1、4.1 4.1 一维单原子链的振动一维单原子链的振动 原子链共有原子链共有N N个原胞，每个原胞只有一个原子个原胞，每个原胞只有一个原子,每个每个原子具有相同的质量原子具有相同的质量m,平衡时原子间距等于晶格常平衡时原子间距等于晶格常数数a,原子沿链方向运动原子沿链方向运动,第第n n个原子离开平衡位置的个原子离开平衡位置的位移用位移用un表示表示,第第n个原子和第个原子和第n+1个原子间的相对位个原子间的相对位移为移为 1nnuu原子振动时，相邻两个原子之间的间距原子振动时，相邻两个原子之间的间距 axa一维单原子链一维单原子链l平衡时原子位于平衡时原子位于Bravais格点上格点上1 1、
2、基本假设、基本假设 222 21 )(aaxddxddaax 221)(axadxd)(22l原子围绕平衡位置作微振动原子围绕平衡位置作微振动l简谐近似：原子间的相互简谐近似：原子间的相互作用势能只考虑到平方项作用势能只考虑到平方项aun此时，两原子间的相互作用势能可表示为：此时，两原子间的相互作用势能可表示为：称为原子间恢复力常数弹性力弹性力在简谐近似下相邻两个原子间的作用力：)(1nnuuddf)(npnppuuf，321p第n个原子受到的作用力为：一维原子链的振动模型：被一个个弹簧连接起来的一串质量为m的球2 2、一维单原子链的运动方程、一维单原子链的运动方程只考虑相邻原子的作用，第只考
3、虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力：个原子受到的作用力：nnnnnnnuuuxuuu21111第第n个原子的运动方程为个原子的运动方程为 nnnnuuudtudm21122对于对于N N个原子有个原子有N N个完全类似的运动方程个完全类似的运动方程 运动方程为二阶常微分方程运动方程为二阶常微分方程)(npnppxxf3 3、运动方程的解、运动方程的解设方程的特解为：设方程的特解为：iqnatiiqnaneAeetutu)()(0q：波矢：波矢,大小等于大小等于 ，方向为波传播的方向，方向为波传播的方向qna：第：第n个原子相对于参考点的位相差个原子相对于参考点的位相差 qa：相邻原子的位
4、相差：相邻原子的位相差2:)(0tut时刻原点处原子相对于平衡点的偏移时刻原点处原子相对于平衡点的偏移特解具有波动形式（用波矢为特解具有波动形式（用波矢为q、频率为、频率为的简谐的简谐波来描述原子离开平衡位置的振动）波来描述原子离开平衡位置的振动）)2sin(4qam 为了确定色散关系，把试探解带入运动方程得：为了确定色散关系，把试探解带入运动方程得：振动频率与振动频率与n无关，色散关系对所有原子都相同无关，色散关系对所有原子都相同4 4、一维单原子链的色散关系、一维单原子链的色散关系和和q之间的关系称为色散关系之间的关系称为色散关系原子的振动以波的形式在晶体中传播，这种波称为原子的振动以波的
5、形式在晶体中传播，这种波称为格波。一个格波表示晶体中所有原子一起参与的共格波。一个格波表示晶体中所有原子一起参与的共同振动。在简谐近似下，格波为平面波。同振动。在简谐近似下，格波为平面波。iqnatineAetu)(5 5、波矢、波矢q q的取值范围的取值范围波矢q和haqq2描述同样的振动状态：ntqnaitnahaqinuAeAeu)()2(a4nxaq2 aq25 为了保证xn的单值性，把q限制在aqa格波格波q的不唯一性的图示的不唯一性的图示6 6、周期性边界条件、周期性边界条件波恩卡门边界条件：将许多完全相同的原子链首尾连接成无穷长链，从而第N+1个原子就是第1个原子，第N2个原子就
