1、主要内容主要内容 数学期望数学期望 分位数与众数分位数与众数 方差、协方差和相关系数方差、协方差和相关系数 大数定理与中心极限定理大数定理与中心极限定理一、数学期望一、数学期望平均出现点数平均出现点数1111(102)2(102)3(102)6661114(102)5(102)6(102)1026661111111234566666663.5 计算方法：计算方法：X X的所有可能取值和相应的的所有可能取值和相应的概率概率之积之积的累加。的累加。注：注：这里的概率指的是这里的概率指的是权重系数权重系数。平均出现点数为平均出现点数为3.5:3.5:说明每次投掷骰说明每次投掷骰子子,可以期望得到的点
2、数为可以期望得到的点数为3.53.5。1、离散型数学期望的定义、离散型数学期望的定义1,2,.kkP XxpkXPk p1 p2 p3 pn1kkkx p 1()kkkE Xx p 2、连续型数学期望的定义、连续型数学期望的定义()()E Xxf x dx ()x f x dx()f x()0ef x 00 xx +-01E(X)=f()d=edxx xxxx udvuvvdu解：解：3、数学期望的性质、数学期望的性质4、常见随机变量的数学期望、常见随机变量的数学期望 kknknPXkC p(1p)10iX !kP Xkek 01111()!(1)!(1)!kkkkkkkkeE Xkpkekk
3、ekee xx 22()21f()e2222()22()()121()2xtE Xxf x dxxedxtedt 二、分位数和众数二、分位数和众数x分位数分位数的定义：的定义：对于任意类型对于任意类型的随机变量的随机变量X X，如果能找到数，如果能找到数 ，使得下列二式同时成立使得下列二式同时成立则称则称 为随机变量为随机变量X X的的100 100 百分位百分位,记作记作 .,1P XxP Xxx x0.25x0.5xMe 0.75x1、中位数的由来、中位数的由来1 2+1 10+1 78+22 805 90=3077 （一）中位数（一）中位数这便是提出中位数的原因这便是提出中位数的原因2
4、2、中位数的定义、中位数的定义nn1221()2 xxn 12 x 676.52 3 3、中位数的严格数学定义、中位数的严格数学定义11,22P XxP Xx14P(X=0)=,P(X=1)=5511P(X=0)=,P(X=1)=22注注：对于连续型随机变量，中：对于连续型随机变量，中位数是把随机变量的概率分布位数是把随机变量的概率分布划分为划分为2 2个相等部分的数个相等部分的数,即即:1()2F x 例例.设随机变量设随机变量X X的概率密度为的概率密度为求求X X的中位数的中位数.0f()=cos0 xx 0022xxx 01()2()()cossin1sin26xxF xF xf t
5、dttdtxxMe 百分位数的定义：百分位数的定义：对于任意类型对于任意类型的随机变量的随机变量X X，如果能找到数，如果能找到数x，使，使得下列二式同时成立得下列二式同时成立则称则称x为随机变量为随机变量X X的的100 100 百分位百分位,记作记作 .,1P XxP Xxx （二）百分位数（二）百分位数x 1 四分位数：将所有数值按大小顺序排列并分成四四分位数：将所有数值按大小顺序排列并分成四等份，处于三个分割点位置的得分就是四分位等份，处于三个分割点位置的得分就是四分位数。最小的四分位数称为数。最小的四分位数称为下四分位数下四分位数，所有数，所有数值中，有四分之一小于下四分位数，四分之
6、三值中，有四分之一小于下四分位数，四分之三大于下四分位数。中点位置的四分位数就是中大于下四分位数。中点位置的四分位数就是中位数。最大的四分位数称为上四分位数，所有位数。最大的四分位数称为上四分位数，所有数值中，有四分之三小于数值中，有四分之三小于上四分位数上四分位数，四分之，四分之一大于上四分位数。也有叫第一大于上四分位数。也有叫第25百分位数、第百分位数、第75百分位数的。百分位数的。1、四分位数的计算、四分位数的计算例例.求求的四分位数的四分位数.0.5676.52x 0.254652x 0.75898.52x 2 2、上侧、上侧 分位数分位数 P Xx x x 3 3、双侧、双侧 分位数
7、：分布对称时分位数：分布对称时/2|PXx /2x/2x/2x ()0.95 u0.10u()0.99 u0.01u（三）众数（三）众数注注:平均数、中位数和众数关系平均数、中位数和众数关系如何区分这两种情况如何区分这两种情况Pi偏离偏离Pi偏离平均偏离平均()iExx 0E 4.4E 578E 2()iExx 偏离均方偏离均方1、方差的定义、方差的定义定义定义1 1：（一）方（一）方 差差2、方差的计算、方差的计算 21()()kkkV XxE Xp 2()()()V XxE Xf x dx 注：方差计算的常用公式注：方差计算的常用公式 22()()()V XE XE X 2222222()
