1、1线性代数考研辅导2目目 录录第一部分第一部分 行列式行列式第二部分第二部分 矩阵矩阵第三部分第三部分 向量向量第四部分第四部分 线性方程组线性方程组第五部分第五部分 特征值、特征向量特征值、特征向量第六部分第六部分 实对称矩阵和二次型实对称矩阵和二次型第七部分第七部分 向量空间向量空间历年试题历年试题3第一部分第一部分行行 列列 式式4一 行列式的定义ijn nAa的行列式定义为矩阵121212(,)12,(1)nnni iiiinii iiAa aa5678二 行列式的性质不必会证明，但要会熟练运用。92.上述性质的一些推论(1).如果行列式有一行的元素全为零，则其值为零；(2).如果行列
2、式有两行的元素对应相等，则其值为零；(3).如果行列式有两行的元素对应成比例，则其值为零.103.行列式按行、列展开：114.行列式乘法定理：125.分块矩阵的行列式：A CABO BA OABC B13容易出现的错误 O AABB CA CAB C DD B1415已知 120200561,350350461AB 求31A B。16三 行列式的计算1.分类：按阶数大小分-低阶、高阶；按元素分-数字、字母。2.典型方法：化成低阶行列式；化成三角形行列式。1713 14151618111330211232231419111+11111+11111111xxDxx20123455123445123
3、345122345121nababDabba 2212111111111naaa 其中，每个 均不为零。ia23nabbcabDcca245235235235nD 2526第二部分矩 阵27一 矩阵的代数运算 1.运算规律 28292.应当注意的问题 01010N 问题3031二项式定理。32问题：什么时候成立？33二.可逆矩阵矩阵A可逆的条件(1)A的行列式不为零（非退化）；(2)A秩等于其阶数（满秩）；(3)存在矩阵B，使得AB=E（可逆）；(4)A的特征值均不为零（非奇异）。342.逆矩阵的计算 利用伴随矩阵。利用初等变换。求矩阵的逆矩阵：011230312A353.重要性质，如 363
4、74 伴随矩阵(1).伴随矩阵的定义；383940假设2n，则1*nAA。4142435 矩阵方程化成标准形式的矩阵方程。44La premiere45三 分块矩阵1 块矩阵的乘法规则：假设,ijijs nn tAaBb，111211112121222212221212qrqrpppqqqqrAAABBBAAABBBABAAABBB 111212122212rrppprCCCCCCCCC 其中，1122ijijijiqqjCA BA BA B 46注：47几种常用的分块法：484950515211112112111(,),tnnntnnniiiiitiiiibbABbbbbb 5354假设,A
5、 B C D都是n阶方阵，且A是可逆的，ABMCD。证明：M可逆当且仅当1DCA B是可逆的。5556四 矩阵的秩57585960612矩阵的等价标准形62633.矩阵的运算与秩（1）()()Tr Ar A（2）()()()r ABr Ar B（3）()(),()r ABr A r B（4）()()()s nn tr ABr Ar Bn(5)若s nn tABO，则()()r Ar Bn.64假设n nA满足2AA，证明：()()r Ar EAn。6566假设A是n阶方阵，2n。证明：*()()1()10()1nr Anr Ar Anr An若若若 67684.初等变换与初等矩阵 697071
6、设A为(2)n n 阶可逆矩阵交换A的.第一行与第二行得矩阵B，*,A B分别表示,A B的伴随矩阵，则（）交换*A的第一列与第二列得矩阵*B；（）交换*A的第一行与第二行得矩阵*B；（）交换*A的第一列与第二列得矩阵*B；（）交换*A的第一行与第二行得矩阵*B。72向 量第三部分 73一.概念 线性组合和线性表示；线性相关和线性无关；极大无关组和秩741.线性组合和线性表示7576772.线性相关和线性无关7879803.极大无关组和秩81重要结论:8283La deusieme84二.常用命题注意命题的不同表达形式。85（2）重要命题 1.2s 时，12,s 线性相关存在某个 j使得j可以
