1、2022-12-16 Down UpMainReturn一、一、设计步骤设计步骤 1、按照实际任务确定滤波器的性能要求；、按照实际任务确定滤波器的性能要求；2、用一个因果稳定的系统函数去逼近这一要求、用一个因果稳定的系统函数去逼近这一要求 （IIR、FIR两类系统）；两类系统）；3、利用有限精度算法来实现这个系统函数、利用有限精度算法来实现这个系统函数 （选择运算结构，选择合适字长，选择有效的（选择运算结构，选择合适字长，选择有效的 数字处理方法）；数字处理方法）；4、实际的技术实现（软件、硬件或二者结合）。、实际的技术实现（软件、硬件或二者结合）。2022-12-16 Down UpMain
2、Return二、二、设计方法设计方法 H(z)的设计就是要确定零、极的设计就是要确定零、极点点ci、di，以使滤波器满足给定，以使滤波器满足给定的性能要求。的性能要求。NiiMiizdzcAzH1111)1()1()(1、零极点位置累试法零极点位置累试法根据根据H(z)在单位圆内的极点处出现峰值，在零点处出现谷值在单位圆内的极点处出现峰值，在零点处出现谷值的特点，通过多次改变零极点位置来达到性能要求；（只适的特点，通过多次改变零极点位置来达到性能要求；（只适用于简单的滤波器设计）用于简单的滤波器设计）2、用、用模拟滤波器模拟滤波器的理论来的理论来设计数字滤波器设计数字滤波器；3、用、用优化技术
3、设计优化技术设计2022-12-16 Down UpMainReturn 利用利用模拟滤波器来设计数字滤波器模拟滤波器来设计数字滤波器要先根据给出的性能要先根据给出的性能指标设计出相应的模拟滤波器系统函数指标设计出相应的模拟滤波器系统函数Ha(s)，然后由，然后由Ha(s)经变换得到所需的数字滤波器的系统函数经变换得到所需的数字滤波器的系统函数H(z)。时域变换法有：时域变换法有：冲激响应不变法冲激响应不变法、阶跃响应不变法、匹、阶跃响应不变法、匹配配z变换法；变换法；频域变换法有：频域变换法有：双线性变换法双线性变换法、微分映照法、微分映照法三、三、设计原理设计原理2022-12-16 Do
4、wn UpMainReturn 数字仿真就是要设计出数字滤波器数字仿真就是要设计出数字滤波器Ld，当其输入为模拟滤，当其输入为模拟滤波器波器La输入输入x(t)取样时，输出也为取样时，输出也为La输出输出y(t)的取样。的取样。t0 x(t)y(t)t0t0ha(t)取样取样取样取样Ldx(n)y(n)Lax(t)y(t)n0 x(n)=x(nT)Tn0h(n)Ty(n)=y(nT)n0T2022-12-16 Down UpMainReturn dwdhtxthtxtyaa00)()()()()()()()()(ahtxwy(t)为曲线与坐标轴间面积，为曲线与坐标轴间面积，当当T足够小时足够小
5、时，可近似计算，可近似计算w()0 0T )()2()()0()(kTwTwTwwTty下面从下面从时域时域与与频域频域两方面分析实现两方面分析实现数字仿真的条件数字仿真的条件一、一、时域的数字仿真时域的数字仿真 设有一模拟滤波器（线性非移变的因果系统），设有一模拟滤波器（线性非移变的因果系统），x(t)与与y(t)关系为关系为)()()()()0()(kThkTtxthTtxhtxTaaa)()(0kThkTtxTak 2022-12-16 Down UpMainReturn)()()(0kThkTnTxTnTyak 结论：结论：当数字滤波器当数字滤波器Ld的冲激响应的冲激响应h(n)=Th
6、a(nT)时，如果输入时，如果输入为为La的输入的输入x(t)的取样的取样x(nT)时，输出为时，输出为La的输出的输出y(t)的取样的取样y(nT)，即，即Ld是此是此La的数字仿真。的数字仿真。时域仿真条件：时域仿真条件：h(n)=Tha(nT)，称为冲激称为冲激(脉冲脉冲)响应不变准则。响应不变准则。令令 h(k)=Tha(kT)令令x(n)=x(nT)即对输入取样即对输入取样又有当数字滤波器的又有当数字滤波器的输入为输入为x(n)时，时，y(n)有有 0)()()()()(kknxkhnhnxnyy(n)=y(nT)现对输出现对输出y(t)抽样，令抽样，令t=nT代入上式代入上式 0)