8、()2()()()2()()()()()V XEXE XE XXE XE XE XE X E XE XE XE X3 3、随机变量方差的性质、随机变量方差的性质()0ef x 00 xx +2-+02E(X)=222-xx f(x)dxx edx +-E(X)=1xf(x)dx 22222211()()()()V XE XE X 解：解：注注：常见随机变量的方差：常见随机变量的方差()V Xnpq()V X ()V X（二）协方差（二）协方差（三）标准差（三）标准差X X以厘米为单位，以厘米为单位，则则V(X)V(X)是以厘米是以厘米2 2为单位为单位.为了保持量纲上的一致，为了保持量纲上的一
9、致，()SDV X（四）变异系数（四）变异系数()()()V XCV XE X（五）相关系数（五）相关系数当比较两个随机变量的离散程度时当比较两个随机变量的离散程度时常用相关系数常用相关系数.注注：相关系数是刻划：相关系数是刻划线性相关线性相关的程度的程度.11 (,)()()Cov X YV XV Y 第第 八八 节节 大大 数数 定定 理理 与与 中中 心心 极极 限限 定定 理理大数定律的定义大数定律的定义Def.|lim,服服从从大大数数定定律律则则称称随随机机变变量量序序列列恒恒有有对对任任意意的的如如果果存存在在一一个个常常数数序序列列令令是是随随机机变变量量序序列列设设nnnnn
10、niinnXaYPaaaXnYXXX00121121 一、大数定律一、大数定律定理（定理（契比雪夫大数定律契比雪夫大数定律）1212,(),(),(),nnXXXD XC D XCD XC设随机变量两两相互独立且都具有有限的方差 并有公共的上界则对于任意正数有契比雪夫契比雪夫.)(lim|)(|lim0111111 niiniinniknXEnXnPXEnXP.|)(1|,0,|)(1|11成立的概率很小等式不充分大时当即对于任意正数时这个事件的概率趋于当明等式表是一个随机事件 niiniiXEnXnnXEnX注解注解证明证明21111()nniiiiCDXD Xnnn由由契比雪夫不等式契比雪
11、夫不等式可得可得,)()(221111110nCXDXEnXnPniinniinii ，则则在在上上式式中中令令 n.)(0XEn1Xn1Pn1iin1ii 证毕证毕,nX因为两两相互独立 故关于定理的说明关于定理的说明:.)X(En1Xn1X,X,X ,n in1in1iin21 值值的的算算术术平平均均接接近近于于它它们们的的数数学学期期望望均均的的算算术术平平随随机机变变量量很很大大时时当当（这个接近是概率意义下的接近这个接近是概率意义下的接近）即在定理条件下即在定理条件下,n个随机变量的算术平均个随机变量的算术平均,当当n无限增加时无限增加时,几乎变成一个常数几乎变成一个常数.1212
12、,lim|0,nnnnPnY YYYPYYY YYYYY 设是一个随机变量序列是一个常 数 若对于任意正数有则称序列依概率收敛于记为定义定理的另一种叙述定理的另一种叙述:1212,(),(),(),nnXXXD XC D XCD XC设随机变量两两相互独立且都具有有限的方差 并有公共的上界则.)(,)(niiPniiniiXEnXXEnXnX1111 1 1 即即依概率收敛于依概率收敛于序列序列.limlim10,0,pnPpnPApAnAnAnA或或有有则则对对于于任任意意正正数数率率在在每每次次试试验验中中发发生生的的概概是是事事件件的的次次数数发发生生次次独独立立重重复复试试验验中中事事
13、件件是是设设证明证明引入随机变量引入随机变量 .,2,1,1,0kAkAkXk发生发生次试验中次试验中若在第若在第不发生不发生次试验中次试验中若在第若在第伯努利伯努利定理（定理（伯努利大数定律伯努利大数定律）nAXXX 21显然显然是相互独立的，是相互独立的，因为因为,21nXXX ,)10(分布分布为参数的为参数的服从以服从以且且 pXk,)()(,)(21411 kppXDpXEkk所以所以根据定理有根据定理有,)(lim0121 pXXXnPnn.lim0 pnPAn即即证毕证毕关于贝努利定理的说明关于贝努利定理的说明:.,表表达达了了频频率率的的稳稳定定性性它它以以严严格格的的数数学学
14、形形式式率率收收敛敛于于事事件件的的概概率率依依概概生生的的频频率率贝贝努努利利定定理理表表明明事事件件发发pnA 故而当故而当n很大时很大时,事件发生的频率与概率有事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小较大偏差的可能性很小.在实际应用中在实际应用中,当试验当试验次数很大时次数很大时,便可以用事件发生的频率来代替便可以用事件发生的频率来代替事件的概率事件的概率.),2,1()(,21 kXEXXXkn 且具有数学期望且具有数学期望服从同一分布服从同一分布相互独立相互独立设随机变量设随机变量.lim,011 nkknXnP有有则则对对于于任任意意正正数数关于辛钦定理的说明关于辛钦定理的说明:
