1、5.1方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 的概念的概念一、特征值与特征向量一、特征值与特征向量 的性质的性质三、特征值与特征向量三、特征值与特征向量 的求法的求法二、特征值与特征向量二、特征值与特征向量 四、小节、思考题四、小节、思考题 说明说明: : ., 0. 1言的言的特征值问题是对方阵而特征值问题是对方阵而特征向量特征向量 x .0 ,0 ,. 2 的特征值的特征值都是矩阵都是矩阵的的 即满足方程即满足方程值值有非零解的有非零解的 就是使齐次线性方程组就是使齐次线性方程组的特征值的特征值阶方阵阶方阵 A IAxIA An 一、特征值与特征向量的概念 . , , 1 的特征向量
2、的特征向量的对应于特征值的对应于特征值称为称为量量 非零向非零向的特征值的特征值称为方阵称为方阵这样的数这样的数那末那末成立成立 使关系式使关系式 维非零列向量维非零列向量和和如果数如果数阶矩阵阶矩阵是是设设定义定义 Ax A xAx xnnA 0. 3 IA 0 21 22221 11211 nnnn n n aaa aaa aaa 次方程次方程为未知数的一元为未知数的一元称以称以n 0 IA . 的的为为A特征方程特征方程 ,次多项式次多项式的的它是它是n 记记 IAf 称其称其 . 的的为方阵为方阵A特征多项式特征多项式 则有则有 的特征值为的特征值为阶方阵阶方阵设设 , ,. 4 21
3、 n ij aAn .)2( 21 A n )1(证：证：)()( 21 n IA由由 nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 ； nnn aaa 221121 )1( 项的系数，知项的系数，知比较第二个等号两端比较第二个等号两端 1 n )( 2211nn aaa 项的系数为项的系数为右端右端 1 n 义，知义，知而根据行列式的展开定而根据行列式的展开定 的系数为的系数为等号左端等号左端 1 n )( 21n ，知成立，知成立由同次项系数应该相等由同次项系数应该相等 ;)1( 221121nnn aaa )2(证：证： ，由由)()( 21 n IA 以以的任
4、意取值都成立，故的任意取值都成立，故既然是等式，即对既然是等式，即对 代入上式，即得代入上式，即得0 .)2( 21 A n 二、特征值与特征向量的求法 例例1 1 . 31 13 的特征值和特征向量的特征值和特征向量求求 A 的特征多项式为的特征多项式为A 31 13 1)3( 2 )2)(4(68 2 . 4, 2 21 的特征值为的特征值为即得即得A IA 0 IA 解特征方程解特征方程 解解 0 0 231 123 ,2 2 1 1 x x 对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足时时当当 . 0 , 0 21 21 xx xx 即即 , 21xx 解得解得 ；取为取为所以对应的特征向
5、量可所以对应的特征向量可 1 1 1 p , 0 0 11 11 , 0 0 431 143 ,4 2 1 2 1 2 x x x x 即即 由由时时当当 ,)2( 201 034 011 )1 ( 2 IA A的特征多项式为的特征多项式为 . 1 1 , 2 21 p xx 取为取为所以对应的特征向量可所以对应的特征向量可解得解得 例例 . 201 034 011 的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩阵求矩阵 A 解：解： . 1, 2 321 的特征值为的特征值为所以所以A 由由解方程解方程时时当当. 0)2(,2 1 xIA 000 010 001 001 014 013 2IA ,
6、 1 0 0 1 p 得基础解系得基础解系 )21 ( 2 2 为为的代数重数的代数重数则特征值则特征值 数，数，的次数叫做它的代数重的次数叫做它的代数重若称某特征值作为重根若称某特征值作为重根 m )12 0)( 1 1 为为的几何重数的几何重数几何重数，则特征值几何重数，则特征值 的的线性无关解的个数叫做线性无关解的个数叫做若称若称 ii xIA , 000 210 101 101 024 012 IA 由由解方程解方程时时当当. 0)1(,1 32 xIA , 1 2 1 2 p 得基础解系得基础解系 的全部特征是对应于所以1)0( 32 2 kkP .向量向量 .2)0( 1 1 的全
7、部特征向量是对应于所以 kkP .21 22 m 显然，显然， 解毕解毕 例例 设设 , 314 020 112 A求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量 314 020 112 IA 22)1( ，令令02)1( 2 . 2, 1 321 的特征值为的特征值为得得A 解解: 由由解方程解方程时时当当. 0,1 1 xIA , 000 010 101 414 030 111 IA , 1 0 1 1 p得基础解系得基础解系 的全体特征向量为的全体特征向量为故对应于故对应于1 1 ).0( 1 kpk 由由解方程解方程时时当当. 02,2 32 xIA , 000 000 114 114 0
8、00 114 2 IA 得基础解系为：得基础解系为： , 4 0 1 , 1 1 0 32 pp :2 32 的全部特征向量为的全部特征向量为所以对应于所以对应于 ).0,( 323322 不同时为不同时为 kk pkp k 解毕解毕 例例 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵A的特征值，的特征值， 是是A的属于的属于 的特征向量，则的特征向量，则 x .)1(是任意正整数是任意正整数的特征值的特征值是是mAm m .,)2( 11 的特征值的特征值是是可逆时可逆时当当 AA 证明证明 xAx 1 xAxxAAxA xxA 22 再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得 2 mxxA
9、mm . , 征向量征向量 的特的特对应于对应于是是且且的特征值的特征值是矩阵是矩阵故故 mmmm AxA 可得可得再由再由xAx xAxAAxAx 111 xxA 11 ,2可逆时可逆时当当A . , 1111 的特征向量的特征向量 对应于对应于是是且且的特征值的特征值是矩阵是矩阵故故 AxA ，知，知由由0 21 A n 解毕解毕 三、特征值和特征向量的性质 则有则有 的特征值为的特征值为阶方阵阶方阵设设 , ,. 1 21 n ij aAn .)2( 1 21 A n i in nnn aaa 221121 )1( 的的则则对应的特征向量为对应的特征向量为的特征值的特征值设设AxA,.