7、由其余1s个向量线性表示。2.若12,s 线性无关，12,s 线性相关，则 可以由12,s 线性表示。4.12,s 线性无关12(,)srs。8603年考研题（数学一年考研题（数学一,选择题选择题1,4分）分）本题得分率：61.9%。8788已知向量组321,线性无关，判断下列向量组的线性相关性（1）,211322,133（2）112,223，331 89已知向量组1234,线性无关，则向量组（1）12233441,线性无关；（2）12233441,线性无关；（3）12233441,线性无关；（4）12233441,线性无关。90（3）更多命题：）更多命题：9192已知12,t 可以由12,s
8、 线性表示，且它们有相同的秩。证明：这两个向量组等价。9394简化阶梯形矩阵95以给定向量组为列列向量作一矩阵A用初等行行变换将A化成阶梯形矩阵B找出B中的非零非零首元首元A中与这些非零首元相对应对应的列的列就是所求向量组的极大无关组向量组极大无关组的求法:96第四部分线性方程组 97一.解的存在性、唯一性（1）s nAxb有解()()r Ar Ab；（2）若()()r Ar Abr，则 s nAxb有唯一解rn；（3）若()()r Ar Abrn，则 s nAxb的通解中含有nr个自由未知量。98二.解的结构 齐次线性方程组 s nAx有非零解的充分必要条件是()r Arn。99齐次线性方程
9、组的解的结构100齐次线性方程组的基础解系101重要结论102已 知12,s 是 齐 次 线 性 方 程 组Ax的基础解系，1112221223121sstttttt 问：当12,t t取何值时，12,s 也是Ax的基础解系。1032.非齐次线性方程解的结构 1212s ns nAxbAx(1).若，都是线性方程组的解，则是的解。s ns ns nAxbAxAxb(2).若 是线性方程组的解，是齐次线性 方程组的解,则是的解。12,s ns ns nn rn rAxAxbAxbkkk 12n-r12若是的基础解系,是线性方程组的一特解,则有通解:104设12,是齐次线性方程组Ax的基础解系，1
10、2,线性方程组Axb的特解。12,k k表示任意常数。则Axb的通解是：（1）11212121()()2kk（2）11212121()()2kk（3）11212121()()2kk（4）11212121()()2kk 105106三.求解107108109110五 平面、直线的相对位置 111解：两直线不平行：121212232323333aabbccAaabbccBabc 行变换B的秩为3，故前两行不成比例。112其次，两直线在同一平面内：1L2L1n2n 1P2P只要证明矢量12,n n 及12PP 共面即可：1212122323233131310aabbccaabbccaabbcc113
11、已知平面上三条不同的直线方程分别为 1:230laxbyc 2:230lbxcya 3:230lcxayb 试证这三条直线交于一点的充分必要条件是0abc。11407年考研题（填空题，4分）标准形写成规范形（或者没有写标准形）。03年考研题（数学一，选择题，分）以给定向量组为列向量作一矩阵A10年数学二、三选择题（1）（4%）08年选择题一（数学一、二、三、四）04年考研题（数学一，分）03年考研题（数学一,选择题1,4分）对命题倾向没有思想准备。带参数的问题：需要讨论；115La troisieme116第五部分 特征值 特征向量 117已知向量111 是矩阵11201122aA的特征向量，
12、求参数a的值及相应的特征值。118假设ijn nAa。则特征多项式EA是 n次多项式，首一的，且 EA 11122()(1)nnnnnaaaA 称1122nnaaa为A的迹，记为()tr A。注：有的书上A的特征多项式定义为AE。119120求矩阵 001010100A 的特征值和特征向量。121122123124125126127假设2AA，证明：A的特征值只能是 0 和 1。错：因为0A EA，则0A 或0EA。若0A，则0 是A的 特 征 值，若0EA，则 1 是A的特征值。128二.矩阵相似的必要条件 129130131已知矩阵11111aAabb与012B相似。求,a b。132三.
