1、1 第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 因为导数是函数随自变量变化的瞬时变因为导数是函数随自变量变化的瞬时变 所以可借助导数来研究函数所以可借助导数来研究函数.但每一点但每一点的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态,要用导数来研究函数的全部性态要用导数来研究函数的全部性态,还需架起新还需架起新的的“桥梁桥梁”.中值定理中值定理(mean value theorem)化率化率,指导数在某个区间内所具有的一些重指导数在某个区间内所具有的一些重要性质要性质,它们都与自变量区间内部的某个它们都与自变量区间内部的某个中间值有关中间值有关.
2、2RolleRolle定理定理LagrangeLagrange中值定理中值定理小结小结 思考题思考题 作业作业ChauchyChauchy中值定理中值定理3.1 微分中值定理微分中值定理推广 泰勒公式(第三节)3 本节的几个定理都来源于下面的明显的本节的几个定理都来源于下面的明显的AB在一条光滑的平面曲线段在一条光滑的平面曲线段AB上上,至少有至少有与连接此曲线两端点的弦与连接此曲线两端点的弦平行平行.几何事实几何事实:一点处的切线一点处的切线 连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直于于x轴的切线轴的切线.有水平的切线有水平的切线0)(fABxyO)(xfy 2
3、1 ABabC)()(bfaf 4Rolle定理定理:)(满足满足若函数若函数xf;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba(1)(2);),(内可导内可导在开区间在开区间ba(3),()(bfaf 罗尔罗尔 Rolle,(法法)1652-1719,),(内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得.0)(f如如,32)(2 xxxf).1)(3(xx,3,1上连续上连续在在 ,)3,1(内内可可导导在在 ,0)3()1(ff且且)3,1(1(,1 取取.0)(f),1(2)(xxf一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理5几何解释几何解释:ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平
4、的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧CABC6Fermat引理引理 费马费马 Fermat,(法法)1601-1665 有定义有定义,如果对如果对),(0 xUx 有有)()(0 xfxf),()(0 xfxf 或或.0)(0 xf那么那么内内的某邻域的某邻域在点在点设函数设函数)()(00 xUxxf,)(0存在存在且且xf 证证,0)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx),()(),(00 xfxfxUx 对对,0)()(000 xxxfxfxx时时，有有当当,0)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx,0)()(0 xfxf,0)(
5、)(000 xxxfxfxx时时，有有当当.0)()()(000 xfxfxf.证证毕毕 函数导数为函数导数为0的点的点也称为也称为驻点、稳定驻点、稳定点点或或临界点临界点。7Rolle定理定理:)(满足满足若函数若函数xf;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba(1)(2);),(内可导内可导在开区间在开区间ba(3),()(bfaf,),(内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得.0)(f证证.)(mMa 若若.,)(mMbaxf和和最最小小值值有有最最大大值值在在.)(Mxf 则则.0)(xf得得),(ba )(f都都有有.0.)(mMb 若若 所以最值不可能同时在端点取
6、得所以最值不可能同时在端点取得.),(afM 设设,),(内内至至少少存存在在一一点点则则在在ba.)(Mf 使使,xa b有有),()(fxf 由由 Fermat引理引理,.0)(f8(1)定理条件不全具备定理条件不全具备,1,010,)(xxxxf1,1,|)(xxxf注注结论不一定成立结论不一定成立.Rolle定理定理:)(满足满足若函数若函数xf;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba(1)(2);),(内可导内可导在开区间在开区间ba(3),()(bfaf,),(内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得.0)(f1xyO11 yxO1yxO 1,0,)(xxxf这三个