7、()(kkhkTnTx 0)()(kknxkh2022-12-16 Down UpMainReturn nsaanXTX)(1)()()()(TjjaeXeXX njnjenxeX)()(nsajnnnXTenx)(1)(nsajnnnXenTx)()(二、二、频域的数字仿真频域的数字仿真 取样信号的频谱取样信号的频谱Xa()是原模拟信号的频谱是原模拟信号的频谱Xa()的的周期延拓。周期延拓。s=2p p/T Xa()是取样信号是取样信号xa(nT)的频谱，也即是离的频谱，也即是离散信号散信号 x(n)=xa(nT)的傅氏变换。的傅氏变换。2022-12-16 Down UpMainRetur
8、n nsajnnanHenTTh)()(令令h(n)=Tha(nT)，并以，并以 H(ej)表示表示h(n)的频谱，则的频谱，则 nsajnnjnHenheH)()()(因此，数字滤波器因此，数字滤波器Ld的频率的频率 H(ej)是其所仿真的模拟滤波是其所仿真的模拟滤波器器La的频响的频响 Ha()的周期延拓。的周期延拓。ha(t)也是一模拟信号，对其取样即有也是一模拟信号，对其取样即有)e(HTj s/2 s/2 s/2 s/2Ha()2022-12-16 Down UpMainReturn结论结论：频域数字仿真条件：当：频域数字仿真条件：当|s/2=p p/T时，时，Ha()=0 s/2
9、s/2Ha()e(HTj s/2 s/2如上图，如果如上图，如果 Ha()在在 s/2 s/2之外为零，则在此区间内之外为零，则在此区间内H(ej)与与Ha()完全一致，否则完全一致，否则H(ej)将产生混叠失真。将产生混叠失真。2022-12-16 Down UpMainReturn综上所述：综上所述：若有一个脉冲响应为若有一个脉冲响应为ha(t)，频率响应为，频率响应为Ha()的模拟的模拟滤波器，滤波器，当当|m时，时，Ha()=0，则可得到一个与之仿真的数，则可得到一个与之仿真的数字滤波器；字滤波器；其脉冲响应为其脉冲响应为h(n)=Tha(nT)，抽样周期满足，抽样周期满足 s=2p
10、p/T2 m；频率响应为频率响应为H(ej)，是，是 Ha()的周期延拓，且在的周期延拓，且在 s/2 s/2 区间内与区间内与Ha()完全一致。完全一致。2022-12-16 Down UpMainReturn NiiMkkassssAsH11)()()(NiiiMkkkasbsasH00)(因式分解因式分解 有了刚才的基础（数字仿真），如何在给定模拟滤波有了刚才的基础（数字仿真），如何在给定模拟滤波器系统函数器系统函数Ha(s)的情况下，求出数字滤波器系统函数的情况下，求出数字滤波器系统函数H(z)。Ha(s)是模拟滤波器冲激响应的拉氏变换是模拟滤波器冲激响应的拉氏变换一、一、设计方法设计
11、方法 模拟滤波器系统函数模拟滤波器系统函数且一般且一般MN2022-12-16 Down UpMainReturn将两边取拉氏反变换将两边取拉氏反变换 NiiiassAsH1)(NitsiaatueAsHLthi11)()()(对对ha(t)取样，周期为取样，周期为T由冲激响应不变准则由冲激响应不变准则 h(n)=Tha(nT)，得到得到上式两边取上式两边取z变换，得到变换，得到H(z)NinTsianTueAnThi1)()(NinTsianTueATnTThnhi1)()()(nNinTsinznTueATi 1)(化为部分分式合形式化为部分分式合形式nnznhzH )()(2022-12
12、-16 Down UpMainReturn NinTsnizeATzHi110)()(NiTsiNiTsizeATezzATzHii1111)(（收敛条件，且（收敛条件，且|esiTz-1|esiT|）（式（式 6.1）NiiiassAsH1)(可看到二者各部分分式系数相同，可看到二者各部分分式系数相同，H(z)各极点各极点esiT 与与Ha(s)各极各极点点si对应。对应。因此，只要将模拟滤波器的系统函数因此，只要将模拟滤波器的系统函数Ha(s)分解成部分分式和形分解成部分分式和形式，就能立即写出相应的数字滤波器的系统函数式，就能立即写出相应的数字滤波器的系统函数H(z)。交换求和顺序交换求
13、和顺序比较比较Ha(s)与与H(z)2022-12-16 Down UpMainReturn342)(2 sssHa解：解：342)(2 sssHa模拟滤波器极点模拟滤波器极点 s1=-1 s2=-3；系数；系数 A1=1 A2=-1数字滤波器极点数字滤波器极点 z1=e-1T z2=e-3T则有则有13111111)(zezezH2110183.04177.01318.0)(zzzzH例例6-3-1：设模拟滤波器的系统函数为：设模拟滤波器的系统函数为试利用冲激响应不变法设计试利用冲激响应不变法设计IIR数字滤波器。（设数字滤波器。（设T=1）3111 ss24131131)(1)(zezee