6、是第2个原子nNnuu)()(tanNqitqnaiAeAe1iqNaehNaq2式中h为整数，q取分立值Nbhqiab2把波矢q表示为倒空间中的一个矢量：)(aa为一维晶格的第一布里渊区波矢的取值范围为)(aa而独立波矢的取值范围在第一布里渊区相差一个或几个倒格矢的波矢描述同样的振动状态一个布里渊区包含的波矢数目Nqa2即对于一维单原子链，晶格振动波矢的数目等于晶体的原胞数在FBZ，q取分立值，相邻两个波矢的间隔Naq2是q的周期函数：时，0q0（具有该特点的格波称为声学波）)()2(qhaq)()(qq7、一维单原子链色散关系的特点、一维单原子链色散关系的特点)2sin(4qam a a
7、q0a 2a 2 m2max波速（相速度）波速（相速度）q群速群速dqd8、格波的波速和群速、格波的波速和群速布里渊区的中心附近，布里渊区的中心附近，qmaq)(波速波速mal为常数，此时格波为弹性波为常数，此时格波为弹性波在布里渊区的边界上，一维单原子链格波的群在布里渊区的边界上，一维单原子链格波的群速度为零：速度为零：根据弹性波的理论根据弹性波的理论ElaE波是一个驻波。0)(aqg一个格波表示整个晶体所有原子都参与的振动，体系所有原子一起参与的共同振动，称为一个振动模。波矢为q的格波t时刻在第n个原子处产生的位移量：)(tqnainqnqqeAu所有格波在第n个原子处产生的总位移量：qt
8、qnainqnqeAu)(4.2 4.2 一维双原子链的振动一维双原子链的振动晶格常数晶格常数a，共有，共有N个原胞，每个原胞有两个原子，个原胞，每个原胞有两个原子，质量分别为质量分别为M1、M2，交替放置形成一维周期结构。，交替放置形成一维周期结构。链上的原子由其所属的原胞数链上的原子由其所属的原胞数n及在基元中的序号及在基元中的序号p1，2来标记。来标记。2M1Ma1,n2,n1,1n2,1n2,1n1,1n一维双原子链的结构一维双原子链的结构2a如图所示，设如图所示，设A、B两种原子组成一无限的两种原子组成一无限的一维周期晶体，画出其晶格的原胞。一维周期晶体，画出其晶格的原胞。BAcd基
9、元基元dcaa仍然采用简谐近似和最近邻近似，原子的运动方程仍然采用简谐近似和最近邻近似，原子的运动方程为：为：设方程组有如下的格波解：设方程组有如下的格波解：tanqintqnainBeuAeu)21(2,1,共有共有2N2N个个不同类原子的振幅不同，但以相同的频率振动不同类原子的振幅不同，但以相同的频率振动)2()2(2,1,1,122,221,2,12,21,21nnnnnnnnuuudtudMuuudtudM1、运动方程和格波解、运动方程和格波解022cos202cos222221BMAqaBqaAM022cos22cos222221MqaqaM把试探解带入运动方程，有：把试探解带入运动
10、方程，有：A、B有非零解的条件有非零解的条件是上面方程组的系数是上面方程组的系数行列式等于零：行列式等于零：qaMMMMMMMM cos 222122212112每个波矢对应两个不同的频率，当每个波矢对应两个不同的频率，当q变化时，给出两条色变化时，给出两条色散关系，称为两支，频率低的一支（取负号）称为称为声散关系，称为两支，频率低的一支（取负号）称为称为声学波，频率高的一支（取正号）称为光学波。学波，频率高的一支（取正号）称为光学波。2、色散关系、色散关系 a a q0a 2a 2 光学波光学波声学波声学波1max2M2min2M2max3、一维双原子链色散关系的特征、一维双原子链色散关系的