7、条件只是充分条件，而非必要条件这三个条件只是充分条件，而非必要条件(2)罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数等等0的点的点,有的函数这样的点可能不止一个有的函数这样的点可能不止一个.9例例1 1上上在在对函数对函数2,1,1074)(23 xxxxf证证(1),2,1)(上连续上连续在在 xf0)1(f(2),0)(xf方程方程),2,1(2 x其其中中定理的假设条件满足定理的假设条件满足)2(f 结论正确结论正确有实根有实根即即07832 xx),374(311 x)374(312 x.符符合合要要求求验证验证Rolle定理的正确性定理的正确性.R
8、olle定理肯定了定理肯定了 的存在性的存在性,一般没必要知道一般没必要知道究竟等于什么数究竟等于什么数,只要知道只要知道 存在即可存在即可.,)2,1(内可导内可导在在 10例例2 2.10155的的正正实实根根有有且且仅仅有有一一个个小小于于证证明明方方程程 xx证证,15)(5 xxxf设设,1,0)(连续连续在在则则xf,1)0(f且且 由由零点定理得零点定理得),1,0(0 x即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根.(1)存在性存在性.3)1(f.0)(0 xf使使11,),1,0(011xxx 设设另另有有101()0.f xxx使不妨设)(xf01(,),x x至少存在一
9、个.0)(f)1(5)(4 xxf但但,0.为为唯唯一一实实根根(2)唯一性唯一性使得使得)1,0(x对可导函数对可导函数 f(x),f(x)=0的两实根之间的两实根之间,在方程在方程0)(xf 的一个实根的一个实根.Rolle定理还指出定理还指出,至少存在方程至少存在方程01,x x在上满足满足Rolle定理的条件定理的条件.10155的正实根的正实根有且仅有一个小于有且仅有一个小于证明方程证明方程 xx矛盾矛盾,故假设不真故假设不真!12 练习练习 不求导数不求导数 判断函数判断函数f(x)(x 1)(x 2)(x 3)的导的导数有几个实根数有几个实根 以及其所在范围以及其所在范围 解解
10、f(1)f(2)f(3)0 f(x)在在1 2 2 3上满足上满足Rolle定理的三个条件定理的三个条件 在在(1 2)内至少存在一点内至少存在一点 1 使使 f (1)0 1是是 f (x)的的一个实根一个实根 在在(2 3)内至少存在一点内至少存在一点 2 使使f (2)0 2也是也是f (x)的的一个实根一个实根 f (x)是二次多项式是二次多项式 只能有两个实根只能有两个实根 分别在区间分别在区间(1 2)及及(2 3)内内 13,0)(Cxf且在且在),0(内可导内可导,证明至少存证明至少存在一点在一点,),0(使使.cot)()(ff提示提示:由结论可知由结论可知,只需证只需证0c
11、os)(sin)(ff即即0sin)(xxxf显然显然)(xF在在,0上连续上连续.证：设证：设xxfxFsin)()(例例3.设设由由Rolle定理得定理得。内可导，且在0)0(),0(FF即使至少存在一,0)(),0(F0cos)(sin)(ff14 现在，微积分里面最著名的定理之一，就要登场了。只要该定理一出场，真可以让一大堆定理顿时黯然失色。不错，我们所说的不是别的，正是中值定理。你大概做梦也不会想到，大名鼎鼎的中值定理，不过只是朴实无华的罗尔定理转个角度，歪斜一下而已。你在看罗尔定理时，若是把脑袋歪向一边，看到的就是中值定理！150)(fxyO)(xfy 2 1 ABabC)()(b
12、faf ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNMRolle定理定理Lagrange中值定理中值定理16结结论论亦亦可可写写成成注注拉格朗日拉格朗日 Lagrange(法法)1736-1813 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理:)(满足满足若函数若函数xf(1)(2),),(内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得)()()(abfafbf ).()()(fabafbf 二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba;),(内可导内可导在开区间在开区间baMeal Value Theorem17证证作作辅助函数辅助函数,)