14、zee特性图特性图2022-12-16 Down UpMainReturn p p/T|Ha(j)|2p p/T p p|H(ej)|2p p由于由于Ha(j)不是充分带限的，所以造成不是充分带限的，所以造成H(ej)产生了混叠失真产生了混叠失真二、二、S平面与平面与Z平面的映射关系平面的映射关系在比较在比较Ha(s)的极点与的极点与H(z)的极点时，可知二者对应关系为的极点时，可知二者对应关系为zi=esiT，将极点映射关系推广，可得到，将极点映射关系推广，可得到z=esT。即。即z平面与平面与s平平面映射关系。面映射关系。特性图特性图2022-12-16 Down UpMainReturn
15、1、g g与与s s关系关系 g g=es sT s s=0（s的虚轴）的虚轴）对应于对应于 g g=1（单位圆上）（单位圆上）s s0（s的左半平面）对应于的左半平面）对应于 g g0（s的右半平面）对应于的右半平面）对应于 g g1（单位圆外部）（单位圆外部）Im(z)z平面平面Re(z)01js平面平面0令令z=g gej（极坐标）（极坐标）s=s s+j（复坐标），代入式（复坐标），代入式 z=esT故有故有 g g=es sT =T；即可知即可知z平面的模和幅角与平面的模和幅角与s平面实部与虚部的关系。平面实部与虚部的关系。2022-12-16 Down UpMainReturnp
16、p/T-p p/Tp p/2T-p p/2Tj s ss平面平面0Im(z)z平面平面Re(z)0p p/2当当 由由p p/T和和-p p/T 分别向外扩展时，每一宽度为分别向外扩展时，每一宽度为 2p p/T的区域的区域重复地映射到重复地映射到z 平面上。（多值映射造成混叠的原因）平面上。（多值映射造成混叠的原因）2、与与 的关系的关系 =T =0（s 平面实轴）对应于平面实轴）对应于 =0（z平面正实轴）平面正实轴）=0（常数）（常数）（s平行于实轴的直线）平行于实轴的直线）对应于对应于=0T(z平面始于原点轴角为平面始于原点轴角为 的射线的射线)例如当例如当=p p/2T时，时，=p
17、p/2，射线与纵轴重合，射线与纵轴重合2022-12-16 Down UpMainReturnIm(z)z平面平面Re(z)01js平面平面0/T-/T/2T-/2T模拟滤波器系统函数模拟滤波器系统函数Ha(s)的极点都在的极点都在s平面平面左半侧左半侧时，系统时，系统稳定正好映射为相应的数字滤波器系统函数稳定正好映射为相应的数字滤波器系统函数H(z)的极点在的极点在单单位圆内位圆内，与稳定条件相吻合。，与稳定条件相吻合。将二者关系合并将二者关系合并2022-12-16 Down UpMainReturn三、三、特点特点优点优点：由于是根据：由于是根据h(n)=Tha(nT)进行设计，保持了模
18、进行设计，保持了模拟滤波器的时域瞬态特性；拟滤波器的时域瞬态特性；数字滤波器频率数字滤波器频率 与模拟滤波器频率与模拟滤波器频率 之间呈线性关之间呈线性关系，系，=T，不会发生线性失真；，不会发生线性失真；缺点缺点：如果：如果Ha()不是在不是在-p p/Tp p/T 严格带限，则会严格带限，则会产生混叠失真。实际上，任何一个模拟滤波器其频产生混叠失真。实际上，任何一个模拟滤波器其频响不可能是真正限带的，但只要在响不可能是真正限带的，但只要在p p/T以上锐减，保以上锐减，保证其混叠失真足够小，仍能满足工程实际需要；证其混叠失真足够小，仍能满足工程实际需要；此法此法不能设计高通和带阻不能设计高
19、通和带阻滤波器。滤波器。2022-12-16 Down UpMainReturn 它是为克服混叠失真即多值映射这一缺点而提出的它是为克服混叠失真即多值映射这一缺点而提出的一、一、变换原理变换原理 首先把整个首先把整个s平面压缩到某一中介平面（平面压缩到某一中介平面（s1平面的）一条横平面的）一条横带里（宽度为带里（宽度为2/T，从，从-/T/T）再由标准变换关系）再由标准变换关系z=es1T，将此横带变换到整个，将此横带变换到整个z平面上，这样使平面上，这样使s平面与平面与z平平面是一一对应关系，可消除混叠失真。面是一一对应关系，可消除混叠失真。2022-12-16 Down UpMainRe
