1、1.2 矩阵的运算矩阵的运算 一、矩阵的加法一、矩阵的加法 二、数乘矩阵二、数乘矩阵 三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘 四、矩阵的转置运算四、矩阵的转置运算 五、小结、思考题五、小结、思考题 、定义、定义 mnmnmmmm nn nn bababa bababa bababa BA 2211 2222222121 1112121111 一、矩阵的加法 设有两个设有两个 矩阵矩阵 那末矩阵那末矩阵 与与 的和记作的和记作 ，规定为，规定为 nm ,bB,aA ijij ABBA 说明说明 只有当两个矩阵是同维矩阵时，才能进只有当两个矩阵是同维矩阵时，才能进 行加法运算行加法运算. 例如例如
2、123 456 981 863 091 5312 182633 405961 9583112 . 986 447 41113 2 2、 矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律 ;1ABBA .2CBACBA mnmm n n aaa aaa aaa A 11 22221 11211 3 .,4BABAOAA , ij a .负矩阵负矩阵的的称为矩阵称为矩阵A 1 1、定义、定义 . 11 22221 11211 mnmm n n aaa aaa aaa AA 二、数与矩阵相乘 规定为规定为或或的乘积记作的乘积记作与矩阵与矩阵数数, AAA ;1AA ;2AAA .3BABA 2 2、数乘矩阵的运
3、算规律、数乘矩阵的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来, ,统称为矩阵的统称为矩阵的线线 性运算性运算. . （设（设 为为 矩阵，矩阵， 为数）为数） ,nm BA、 三、矩阵与矩阵相乘 引例引例发送三种电脑发送三种电脑集团公司向两家代理商集团公司向两家代理商某某IT 下表所示：下表所示：的数量（单位：套）如的数量（单位：套）如 商品名商品名 代理商代理商 WorkPadPCTabletNC 甲甲 乙乙 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a ：表格中的数据对应矩阵表格中的数据对应矩阵 232221 131211 aaa aaa A ：件重量也可以列
4、成矩阵件重量也可以列成矩阵这三种电脑的单价及单这三种电脑的单价及单 3231 2221 1211 bb bb bb B ).3 , 2 , 1( 21 i ibib ii 的单件重量的单件重量 种电脑种电脑表示第表示第种电脑的单价，种电脑的单价，表示第表示第其中，其中， 重量是多少？重量是多少？ 电脑的总电脑的总公司向代理商乙所发送公司向代理商乙所发送试问：该试问：该IT 232221 131211 aaa aaa A 3231 2221 1211 bb bb bb B 的意义即的意义即、显然，由显然，由BA . 322322221221 即为所求即为所求可知可知bababa 家代理商所发送电
5、脑的家代理商所发送电脑的于是，可得该公司向两于是，可得该公司向两 总价值与总重量矩阵：总价值与总重量矩阵： 322322221221312321221121 321322121211311321121111 babababababa babababababa C .的“乘积”的“乘积”、是矩阵是矩阵我们可以认为矩阵我们可以认为矩阵BAC 于是，有于是，有 、矩阵乘积的定义、矩阵乘积的定义 s k kjiksjisjijiij babababac 1 2211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 并把此乘积记作并把此乘积记作 .ABC 设设 是一个是一个 矩阵，矩阵， 是一个是一个 矩阵，那
6、么规定矩阵矩阵，那么规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积 是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中 ij aA sm ij bB ns nm ij cC AB 例例 2222 63 42 21 42 C 22 16 32 816 设设 4150 0311 2101 A 121 113 121 430 B 例例2 2 ? )3(42)2( .AB求求 故故 121 113 121 430 4150 0311 2101 ABC . 解解 , 43 ij aA , 34 ij bB . 33 ij cC 5 67 1026 2 1710 注意注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵只有当第一个矩阵的列
7、数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘的行数时，两个矩阵才能相乘. 106 861 985 123 321 例如例如 1 2 3 321 132231 .10 不存在不存在. 而而 、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中（其中 为数）为数）; ;4AIAAI 若若A是是 阶矩阵，则阶矩阵，则 为为A的的 次幂，即次幂，即 并且并且 5n k Ak 个个k k AAAA ,AAA kmkm . mk k m AA 为正整数为正整数k,m 运运 算算 可可 行行 前前 提提 下下 注意注意 矩阵一般不满足矩阵一