13、可相似对角化问题 133注2：134定理：矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关。推论：没有重特征值的矩阵一定相 似于对角阵。135如：123045006肯定相似与对角阵。136定理：如果12,s 是矩阵A的互不相同的特征值，12,iiiik 是A的属于i的线性无关的特征向量，则 11112112,sksssk 线性无关。137138假设1114335Axy相似于对角阵，2是一个二重特征值。求,x y及可逆矩阵 P，使得1P AP是对角阵。139已知矩阵12314315Aa 的特征方程有一个二重根。求参数a的值，并讨论A是否可相似对角化。注：2(2)(8183)EAa。因此，若 2 是两重根，
14、则2a ，此时，特征值为 2，2，6。可以证明，这时，可以相似对角化。若 2 不是两重根，则28183a为完全平方，从而可以解得23a 。可以证明，这时不可以相似对角化。140 n n矩阵A满足2AA。证明：（1）A相似于rEooo；（2）()()tr Ar A。错：因为特征值为 0 或 1，所以 A相似于rEooo。141142143第六部分 实对称矩阵和二次型 144一 内积、Schmidt 正交化方法和正交矩阵 1 内积和正交性 正交 长度，单位向量，单位化 正交向量组 标准正交向量组 定理：正交向量组是线性无关的。1452 Schmidt 正交化方法 设12,s 线性无关 正交化：11
15、212211132313321221111111111;,;,;,ssssssss 单位化：令11,2,jjjjs 1463 正交矩阵 定义：若实矩阵A满足TA AE，则称 A是正交矩阵。147二 实对称矩阵 1482 正交矩阵Q及对角阵TQ AQ的计算。要注意与相似对角化的区别。149150151假设A是n n实对称矩阵。证明：存在实对称矩阵 B，使得3AB。152三.二次型的矩阵153154155四 标准形、惯性定理与规范形（二二次次型型或或矩矩阵阵形形式式）1标准形的计算 配方法：156157正交变换的办法：化成矩阵问题 1582 惯性定理，正、负惯性指数 定理：惯性定理 命题：二次型的
16、秩等于其矩阵的非零特征值的个数；正惯性指数等于其正特征值的个数；负惯性指数等于其负特征值的个数。1591603规范形与分类 161用规范形可证：两个n n实对称矩阵合同 它们有相同的秩和正惯性指数。下列矩阵是否合同:1 111111111 11,112,1221 12122122ABC 162 已知实矩阵123,231bABa163若将n n实对称矩阵按合同关系分类，共可分成多少合同类？164 对于实称矩阵而言,相似的矩阵是否合同?合同的矩阵是否相似?165La quatieme166五.正定性 定义：实对称矩阵、二次型的正定性（负定性）性。定理：假设A是n n实对称矩阵，则下述命题是等价的：
17、1A是正定的 2A的各个顺序主子式大于零 3A的所有特征值均大于零 4存在实可逆矩阵 P，使得TAP P 5.A与正定阵合同。167168设,A B都是正定矩阵。证明：1*,mAAAAB 都是正定的。问：AB是不是正定的？169假设n n实对称矩阵A是正定的，B是n s实矩阵。证明：TB AB正定()r Bs。170171172六.二次型与二次曲面173已知 22222224xayzbxyxzyz 可以经正交变换xyPz 化成椭圆柱面方程2244。求,a b的值，并求一适合条件的正交矩阵P。174假设 222(,)2226f x y zxtyzxyxzyz 求t使得(,)1f x y z 表示
18、一柱面。175176第七部分 向量空间 177记号：记R是实数全体，nR是 n维实向量全体之集。一 向量空间（子空间）定义：如果nR的子集W关于向量的数乘、加法均是封闭的，则称W是nR的子空间，或是一向量空间。178 12()|21()|20WxyzxyzWxyzxyz 179假设A是s n矩阵，|0nWxRAx 称之为齐次线性方程组0Ax 的解空间。180181两个平凡子空间：nR及 182命题：1212(,)(,)stLL 12,s 与12,t 等价。183二 子空间的基和维数，向量的坐标 定义：假设W是nR的子空间，如果 12,sW 满足条件（1）12,s 线性无关；（2）W 都可以由1