20、turnc为待定常数为待定常数)2tan(1Tc 这样这样 =变到变到 1=/T，=0 变到变到 1=0，如图，如图js ss平面平面0/T-/T首先将首先将s平面上平面上j轴压缩到轴压缩到s1上上j1轴一段轴一段-/T/T 压缩关系为压缩关系为j1 s s1s1平面平面02022-12-16 Down UpMainReturn)cos()sin()2tan(22111TTcTc 利用欧拉公式展开利用欧拉公式展开TjTjTjTjeeeecj22221111 扩展到整个扩展到整个s平面，令平面，令s=j，s1=j1将将s1按标准关系映射到按标准关系映射到z平面上平面上 z=es1TTsTsTsT
21、seeeecs22221111 j 1 s s1s1平面平面0/T-/TIm(z)z平面平面Re(z)012022-12-16 Down UpMainReturnTsTsTsTsTsTseeceeeecs111111112222 从而得到从而得到或或1111 zzcsscscz 这种变换称为这种变换称为双线性变换双线性变换。以此，给定模拟滤波器系统函数以此，给定模拟滤波器系统函数 Ha(s)，将上式代入，将上式代入，可得到相应的数字滤波器系统函数可得到相应的数字滤波器系统函数 H(z)。1111|)()(zzcsasHzH将将z=es1T代入代入2022-12-16 Down UpMainRe
22、turn 在低频处，为使在低频处，为使1（使模拟滤波器与数字滤波器在低（使模拟滤波器与数字滤波器在低频处有较好的确切的对应关系）频处有较好的确切的对应关系）即当即当1较小时，有较小时，有TT2)2tan(11 TcTc2)2tan(11 11112|)()(zzTsasHzH此时模拟滤波器的低频特性近似等于数字滤波器的低频特性此时模拟滤波器的低频特性近似等于数字滤波器的低频特性 二、二、s平面与平面与z平面映射关系平面映射关系 用用s=s s+j，z=g gej代入代入sTsTz /2/2系数系数c的确定的确定于是于是 则则T2c 2022-12-16 Down UpMainReturn2/1
23、222222)()(s s s s g gTTs s s s TT22arctanarctans s0 右半平面右半平面 g g1 单位圆外单位圆外s s0 左半平面左半平面 g g1 单位圆内单位圆内s s=0 虚轴虚轴 g g=1 单位圆上单位圆上js平面平面0当当 由由-变化时，变化时，由由-p pp p 变变化（单位圆一周）。即化（单位圆一周）。即 与与 一一一一对应，不存在混叠失真。对应，不存在混叠失真。2arctan2T 且有且有2tan2 T或或可求得可求得Im(z)z平面平面Re(z)012022-12-16 Down UpMainReturnssHzHzzTsa 11|)()
24、(11112T=1，则有，则有1131)(zzzH例例6-4-1：已知模拟滤波器：已知模拟滤波器Ha()=1/(1+s)，利用双线性变换法，利用双线性变换法将其转换成数字滤波器将其转换成数字滤波器H(z)。（设。（设T=1）解：解：特性图特性图1111211 zzT2022-12-16 Down UpMainReturn由图知，由图知，Ha(j)不是带限的，有长拖尾，但由于采用双线性变不是带限的，有长拖尾，但由于采用双线性变换法，数字滤波器频率特性换法，数字滤波器频率特性H(ej)没有混叠现象。没有混叠现象。|Ha(j)|/T2/T|H(ej)|2Ha(j)与与H(ej)幅频特性如图幅频特性如
25、图2022-12-16 Down UpMainReturn-0三、三、特点特点1、优点优点：模拟滤波器经过双线性变换后，不存在频率特性的：模拟滤波器经过双线性变换后，不存在频率特性的混叠失真。因而对混叠失真。因而对Ha()无限带要求，且能直接用于设计低无限带要求，且能直接用于设计低通、高通、带通、带阻等各种类型滤波器通、高通、带通、带阻等各种类型滤波器2、缺点缺点：由于映射关系为：由于映射关系为=2arctan(T/2)，当，当 很小时，近很小时，近似呈线性关系，当似呈线性关系，当 增加，变换关系就是非线性的了。会产增加，变换关系就是非线性的了。会产生相频特性失真。生相频特性失真。对于临界频率
