1、 第六章第六章 矩阵位移法矩阵位移法 6.1 概概 述述 矩阵位移法是以结构位移为基本未知量，矩阵位移法是以结构位移为基本未知量， 借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系 结构受力、变形等计算的方法结构受力、变形等计算的方法。 理论基础：位移法理论基础：位移法 分析工具：矩阵分析工具：矩阵 计算手段：计算机计算手段：计算机 基本思想基本思想: 化整为零化整为零 - 结构离散化结构离散化 将结构拆成杆件将结构拆成杆件,杆件称作杆件称作单元单元. 单元的连接点称作单元的连接点称作结点结点. 单元分析单元分析 对单元和结点编码对单元和结点编码. 6 3 4
2、5 1 2 1 3 5 6 4 2 e 单元杆端力单元杆端力 集零为整集零为整 - 整体分析整体分析 单元杆端力单元杆端力 结点外力结点外力 单元杆端位移单元杆端位移 结点外力结点外力 单元杆端位移单元杆端位移 (杆端位移杆端位移=结点位移结点位移) 结点外力结点外力 结点位移结点位移 基本未知量基本未知量:结点位移结点位移 6.2 矩阵位移法解连续梁矩阵位移法解连续梁 一一.离散化离散化 -整体编码整体编码 1 P 2 P 3 P ii 1 ii 2 ll 1 ll 2 1 2 1 2 3 (1) (2) (3) 1 2 -单元编码单元编码 1,2,3 -结点编码结点编码 (1),(2),(
3、3) -结点位移编码结点位移编码 结点位移逆时针为整结点位移逆时针为整, 结点力逆时针为整结点力逆时针为整. 二二.单元分析单元分析 建立单元杆端力和单元杆端位移的关系建立单元杆端力和单元杆端位移的关系. 1 P 2 P 3 P ii 1 ii 2 ll 1 ll 2 1 2 1 2 3 (1) (2) (3) -单元杆端力单元杆端力 1,2-局部编码局部编码 单元分析的目的单元分析的目的: e 1 e e e F F F 2 1 e i e e F 1 e F2 e 2 1 2 -单元杆端位移单元杆端位移 e e e 2 1 单元杆端力和单元杆端位移单元杆端力和单元杆端位移 逆时针为正逆时针
4、为正. e 1 e i e e F 1 e F2 e 2 1 2 二二.单元分析单元分析 建立单元杆端力和单元杆端位移的关系建立单元杆端力和单元杆端位移的关系. -单元杆端力单元杆端力 1,2-局部编码局部编码 单元分析的目的单元分析的目的: e e e F F F 2 1 -单元杆端位移单元杆端位移 e e e 2 1 e i 4 e 1 e F 1 e F2 e 2 e i 2 1 e 1 e i 4 e i 2 e 2 1 e e e e e iiF 211 24 e e e e e iiF 212 42 e ee ee e ii ii F F 2 1 2 1 42 24 简记为简记为
5、eee kF-单元刚度方程单元刚度方程 其中其中 称作称作单元刚度矩阵单元刚度矩阵(简称作单刚简称作单刚) e k 二二.单元分析单元分析 单元刚度矩阵中元素的物理意义单元刚度矩阵中元素的物理意义 e 1 e i e e F 1 e F2 e 2 1 2 e 1 e i 4 e F 1 e F2 e 2 1 e 1 e i 2 e i 4 e 2 e i 2 1 e e e e e iiF 211 24 e e e e e iiF 212 42 e ee ee e ii ii F F 2 1 2 1 42 24 简记为简记为 eee kF-单元刚度方程单元刚度方程 其中其中 称作称作单元刚度矩
6、阵单元刚度矩阵(简称作单刚简称作单刚) e k ee ee ee ee e ii ii kk kk k 42 24 2221 1211 e ij k-发生发生 位移时在位移时在 i端所需加的杆端力端所需加的杆端力. 0, 1 e i e j 单元刚度矩阵性质单元刚度矩阵性质:对称矩阵对称矩阵 三三.整体分析整体分析 整体分析的目的整体分析的目的: 建立结点力与结点位移的关系建立结点力与结点位移的关系. 3312211111 kkkP 简记为简记为 kP 1 P 2 P 3 P ii 1 ii 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 =1 11 k 31 k =1 2 12 k =1 3 22
7、k32 k 13 k 23 k 33 k 21 k 3322221212 kkkP 3332321313 kkkP 3 2 1 333231 232221 131211 3 2 1 kkk kkk kkk p P P -结构刚度方程结构刚度方程 -结构刚度矩阵结构刚度矩阵(总刚总刚) k 1 1111 kk 1 1 11 k 1 21 k 1 2121 kk0 31 k 1 1212 kk 2 11 1 2222 kkk 2 2132 kk 0 13 k 2 1223 kk 2 2233 kk 1 1 12 k 1 22 k 1 1 12 k 1 22 k 2 11 k 2 21 k 3332
8、31 232221 131211 kkk kkk kkk k 简记为简记为 kP-结构刚度方程结构刚度方程 -结构刚度矩阵结构刚度矩阵(总刚总刚) k 1 1111 kk 1 2121 kk0 31 k 1 1212 kk 2 11 1 2222 kkk 2 2132 kk 0 13 k 2 1223 kk 2 2233 kk 单元刚度矩阵中元素的物理意义单元刚度矩阵中元素的物理意义 ij k-发生发生 其它结点位其它结点位 移为零位移时在移为零位移时在 i结点所需结点所需 加的结点力加的结点力. , 1 j 结构刚度矩阵性质结构刚度矩阵性质:对称矩阵对称矩阵 1 P 2 P 3 P ii 1