15、(1)不要求方差存在不要求方差存在;(2)贝努利定理是辛钦定理的特殊情况贝努利定理是辛钦定理的特殊情况.辛钦资料辛钦资料定理（定理（辛钦定律辛钦定律）三、典型例题?2111210,22221理理问是否满足契比雪夫定问是否满足契比雪夫定具有如下分布律：具有如下分布律：相互独立相互独立设随机变量设随机变量nnnPnanaXXXXnn 解解 独立性依题意可知独立性依题意可知,检验是否具有数学期望？检验是否具有数学期望？)(nXE222n21na)n11(0n21na ,0 例例1说明每一个随机变量都有数学期望说明每一个随机变量都有数学期望,检验是否具有有限方差？检验是否具有有限方差？22222221
16、1121)(0)(nnnPnanaXn )(2nXE22221)(2anna )(nXD22)()(nnXEXE,2a 说明离散型随机变量有有限方差说明离散型随机变量有有限方差,故满足契比雪夫定理的条件故满足契比雪夫定理的条件.有有意正数意正数证明对任证明对任且且独立同分布独立同分布设随机变量设随机变量 ,2,1,)(,0)(,221 kXDXEXXXkkn解解.11lim212 nkknXnP是相互独立的，是相互独立的，因为因为,21nXXX也是相互独立的，也是相互独立的，所以所以,22221nXXX,0)(kXE由由22)()()(kkkXEXDXE 得得,2 由由辛钦定理辛钦定理知知有有
17、对于任意正数对于任意正数,.11lim212 nkknXnP例例2例例3.)1(2)(,)(,21221依依概概率率收收敛敛到到均均存存在在，证证明明量量序序列列，是是独独立立同同分分布布的的随随机机变变设设iiniiniXnnYXDXEXXXiX)1n(n2E)Y(En1iin 因因为为证证明明 n1ii)X(iE)1n(n2 n1ii)1n(n2)X(Di)1n(n4)Y(Dn1ii222n n1i2222i)1n(n4)1n(n3)1n2(2)1n(n6)1n2)(1n(n42222 ，由切比谢夫不等式得，由切比谢夫不等式得从而对任意给定的从而对任意给定的0 2nn)Y(D|Y|P0 )
18、n(0)1n(n3)1n2(222 .PnY因此因此伯努利资料Jacob BernoulliBorn:27 Dec 1654 in Basel,SwitzerlandDied:16 Aug 1705 in Basel,Switzerland契比雪夫资料Pafnuty ChebyshevBorn:16 May 1821 in Okatovo,RussiaDied:8 Dec 1894 in St Petersburg,Russia辛钦资料Aleksandr Yakovlevich KhinchinBorn:19 July 1894 in Kondrovo,Kaluzhskaya guberniy
19、a,RussiaDied:18 Nov 1959 in Moscow,USSR二、中心极限定理二、中心极限定理定理（定理（林德贝格林德贝格-列维列维中心极限定理中心极限定理）则随机变量之和的则随机变量之和的和方差：和方差：且具有数学期望且具有数学期望同一分布同一分布服从服从相互独立相互独立设随机变量设随机变量),2,1(0)(,)(,221 kXDXEXXXkkn nkknkknkknXDXEXY111标准化变量标准化变量 nnXnkk 1 xnnXPxFxxFnkknnnn 1lim)(lim)(满足满足对于任意对于任意的分布函数的分布函数定理表明定理表明:.,数数标准正态分布的分布函标准正
20、态分布的分布函的分布函数收敛于的分布函数收敛于随机变量序列随机变量序列当当nYn xtxte).(d2122 122221,(),()0(1,2,),nkkkknnkkXXXE XD XkBniii=1设随机变量相互独立 它们具有数学期望和方差：记若每个X 对总和的X 影响不大李雅普诺夫李雅普诺夫定理定理(李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理)则随机变量之和的标准化变量则随机变量之和的标准化变量 nkknkknkknXDXEXZ111nnkknkkBX 11 满足满足对于任意对于任意的分布函数的分布函数xxFn)(lim)(lim11xBXPxFnnkknkknnn xtxte).(d2122 定理表
