1、 在杆件数量多的情况下在杆件数量多的情况下,不方便不方便. 下面介绍下面介绍 计算位移的图乘法计算位移的图乘法. EI sMM P iP d 3.4 图乘法及其应用图乘法及其应用 (Graphic Multiplication Method and its Applications) 刚架与梁的位移计算公式为：刚架与梁的位移计算公式为： 一、图乘法 s EI MM P d sMM EI Pd 1 xMx EI Pd tan 1 xxM EI Pd tan cc y EI x EI 1tan (对于等对于等 截面杆截面杆) (对于直杆对于直杆) xMM EI Pd 1 )tan( xM 图乘法求
2、位移公式为图乘法求位移公式为: EI yc ip 图乘法的图乘法的 适用条件是适用条件是 什么什么? 图乘法是图乘法是Vereshagin于于 1925年提出的，他当时年提出的，他当时 为莫斯科铁路运输学院为莫斯科铁路运输学院 的的学生学生。 例例. 试求图示梁试求图示梁B端转角端转角. 解解: s EI MM P B d EI yc A B P 2/ l2/ l EI B A B 1M 4/Pl 1 MP Mi )( 16 1 2 1 42 11 2 EI Pl Pl l EI 为什么弯矩图在为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结杆件同侧图乘结 果为正果为正? 例例. 试求图示结构试求图示结构B点竖
3、向位移点竖向位移. 解解: s EI MM P By d EI yc Pl MP Mi )( 3 4 ) 3 2 2 1 ( 1 3 EI Pl llPlllPl EI 1 l P EI B EI l l 二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法 C 2n l 2 )1( n ln 1 n hl h 二次抛物线二次抛物线 M 图图 2 1 EI ql qll EI B 3 2 24 1 2 1 ) 8 1 3 2 ( 1 （ ） P M图图 2 8 1 ql B A q 1 例例:求图示梁求图示梁(EI=常数常数,跨长为跨长为l)B截面转角截面转角
4、B 解解: 三、图形分解三、图形分解 B 求求 1 A B mkN20 mkN40 m10 EI 40 20 MP Mi A B mkN20 A B mkN40 40 20 3/23/1 )( 3 500 ) 3 1 2010 2 1 3 2 4010 2 1 ( 1 EI EI B 三、图形分解三、图形分解 B 求求 1 A B mkN20 mkN40 m10 EI 40 20 MP Mi 3/22/1 )( 3 500 ) 2 1 2010 3 2 2010 2 1 ( 1 EI EI B )( 3 500 ) 3 2 20 20(110 2 11 EI EI B 当两个图形均当两个图形均
5、 为直线图形时为直线图形时,取那取那 个图形的面积均可个图形的面积均可. )( 16 ) 43 1 2 1 22 1 42 1 22 43 2 2 1 22 1 ( 1 2 EI Pl PllPlll Pll EI B 4/Pl MP 三、图形分解三、图形分解 B 求求 1 Mi )( 16 ) 2 1 42 1 ( 1 2 EI PlPl l EI B 取取 yc的图形必的图形必 须是直线须是直线,不能是曲不能是曲 线或折线线或折线. A B 2/ l EI 2/ l P 2/1 能用能用 Mi图面积乘图面积乘 MP图竖标吗图竖标吗? 三、图形分解三、图形分解 B 求求 1 A B mkN2
6、0 mkN40 m10 EI MP Mi )( 100 )20 3 2 60(110 2 11 EI EI B )( 100 ) 2 1 1020 3 2 6010 2 1 ( 1 EI EI B 40 20 60 20 40 20 )( 100 ) 2 1 1020 3 2 6010 2 1 ( 1 EI EI B 三、图形分解三、图形分解 B 求求 1 MP Mi )( 24 ) 1 3 2 42 1 2 1 83 2 ( 1 3 22 EI ql ql l ql l EI B A B 4/ 2 ql l EI q 4 2 ql 8/ 2 ql q 8/ 2 ql 三、图形分解三、图形分解
7、 C 求求C截面竖向位移截面竖向位移 MP Mi )( 4048 19 ) 16 3 3 2 32 3 42 1 16 3 2 1 8 )4/( 43 2 16 3 3 2 32 3 4 3 2 1 16 3 2 1 8 )4/3( 4 3 3 2 ( 1 422 22 EI qllqllllql lqllllql EI B 16/3l 8/ 2 ql 4/3l4/ l A B EI q C 1P 32/3 2 ql q 32/3 2 ql 4/3l q 32/3 2 ql q32/3 2 ql 4/ l q 32/3 2 ql 8/) 4/3 ( 2 lq 8 /) 4/( 2 lq 三、图
8、乘法小结三、图乘法小结 1. 图乘法的应用条件：图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，）等截面直杆，EI为常数；为常数； （2）两个）两个M图中应有一个是直线；图中应有一个是直线； （3） 应取自直线图中。应取自直线图中。 c y 2. 若若 与与 在杆件的同侧，在杆件的同侧， 取正值；取正值； 反之，取负值。反之，取负值。 c y c y 3. 如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形. 例例 1. 已知已知 EI 为常数，求为常数，求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 。 CD 三、应用举例三、应用举例 A l q B h q 8/ 2 ql h 1 1 h MP
9、i M )( 12 83 21 3 2 EI qhl hl ql EIEI yc CD 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 例例 2. 已知已知 EI 为常数，求铰为常数，求铰C两侧截面相对转角两侧截面相对转角 。 C 三、应用举例三、应用举例 解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 A l q B l C l q 4/ql 4/ql MP 11 0 l /1 1 i M )( 24 2 1 83 21 3 2 EI ql ql EIEI yc CD 4/ 2 ql 4/ 2 ql 例例 3. 已知已知 EI 为常数，求为常数，求A点竖向