19、2,s 线性表示 则称12,s 是 W 的一组基。1841.注基就如向量组的极大无关组；2.注没有基；3.注向量空间的基不是唯一的，但任意 两组基中向量个数相同。WW定义：向量空间的基中向量的个数称为 的维数，记为 维(W)或dim(W).185dim()0dim();nRn186(),-.s ns nr ArAxn r若则线性方程组的解空间的基就是方程组的基础解系,解空间的维数为187121212(,),;dim()(,).sssWLWWr 若则的极大无关组是的基 188 dim(),WrWrW定理：若则中任意 个线性无关 的向量都是的基。1891212112212,sssssWkkkkkx
20、k 定义：假设是向量空间的基，W,若 则称是 在基下的坐标。注：坐标与基的选取有关。19012121212,ninnnnneRe eeRxxxe eexxx设 是中的基本单位向量,则 是的基;在下的坐标是191证明：向量组1230111,0,1110 是3R的一组基，并求向量345 在这组基下的坐标。192193三.基变换和坐标变换定义：假设12,s 与12,s 都是向量空间W的基，并且，11112121212122221122sssssssssskkkkkkkkk 用形式记号表示：1112121222121212(,)(,)sssssssskkkkkkkkk 则称矩阵ijs sKk为从基12
21、,s 到12,s 的过渡矩阵。194求nR的从基123,e e e到基 1230241,0,5130 的过渡矩阵。195求2R的基1211,10 到基1212,23的过渡矩阵。196197一般地，若从基12,s 到12,s 的过渡矩阵为K，在12,s 下的坐标是1sxxx，在12,s 下的坐标是1syyy，则xKy，即1yKx。-坐标变换公式 198假设12,及12,都是向量空间W的基，且 112212232 求向量1242在基12,下的坐标。199齐次线性方程组的基础解系带参数的问题：需要讨论；没有理解第一小题的“桥梁”作用；第一大题参数的讨论不全面；如果行列式有两行的元素对应相等，则其值为
22、零；10年数学二、三大题（2）（11%）11年数学三选择题（4%）08年数学一、二、三、四代数题（12%）10年数学一选择题（1）（4%）第一大题参数的讨论不全面；06年考研题（数学一、二，选择题，分）合同的矩阵是否相似?11年数学一、二、三大题（11%）08年数学一试题（第20题）（10%）08年填空题（数学四）07年考研题（选择题1，4分）应当注意的几个倾向：如果行列式有两行的元素对应相等，则其值为零；四.向量空间的标准正交基定义：如果子空间W的基是一标准正交向量组，则称此基为W的标准正交基。标准正交基的计算：先求W的基，然后用 Schmidt 正交化方法将之正交化、单位化即可。20020
23、1202La cinqieme203历 年 考 题20403年考研题（数学一年考研题（数学一,填空题填空题,4分）分）从2R的基1211,01 到基1211,12 的过渡矩阵为 。本题得分率：45.4%。20503年考研题（数学一年考研题（数学一,选择题选择题1,4分）分）本题得分率：61.9%。20603年考研题（数学一，选择题，分）年考研题（数学一，选择题，分）本题得分率：80.2%。20703年考研题（数学一，分）年考研题（数学一，分）设 矩 阵322232223A，010101001P，1*BP A P，求2BE的特征值和特征向量。本题得分率：36.7%。20803年考研题（数学一，分
24、）年考研题（数学一，分）本题得分率：25.8%。20904年考研题（数学一，填空题，分）年考研题（数学一，填空题，分）21004年考研题（数学一，选择题，分）年考研题（数学一，选择题，分）假设A是 3 阶方阵，将A的第一列与第二列交换得 B，再把B的第二列加到第三列得 C，则满足AQC的可逆矩阵Q为（A）010100101，（B）010101001（C）010100011，（D）011100001 21104年考研题（数学一，选择题，分）年考研题（数学一，选择题，分）设 A，B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有：（A）A 的列向量线性相关，B 的行向量线性相关；（B）A 的列向量线