26、的影响比较大。对对于临界频率的影响比较大。对于临界频率的变化，可通过频率于临界频率的变化，可通过频率预畸变预畸变来加以校正。来加以校正。临界频率临界频率：介质频率、过渡带边缘频率、起伏峰点、谷点频率等：介质频率、过渡带边缘频率、起伏峰点、谷点频率等2022-12-16 Down UpMainReturn根据此截止频率来设计模拟滤波器最后再转换，得到的数根据此截止频率来设计模拟滤波器最后再转换，得到的数字滤波器的截止频率正好被映射到所需位置上字滤波器的截止频率正好被映射到所需位置上(c)。2tan2 Tc怎样预畸变？怎样预畸变？书例书例6.1(P124)用双线性变换法设计一个三阶用双线性变换法设
27、计一个三阶Butterworth数字低通滤波器，采样频率为数字低通滤波器，采样频率为 fs=1.2KHZ，截止频率为，截止频率为fc=400HZ；数字滤波器截止频率数字滤波器截止频率 c=cT=2p pfc/fs=2p p400/1200=2p p/3用双线性变换法，则相应的模拟滤波器截止频率为用双线性变换法，则相应的模拟滤波器截止频率为ssff323tan2 p p 对数字滤波器相位要求严格时，不宜用此方法。对数字滤波器相位要求严格时，不宜用此方法。2022-12-16 Down UpMainReturn说明说明：各种频率间关系：各种频率间关系1、在考虑数字滤波器的频率特性时，频率变量可用数
28、字角、在考虑数字滤波器的频率特性时，频率变量可用数字角频率频率，也可用模拟角频率，也可用模拟角频率 来表示，来表示，=2p pf（实际情况（实际情况下通常以下通常以f形式给出，单位为形式给出，单位为Hz，具有真正物理意义的，具有真正物理意义的频率变量）频率变量）=T，以以2p p为周期，为周期，以以2p p/T为周期。为周期。（上述关系与设计方法无关）（上述关系与设计方法无关）2、脉冲响应不变法中，变换关系、脉冲响应不变法中，变换关系=T与数字域角频率关与数字域角频率关系系=T一致，即数字模拟角频率正好与模拟滤波器的一致，即数字模拟角频率正好与模拟滤波器的角频率相等。角频率相等。双线性变换法中
29、，变换关系双线性变换法中，变换关系=2arctan(T/2)，指模指模拟滤波器的角频率，并不是数字滤波器的模拟角频率，拟滤波器的角频率，并不是数字滤波器的模拟角频率，在数字域则仍有数字角频率在数字域则仍有数字角频率=T。2022-12-16 Down UpMainReturn 前面讨论给定模拟滤波器系统函数前面讨论给定模拟滤波器系统函数Ha()，求出数字滤，求出数字滤波器系统函数波器系统函数H(z)的方法。本节讨论如何根据数字滤的方法。本节讨论如何根据数字滤波器的性能指标设计模拟滤波器系统函数波器的性能指标设计模拟滤波器系统函数Ha()，使其，使其逼近所需滤波器的性能要求。逼近所需滤波器的性能
30、要求。典型理想滤波器特性典型理想滤波器特性0000低通低通高通高通带通带通带阻带阻2022-12-16 Down UpMainReturn01|Ha(j)|c0.707简绍几种典型的低通滤波器逼近方法简绍几种典型的低通滤波器逼近方法一、一、巴特沃思巴特沃思（Butterworth）低通滤波器的逼近方法）低通滤波器的逼近方法幅频特性如图，在通带与阻带内的幅频响应始终随频率的幅频特性如图，在通带与阻带内的幅频响应始终随频率的增大单调下降，且在通带内增大单调下降，且在通带内 0与阻带内与阻带内 附近附近具有具有最平坦特性最平坦特性。随滤波器的随滤波器的阶次阶次N的的增大增大，幅频响应越，幅频响应越接
31、近理想接近理想。简称简称B型滤波器型滤波器或或BW型滤波器型滤波器)(11|)(|22NcajH 2022-12-16 Down UpMainReturn3dB带宽：带宽：B型滤波器的系统函数型滤波器的系统函数)()()(110 NNcasssssssH（全极点滤波器）（全极点滤波器）21|)(|2 jHadBjHa321lg10|)(|lg102 即在此处平方幅度（功率）下降一半（即在此处平方幅度（功率）下降一半（3dB），称为），称为3dB带宽；带宽；或半功率点的截至频率。或半功率点的截至频率。或或0111)(bsbsbssHNNNNca 而而 当当=c时，时，2022-12-16 Dow