11、特征l色散关系是倒格矢量的周期函数：l 色散关系分成两支：一支是声学波，一支是光学波，光学波和声学波的频率各有一定的范围。)()2(qaq)()(qql在声学波最小最高频率和光学波的最小频率之间有一频率间隙当q0时，声学支的色散关系是线性的光学支的频率近似为常数4、声学波和光学波振动的特点、声学波和光学波振动的特点相邻原子振幅之比相邻原子振幅之比02)2cos(2)2cos(2M-22122MqaqaBA声学支光学支02)2cos(2)2cos(2M-22122MqaqaBA声学支中，相邻原子的振动方向相同声学支中，相邻原子的振动方向相同光学支中，相邻原子的振动方向相反光学支中，相邻原子的振动
12、方向相反长波时，长波时，1BA长声学波代表原胞质心的振动长声学波代表原胞质心的振动12MMBA长波时，长波时，长光学波描述原胞内长光学波描述原胞内原子之间的相对运动原子之间的相对运动双原子链在长波极限双原子链在长波极限(q 0)的振动图像的振动图像光学波光学波在布里渊区边界在布里渊区边界aq声学波：声学波：BA光学波：光学波：0BAlNaq25、振动模式数（频率数）、振动模式数（频率数）波矢限定在第一布里渊区中aqa周期性边界条件下22NlN一维双原子链：l晶格振动的波矢数目等于晶体的原胞数l一个波矢对应2个不同的频率，共有2N个振动频率，这2N个振动频率分为2支。一个原胞中有一个原胞中有r
13、r个原子，原胞数目个原子，原胞数目321NNNN rsmmmm、21 slu 321aaa、4.3 三维晶格的振动三维晶格的振动第第L L个原胞中第个原胞中第S S个原子离开平衡个原子离开平衡点的位移在坐标轴点的位移在坐标轴方向的分量方向的分量原子的质量原子的质量：第第L个原胞中第个原胞中第s个原子运动方程为：个原子运动方程为：Nlnssslusslltslum322 共有共有3rN设方程的一个特解为设方程的一个特解为)(tslRqisaeAslu把试探解代入运动方程，得到以振幅把试探解代入运动方程，得到以振幅Asa满足的满足的3r个个线性齐次线性齐次联立方程：联立方程：ssssAssqCAm
14、,2它有解的条件是系数行列式等于它有解的条件是系数行列式等于0。由此可以得到。由此可以得到一个一个2的的3r次方程式，从而给出次方程式，从而给出3r个解：个解：3r.3,2,1j)q(2j对于一个波矢对于一个波矢q,有有3r个个（即有（即有3r支色散曲线）支色散曲线）在在3r支色散关系中，当支色散关系中，当q0时（长波）：时（长波）：有三支有三支 0，且各原子的振幅趋于相同，且各原子的振幅趋于相同，这三支为声学波。长声学波描述了原胞质这三支为声学波。长声学波描述了原胞质心的振动。心的振动。其余其余(3r-3)支有有限的振动频率，为光学支有有限的振动频率，为光学波。长光学波描述原胞内原子之间的相
15、对波。长光学波描述原胞内原子之间的相对运动。运动。q的值由周期性边界条件确定：波矢的取值和波矢空间波矢的取值和波矢空间代入)(tRqisaleAslu得到：3332221112,2,2haNqhaNqhaNq332211bbbqxxx把波矢q表示为倒格子空间中的一个矢量：根据倒格基矢与正格基矢的关系可得 sRusaNRull11sRusaNRull22sRusaNRull33331222111NbhNbhNbhqNNbNbNb*332211)()(332211NbNbNb倒格子空间也称为波矢空间在波矢空间中，许可的q值是一些分立的点，这些点在波矢空间是均匀分布的。每个点在波矢空间占据的体积为：
