1、第一章 立体几何初步4空间空间图形图形的基的基本关本关系与系与公理公理理解教材新知把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二考点一考点二考点三第一课时 空间图形基本关系的认识与公理1-3知识点三 空间几何体各式各样、千姿百态，如何认识和把握空间几何体各式各样、千姿百态，如何认识和把握它们呢？一般的方法是，从构成几何体的基本元素它们呢？一般的方法是，从构成几何体的基本元素点、点、直线和平面入手，研究它们的性质以及相互之间的位置关直线和平面入手，研究它们的性质以及相互之间的位置关系，由整体到局部，由局部再到整体，逐步认识空间几何系，由整体到局部，由局部再到整体，逐步认识空间几何体的性质长方体是我们非
2、常熟悉的几何体，观察长方体体的性质长方体是我们非常熟悉的几何体，观察长方体的的8个顶点，个顶点，12条棱和条棱和6个面的关系个面的关系 问题问题1：长方体的一个顶点与：长方体的一个顶点与12条棱和条棱和6个面有几种个面有几种位置关系？位置关系？提示：提示：顶点与棱所在直线的关系是在棱上，不在棱顶点与棱所在直线的关系是在棱上，不在棱上；顶点和六个面的关系是在面内，在面外上；顶点和六个面的关系是在面内，在面外 问题问题2：12条棱中，棱与棱有几种位置关系？条棱中，棱与棱有几种位置关系？提示：提示：相交，平行，既不平行也不相交相交，平行，既不平行也不相交 问题问题3：棱所在直线与面之间有几种位置关系
3、？：棱所在直线与面之间有几种位置关系？提示：提示：棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交棱所在直线与平面相交 问题问题4：六个面之间有哪几种位置关系呢？：六个面之间有哪几种位置关系呢？提示：提示：平行和相交平行和相交直线上直线上直线外直线外平面内平面内平面外平面外2空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系位置关系位置关系定义定义相交直线相交直线 在同一平面内在同一平面内 公共点公共点平行直线平行直线 在同一个平面内在同一个平面内 公共点公共点异面直线异面直线 不同在不同在 一个平面内一个平面内只有一个只有一个没有没有任何任何3直线与平面的位
4、置关系直线与平面的位置关系位置关系位置关系定义定义直线在平面内直线在平面内直线和平面有直线和平面有 公共点公共点直线与平面相交直线与平面相交 直线和平面直线和平面 公共点公共点直线与平面平行直线与平面平行 直线和平面直线和平面 公共点公共点无数个无数个只有一个只有一个没有没有4平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系平行平面平行平面 的两个平面的两个平面相交平面相交平面 ，但，但 的两个平面的两个平面没有公共点没有公共点不重合不重合有公共点有公共点 在生产、生活中，人们经过长期观察与实践，得到一在生产、生活中，人们经过长期观察与实践，得到一些不需证明同时也无法证明的客观规律我们称之为公理些不需
5、证明同时也无法证明的客观规律我们称之为公理 问题问题1：一把直尺两端放在桌面上，直尺在桌面上吗？：一把直尺两端放在桌面上，直尺在桌面上吗？提示：提示：直尺在平面上直尺在平面上 问题问题2：教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有：教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规律？什么规律？提示：提示：这些公共点在同一直线上这些公共点在同一直线上 问题问题3：照相机支架只有三个脚支撑，为什么？：照相机支架只有三个脚支撑，为什么？提示：提示：不在同一直线上的三点确定一个平面不在同一直线上的三点确定一个平面空间图形的公理空间图形的公理文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言公理公理1如果一条直线
6、上的如果一条直线上的 在在一个平面内，那么这条直一个平面内，那么这条直线上线上 都在这个都在这个平面内平面内(即直线即直线 )若若Al，Bl，A，B，则，则AB两点两点所有的点所有的点在平面内在平面内公理公理2经过经过 上上的三点的三点 ，一个平面一个平面(即可以确即可以确定一个平面定一个平面)若若A、B、C三点三点不共线，则存在不共线，则存在唯一一个平面唯一一个平面使使A，B，C不在同一直线不在同一直线有且只有有且只有文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言公理公理3如果两个不重合的平如果两个不重合的平面面 ，那么它们那么它们一条通过这个点的公一条通过这个点的公共直线共直线若若A，A
