未知量以位移为基本未知量,先“固定”（不产先“固定”（不产 生任何位移）生任何位移） 考虑外因作用，由“载常数”得各杆受考虑外因作用，由“载常数”得各杆受 力力,作弯矩图。作弯矩图。 令结点产生单位位移（无其他外因），令结点产生单位位移（无其他外因），
9、 由“形常数”由“形常数” 得各杆受力得各杆受力,作弯矩图。作弯矩图。 两者联合原结构无约束，应无附加约束两者联合原结构无约束，应无附加约束 反力（平衡）反力（平衡）. 列方程可求位移。列方程可求位移。 基本思路基本思路 典型方程法：典型方程法：仿力法，按确定基本未知量、仿力法，按确定基本未知量、 基本结构，研究基本体系在位移和外因下的基本结构，研究基本体系在位移和外因下的 “反应”，通过消除基本体系和原结构差别来“反应”，通过消除基本体系和原结构差别来 建立位移法基本方程（平衡）的上述方法。建立位移法基本方程（平衡）的上述方法。 平衡方程法：平衡方程法：利用等直杆在外因和杆端位移利用等直杆在
10、外因和杆端位移 下由迭加所建立杆端位移与杆端力关系（转角下由迭加所建立杆端位移与杆端力关系（转角 位移）方程位移）方程 由结点、隔离体的杆端力平衡建立求解位移由结点、隔离体的杆端力平衡建立求解位移 未知量的方法。未知量的方法。 F FKF 0 RK 基本思路基本思路 两种解法对比：两种解法对比： 典型方程法和力法一样，直接对结构按统典型方程法和力法一样，直接对结构按统 一格式处理。最终结果由迭加得到。一格式处理。最终结果由迭加得到。 平衡方程法对每杆列转角位移方程，视具平衡方程法对每杆列转角位移方程，视具 体问题建平衡方程。位移法方程概念清楚，体问题建平衡方程。位移法方程概念清楚， 杆端力在求
11、得位移后代转角位移方程直接可杆端力在求得位移后代转角位移方程直接可 得。得。 位移法方程：位移法方程： 两法最终方程都是两法最终方程都是平衡方程平衡方程。整理后形式。整理后形式 均为：均为： 0 RK 典型方程法基本概念典型方程法基本概念 位移未知量位移未知量(一些特殊情况以后结合例题讨一些特殊情况以后结合例题讨 论论) 结点位移包括角位移和线位移结点位移包括角位移和线位移 独立角位移独立角位移 na =刚结点数；刚结点数； 独立线位移独立线位移 nl =? 不考虑轴向变形时：不考虑轴向变形时： nl =刚结点变成铰，为使铰结体系几刚结点变成铰，为使铰结体系几 何不变所需加的支杆数。何不变所需
12、加的支杆数。 考虑轴向变形时：考虑轴向变形时： nl =结点数结点数 2约束数约束数 总未知量总未知量 n = na+ nl 。 。 手算时手算时 电算时电算时 位移未知数确定举例位移未知数确定举例 位移未知数确定举例位移未知数确定举例 位移未知数确定举例位移未知数确定举例 位移未知数确定举例位移未知数确定举例 位移未知数确定举例位移未知数确定举例 2 2 l a n n 2 5 l a n n 位移未知数确定练习位移未知数确定练习 1 0 l a n n 4 3 l a n n 位移未知数确定练习位移未知数确定练习 0 3 l a n n 1 3 l a n n 位移未知数确定练习位移未知数
13、确定练习 32 la nn 位移未知数确定练习位移未知数确定练习 典型方程法基本概念典型方程法基本概念 基本结构：基本结构：加约束“无位移”加约束“无位移”,能拆成能拆成 已知杆端力已知杆端力-杆端位移关系“单跨梁”杆端位移关系“单跨梁” 的超静定结构。的超静定结构。 基本体系：基本体系：受外因和未知位移的基本受外因和未知位移的基本 结构。结构。 典型方程法基本概念典型方程法基本概念 基本方程：基本方程： 外因和未知位移共同作用时外因和未知位移共同作用时,附加约附加约 束没有反力束没有反力实质为平衡方程。实质为平衡方程。 0 RK 外因外因 附加反力附加反力 为零为零 未知位移未知位移 典型方