16、相差一个或几个倒格矢量的波矢描述同样的振动状态波矢空间中即q的密度为：333*)2()2()2(1VNvvNNN独立的波矢位于第一布里渊区一个布里渊区可能有的一个布里渊区可能有的q数目数目NN*)()()()(qqqKqhl 晶格振动波矢的数目晶格振动波矢的数目=晶体原胞数晶体原胞数（自由度数原子的个数坐标的维数）l 晶格振动频率的数目晶格振动频率的数目=晶体内原子的自由度数晶体内原子的自由度数l 一个波矢对应的频率的数目一个波矢对应的频率的数目=一个原胞内原子一个原胞内原子的自由度数的自由度数硅的色散关系硅的色散关系L：纵波，：纵波，T：横波；：横波；A：声学波，：声学波，O：光学波：光学波
17、横波的色散关系总是简并的nDlim0)(n式中表示在表示在间隔内频率的数目 格波频谱密度（频率分布函数格波频谱密度（频率分布函数）格波频谱密度定义为单位频率间隔内振动的频率数考虑一支格波。在波矢空间中，频率在到等频率面间的体积为qds频率数目为qdsVn3)2()()2()(3qdsVDq)()2()2(33qdsVqdsVnqjjqqdsVg)()2()(3qqq)()(qq波的群速度3r支格波:rNdg3)(所以所以因为因为例题：一维单原子链的频率分布函数例题：一维单原子链的频率分布函数22LNaddqLnglim0)()2sin(qam2122)(2)(mNgq qqa a q空间中q点
18、的密度：qqq的波矢数目为qLn2 对应的频率数目为qLqLn22 晶体中原子在格点的微振动，可以用波矢为晶体中原子在格点的微振动，可以用波矢为q、频率为频率为的格波来描述。的格波来描述。总总 结结在简谐近似下格波是平面波（简谐波），这些在简谐近似下格波是平面波（简谐波），这些简谐波的存在是相互独立的。一个简谐波表示简谐波的存在是相互独立的。一个简谐波表示晶体中所有原子一起参与的共同振动。晶体中所有原子一起参与的共同振动。波矢波矢q并不是任意的。在周期性边界条件的限制并不是任意的。在周期性边界条件的限制下，波矢只能取一系列分立的值。独立的波矢下，波矢只能取一系列分立的值。独立的波矢q位于第一布
19、里渊区，晶格振动波矢的数目等于晶位于第一布里渊区，晶格振动波矢的数目等于晶体的原胞数体的原胞数。根据色散关系在长波时的特征，根据色散关系在长波时的特征，3r3r支格波分成支格波分成3 3支光学波，支光学波，3r-33r-3支声学波，光学波和声学波的支声学波，光学波和声学波的频率各有一定的范围频率各有一定的范围长声学波长描述了不同原胞之间的相对运动，而长声学波长描述了不同原胞之间的相对运动，而长光学波描述了原胞内不同原子之间的相对运动长光学波描述了原胞内不同原子之间的相对运动频率和频率和波矢之间的关系称为色散关系。格波的之间的关系称为色散关系。格波的色散关系在波矢空间具有倒格子的周期性和反色散关
20、系在波矢空间具有倒格子的周期性和反演对称性演对称性)()(hjjKqq)()(qqjj4.4 4.4 晶格振动的量子化、声子晶格振动的量子化、声子以一维单原子链为例一维单原子链的哈密顿量为：NnnnNnnuudtdumH212)(2)(21哈密顿量有交叉项，即用原子的位移坐标描写时，位移之间是相互耦合的，不便于量子力学处理。有没有更好的办法来描写这种振动？采用简正坐标来描写原子的振动：寻求一适当的正交变换，将原子坐标转化为一组新的坐标，使哈密顿量无交叉项。iqnaqiqnatiqnetAeeAtuq)()(qiqnaqnetAtu)()(波矢为q的格波t时刻在第n个原子处产生的位移量：所有格波