7、，且且与与不重合，不重合，则则l，且，且Al.有一个公共点有一个公共点有且只有有且只有文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言 问题问题1：把一张长方形的纸对折两次，打开以后，这：把一张长方形的纸对折两次，打开以后，这些折痕之间有什么关系呢？些折痕之间有什么关系呢？提示：提示：平行平行 问题问题2：在空间中有两条直线都与第三条直线平行，：在空间中有两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行吗？那么这两条直线互相平行吗？提示：提示：平行平行 问题问题3：在平面上，：在平面上，“如果一个角的两边和另一个如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补角的两边分别平行
8、，那么这两个角相等或互补”那么那么在空间中，结论是否仍然成立呢？在空间中，结论是否仍然成立呢？提示：提示：在空间中，该结论仍成立在空间中，该结论仍成立1公理公理4图形语言图形语言符号语言符号语言平行于同一条直线的两平行于同一条直线的两条直线条直线若若ab，bc，则则平行平行ac 2.等角定理等角定理 空间中，如果两个角的两条边分别空间中，如果两个角的两条边分别 ，那，那么这两个角么这两个角 对应平行对应平行相等或互补相等或互补 1.在空间中，点看作元素，直线和平面看作点在空间中，点看作元素，直线和平面看作点的集合，点与直线、平面，直线与直线，线面及面的集合，点与直线、平面，直线与直线，线面及面
9、面之间的位置关系是空间中最基本的位置关系面之间的位置关系是空间中最基本的位置关系.2.公理公理1，2，3，4是在生活实际中，人们对经是在生活实际中，人们对经验和客观实际的总结验和客观实际的总结.公理公理1的主要作用是判断直线是否在平面内；的主要作用是判断直线是否在平面内；公理公理2的主要作用是论证共面问题；公理的主要作用是论证共面问题；公理3是判断两是判断两平面是否相交的重要依据；公理平面是否相交的重要依据；公理4是论证两直线平行是论证两直线平行的重要依据的重要依据.例例1如果如果a，b，laA，lbB，l，那么那么与与的位置关系是的位置关系是_ 思路点拨思路点拨把简单语言翻译成图形语言，作出
10、判断把简单语言翻译成图形语言，作出判断 精解详析精解详析如图，如图，l上有两点上有两点A、B在在内，根据公理内，根据公理1，l，又，又l，则则l.一点通一点通1.判断空间直线、平面之间的位置关系要判断空间直线、平面之间的位置关系要善于根据题意画出示意图，充分发挥空间想象能力，再对善于根据题意画出示意图，充分发挥空间想象能力，再对位置关系做出判断位置关系做出判断 2对于异面直线，它们对于异面直线，它们“不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内”，也指永远不具备确定平面的条件也指永远不具备确定平面的条件“分别位于两个平面内的分别位于两个平面内的直线直线”不一定是异面直线，它们可能平行，也可能相交不
11、一定是异面直线，它们可能平行，也可能相交1如图，正方体如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱的棱BB1和和 BC的中点分别是的中点分别是E、F，各棱所在的直线中，各棱所在的直线中 与直线与直线EF异面的条数是异面的条数是 ()A4 B6C8 D10解析：法一：解析：法一：与与EF异面的直线，有异面的直线，有AD，A1D1，AA1，DD1，AB，CD，A1B1，D1C1，共，共8条条法二：法二：正方体的正方体的12条棱中有条棱中有4条条BB1，BC，CC1，B1C1与与EF共面，其余共面，其余8条都与条都与EF异面异面答案：答案：C2如图所示的长方体中，试指出：如图所示的长方体中，试指出：(1
12、)与平面与平面ABCD平行的平面平行的平面_；(2)与与AD平行的平面平行的平面_；(3)与与AD相交的平面相交的平面_；(4)与与AD异面的直线异面的直线_答案：答案：(1)平面平面A1B1C1D1；(2)平面平面BCC1B1与平面与平面A1B1C1D1；(3)平面平面ABB1A1与平面与平面DCC1D1；(4)BB1，CC1，A1B1，C1D1.例例2证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内内 思路点拨思路点拨先选取两条直线确定一个平面，然后证明其先选取两条直线确定一个平面，然后证明其他直线都在这个平面内他直线都在这个平面内 精解详析精解详析已知：
13、如图所示，已知：如图所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C.求证：直线求证：直线l1、l2、l3在同一平面内在同一平面内 证明证明法一：法一：l1l2A，l1和和l2确定一个平面确定一个平面.l2l3B，Bl2.又又l2 ，B.同理可证同理可证C.又又Bl3，Cl3，l3 .直线直线l1、l2、l3在同一平面内在同一平面内 法二：法二：l1l2A，l1、l2确定一个平面确定一个平面.l2l3B，l2、l3确定一个平面确定一个平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可证同理可证B，B，C，C.不共线的三个点不共线的三个点A、B、C既在平面既在平面内，又在平面内，又在平面内内平面平面和和重