13、()()()(xabafbfxfxg (,),a b故有罗尔定理得在开区间内至少存在一点使得.0)()()()(abafbffg 由此得由此得).()()()(fabafbf )()(1)(bafabfabag Lagrange中值公式中值公式.也也成成立立对对ab ,)(上连续上连续在闭区间在闭区间baxg内内开区间开区间),(ba且且)(bg 易知易知,可导可导微分中值定理微分中值定理18 微积分里有许多决定性的结果，都要依赖于微积分里有许多决定性的结果，都要依赖于中值定理来证明，这个定理的重要性，使之不愧中值定理来证明，这个定理的重要性，使之不愧为为“最有价值定理最有价值定理”（MVT）
14、。）。Meal Value Theorem它表明了函数在两点处的函数值它表明了函数在两点处的函数值)()()()(fabafbf 的单调性及某些等式与不等式的证明的单调性及某些等式与不等式的证明.在微分学中占有在微分学中占有极重要的地位极重要的地位.与导数间的关系与导数间的关系.今后要多次用到它今后要多次用到它.尤其可利用它研究函数尤其可利用它研究函数19ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM几何解释几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧物理解释物理解释:20Lagrange公式公式可以写成下面的各种形式可以写成下面的
15、各种形式:.).)()()()1(时时也也成成立立当当baabfafbf )()()2(xfxxfxxxfy )()3(.的的精精确确表表达达式式增增量量 y 它表达了函数增量和某点的它表达了函数增量和某点的注注,未未定定这这里里 ,)(xf .之之间间和和在在xxx 但是增量、但是增量、这是十分方便的这是十分方便的.由由(3)式看出式看出,).10(导数之间的直接关系导数之间的直接关系.导数是个等式关系导数是个等式关系.Lagrange中值定理又称中值定理又称Lagrange中值公式又称中值公式又称 有限增量公式有限增量公式.有限增量定理有限增量定理.21？以得出其它的什么结论由拉格朗日中值
16、定理可)()()()(abfafbf)()()()(1212xxfxfxf).,(0)()1(baxxf.)(常数xf.|)(|)2(Mxf.|)()(|00 xxMxfxf).0(0)()3(xf)()(xf还有什么？还有什么？)(f?22推论 1.I ,)(,I ,0)(xCxfxxf则若推论 2.I )()(,I )()(xCxgxfxxgxf则若(C 为常数)推论 3则且条件 ),(,|)(|,baxMxf|)()(|abMafbf理上满足拉格朗日中值定在若 ,)(baxf 用来证明一些重要的不等式推论 4,)0)(0)(,I )(xfxfxf且可导在区间若减少上单调增加在区间则)(I
17、 )(xf 用来判断函数的单调性23例例4 4).11(2arccosarcsin xxx证明证明证证1,1,arccosarcsin)(xxxxf设设)11(11)(22xxxf .0 1,1,)(xCxf0arccos0arcsin)0(f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx000由由推论推论自证自证).,(x,2cotarcarctan xx说明说明欲证欲证,Ix 只需证在只需证在 上上且且,0Ix 使使.)(00Cxf I,)(0Cxf,0)(xf24例例5 5 试证明下列不等式试证明下列不等式)0(,1)2(xxex)0(,lnln)1(baaababbab
18、(1)设设.,ln)(baxxxf显然显然f(x)在在a,b上连续，在上连续，在(a,b)内可导，内可导，由拉格朗日定理得由拉格朗日定理得)(,1lnlnbaabab由于由于111ba故故)0(,lnlnbaaababbab证证1lnln1babbaa1()fxx且()()()()f bf aba f25在在(0,x)（或（或(x,0)）内可导）内可导.efxeex)(00即即xeex1(介于介于0与与x之间之间).则则 f(t)在在0,x（或（或x,0）上连续，）上连续，(2)令令f(t)=e t,.1xex故.)0(,1xxex于是，于是，,1,0,0ex时;1xex故,1,0,0 xxe
19、ex时由拉格朗日定理得由拉格朗日定理得26211212122121,0.,(1)()xxxxx xxxx ex eexx设且证明 与 之间存在一点使成立。例例6证：证：12211221()(),(,)(,)()xxxf xxef xx xx xx xx xfxexe令,显然在或上连续，在或内可导,且所以由拉格朗日中值定理得所以由拉格朗日中值定理得212112212121212121()()(),(1)(1)()xxxxxxf xf xx ex efexxxxx ex eexx在 与 之间至少存在一点 使即即命题得证命题得证212121()|xxxxx ex eeexexx分析：即证27柯西柯西
