1、7. 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理 （Reciprocal Theory in Linear Structures) 一、线性杆系结构的变形能一、线性杆系结构的变形能 根据能量守恒，对线弹性、小变形结构，根据能量守恒，对线弹性、小变形结构， 外力所做的功恒等于储存于体内的应变能。外力所做的功恒等于储存于体内的应变能。 由第一节所复习的材料力学知识可知由第一节所复习的材料力学知识可知 s GI M s EI M s GA kF s EA F V x d 2 d 2 d 2 d 2 P 2 2 2 Q 2 N 或者或者 )sGIsEI s k GA sEA(V dd dd 2 1 2
2、P 2 22 V的性质：的性质： (1) 总为正总为正; (3) 内力或位移的二次式内力或位移的二次式; (4) 叠加原理不适用叠加原理不适用; (2) 与路径无关与路径无关,是状态的函数。是状态的函数。 二、线弹性结构的互等定理二、线弹性结构的互等定理 1. 功的互等定理功的互等定理: 方法一方法一 11 2 P 12 22 2 2221211111 2 1 2 1 PPPW 11 第第 I 状态状态 先加广义力先加广义力P1，后加广义力，后加广义力P2。 12 2 P 11 21 2 22 1112122222 2 1 2 1 PPPW 12 2 P 22 2 由由 21 WW 21212
3、1 PP 在线性变形体系中，在线性变形体系中，I I 状态的外力在状态的外力在 II II 状态位移状态位移 上所做虚功，恒等于上所做虚功，恒等于 II II 状态外力在状态外力在 I I 状态位移上状态位移上 所做虚功。所做虚功。 功的互等定理功的互等定理 第第 状态状态 先加广义力先加广义力P2，后加广义力，后加广义力P1。 方法二方法二 由虚功原理由虚功原理 12 2 P 2 第第 II 状态状态 第第 I 状态状态 21 12112 PW s) GI MM EI MM GA FF k EA FF ( xx d P 2121 2Q1Q 2N1N 21221 PW s) GI MM EI
4、MM GA FF k EA FF ( xx d P 1212 1Q2Q 1N2N 212121 PP 2. 位移互等定理位移互等定理: 2112 由功的互等定理，等式两边同除广义力乘由功的互等定理，等式两边同除广义力乘 积积 P1 P2 ，则可得，则可得 1 21 2 12 PP 上式表明，上式表明，第二个单位广义力引起，第一个第二个单位广义力引起，第一个 单位广义力作用处沿第一广义力方向的位移，单位广义力作用处沿第一广义力方向的位移， 恒等于第一个单位广义力引起，第二个单位广恒等于第一个单位广义力引起，第二个单位广 义力作用处沿第二广义力方向的位移义力作用处沿第二广义力方向的位移。 若记若记
5、 2 12 12 P 1 21 21 P 则则 位移互等定理位移互等定理 可见可见 1. 单位广义力是量纲为一的量单位广义力是量纲为一的量； 2. 互等不仅是指互等不仅是指数值相等数值相等，且，且量纲也相同量纲也相同。 由由 21 1 21 2 12 12 PP 第第 II 状态状态 1 2 P A C B C f 如图示长如图示长 l ，EI 为常数的简支梁为常数的简支梁 EI l B 16 2 21 EI l fc 16 2 12 第第 I 状态状态 B A C 1 1 P B 跨中跨中 数值、量纲都相等数值、量纲都相等 互等定理中的数互等定理中的数 值和量纲问题是值和量纲问题是 否已得到
6、解决否已得到解决? 是是 否否 国家有关部门最近规定，对新近出版的教国家有关部门最近规定，对新近出版的教 材，材，要求在对公式进行数值运算时，必须带要求在对公式进行数值运算时，必须带 物理量的单位。物理量的单位。 EI lP B 16 2 1 21 EI lP fc 16 2 2 12 若上例简支梁受的是广义力，而不是单位广若上例简支梁受的是广义力，而不是单位广 义力，则义力，则 P 1的量纲为的量纲为MLT -2， P 2的量纲为 的量纲为ML2T -2 根据功的互等定理，有：根据功的互等定理，有： Bc PfP 21 两边同除以两边同除以P 1 P 2得：得： EI l P P P P E
7、I l P P P P 1616 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 或或 1 1 P P 2 2 P P 称为称为单位广义力单位广义力。 更确切，应称为更确切，应称为广义力系数广义力系数，它有广义力它有广义力 的三要素（数值为一），但无单位和量纲。的三要素（数值为一），但无单位和量纲。 因此，与其说施加单位广义力，倒不如因此，与其说施加单位广义力，倒不如 说施加广义力系数。这样说施加广义力系数。这样 21 22 12 16 1 1 16 1 1 EI l EI l 数值、单位（量纲）都相同。数值、单位（量纲）都相同。 3. 反力互等定理反力互等定理: 由功的互等定理有：由功的互等定理有：
8、 11 1221 rr 1221 rr 支座支座 1 1 发生单位广义位移时，引起的发生单位广义位移时，引起的 2 2 支座中的反力，恒等于支座支座中的反力，恒等于支座 2 2 发生单位广发生单位广 义位移时，引起的义位移时，引起的 1 1 支座中的反力。支座中的反力。 反力互等定理反力互等定理 请自行验证：数值、量纲都相同。请自行验证：数值、量纲都相同。 4. 反力位移互等定理反力位移互等定理: 问题：问题：如何建立方程，如何叙述定理？如何建立方程，如何叙述定理？ 0 212112 Pr 2112 r 单位广义力引起的结构中某支座的反力，等单位广义力引起的结构中某支座的反力，等 于该支座发生单位广义位移时引起的单位广于该支座发生单位广义位移时引起的单位广 义力作用点沿其方向的位移，但符号相反。义力作用点沿其方向的位移，但符号相反。 问题：以简支梁梁中受竖问题：以简支梁梁中受竖 向单位集中力为例，说明向单位集中力为例，说明 反力位移互等定理。反力位移互等定理。 1 P = 1 2 2 1 12 r 1 1 2 1 21 注意：注意： 与与 P 力方向相反。力方向相反。 2 1 21 返返 章章 菜菜 单单