14、合，即直线重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内在同一平面内 一点通一点通 证明点、线共面问题的常用方法证明点、线共面问题的常用方法 (1)由其中某些点、线确定一个平面，再证明其余的由其中某些点、线确定一个平面，再证明其余的点、线都在这个平面内点、线都在这个平面内 (2)证明某些点、线在证明某些点、线在内，其余点、线在内，其余点、线在内，再证内，再证明这两个平面重合明这两个平面重合3若点若点M在直线在直线a上，上，a在平面在平面内，则内，则M、间的关系间的关系 为为_ 解析：解析：Ma，a，M.答案：答案：M4下列表述中正确的是下列表述中正确的是 ()A空间三点可以确定一个平面空间三点可以确
15、定一个平面 B三角形一定是平面图形三角形一定是平面图形 C若若A、B、C、D既在平面既在平面内，又在平面内，又在平面内，则内，则 平面平面和平面和平面重合重合 D四条边都相等的四边形是平面图形四条边都相等的四边形是平面图形 解析：解析：A、C、D不正确，不正确，B正确正确 答案：答案：B5求证：如果一条直线和两条平行直线相交，那么这求证：如果一条直线和两条平行直线相交，那么这 三条直线共面三条直线共面已知：已知：acA，bcB，ab.求证：直线求证：直线a，b，c共面共面证明：证明：如图所示，如图所示，ab，直线直线a，b确定一平面确定一平面.acA，a，A.同理可证同理可证B.又又Ac，Bc
16、，c.直线直线a，b，c共面共面.例例3已知已知ABC在平面在平面外，它的三边外，它的三边所在的直线分别交平面所在的直线分别交平面于于P、Q、R(如图如图)，求证：求证：P、Q、R三点共线三点共线 思路点拨思路点拨解答本题可以先选两点确定一条直线，解答本题可以先选两点确定一条直线，再证明第三点也在这条直线上再证明第三点也在这条直线上 精解详析精解详析证明：法一：证明：法一：ABP，PAB，P平面平面.又又AB平面平面ABC，P平面平面ABC.由公理由公理3可知，可知，点点P在平面在平面ABC与平面与平面的交线上，同理可证的交线上，同理可证Q、R也在平面也在平面ABC与平面与平面的交线上的交线上
17、 P、Q、R三点共线三点共线法二：法二：APARA，直线直线AP与直线与直线AR确定平面确定平面APR.又又ABP，ACR，平面平面APR平面平面PR.B平面平面APR.C平面平面APR，BC平面平面APR.又又Q直线直线BC，Q平面平面APR，又，又Q，QPR.P、Q、R三点共线三点共线 一点通一点通 1.证明三线共点问题的方法主要是：先确定两条直线证明三线共点问题的方法主要是：先确定两条直线交于一点，再证明该点是这两条直线所在平面的公共点，交于一点，再证明该点是这两条直线所在平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线第三条直线是这两个平面的交线 2证明多点共线主要采用如下两种方法：一是首先
18、证明多点共线主要采用如下两种方法：一是首先确定两个平面，然后证明这些点是这两个平面的公共点，确定两个平面，然后证明这些点是这两个平面的公共点，再根据公理再根据公理3，这些点都在这两个平面的交线上；二是选，这些点都在这两个平面的交线上；二是选择其中两点确定一条直线，然后再证明其他的点都在这条择其中两点确定一条直线，然后再证明其他的点都在这条直线上直线上6如图所示，在正方体如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1 中，记中，记B1D与平面与平面A1BCD1交于点交于点Q，则，则B、Q、D1三点必共线，为什么？三点必共线，为什么？解：解：如图，连接如图，连接B1D1、BD.B1D1BD，B1D1、
19、BD确定平面确定平面B1BDD1，交，交平面平面A1BCD1于于BD1.QB1D，Q平面平面B1BDD1.又又Q平面平面A1BCD1，而平面，而平面A1BCD1平面平面B1BDD1BD1，点点Q必在必在BD1上，上，B、Q、D1三点必共线三点必共线7如图，已知空间四边形如图，已知空间四边形ABCD中，中，E，F分别是分别是AB，AD的中点，的中点，G，H分别分别 是是BC，CD上的点，且上的点，且BG GC DH HC2 1.求证：直线求证：直线EG，FH，AC交于同一点交于同一点P.四边形四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必相交，设是梯形，其两腰所在直线必相交，设两腰两腰EG，FH所在直线
20、相交于一点所在直线相交于一点P.EG平面平面ABC，FH平面平面ACD，P平面平面ABC，P平面平面ACD.又平面又平面ABC平面平面ACDAC，PAC，直线直线EG，FH，AC相交于同一点相交于同一点P.公理公理1，公理，公理2，公理，公理3都是判定点、线、面位置都是判定点、线、面位置关系的依据公理关系的依据公理1的作用是证明直线在平面内，公理的作用是证明直线在平面内，公理2是确定平面的依据，由公理是确定平面的依据，由公理1和公理和公理2可解决点、线可解决点、线共面的证明问题，公理共面的证明问题，公理3是判定两个平面相交的依据，是判定两个平面相交的依据，同时也可用来证明点共线或三条线交于一点的问题同时也可用来证明点共线或三条线交于一点的问题