21、明定理表明:.,121近似地服从正态分布近似地服从正态分布很大时很大时当当那么它们的和那么它们的和只要满足定理的条件只要满足定理的条件分布分布服从什么服从什么无论各个随机变量无论各个随机变量nXXXXnkkn xtnnnxtexpnpnpPxppnn).(d21)1(lim,)10(,),2,1(22 恒有恒有对于任意对于任意则则的二项分布的二项分布服从参数为服从参数为设随机变量设随机变量证明证明,1 nkknX 分布律为分布律为分布的随机变量分布的随机变量一一是相互独立的、服从同是相互独立的、服从同其中其中,)10(,21nXXX.1,0,)1(1 ippiXPiik德莫佛德莫佛拉普拉斯拉普
22、拉斯定理定理(德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理)令令,)(pXEk),2,1()1()(nkppXDk 根据根据(林林-列列)定理得定理得 xpnpnpPnn)1(lim xpnpnpXPnkkn)1(lim1 xtxte).(d2122 定理表明定理表明:正态分布是二项分布的极限分布正态分布是二项分布的极限分布,当当n充分大充分大时时,可以利用该定理来计算二项分布的概率可以利用该定理来计算二项分布的概率.下面的图形表明下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近正态分布是二项分布的逼近.中心极限定理的意义中心极限定理的意义 在后面的课程中，我们还将经常用到中心在后面的课程中，我们还将经常用到
23、中心极限定理极限定理.中心极限定理是概率论中最著名的结果中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实线这一值得注意的事实.三、典型例题.,),(,),(的的近近似似值值求求记记上上服服从从均均匀匀分分布布且且都都在在区区间间机机变变量量设设它它们们是是相相互互独独立立的的随随个个噪噪声声电电压压一一加加法法器器同同时时收收到到105VPVV1002021kV2
24、0201kkk 解解,5)(kVE).20,2,1(12100)(kVDk由定理由定理4.6,随机变量随机变量Z近似服从正态分布近似服从正态分布N(0,1),例例12012100520201 kkVZ2012100520 V其中其中 105VP20121005201052012100520 VP387.02012100520 VP387.020121001001 VP 387.02d2112tet)387.0(1 .348.0 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行,已知每遭受一次海浪已知每遭受一次海浪的冲击的冲击,纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率为的概率为1/3,若船舶遭受若船舶遭受了了900
25、00次波浪冲击次波浪冲击,问其中有问其中有2950030500次纵次纵摇角大于摇角大于 3 的概率是多少？的概率是多少？解解 将船舶每遭受一次海将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的并假设各次试验是独立的,在在90000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为X,则则X是一个随机变量是一个随机变量,).31,90000(bX且且例例2所求概率为所求概率为3050029500 XPkkkk 900003050029501323190000分布律为分布律为kXP kkk 90000323190000.90000,1 k直接计算很
26、麻烦，利用直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理3050029500 XP )1(30500)1()1(29500pnpnppnpnpXpnpnpP )1(30500)1(295002221pnpnppnpnpdtet )1(29500)1(30500pnpnppnpnp ,31,90000 pn3050029500 XP 225225 .9995.0 李雅普诺夫资料Aleksandr Mikhailovich LyapunovBorn:6 June 1857 in Yaroslavl,RussiaDied:3 Nov 1918 in Odessa,Russia德莫佛资料Abraham de MoivreBorn:26 May 1667 in Vitry(near Paris),FranceDied:27 Nov 1754 in London,England拉普拉斯资料Pierre-Simon LaplaceBorn:23 March 1749 in Beaumont-en-Auge,Normandy,FranceDied:5 March 1827 in Paris,France