25、性相关，B 的列向量线性相关；（C）A 的行向量线性相关，B 的行向量线性相关；（D）A 的行向量线性相关，B 的列向量线性相关.21204年考研题（数学一，分）年考研题（数学一，分）设有线性方程组 121212(1)02(2)20()0nnna xxxxa xxnxnxna x 2n 试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。本题得分率：36%。21304年考研题（数学一，分）年考研题（数学一，分）设矩阵12314315Aa 的特征方程有一个二重根，求a的值。并讨论A是否可相似对角化。本题得分率：29%。21405年考研题（数学一、二，填空题，分）年考研题（数学一、二，填空题，分）设1
26、23,是 3 维列向量,记矩阵 123,A ,123123123,24,39B 如果1A,那么B .21505年考研题（数学一、二，选择题，分）年考研题（数学一、二，选择题，分）设12,是A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别是12,则 112,()A线性无关的充分必要条件是(A)10;(B)20;(C)10;(D)20.21605年考研题（数学一、二，选择题，分）年考研题（数学一、二，选择题，分）设A为(2)n n 阶可逆矩阵交换A的.第一行与第二行得矩阵B，*,A B分别表示,A B的伴随矩阵，则（）交换*A的第一列与第二列得矩阵*B；（）交换*A的第一行与第二行得矩阵*B；（）交换*A
27、的第一列与第二列得矩阵*B；（）交换*A的第一行与第二行得矩阵*B。21705年考研题（数学一、二，分）年考研题（数学一、二，分）已知三阶矩阵A的第一行是(,)a b c，,a b c不全为零，矩阵12324636Bk（k为常数），且ABO，求线性方程组0Ax 的通解。21805年考研题（数学一，分）年考研题（数学一，分）21905年考研题（数学二，分）年考研题（数学二，分）220已知矩阵123,211yABx。问：当,x y满足什么条件时，矩阵方程AXB有解，而BYA无解？221已知 3 维列向量12100,1ab ,1231112,1,112c .且123,与12,等价.1.求123,的秩
28、,并求其一个极大无关组;2.求参数,a b c的值;3.记12123,AB .求一矩阵得 X,使得AXB.22206年考研题（数学一、二，填空题，分）年考研题（数学一、二，填空题，分）22306年考研题（数学一、二，选择题，分）年考研题（数学一、二，选择题，分）22406年考研题（数学一、二，选择题，分）年考研题（数学一、二，选择题，分）22506年考研题（数学一、二，分）年考研题（数学一、二，分）22606年考研题（数学一、二，分）年考研题（数学一、二，分）22707年考研题（选择题年考研题（选择题1，4分）分）22807年考研题（选择题年考研题（选择题2，4分）分）22907年考研题（填空
29、题，年考研题（填空题，4分）分）23007年考研题（计算题年考研题（计算题1，11分）分）23107年考研题（计算题年考研题（计算题2，11分）分）23208年数学一试题（第20题）（10%）23308年数学一、二、三、四代数题（12%）23408年数学二、三、四第二道代数题（10%）23508年选择题一（数学一、二、三、四）23608年选择题二（数学一）23708年选择题三（数学二、三、四）23808年填空题（数学一）23908年填空题（数学二）24008年填空题（数学三）24108年填空题（数学四）24209年第一道大题（11%）24309年第二道大题（11%）24409年数学一、二、三选