21、在第n个原子处产生的总位移量：NqiqnaqneNtQtxm1)()(把上式变换为如下形式)(tQq就是简正坐标！可以证明，经过上式变换后，哈密顿量为：NqqqqQQH22221式中)2sin(4qamq所以可以证明，动量qqQP因此体系的哈密顿量可表示为21222qqqqQPH21222qqqQP为一个谐振子的能量！H包含N项，所以共有N个独立谐振子。要过渡到量子力学，还必须知道动量的表示结论：N个原子组成的一维单原子链原子的微振动可以看成N个独立的以简正坐标描述的谐振子的运动此结论可以推广到三维！把Qq和Pq看成量子力学的共扼算符，并令 qqQiP对于一个简正坐标，有：qqqqqQEQQQ
22、2222221其为一个量子谐振子的薛定谔方程 注意：量子谐振子的频率就是经典简谐振动的频率！频率为频率为的一个量子的一个量子简谐振子简谐振子，它的能量是量子化，它的能量是量子化的，只能是：的，只能是：3,2,1,0,)21(,25,23,21qqnn谐振子的能量是量子化的，当晶格体系的能量变化谐振子的能量是量子化的，当晶格体系的能量变化时，对应于任一个频率时，对应于任一个频率的谐振子，能量的改变都的谐振子，能量的改变都是是 的整数倍，即能量的激发单元为的整数倍，即能量的激发单元为声子：晶格振动的能量量子，是原子振动的粒子形声子：晶格振动的能量量子，是原子振动的粒子形式（运动的粒子表述）式（运动
23、的粒子表述）定义一种粒子，称为声子，其能量为定义一种粒子，称为声子，其能量为 动量为动量为q频率为频率为、波矢为、波矢为q的格波的格波频率为频率为的量子谐振子的量子谐振子能量为能量为 、准动量为、准动量为 的一种声子的一种声子 q可以把晶格微振动表述为具有能级可以把晶格微振动表述为具有能级 的声的声子组成的体系。子组成的体系。j能量1234jrN3频率为的量子简谐振子，其平均能量：212100neenEnTknnTknBB波色爱因斯坦统计波色爱因斯坦统计1)1)(exp(TknB式中一种声子的平均数目一种声子的平均数目波色爱因斯坦统计波色爱因斯坦统计qnTkB12345.00.15.10声子的
24、能量声子的能量声子的数目声子的数目1)exp(1TknB声子的激发依赖于温度，对于给定的温度T，被激发的主要是那些能量 的声子TkB热平衡时声子占据能级 的几率：TkBTknBTkBTkBen声子的特征声子的特征l晶格振动的能量量子，是一种准粒子。晶格振动的能量量子，是一种准粒子。l能量能量 ，动量，动量 ，质量没有定义。，质量没有定义。ql是波色子，每个能态上容纳的声子的数目是波色子，每个能态上容纳的声子的数目没有限制，晶体内可以有任意数目相同能没有限制，晶体内可以有任意数目相同能量的声子，声子的数目不守恒。量的声子，声子的数目不守恒。lT=0K时任何一种声子的数目为零。对于给时任何一种声子
25、的数目为零。对于给定的温度定的温度T，一种声子的平均数目服从波，一种声子的平均数目服从波色爱因斯坦统计。色爱因斯坦统计。在处理其它形态粒子和格波的相互作用时，在处理其它形态粒子和格波的相互作用时，可以把作用过程理解为与声子的相互碰撞过可以把作用过程理解为与声子的相互碰撞过程。例如，电子与晶格振动的相互作用，就程。例如，电子与晶格振动的相互作用，就可以看成电子与声子的相互作用。作用时，可以看成电子与声子的相互作用。作用时，它们以它们以h为单元交换能量。若电子从晶格获为单元交换能量。若电子从晶格获得能量得能量h，称为吸收一个声子，若电子给晶，称为吸收一个声子，若电子给晶格能量格能量h，称为发射一个
26、声子。，称为发射一个声子。晶格振动的总能量等于晶格振动的总能量等于3rN个独立的量子简谐个独立的量子简谐振子的能量之和振子的能量之和rNiTkiiBieE31/121格波对中子、格波对中子、X射线、光子的散射，可以射线、光子的散射，可以表述为吸收或发射声子的过程。散射过程表述为吸收或发射声子的过程。散射过程要满足能量守恒和动量守恒：要满足能量守恒和动量守恒：EEhKqpp为了测量晶格的色散关系，入射粒子的能量为了测量晶格的色散关系，入射粒子的能量和动量应和声子相近，这样吸收或放出一个和动量应和声子相近，这样吸收或放出一个声子，入射粒子能量和动量才有较大的改变，声子，入射粒子能量和动量才有较大的