32、n UpMainReturnC型滤波器幅频特性如图，在通带型滤波器幅频特性如图，在通带内幅频响应是等波纹的，在阻带内单内幅频响应是等波纹的，在阻带内单调变化；波纹振动幅度由调变化；波纹振动幅度由e e决定。决定。C型滤波器在阻带内幅频响应是等型滤波器在阻带内幅频响应是等波纹的，在通带内单调变化。波纹的，在通带内单调变化。01|Ha(j)|c)()(2)(11011 e e NNasssssssHC型滤波器的系统函数型滤波器的系统函数（全极点滤波器）（全极点滤波器）二、二、切比雪夫切比雪夫（Chebyshev）低通滤波器的逼近方法）低通滤波器的逼近方法简称简称C型滤波器型滤波器或或CB型滤波器型
33、滤波器2022-12-16 Down UpMainReturn01|Ha(j)|c01|Ha(j)|c01|Ha(j)|c三、三、考尔考尔（Cauer）低通滤波器的逼近方法）低通滤波器的逼近方法 又称又称椭圆型滤波器椭圆型滤波器 椭圆型滤波器幅频特性如图，在通带椭圆型滤波器幅频特性如图，在通带和阻带内幅频响应是等波纹的。和阻带内幅频响应是等波纹的。1、振幅频率特性振幅频率特性 B型在整个频带内都是单调下降的；型在整个频带内都是单调下降的；C型在通带内等波纹振动，在过渡带型在通带内等波纹振动，在过渡带和阻带单调下降；和阻带单调下降；椭圆型除过渡带外，在通带和阻带都椭圆型除过渡带外，在通带和阻带都
34、等波纹振动。等波纹振动。四、三种滤波器的四、三种滤波器的比较比较2022-12-16 Down UpMainReturn01110)(bsbsbsdsHNNNan 例如例如B型滤波器归一化为型滤波器归一化为(当增益为当增益为1时时d0=1)2、过渡带陡度过渡带陡度 椭圆型滤波器最陡，椭圆型滤波器最陡，B型滤波器最差。因此，对于相同要求型滤波器最差。因此，对于相同要求的过渡带特性，所需的滤波器阶次的过渡带特性，所需的滤波器阶次N，椭圆型为最低，椭圆型为最低，B型型为最高。为最高。3、设计的、设计的复杂性复杂性以及滤波器特性对参数变化的以及滤波器特性对参数变化的灵敏度灵敏度。B型滤波器最好，型滤波
35、器最好，C型次之，椭圆型最差。型次之，椭圆型最差。五、归一化原型滤波器设计数据五、归一化原型滤波器设计数据 由于模拟滤波器理论很成熟，一般都有现成的数据表格可查。由于模拟滤波器理论很成熟，一般都有现成的数据表格可查。归一化原型滤波器是指归一化原型滤波器是指 c已经归一化成已经归一化成 c=1的低通滤波器。的低通滤波器。2022-12-16 Down UpMainReturn查表查表6.1得得1221)(23 ssssHan用用s/c代入代入s1)/(2)/(2)/(1)(23 cccassssH3223322)(ccccassssH 系数值见书系数值见书 P136 表，求出表，求出Han(s)
36、后，用后，用s/c代入代入s，即得，即得Ha(s)书例书例6.1用用双线性变换法双线性变换法设计一个三阶设计一个三阶Butterworth数字低通数字低通滤波器，采样频率为滤波器，采样频率为 fs=1.2KHz；截止频率为；截止频率为fc=400Hz2022-12-16 Down UpMainReturn 上节介绍的几种上节介绍的几种模拟滤波器特性的逼近模拟滤波器特性的逼近，都，都是针对是针对低通低通滤波器而言。实际上，有各种类滤波器而言。实际上，有各种类型滤波器（低通、高通、带通、带阻等），型滤波器（低通、高通、带通、带阻等），这些滤波器都可以用这些滤波器都可以用低通原型低通原型滤波器导出。
37、滤波器导出。2022-12-16 Down UpMainReturn模拟低模拟低通原型通原型模拟模拟/模拟模拟频率变换频率变换模拟模拟高通高通带通带阻带通带阻数字数字高通高通带通带阻带通带阻模拟模拟/数字数字变换变换如采用脉冲响应不变法设计，则如采用脉冲响应不变法设计，则不能用于高通与带阻滤波器不能用于高通与带阻滤波器 模拟低模拟低通原型通原型模拟模拟/数字数字变换变换 数字数字低低 通原型通原型数字数字高通高通带通带阻带通带阻数字数字/数字数字频率变换频率变换 有两种方法：有两种方法：2022-12-16 Down UpMainReturn一、模拟域的频率变换一、模拟域的频率变换 将第种方法
38、中的模拟将第种方法中的模拟/数字变换采用双线性变换法，数字变换采用双线性变换法，与频率变换合并讨论。与频率变换合并讨论。（一）模拟低通原型（一）模拟低通原型 数字高通数字高通 0 模拟低通模拟低通c0 模拟高通模拟高通_ c_ 0 数字高通数字高通c2022-12-16 Down UpMainReturnpscc_ s s js_ s s jps为模拟低通原型拉氏变量为模拟低通原型拉氏变量c_ 为与为与c相对应的高通截止频率相对应的高通截止频率若已知模拟低通系统函数可得到模拟高通系统函数若已知模拟低通系统函数可得到模拟高通系统函数psLPHPccsHpH_|)()(由模拟低通由模拟低通 模拟高