14、程法步骤典型方程法步骤 确定独立位移未知量数目（隐含建立基确定独立位移未知量数目（隐含建立基 本体系，支杆只限制线位移，限制转动本体系，支杆只限制线位移，限制转动 的约束不能阻止线位移）的约束不能阻止线位移） 作基本未知量分别等于单位时的单位弯作基本未知量分别等于单位时的单位弯 矩图矩图 作外因（主要是荷载）下的弯矩图作外因（主要是荷载）下的弯矩图 由上述弯矩图取结点、隔离体求反力系由上述弯矩图取结点、隔离体求反力系 数数 iij Rk , 典型方程法步骤典型方程法步骤 建立位移法典型方程并且求解：建立位移法典型方程并且求解： ), 1(0niRk ijij P MMM j j 按迭加法作最终
15、弯矩图按迭加法作最终弯矩图 取任意部分用平衡条件进行校核取任意部分用平衡条件进行校核 例一例一:用位移法计算图示刚架用位移法计算图示刚架,并作弯矩图并作弯矩图. E=常数常数. 0 2 l a n n 单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下: 熟记了“形、载熟记了“形、载 常数”吗？常数”吗？ iPij Rk 、 如何求？如何求？ 1 M 图图 4i 4i 8i 2i 1 1 Z 单位弯矩图为单位弯矩图为 2 M 图图 1 2 Z 8i 8i 4i 4i 4i 2i 11 k 4i 8i 21 k 4i ik12 11 ik4 21 12 k 4i ik4 12 22
16、 k 4i 8i 8i ik20 22 取结点考虑平衡取结点考虑平衡 荷载弯矩图荷载弯矩图 P2 R 12 2 ql P1 R 0 P1 R 12 2 P2 ql R 12 2 ql P M 图图 取结点考虑平衡取结点考虑平衡 0 0 P2222121 P1212111 Rkk Rkk 位移法典型方程：位移法典型方程： 0 12 204 00412 2 21 21 ql ii ii i ql i ql 224 672 2 2 2 1 P2211 MMMM 最终内力：最终内力： 请自行作出请自行作出 最终最终M图图 例二例二:用位移法计算图示刚架用位移法计算图示刚架,并作弯矩图并作弯矩图. E=
17、常数常数. 1 1 l a n n 单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下: 熟记了“形、载熟记了“形、载 常数”吗？常数”吗？ iPij Rk 、 如何求？如何求？ 4i 6i 6i k11 6i/l k12 = k21 k12 = k21 k21 = k12 6i/l k22 3i/l2 3i/l2 12i/l2 R1P 由形、载常数可得单位和荷载弯矩图如下由形、载常数可得单位和荷载弯矩图如下: 6i 6i 4i 2i 3i/l 3i/l 6i/l ql2/8 ql2/8 R2P 3ql/8 取结点和横梁为隔离体，即可求得全部系数取结点和横梁为隔离体，即可求得全部
18、系数 请自行列方程、请自行列方程、 求解并叠加作弯求解并叠加作弯 矩图矩图 例三例三:图示等截面连续梁图示等截面连续梁,B支座下沉支座下沉 ,C支支 座下沉座下沉0.6 .EI等于常数等于常数,作弯矩图作弯矩图. 0 2 l a n n 单位弯矩和支座位移弯矩图的示意图如下单位弯矩和支座位移弯矩图的示意图如下: 熟记了“形常数”熟记了“形常数” 吗？吗？ iCij Rk 、 如何求？如何求？ 单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下单位弯矩图和荷载弯矩图示意图如下: 例四例四:用位移法计算图示刚架用位移法计算图示刚架,并作弯矩图并作弯矩图. E=常数常数. 1 0 l a n n 熟记了“形常数”熟记
19、了“形常数” 吗？吗？ 40 iPij Rk 、 如何求？如何求？ 3EI/16 P 1 F s j 特殊情况讨论（剪力分配法）特殊情况讨论（剪力分配法） 如何求解工作量最少如何求解工作量最少? ? 例五例五:用位移法计算图示刚架用位移法计算图示刚架,并作弯矩图并作弯矩图. E=常数常数. 3 m 3I 对称时对称时 1 nna 3 m 3I 反对称时反对称时 1 1 l a n n 对称荷载组对称荷载组 用位移法求解用位移法求解 反对称荷载组反对称荷载组 用力法求解用力法求解 1 n 1 n 联合法联合法 例六例六:用位移法计算图示刚架用位移法计算图示刚架,并作弯并作弯 矩图矩图. E=常数