27、改变，从而便于测量。从而便于测量。4.5确定晶格振动谱的实验方法确定晶格振动谱的实验方法 l固体热容的定义固体热容的定义：一种物质温度每升高（或降低）一度所需要一种物质温度每升高（或降低）一度所需要（或放出）的能量，称为该物质的比热（热容）（或放出）的能量，称为该物质的比热（热容）在热力学中，固体的定容比热定义为：在热力学中，固体的定容比热定义为：VVTEC)(固体的平均内能固体的平均内能固体的体积固体的体积EVl固体热容的来源固体热容的来源原子热振动，称为原子热振动，称为晶格热容晶格热容电子热运动，称为电子热容电子热运动，称为电子热容本节研究本节研究的对象的对象4.6 晶格比热（热容）晶格比
28、热（热容）l 高温区：单原子晶体比热是一个与温度和材料性质无关的常数，称为杜隆珀替定律（1818年）1)(74.23CmolJ1)(78.24CmolJ晶格热容的实验结果晶格热容的实验结果铝铜l 低温区：晶体热容不再是常数，而是随温度下降很快趋于零。例如实验发现绝缘体晶格的比热在低温区依T3规律变化。molKJkNCBV/9.2430是一个常数！与杜隆珀替定律符合。经典理论对晶格热容的解释及其困难经典理论对晶格热容的解释及其困难经典理论：N个原子的微振动可以由3N个的独立的谐振子描述，谐振子每一个自由度分配到的平均能量为 ，晶体总平均热能为 ，其摩尔热容为：但经典物理无法解释在低温区晶格热容与
29、温度有关，且在低温下趋于零这一事实。TNkB3TkB dgeeTEmBBiTkNiTkii)()121(1210/31/N个原子的微振动可以由3N个量子谐振子描述，晶格的总能量是3N个量子谐振子能量的总和：晶格热容的量子理论晶格热容的量子理论 Ndgm30m式中 为晶格的最大振动频率，由下式决定 晶格比热 mBBTkTkBBVVedgeTkkTEC02/21关键在于求出晶格振动的模式密度！爱因斯坦模型（爱因斯坦模型（1907年）年）所有原子都以相同的频率 振动，格波频谱密度为：E)(3)(ENg2/213TTEBVEEeeTNkTEC称为爱因斯坦温度称为爱因斯坦温度BEEk式中式中当当ETBE
30、EBTTEBVNkTTNkeeTNkCEE3313222/2时与经典的杜隆珀替定律一致与经典的杜隆珀替定律一致当当ETTEBVEeTNkC/23时热容随温度指数下降热容随温度指数下降爱因斯坦模型与实验比较爱因斯坦模型与实验比较定性上是完全正确的：在高温区符合杜隆珀替定律，低温区比热趋于零。定量上偏差是因为过于简化的声子频谱假设造成的。基本假设基本假设1：忽略光学波对热容的贡献，将：忽略光学波对热容的贡献，将声学波作为弹性波来处理，假设声学波的色声学波作为弹性波来处理，假设声学波的色散关系为散关系为基本假设基本假设2：对比热有贡献的声子有一个截：对比热有贡献的声子有一个截止频率，称为德拜频率止频
31、率，称为德拜频率 ，德拜频率由总自，德拜频率由总自由度数确定：由度数确定：德拜（德拜（Debye）模型（）模型（1912年）年）qP NdgD30D 德拜模型的频率分布函数德拜模型的频率分布函数)()2()(3qdsVDq一支格波一支格波根据德拜德假设，根据德拜德假设，qP pqq )(322233324)2()2()2()(ppppVqVdsVdsVD共有三支声学波，假设它们的速度相同，有：共有三支声学波，假设它们的速度相同，有：23223)(pVg根据德拜模型的假设根据德拜模型的假设3，可以得到德拜截止频率：，可以得到德拜截止频率：31202320)(6323VNNdVdgpDpDD德拜模