8、般不满足交换律交换律，即：，即： ,BAAB .BAAB kk k 例例 设设 11 11 A 11 11 B 则则 , 00 00 AB, 22 22 BA .BAAB 故故 但也有例外，比如设但也有例外，比如设 , 20 02 A, 11 11 B 则有则有 , AB 22 2 2 BA 22 2 2 .BAAB 00 00 11 11 11 11 AB同理，由同理，由 即即或或一般推不出一般推不出可知，可知，.OBOAOAB 注意注意 矩阵一般不满足矩阵一般不满足消去律消去律，亦即：，亦即： .YXAYAX 一般推不出一般推不出 例例3 3 计算下列乘积：计算下列乘积： 21 3 2 2
9、 1 解解 21 3 2 2 1 12 22 12 22 13 23 . 63 42 42 例例4 4 ： 9 , 3 1 2 1 1 3 2 3 A A求已知 解解 3 1 2 1 1 3 2 3 3 1 2 1 1 3 2 3 8 9 A . 1 2 3 3 3 2 12 1 2 3 3 3 1 2 1 11 3 2 3 8 定义定义 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 . A A A 例例 , 854 221 A ; 82 52 41 T A ,6,18 B. 6 18 T B 、转置矩阵、转置矩阵
10、四、矩阵的转置运算 即即:若若A=(aij) 则则AT=(aji) 转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质 ;1AA T T ;2 TT T BABA ;3 T T AA .4 TT T ABAB 例例5 5 已知已知 , 102 324 171 , 231 102 BA . T AB求求 解法解法1 102 324 171 231 102 AB , 101317 3140 . 103 1314 170 T AB 解法解法2 TT T ABAB 21 30 12 131 027 241 . 103 1314 170 , 102 324 171 , 231 102 BA 2、对称阵与反对称阵、对称
11、阵与反对称阵 定义定义 设设 为为 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即 那末那末 称为称为对称阵对称阵. An T AA n,j , iaa jiij 21 A .A为对称阵为对称阵例如例如 601 086 1612 称为称为则矩阵则矩阵如果如果AAAT, 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。 说明说明 .反对称矩阵反对称矩阵 . 0. iijiij aaa显然，反对称矩阵中，显然，反对称矩阵中，即满足即满足 例例6 6 证明任一证明任一 阶矩阵阶矩阵 都可表示成对称阵都可表示成对称阵 与反对称阵之和与反对称阵之和. nA 证明证明 T AA
12、C 设设 T TT AAC 则则AAT ,C 所以所以C为对称矩阵为对称矩阵. , T AAB 设设 T TT AAB 则则AAT ,B 所以所以B为反对称矩阵为反对称矩阵. 于是于是 22 TT AAAA A , 22 BC 命题得证命题得证. 例例7 7 设列矩阵设列矩阵 满足满足 T n xxxX, 21 , 1 XX T ., ,2, IHH HXXIHnI T T 且且阵阵 是对称矩是对称矩证明证明阶单位矩阵阶单位矩阵为为 证明证明 T TT XXIH2 T TT XXI2 ,2HXXI T .是对称矩阵是对称矩阵H 2 HHH T 2 2 T XXI TTT XXXXXXI44 T
13、TT XXXXXXI44 TT XXXXI44 . I 五、小结 矩 阵 运 算 矩 阵 运 算 加法加法 数与矩阵相乘数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘 转置矩阵转置矩阵 对称阵与反对称阵对称阵与反对称阵 （2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个）只有当第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘且矩阵相乘 不满足交换律不满足交换律. （1）只有当两个矩阵是同维矩阵时，才能）只有当两个矩阵是同维矩阵时，才能 进行加法运算进行加法运算. 注意注意 （3）矩阵的数乘运算是该数乘以矩阵中每）矩阵的数乘运算是该数乘以矩阵中每 一个元素一个元素. 思考题 问等式问等式阶方阵阶方阵为为与与设设,nBA BABABA 22 成立的充要条件是什么成立的充要条件是什么? 思考题解答 答答 , 22 BABBAABABA 故故 成立的充要条件为成立的充要条件为 矩阵矩阵A、B可交换。即可交换。即 BABABA 22 .BAAB