20、 Cauchy(法法)1789-1859Chauchy中值定理中值定理:)()(满足满足及及若函数若函数xFxf;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba(1)(2),),(内可导内可导在开区间在开区间ba,),(内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得,0)(xF且且)()()()()()(FfaFbFafbf 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理28),(,)()()(baabfafbf ),(,)()()(baabFaFbF ),(,)()()()()()(baFfaFbFafbf 这两个这两个错错 !柯西中值定理柯西中值定理:)()(满足满足及及若函数若函数x
21、Fxf;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba(1)(2),),(内可导内可导在开区间在开区间ba,),(内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得,0)(xF且且)()()()()()(FfaFbFafbf 柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗?不一定相同不一定相同 29 前面对前面对Lagrange中值定理的证明中值定理的证明,构造了构造了xabafbfxfxg )()()()(现在对现在对两个两个给定的函数给定的函数 f(x)、F(x),构构造造 )()(xfx 即可证明即可证明Cauchy定理定理.辅助函数辅助函数辅助函数辅助函数)(xF)()(afbf)()(a
22、FbF)()()()()()(FfaFbFafbf ),(ba )()()()()()(aFbFFfafbf 分析分析 上式写成上式写成xxF)(用类比法用类比法),(),()()()(bafabafbf 30Cauchy定理的几何意义定理的几何意义 )()(tfytFx)()(ddtFtfxy 注意弦的斜率弦的斜率柯西中值定理柯西中值定理:)()(满足满足及及若函数若函数xFxf;,上连续上连续在闭区间在闭区间ba(1)(2),),(内可导内可导在开区间在开区间ba,),(内至少存在一点内至少存在一点则在开区间则在开区间ba使得使得,0)(xF且且)()()()()()(FfaFbFafbf
23、 切线斜率切线斜率XYO)(bF)(aF)(F)(bf)(af31例例7 7).0()1(2)(),1,0(:,)1,0(,1,0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数证证分析分析结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff .)()(2 xxxf,)(2xxF 设设上上在在1,0)(),(xFxf有有内内至至少少存存在在一一点点在在,)1,0(01)0()1(ff).0()1(2)(fff 2)(f 即即满足柯西中值定理满足柯西中值定理32四、小结四、小结罗尔罗尔定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中
24、值定理xxF)()()(bfaf 罗尔罗尔(Rolle)定理、拉格朗日定理、拉格朗日(Lagrange)中值中值定理、柯西定理、柯西(Cauchy)中值定理之间的关系中值定理之间的关系:推广推广推广推广 这三个定理的条件这三个定理的条件都是充分条件都是充分条件,换句话说换句话说,满足条件满足条件,不满足条件不满足条件,定理可能成立定理可能成立,不是必要条件不是必要条件.而而成立成立;不成立不成立.定理定理也可能也可能33应用三个中值定理常解决下列问题应用三个中值定理常解决下列问题(1)验证定理的正确性验证定理的正确性;(2)证明方程根的存在性证明方程根的存在性;(3)引入辅助函数证明等式引入辅
25、助函数证明等式;(4)证明不等式证明不等式;(5)综合运用中值定理综合运用中值定理(几次运用几次运用).关键关键 逆向思维逆向思维,找辅找辅助函数助函数344412 3412思考与练习思考与练习1.填空题填空题1)函数函数4)(xxf在区间在区间 1,2 上满足上满足Lagrange定理定理条件条件,则中值则中值._2)设设有有个根个根,它们分别在区间它们分别在区间341530)(xf)4,3(,)2,1(,)3,2(上上.,)4)(3)(2)(1()(xxxxxf方程方程352.2.满足条件满足条件设常数设常数nccc,10.01210 ncccn试证：方程试证：方程010 nnxcxcc(