32、型中的晶格比热德拜模型中的晶格比热 dxexeTNkdeeTkCVkTCTxxDBTkTkBBVDBBD 024322022)1(9123晶体的摩尔热容量为晶体的摩尔热容量为 dxexeTkNTCTxxDBVD 02430)1(9在德拜模型中，晶体比热特征完全由其德拜温度确定在德拜模型中，晶体比热特征完全由其德拜温度确定德拜温度定义德拜温度定义BDDk 用德拜频率表示频率分布函数用德拜频率表示频率分布函数DDDNg09)(32332)(512TTNkCDBV 德拜模型的高、低温极限德拜模型的高、低温极限 High T)(DT BTDBVkNdxxxTkNTCD002430319 高温时，比热趋
33、于经典极限高温时，比热趋于经典极限Low T)(DT 极低温下晶格比热正比于极低温下晶格比热正比于T3,称为德拜称为德拜T3定律定律德拜模型与实验比较德拜模型与实验比较如何确定德拜温度？如何确定德拜温度？德拜温度：量子与经典的分界线德拜温度：量子与经典的分界线求出晶体的弹性速度，再按照德拜求出晶体的弹性速度，再按照德拜频率的定义计算德拜温度；频率的定义计算德拜温度；用理论计算结果拟合实验结果，使用理论计算结果拟合实验结果，使理论的比热和实验值尽可能符合的理论的比热和实验值尽可能符合的好，以得到德拜温度。好，以得到德拜温度。晶格的简谐振动不能解释晶体热膨胀、热传导等现象4.6 晶格振动的非谐效应
34、晶格振动的非谐效应（但在简谐近似下，声子之间没有相互作用，不交换能量）热膨胀是在没有压力的情况下，晶体体积随温度的变化。热传导是指当晶体中温度分布不均匀时，就会有热能从高温处向低温处流动。（但在简谐近似下，原子振动的平衡位置没有变化，即原子间的距离与温度无关）热膨胀和热传导现象与晶格振动的非谐效应有关原子间的相互作用势能的高次项（指三次及更高阶原子间的相互作用势能的高次项（指三次及更高阶项）叫非简谐效应项）叫非简谐效应。若相互作用势中的高次项很小，可以将其看成量若相互作用势中的高次项很小，可以将其看成量子力学的微扰。微扰导致声子间发生相互作用子力学的微扰。微扰导致声子间发生相互作用（声子之间相
35、互碰撞）（声子之间相互碰撞）.61 21 )(333222aaaxdUdxdUdxdUdaUxU可以用声子之间相互碰撞来处理非谐效应可以用声子之间相互碰撞来处理非谐效应声子通过碰撞交换能量，并使其分布达到热平衡声子通过碰撞交换能量，并使其分布达到热平衡声子间的碰撞声子间的碰撞势能的势能的3次项对应三声子过程：次项对应三声子过程：1个声子分裂成2个声子2个声子合成为1个声子两个声子碰撞后（湮灭）产生另一个声子两个声子碰撞后（湮灭）产生另一个声子一个声子（湮灭）分裂成两个声子一个声子（湮灭）分裂成两个声子以两个声子碰撞产生另一个声子的三声子过以两个声子碰撞产生另一个声子的三声子过程为例程为例：32
36、1 h321Kqqq 其中其中 hK 为倒格子矢量为倒格子矢量321,qqq 都在第一布里渊区内都在第一布里渊区内 声子间的碰撞必须满足能量守恒和动量守恒声子间的碰撞必须满足能量守恒和动量守恒0hK 正常过程或正常过程或N过程，过程，在此过程中声子的总在此过程中声子的总动量没有变化，只是动量没有变化，只是改变了动量的分布改变了动量的分布布里渊区布里渊区N过程过程0hK 翻转过程或翻转过程或U过程，在过程，在翻转过程中声子动量有翻转过程中声子动量有很大的变化很大的变化1q2q3qhK4qhKqq34U过程过程1q2q3q晶体热膨胀和热传导现象的晶格振动理论解释晶体热膨胀和热传导现象的晶格振动理论