39、通的变换模拟高通的变换变换关系变换关系 c为模拟低通截止频率为模拟低通截止频率p为模拟高通原型拉氏变量为模拟高通原型拉氏变量2022-12-16 Down UpMainReturn1111 zzcp代入代入pscc_ 11_11 zzcscccCcc_1 11111 zzC令令11111|)()(zzCsLPHPsHzH由模拟高通由模拟高通 数字高通数字高通采用双线性变换，将采用双线性变换，将此式即为从模拟低通原型滤波器变换成数字高通滤波器的变此式即为从模拟低通原型滤波器变换成数字高通滤波器的变换关系表达式。换关系表达式。则有则有2022-12-16 Down UpMainReturn2tan
40、cc 2cot1 C可导出模拟低通与数字高通频率之间的关系：可导出模拟低通与数字高通频率之间的关系：2tan_ c2tan_ccc 则可知则可知cCcc_1 代入代入 总结总结：由模拟低通原型：由模拟低通原型 数字高通滤波器数字高通滤波器2tan1ccC 11111 zzCs2cot1 C因为双线性变换，模拟高通与数字高通频率之间关系因为双线性变换，模拟高通与数字高通频率之间关系频率变换式频率变换式参量表达式参量表达式2022-12-16 Down UpMainReturn0fc fc dB/|)e(H|lg20j-3-140stfst解：解：求对应的各类数字频率求对应的各类数字频率scccf
41、fT/2p p sstststffT/2p p 例例6-6-1：设计一个巴特沃斯高通滤波器，其通带截止频率设计一个巴特沃斯高通滤波器，其通带截止频率（-3dB点处）为点处）为fc=3kHz，阻带上限截止频率，阻带上限截止频率fst=2kHz，通带衰，通带衰减不大于减不大于3dB，阻带衰减不小于，阻带衰减不小于14dB，抽样频率，抽样频率fs=10kHz，幅频特性如图。幅频特性如图。p p p p 6.01010103233p p p p 4.010101022332022-12-16 Down UpMainReturn3764.126.0tan1 p p 2tan1ccC 求低通原型阻带截止频
42、率求低通原型阻带截止频率 st（预畸变）（预畸变）8944.124.0cot3764.12cot1 p p ststC求阶数求阶数N，按阻带衰减要求，按阻带衰减要求NcjH22)(11|)(|巴特沃斯幅度平方函数巴特沃斯幅度平方函数、2|)(|jH、|)(|jHdBjH/|)(|lg20 三种形式的图如下三种形式的图如下求求C1，采用归一化低通原型滤波器，采用归一化低通原型滤波器，c=12022-12-16 Down UpMainReturn14)(1lg102 Ncst14|)(|lg20 stjH0dB/|)j(H|lg20-3-140stc49.2 N求得求得取取N=3阻带衰减不小于阻带
43、衰减不小于14dB12|)j(H|1/20stc2 01|H(j)|c0.707st14)(11lg10|)(|lg1022 NcststjH2022-12-16 Down UpMainReturn11111|)()(zzCsLPHPsHzH3213210557.04201.05718.01)331(0991.0)(zzzzzzzHHP求数字高通滤波器求数字高通滤波器HHP(z)可得可得3764.11 C1221)(23 ssssHLP查表得，（书查表得，（书P136 表表6.1)归一化三阶巴特沃斯低通原型归一化三阶巴特沃斯低通原型HLP(s)2022-12-16 Down UpMainRet
44、urn)2cot(12 cD21211 zEzzDs sincoscos0D01212cos2)2cos()2cos(2 E0为数字带通中心频率，为数字带通中心频率，1、2为边带截止频率为边带截止频率0 模拟低通模拟低通cst0 数字带通数字带通 1 2 0 st1 st2（二）模拟低通原型（二）模拟低通原型 数字带通数字带通频率变换式频率变换式 参量表达式参量表达式2022-12-16 Down UpMainReturn)2tan(121 cD2112111 zzEzDs01coscossin D012121cos2)2cos()2cos(2 E0为数字带阻中心频率，为数字带阻中心频率，1、