10、位移点竖向位移 。 A 三、应用举例三、应用举例 )( 48 22 ) 22 1 8 2 3 2 23 2 4 2 2 1 23 2 42 1 ( 1 4 222 EI ql EI lql l lql l lql l EIEI yc CD 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 A q l l l q 4/ql MP 4/ 2 ql 2/1 1 i M 2/ l 例例 4. 图示梁图示梁EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移。点竖向位移。 三、应用举例三、应用举例 i M 2/ l A l/2 q B C l/2 MP 2/ 2 ql 1 C )( 128 5 ) 4
11、8224 3 28 3 3 1 ( 1 3 22 EI ql lqllllql EIEI yc C 8/ 2 ql )( 24 1 22 1 23 11 3 2 EI ql lql l EIEI yc c 32/ 2 ql 例例 4. 图示梁图示梁 EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移点竖向位移 。 三、应用举例三、应用举例 i M 2/ l A l/2 q B C l/2 MP 2/ 2 ql 1 C )( 384 17 ) 23 1 822 1 23 2 222 1 22 1 3223 2 ( 1 4 2 22 EI ql lqll lqlllqll EI EI yc c 8/ 2 ql
12、 q 8/ 2 ql2/ 2 ql 2/ 2 ql 8/ 2 ql 例例 4. 图示梁图示梁 EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移点竖向位移 。 i M 2/ l A l/2 q B C l/2 MP 2/ 2 ql 1 C )( 384 17 ) 22 1 82 23 2 422 1 24 3 823 1 ( 1 4 2 22 EI ql lqll lqlllqll EI EI yc c 8/ 2 ql q 8/ 2 ql 2/ql q 8/ 2 ql 4/ 2 ql 2/ql 8/ 2 ql 8/ 2 ql A l P B l P l )( 3 10 )24 3 2 2 1 ( 1 3
13、EI Pl lPlllPll EI EI yc ABY 图示结构图示结构 EI 为常数，求为常数，求AB两点两点(1)相对竖向位相对竖向位 移移,(2)相对水平位移相对水平位移,(3)相对转角相对转角 。 i M MP 练习练习 1 1 Pl l 1 1 ll i M 0 EI yc ABX 0 EI yc AB 对称弯矩图对称弯矩图 反对称弯矩图反对称弯矩图 对称结构的对称弯矩图与对称结构的对称弯矩图与 其反对称弯矩图图乘其反对称弯矩图图乘,结果结果 为零为零. 1 1 1 1 i M 作变形草图作变形草图 P P Pl 1 1 1 1 绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意绘制
14、变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意 反弯点的利用。如：反弯点的利用。如： 求求B点水平位移。点水平位移。 练习练习 解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 MP )( 8 5 4 1 2 3 2 2 11 3 EI Pl llPl EI llPl EIEI yc B Pl AB l l EI4 P EIEI 1 注意注意:各杆刚度各杆刚度 可能不同可能不同 i M l 已知已知 EI 为常数，求为常数，求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 ,并画出变形图。并画出变形图。 CD MP l 1 1 l i M )( 12 11 ) 83 2 2 1 3 2
15、 2 1 ( 1 4 2 22 EI ql l ql llqlllqll EIEI yc CD 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 A l q B l C D ql q 2 ql ql 已知已知 EI 为常数，求为常数，求B截面转角。截面转角。 MP 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 A B kN/m2 m4 kN6 m2 m3 1 12 4 Mi )( 3 8 ) 2 1 44 3 2 1 3 1 124 2 1 ( 1 EI EIEI yc B )( 3 11 2 3 ) 3 2 ( 2 1 3 2 2 1 1 3 EI Pl
16、l lPl l llPlllPllPll EIEI yc B 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 求求B点水平位移点水平位移,EI=常数。常数。 A l P B l l MP Pl Pl2 A 1 B l 2 MP l 练习练习 解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 )( 4 3 4 )2)(2( 1 4 3 2 2 11 3 EA Pl EI Pl lP EA llPl EIEA lNN EI y Pic B 求求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 。 CD A B l l EA EI CDP P EI l MP Pl Pl 1
17、1 i M l l 已知：已知： E、I、A为常数，求为常数，求 。 Cy A B C P 2 l 2 l a D 解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图 )( 44822 11 43 2 ) 422 1 ( 2 3 EA Pa EI Pl a P EA lPll EI Cy A B C P 2 l a D 4 Pl P M 2/PNP 2 l A B C 1 2 l a D 4 l M 2/1 i N 2 l 若把二力杆换成弹簧若把二力杆换成弹簧,该如何计算该如何计算? B支座处为刚度支座处为刚度k的弹簧，该如何计算的弹簧，该如何计算C点竖向位移？点竖向位移？ 4
18、Pl P M 2/ P PS 4 l M 2 1 i S A B C 2 l k 2 l =1 P A B C 2 l k 2 l 有弹簧支座的结构位移计算公式为有弹簧支座的结构位移计算公式为: k SS s EI MM iPP d 练习练习 解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 )( 42 1 2 1 2 ) 23 2 22 1 2223 1 22 1 42 ( 1 3 k P EI Pl k PlPl l lPl l lPl l lPl l EI EI yc B 求求A点竖向位移点竖向位移,EI=常数常数 。 1/2 i M MP Pl 2/Pl 2/P l l P l A k 1 k