10、2 多项式多项式 m mA aAaIaA 10 )( ,)( 10 m m aaa 有特征值有特征值 对应的特征对应的特征 .x向量仍为向量仍为 )(Atr n i i 1 即即 向量却向量却的特征值相同，但特征的特征值相同，但特征与与方阵方阵 T AA. 3 .未必一样未必一样 0)( IAIAIA TT 由由 , 00 10 A但若取但若取 证：证： 的特征值相同；的特征值相同；与与即知即知 T AA ，的特征值均为的特征值均为与与则明显则明显 ， 0 21 T AA不过，不过， 的特征向量为的特征向量为A)0( , 0 1 ccx 的特征向量却为的特征向量却为而而 T A)0( , 1
11、0 ccx 可逆，则可逆，则且且设设AxAx,. 4 ; 1 )1( 1 xxA .)2(x A xA ）：）：证（证（2 可得可得再由再由xAx xAxAAxA x A xA ,0,时时即即可逆时可逆时当当 AA ，知，知由由0 21 A n IxAxA 证证: 使使设有常数设有常数 m xxx, 21 0 2211 mm pxpxpx 则则 , 0 2211 mm pxpxpxA即即 , 0 222111 mmm pxpxpx 类推之，有类推之，有 . 0 222111 mm k m kk pxpxpx 1, 2 , 1 mk ., ,., , 21 21 2121 线性无关线性无关则则各
12、不相等各不相等 如果如果向量向量依次是与之对应的特征依次是与之对应的特征 个特征值个特征值的的是方阵是方阵设设 m mm m ppp p ppmA . 5 把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得 1 1 22 1 11 2211 1 1 1 , m mm m m mm pxpxpx 0 , 0 , 0 于是有于是有可逆可逆 从而该矩阵从而该矩阵该行列式不等于该行列式不等于不相等时不相等时当各当各式式 列列阵的行列式为范德蒙行阵的行列式为范德蒙行上式等号左端第二个矩上式等号左端第二个矩 . , 0, i ,0,0,0, 2211 mm pxpxpx ., 2 , 10mjpx
13、jj 即即, 0 j p但但 ., 2 , 10mjx j 故故 ., 21 线性无关线性无关所以向量组所以向量组 m ppp 注意：注意： . 同一个矩阵，属于不同特征值的特征向量同一个矩阵，属于不同特征值的特征向量 是线性无关的是线性无关的 . 同一个矩阵，属于同一特征值的特征向量同一个矩阵，属于同一特征值的特征向量 的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量 . 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值对应的特征向量不唯一；值而言的，一个特征值对应的特征向量不唯一； 但一个特征向量却只能属于一个确
14、定的特征值但一个特征向量却只能属于一个确定的特征值 即有即有的特征向量的特征向量 的的的属于特征值的属于特征值同时是同时是如果设如果设因为因为 , , 21 21 Ax xAxxAx 21 , xx 21 , 0 21 x , 0 21 由于由于, 0 x则则 .与特征向量的定义矛盾与特征向量的定义矛盾 求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤： ; . 1IAA 的特征多项式的特征多项式计算计算 ;, ,0 . 2 21 的全部特征值的全部特征值就是就是 的全部根的全部根求特征方程求特征方程 A IA n ., 0 , . 3 的特征向量的特征向量就是对应于就是对应于的非零解的非零解 求齐次方程组求齐次方程组对于特征值对于特征值 i i i xIA 四、小结 .,0,2 ,03 4 的一个特征值的一个特征值求求 满足条件满足条件阶方阵阶方阵设设 AAIAA AIA T 思考题 思考题解答 知知由由可逆可逆故故因为因为03 ., 0 AIAA解解 ,3的一个特征值的一个特征值是是A . 3 1 1 值值 的一个特征的一个特征是是从而从而 A 即即得得又由又由,162AA 2 AA TT II , 4, 0, 4,16 2 AAAA因此因此但但于是于是 . 3 4 A A 有一个特征值为有一个特征值为故故 . x A xA )(利用了性质：利用了性质：