20、常数. 利用对称性利用对称性C处什麽处什麽 支座支座?怎样才能拆成怎样才能拆成 有力有力-位移关系的单跨位移关系的单跨 梁梁? n等于多少等于多少? 利用对称性利用对称性 1 nnl BC杆属于哪类杆属于哪类“单元单元”? ? 它的单位和荷载弯矩图怎麽作它的单位和荷载弯矩图怎麽作? ? 取取 半半 计计 算算 简简 图图 C 例七例七:刚架温度变化如图刚架温度变化如图,试作其弯矩图试作其弯矩图. EI =常数常数,截面为矩形截面为矩形,高为高为h. 线胀系数线胀系数 40 0 ADAV lt 60 0 ABAH lt B 利用对称性后利用对称性后,B点有没有位移点有没有位移? A A点线位移已
21、知否点线位移已知否? ? 取半结构位移未知数等于几取半结构位移未知数等于几? ? 请自行求解！请自行求解！ 例八例八:试作图示结构弯矩图试作图示结构弯矩图. 请自行列方程、请自行列方程、 求解并叠加作弯求解并叠加作弯 矩图矩图 例九例九:试作图示结构弯矩图试作图示结构弯矩图. 请自行列方程、请自行列方程、 求解并叠加作弯求解并叠加作弯 矩图矩图 已知楼层第已知楼层第j个柱子的抗侧移刚度为个柱子的抗侧移刚度为12EIj/h3, 那么图示层侧移刚度那么图示层侧移刚度ki等于多少？等于多少？ ki= 12EIj/h3, kii、kii+1 =多少？多少？ n层刚架结构刚度矩阵层刚架结构刚度矩阵K什么
22、样？什么样？ 例十例十:试作图示结构弯矩图试作图示结构弯矩图. 135o 7.071i/l 7.071i/l 5.657i/l ql2/8 9i/l2 7.071i/l 请自行求系数、请自行求系数、 列方程、求解并列方程、求解并 叠加作弯矩图叠加作弯矩图 从上述例子从上述例子 可以得到可以得到 一些什麽结论一些什麽结论? ? 力法、位移法对比力法、位移法对比 力法力法 基本未知量：多余力基本未知量：多余力 基本结构：一般为静定结基本结构：一般为静定结 构，能求构，能求M 的超静定结构的超静定结构 也可。也可。 作单位和外因内力图作单位和外因内力图 由内力图自乘、互乘求系由内力图自乘、互乘求系
23、数，主系数恒正。数，主系数恒正。 建立力法方程（协调）建立力法方程（协调） 位移法位移法 基本未知量：结点独立位基本未知量：结点独立位 移移 基本结构：无位移超静定基本结构：无位移超静定 次数更高的结构次数更高的结构 作单位和外因内力图作单位和外因内力图 由内力图的结点、隔离体由内力图的结点、隔离体 平衡求系数，主系数恒正。平衡求系数，主系数恒正。 建立位移法方程（平衡）建立位移法方程（平衡） 0 FK 0 X 解方程求独立结点位移解方程求独立结点位移 迭加作内力图迭加作内力图 用变形条件进行校核用变形条件进行校核 解方程求独立结点位移解方程求独立结点位移 迭加作内力图迭加作内力图 用平衡条件
24、进行校核用平衡条件进行校核 混合法混合法 基本思路基本思路 联合法联合法是一个计算简图用同一种方法，是一个计算简图用同一种方法， 联合应用力法、位移法。联合应用力法、位移法。 混合法混合法则是同一个计算简图一部分用则是同一个计算简图一部分用 力法、另一部分用位移法。超静定次数力法、另一部分用位移法。超静定次数 少，独立位移多的部分取力为未知量。少，独立位移多的部分取力为未知量。 超静定次数多，独立位移少的部分取位超静定次数多，独立位移少的部分取位 移作未知量。移作未知量。 用混合法计算图示刚架用混合法计算图示刚架,并作弯矩图并作弯矩图. EI=常数常数. 这样做系数如何计算？这样做系数如何计算？ 系数间有什麽关系，系数间有什麽关系， 依据是什麽？依据是什麽？ 如何建立方程，如何建立方程， 其物理意义是什麽？其物理意义是什麽？ 请自行求系数、请自行求系数、 列方程、求解并列方程、求解并 叠加作弯矩图叠加作弯矩图 原则上与未知原则上与未知 力对应的系数力对应的系数 用图乘求，与用图乘求，与 位移对应的系位移对应的系 数用平衡求。数用平衡求。 系数间有系数间有 位移和反位移和反 力互等的力互等的 关系。关系。 按典型方程法建按典型方程法建 立，力法部分协立，力法部分协 调方程，位移法调方程，位移法 部分平衡方程。部分平衡方程。 弯弯 分分