45、2为边带截止频率为边带截止频率0 模拟低通模拟低通cst0 数字带阻数字带阻 1 2 0 st1 st2（三）模拟低通原型（三）模拟低通原型 数字带阻数字带阻频率变换式频率变换式 参量表达式参量表达式2022-12-16 Down UpMainReturn第种方法中，由第种方法中，由模拟低通模拟低通原型原型 数字低通数字低通原型已讲过，原型已讲过，讨论数字低通原型讨论数字低通原型 低通、高通、带通、带阻等各类型。低通、高通、带通、带阻等各类型。模拟低模拟低通原型通原型模拟模拟/数字数字变换变换 数字低数字低 通原型通原型数字高通数字高通带通带阻带通带阻数字数字/数字数字频率变换频率变换 以上为
46、由模拟低通原型滤波器到各种数字滤波器的变换方法，对以上为由模拟低通原型滤波器到各种数字滤波器的变换方法，对于任何形式（直接型、级联、并联等）的模拟滤波器都适用。于任何形式（直接型、级联、并联等）的模拟滤波器都适用。二、数字域的频率变换二、数字域的频率变换2022-12-16 Down UpMainReturn)(11|)()(ZGzLdzHZH对变换函数对变换函数G(Z-1)的要求：的要求：HL(z)为为因果稳定有理系统函数因果稳定有理系统函数，变换成，变换成Hd(Z)必须也必须也是是因果稳定的有理系统函数因果稳定的有理系统函数。假设假设给定数字滤波器的低通原型系统函数为给定数字滤波器的低通原
47、型系统函数为HL(z)，所求的，所求的数字滤波器系统函数为数字滤波器系统函数为Hd(Z)，为了找到变换关系，设为了找到变换关系，设z-1=G(Z-1)，变换函数，变换函数G(Z-1)即为即为HL(z)的的z平面映射到平面映射到Hd(Z)的的Z平面的关系，即有平面的关系，即有2022-12-16 Down UpMainReturn设设q q与与 分别为分别为z平面平面与与Z平面平面的数字频率变量即有的数字频率变量即有z=ejq q，Z=ej z平面平面Re(z)01Im(z)q q Z平面平面Re(Z)01Im(Z)因此：因此：频率响应要满足一定要求，频率轴应能对应起来，频率响应要满足一定要求，
48、频率轴应能对应起来，即即z平面平面的单位圆必须映射到的单位圆必须映射到Z平面平面单位圆上。单位圆上。从因果稳定性上看，从因果稳定性上看，z平面平面单位圆内部必须映射到单位圆内部必须映射到Z平面平面单位圆内部。单位圆内部。G(Z-1)必须是必须是Z-1的有理函数。的有理函数。2022-12-16 Down UpMainReturn)(arg|)(|)(q q jeGjjjjeeGeGe比较幅值与幅角，故有比较幅值与幅角，故有1|)(|jeG)(arg q qjeG式表明函数式表明函数G(Z-1)在在Z平面单位圆上的幅度必须平面单位圆上的幅度必须恒等于恒等于1，这样的函数为全通函数；，这样的函数为
49、全通函数；已有证明，满足上述全部要求的全通函数已有证明，满足上述全部要求的全通函数G(Z-1)为为 p p NkkkjZZeZG11111)(将将z=ej，Z=ej代入代入 z-1=G(Z-1)则映射关系为则映射关系为2022-12-16 Down UpMainReturn p p NkkkjZZeZG11111)(N为全通函数阶数，可证明当为全通函数阶数，可证明当由由0到到时，全通相角时，全通相角argG(e-j)的变化量为的变化量为N，为整数，为整数，k为为G(Z-1)极点，要求极点，要求|k|1，选择合适的选择合适的N与与k，就可得到各类变换关系。，就可得到各类变换关系。（一）（一）数字
50、低通数字低通 数字低通数字低通此时此时HL(ej)与与Hd(ej)都是低通系统函数，只不过截止频都是低通系统函数，只不过截止频率不同率不同p与与p；因而因而 从从0变到变到，相应，相应也应从也应从0变到变到；按全通相角变化量为按全通相角变化量为N，可确定，可确定N=1。2022-12-16 Down UpMainReturnz平面平面A点点z=1，映射到，映射到Z平面平面C点点Z=1，代入上式，代入上式11111)(p p ZZeZGzjz平面平面Re(z)01Im(z)pAB=Z平面平面Re(Z)0Im(Z)CDp1=0 111 p p p pjjee11111)(ZZZGz则则2022-1