9、 ii 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 =1 11 k 31 k =1 2 12 k =1 3 22 k32 k 13 k 23 k 33 k 21 k 1 1 11 k 1 21 k 1 1 12 k 1 22 k 1 1 12 k 1 22 k 2 11 k 2 21 k 333231 232221 131211 kkk kkk kkk k 简记为简记为 kP 1 P 2 P 3 P ii 1 ii 2 1 2 1 2 3 1 2 3 -结构刚度方程结构刚度方程 -结构刚度矩阵结构刚度矩阵(总刚总刚) k 1 1111 kk 1 2121 kk0 31 k 1 1212 kk 2
10、11 1 2222 kkk 2 2132 kk 0 13 k 2 1223 kk 2 2233 kk 单元刚度矩阵中元素的单元刚度矩阵中元素的物理意义物理意义 ij k-发生发生 其它结点位其它结点位 移为零位移时在移为零位移时在 i结点所需结点所需 加的结点力加的结点力. , 1 j 结构刚度矩阵结构刚度矩阵性质性质:对称矩阵对称矩阵 总刚的形成方法总刚的形成方法 -“对号入座”对号入座” k 1 22 1 21 1 12 1 11 1 kk kk k 21 2 1 21 2 1 321 1 11 k 1 12 k 1 21 k 1 22 k 3 2 1 2 22 2 21 2 12 2 1
11、1 2 kk kk k 21 2 1 32 3 2 2 11 k 2 21 k 2 12 k 2 22 k0 0 1 P 2 P 3 P ii 1 ii 2 1 2 1 2 3 1 2 3 kP 四四.计算杆端力计算杆端力 计算结点位移计算结点位移 eee kF计算杆端力计算杆端力 kP 四四.计算杆端力计算杆端力 计算结点位移计算结点位移 eee kF计算杆端力计算杆端力 kN.m6 1 1 i2 2 i kN.m3 kN.m3 例例: 计算图示梁计算图示梁,作弯矩图作弯矩图 解解: 1.离散化离散化 1 2 1 2 3 (1) (2) (3) 2.计算总刚计算总刚,总荷总荷 840 412
12、2 024 k 42 24 1 k 21 2 1 21 2 1 84 48 2 k 21 2 1 32 3 2 3 3 6 P 3.解方程解方程,求位移求位移 kP 24/11 6/1 12/17 4.求杆端力求杆端力 2/7 6 6/1 12/17 42 24 1 F 3 2/1 24/11 6/1 84 48 2 F 6 7/2 1/2 3 M M 33 2 1 3 6 840 4122 024 P 0 3 0 0 2/3 3 6 0 2/3 42 24 1 F 0 0 0 0 84 48 2 F0 6 3 五五.(零位移零位移)边界条件处理边界条件处理 方法方法: 先处理法先处理法 后处
13、理法后处理法 kN.m6 1 1 i2 2 i kN.m3 3 P 1 2 1 2 3 (1) (2) (3) 后处理法后处理法: 置置0置置1法法 乘大数法乘大数法 (1)置置0置置1法法 0 0 0 1 0 0 3 6 100 0122 024 3 2 1 1 1 i2 2 i kN.m3 作弯矩图作弯矩图 练习练习: 1 1 i2 2 i kN.m3 作弯矩图作弯矩图 练习练习: 1 2 3 (1) (2) (3) 1 2 3 1 3 2 1 3 840 4122 024 P P 0 31 0 3 0 100 0120 001 3 2 1 0 4/1 0 3 2 1 1 2/1 4/1
14、0 42 24 1 F 1 2 0 4/1 84 48 2 F M 1/2 1 2 1 33 2 1 3 6 840 4122 024 P 0 3 kN.m6 1 1 i2 2 i kN.m3 3 P 1 2 1 2 3 (1) (2) (3) 五五.(零位移零位移)边界条件处理边界条件处理 方法方法: 先处理法先处理法 后处理法后处理法 后处理法后处理法: 置置0置置1法法 乘大数法乘大数法 (1)置置0置置1法法 (2)乘大数法乘大数法 若若 ,则将总刚主对角则将总刚主对角 元素元素 乘以大数乘以大数N. 0 i ii k 33 2 1 3 6 840 4122 024 PN 第三个方程变
15、为第三个方程变为: 3321 840PN )8/()40( 2133 NP 0 3 e 1 EI 1 1 i3 2 i kN.m10 作业作业: 1.作图示结构弯矩图作图示结构弯矩图 2.推导图示单元的单刚推导图示单元的单刚 e 2 e F 1 e F2l 3.计算图示梁总刚中元素计算图示梁总刚中元素 44 k 23 k 25 k l 2l 3l 2l l EI 2EI 3EI 4EI 5EI 4.思考题思考题 (1).连续梁的总刚为何应是一个三对角矩阵连续梁的总刚为何应是一个三对角矩阵? (2).荷载不作用于结点上时怎么办荷载不作用于结点上时怎么办? (3).连续梁单刚和总刚是奇异还是非奇异矩阵连续梁单刚和总刚是奇异还是非奇异矩阵?