30、择题（2）（4%）24509年数学一选择题（1）（4%）24609年数学二、三选择题（1）（4%）24709年数学一填空题（4%）224809年数学二填空题（4%）224909年数学三填空题（4%）2250假设A是 4 阶方阵，已知 30,0,2TEAAA AE，求*,A A的个一个特征值。25110年数学一填空题（4%）25210年数学二、三填空题（4%）25310年数学一选择题（1）（4%）25410年数学二、三选择题（1）（4%）25510年数学一、二、三选择题（2）（4%）条件多余25610年数学一、二、三大题（1）（11%）25710年数学一大题（2）（11%）本题超纲25810年数
31、学二、三大题（2）（11%）259 10年抽样统计（数学一）考场一23人考场二24人考场三28人题一题一题二题二题一题一题二题二题一题一题二题二0分分7127130411分分3070202均分均分5.04426.582.333 10.066得分率得分率 45.85 18.18 59.85 21.21 91.23 54.5526010年抽样统计（数学二、三-第1大题）考场一二三四五人数24人25人24人26250分5594711分74793均分6.546.85.726.5774.96得分率59.4661.8252.6559.7945.0926110年抽样统计（数学二、三-第2大题）考场一二三四五
32、人数24人25人24人26250分161917182111分23322均分2.291.762.1252.1541.16得分率20.831619.3219.5810.5526211年数学一、二、三选择题（4%）26311年数学一、二选择题（4%）26411年数学三选择题（4%）26511年数学一填空题（4%）26611年数学二填空题（4%）26711年数学三填空题（4%）26811年数学一、二、三大题（11%）07-08-3期末考试考题26911年数学一、二、三大题（11%）03-04-2期末考试试题27012年数学一、二、三选择题(1)（4%）27112年数学一、二、三选择题(2)（4%）设A
33、为3阶方阵，P为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP，若123(,)P ，1223(,)Q ，则1Q AQ （A）100020001 （B）100010002 （C）200010002 （D）200020001 27212年数学一填空题（4%）设x为3维单位列向量，E为3阶单位矩阵，则矩阵TExx的秩为 。27312年数学二、三填空题（4%）设A为3阶矩阵，3A，*A为A的伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则*BA 。27412年数学一、二、三大题（1）（11%）设100010001001aaAaa，1100。（I）计算行列式A；（II）当实数a为何值时，方程组Ax有无穷多解
34、，并求其通解。27512年数学一、二、三大题（2）（11%）设1010111001Aaa，二次型123(,)TTf x x xx A Ax的秩为2。（I）求实数a的值；（II）求正交变换xQy将f化为标准形。276本次命题的特点 主要知识点：最基本；主要方法：最基本；基本难度：逐年降低；侧重于计算。两道大题的层次感不强；代数中的重要结论作为考生的必备知识；评分标准有些主观。277考试中的现象 得分率会有所提高；考生失分的现象：计算错误；第一大题参数的讨论不全面；非齐次线性方程组的特解、导出组的基础解系、通解的求法以及它们间的关系没弄清楚；第二大题矩阵的乘法算错（4*4矩阵？）；第二大题计算矩阵的行列式：即使算对，但，不仅麻烦，而且还只得到了必要条件；特征多项式算错（部分考生还带参数计算）；没有将特征向量单位化；标准形写成规范形（或者没有写标准形）。278失分的原因 概念混淆，知识点掌握不全面；基本功不扎实：计算错误；不重视对参数的讨论；没有理解第一小题的“桥梁”作用；对试题的要求理解不充分；对命题倾向没有思想准备。279应当注意的几个倾向：每年必考的内容：线性方程组、特征值和特征向量；带参数的问题：需要讨论；与解析几何相结合（典型问题）；应用题（典型问题）；分块矩阵（典型的分块方式）；有超纲嫌疑的几个方面。