26、0,1).在内至少存在一个实根,0)(Cxf且在且在),0(内可导内可导,证明至少存证明至少存在一点在一点,),0(使使.cot)()(ff3.设设.,1 xeexx 时当证明：4.4.362.2.满足条件满足条件设常数设常数nccc,10.01210 ncccn试证方程试证方程010 nnxcxcc.)1,0(内存在一个实根内存在一个实根在在分析分析注意到注意到:)12(1210 nnxncxcxcnnxcxcc 10)(xf37证证 设设,12)(1210 nnxncxcxcxf,1,0)(上上连连续续在在xf0)0(f,)1,0(内可导内可导在在)1(f 且且 由由Rolle定理得定理得
27、,)1,0(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在,0)(f使得使得即即010 nnccc .为所求实根为所求实根即即 x满足条件满足条件设常数设常数nccc,10.01210 ncccn试证方程试证方程010 nnxcxcc.)1,0(内存在一个实根内存在一个实根在在38,0)(Cxf且在且在),0(内可导内可导,证明至少存证明至少存在一点在一点,),0(使使.cot)()(ff提示提示:由结论可知由结论可知,只需证只需证0cos)(sin)(ff即即0sin)(xxxf验证验证)(xF在在,0上满足上满足Rolle定理条件定理条件.设设xxfxFsin)()(3.设设39作业作业习题习题
28、3-1(1323-1(132页页)2.7.8.10.11.12.13.40费马费马(1601 1665)法国数学家法国数学家,他是一位律师他是一位律师,数学数学只是他的业余爱好只是他的业余爱好.他兴趣广泛他兴趣广泛,博博览群书并善于思考览群书并善于思考,在数学上有许多在数学上有许多重大贡献重大贡献.他特别爱好数论他特别爱好数论,他提出他提出的的Fermat大定理大定理:,2无整数解方程时当nnnzyxnFermat大定理大定理1994年得到普遍的证明年得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的最大值与最
29、小值的方法中提炼出来的.41拉格朗日拉格朗日(1736 1813)法国数学家法国数学家.他在方程论他在方程论,解析函数论解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献及数论方面都作出了重要的贡献,近百近百余年来余年来,数学中的许多成就都直接或间数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作接地溯源于他的工作,他是对分析数学他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一产生全面影响的数学家之一.42柯西柯西(1789 1857)法国数学家法国数学家,他对数学的贡献主要集中他对数学的贡献主要集中在微积分学在微积分学,柯柯 西全集西全集共有共有 27 卷卷.其中最重要的的是为巴黎综合学其中最重要的的是为巴黎综合学
30、 校编写的校编写的分析教程分析教程,无穷小分析概论无穷小分析概论,微积微积分在几何上的应用分在几何上的应用 等等,有思想有创建有思想有创建,响广泛而深远响广泛而深远.对数学的影对数学的影他是经典分析的奠人之一他是经典分析的奠人之一,他为微积分他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面复变函数和微分方程方面.一生发表论文一生发表论文800余篇余篇,著书著书 7 本本,43例例3 3证明不等式证明不等式证证).(21xx ,arctan)(xxf 如果如果f(x)在某区间上可导在某区间上可导,要分析函数要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系在该
31、区间上任意两点的函数值有何关系,通常就想到微分中值定理通常就想到微分中值定理.记记,arctanarctan1212xxxx ,21上上在在xx利用微分中值定理利用微分中值定理,得得)(11arctanarctan12212xxxx ),(21xx ,1112 12arctanarctanxx ,12xx )()()(abfafbf ),(ba 44内满足关系式在若证明：),()(xf.)(,)()(,1)0(xexfxfxff则.),(,1)(xexfx即要证),(,)()(xexfxx令Cx)(证问题转化为xxxeexfexfx2)()()(),(,0 x例例6 6证证).,(,)(xCx,1)0(f又 )()(Cexfxx1)0()0(0ef故 .1C从而从而.),(,)(xexfx