37、解释热膨胀和热传导现象与晶格振动的非谐效应有关当考虑到晶格振动的非简谐效应后，原子的平衡间距将随着温度的升高而增大，导致晶体体积的热胀冷缩。432)(fgaUaUTkgdedeBTkUTkUBB2-/-/43 热传导可以用声子从高温区向低温区的扩散来描述。在高温区，声子密度大、能量高。在低温区，声子密度小、能量低。当声子从高温区向低温区扩散中，把热能量传递到低温区，形成热传导。对热传导起主要作用的是U过程。主要内容：晶体中原子的运动主要内容：晶体中原子的运动基本假设？基本假设？得到的结果？得到的结果？色散关系色散关系声子声子爱因斯坦模型爱因斯坦模型德拜模型德拜模型运动图像？运动图像？原子在平衡
38、位置（格点）做微振动原子在平衡位置（格点）做微振动数学处理（一维双原子链）数学处理（一维双原子链）简谐近似简谐近似原子微振动被描述为一系列线性独立的谐振子原子微振动被描述为一系列线性独立的谐振子基本公式基本公式频谱密度频谱密度1)1(TkqBen)(npnppuuf总总 结结rjjqdsVg33)2()(三维：三维：二维：二维：rjjqdlSg22)2()(一维：一维：rjjdqdLg22)(频谱密度可以直接用上面公式，也可以根据其频谱密度可以直接用上面公式，也可以根据其定义，从波矢空间定义，从波矢空间q点的状态密度是常数求出。点的状态密度是常数求出。max0)(dgnZqdgeEmBTk)(
39、)121(0/理论的应用？理论的应用？基本概念？基本概念？晶体原子的热容晶体原子的热容TECv光学波、声学波、德拜温度、声子等光学波、声学波、德拜温度、声子等非谐效应非谐效应声子间发生相互作用（三声子过程）声子间发生相互作用（三声子过程）振动频率随平衡体积变化振动频率随平衡体积变化1.熟练掌握一维双原子链格波解及色散关熟练掌握一维双原子链格波解及色散关系的推倒，并理解其物理过程；系的推倒，并理解其物理过程；2.熟练掌握格波、声子、频率分布函数熟练掌握格波、声子、频率分布函数（态密度）的概念；（态密度）的概念；3.熟练掌握固体热容的爱因斯坦模型和德熟练掌握固体热容的爱因斯坦模型和德拜模型；拜模型
40、；第三章要求第三章要求例题：晶格常数为a的一维单原子链，证明DBvTNkC3202223)1(dxeexxx已知1、原子链的德拜频率2、在温度远小于德拜温度时的热容asD为格波的速度s德拜认为格波是弹性波，对于一维单原子链，其色散关系为 证明sq一维单原子链的德拜模型的模式密度sLg)(由 DNdL0得到德拜频率：aLNssDdeLEDBTk0/1dxexeTNkTECTxxDBVD022)1(akBD式中德拜温度在温度远小于德拜温度时，TDDBxxDBVTNkdxexeTNkC3)1(20221、讨论晶格振动时采用了哪些近似条件？2、什么是晶格振动的色散关系？色散曲线在波矢空间中有哪些对称性？3、格波频率分布函数的定义是什么？4、长光学波与长声学波的色散关系、振动方式有何差别？5、什么是声子？列举出你所知道的声子的性质，声子遵循什么统计规律？6、温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是声学波的声子数目多？7、晶格振动的Einstein模型和Debye模型主要区别是什么？8、德拜温度有什么物理意义？9、说明声子之间达到热平衡的物理原因10、说明半导体硅单晶的晶体结构，布拉菲格子，所属晶系，配位数、原胞内的原子数，格波的支数，声学波支数，光学波支数。11、粗略的画出金刚石每个原子的热容量与温度的关系Bk2Bk4DTVC0
