1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年河南省高考数学（理科）模拟试卷（年河南省高考数学（理科）模拟试卷（9） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若 A1，0，1，BxN|1x3，则 AB 等于（ ） A0，1 B1，0，1 C1，0，1，2 D1，0，1，2， 3 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 3+2 = 1 ，则 =（ ） A1+5i B15i C15i D1+5i 3 （5 分） 设数列an是等差数列， a1+a3+a56， a76 则这个数列的前 7 项和等于 （ ） A12 B21 C
2、24 D36 4 （5 分） 股票价格上涨 10%称为 “涨停” ， 下跌 10%称为 “跌停” 某位股民购进某只股票， 在接下来的交易时间内，这只股票先经历了 2 次涨停，又经历了 2 次跌停，则该股民这 只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（ ） A略有盈利 B略有亏损 C没有盈利也没有亏损 D无法判断盈亏情况 5 （5 分）函数 ya xa（a0，a1）的图象可能是（ ） A B C D 6 （5 分）中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示） ，表 示一个多位数时，像阿拉伯记数样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的 筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万用
3、纵式表示，十位、千位、十万位用横式表 示，例如 6613 用算筹表示就是，则 8335 可用算筹表示为（ ） 第 2 页（共 20 页） A B C D 7 （5 分） 如图， 在平行四边形 ABCD 中， = 1 3 ， = 1 3 ，为 EF 的中点， 则 = （ ） A1 2 1 2 B1 2 1 2 C1 3 1 3 D1 3 1 3 8（5 分） 过点 P （2， 0） 的直线与抛物线 C： y24x 相交于 A， B 两点， 且| = 1 2 |， 则点 A 到原点的距离为（ ） A5 3 B2 C26 2 D27 3 9 （5 分）已知曲线 C1：ysinx，2： = (1 2
4、3)，则下面结论正确的是（ ） A把 C1上各点的横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 3个 单位长度，得到曲线 C2 B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 3个 单位长度，得到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 3个 单位长度，得到曲线 C2 D 把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍， 纵坐标不变， 再把得到的曲线向左平移 3个 单位长度，得到曲线 C2 10 （5 分）设 alog2e，bln3，ce 2 3，则（ ） 第 3 页（共 20 页） Aabc
5、Bbac Ccab Dcba 11 （5 分）如图，正方体 AC1的棱长为 a，作平面 （与底面不平行）与棱 A1A，B1B，C1C， D1D 分别交于 E，F，G，H，记 EA，FB，GC，HD 分别为 h1，h2，h3，h4，若 h1+h2 2h3，h3+h43h3，则多面体 EFGHABCD 的体积为（ ） A 7 10a 2h1 B7 8a 2h2 C7 6a 2h3 D7 4a 2h4 12 （5 分）口袋里放有大小相等的 2 个白球和 1 个红球，有放回地每次摸取 1 个球，定义 数列an：an= 1，第次摸取红球， 1，第次摸取白球. 如果 Sn为数列an的前 n 项和，那么 S
6、75 的概 率为（ ） A7 1 (1 3) ( 2 3) 6 B7 2 (1 3) 2 (2 3) 5 C7 5 (1 3) 5 (2 3) 2 D7 6 (1 3) 6 (2 3) 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若 x2020a0+a1（x1）+a2（x1）2+a2020（x1）2020，则1 3 + 2 32 + + 2020 32020 = 14 （5 分）实数 x，y 满足条件 + 4 0 2 + 2 0 0， 0 ，则4(1 2 + + 1)的最大值为 15 （5 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2
7、=1（a0，b0）的实轴长为 8，右焦点为 F，M 是 双曲线 C 的一条渐近线上的点，且 OMMF，O 为坐标原点，若 SOMF6，则双曲线 C 的离心率为 16 （5 分）已知函数 f（x）sinxa（2x）ln（x+1） ，x（0，若 f（x）0 恒成立， 则实数 a 的取值范围为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 第 4 页（共 20 页） 17 （12 分）在数列an中，a11，an+1= +1，设 bn= 1 ，nN * （）求证数列bn是等差数列，并求通项公式 bn； （）设 cnbn2n 1，且数列c n的前 n 项
8、和 Sn，若 R，求使 Sn1cn恒成立的 的取值范围 18 （12 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，平面 ABD平面 BCD，G 为棱 AD 上的一点， 且 = 1 4 ，E 为棱 BC 的中点，F 为棱 BD 上的一点，若 AB平面 EFG，BCD 是 边长为 4 的正三角形，AD5， = 3 5 （1）求证：平面 EFG平面 ABD； （2）求直线 AC 与平面 EFG 所成角的正弦值 19 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）过点 E（2，1） ，其左、右顶点分别为 A， B，左、右焦点为 F1，F2，其中 F1（2，0） （1）求栖圆 C 的方程： （2）设
9、 M（x0，y0）为椭圆 C 上异于 A，B 两点的任意一点，MNAB 于点 N，直线 l： x0x+2y0y40，设过点 A 与 x 轴垂直的直线与直线 l 交于点 P，证明：直线 BP 经过线 段 MN 的中点 20 （12 分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求， 决定在全公司范围内举行一次乙肝普查为此需要抽验 669 人的血样进行化验，由于人数 较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案 方案一：将每个人的血分别化验，这时需要验 669 次 方案二：按 k 个人一组进行随机分组，把从每组 k 个人抽来的血混合在一起进行检验， 如果每个人的血均为阴性则验出
10、的结果呈阴性，这 k 个人的血就只需检验一次（这时认 为每个人的血化验1 次） ； 否则， 若呈阳性， 则需对这 k 个人的血样再分别进行一次化验， 第 5 页（共 20 页） 这时该组 k 个人的血总共需要化验 k+1 次假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的 概率为 p，且这些人之间的试验反应相互独立 （1）设方案二中，某组 k 个人中每个人的血化验次数为 X，求 X 的分布列 （2）设 p0.1，试比较方案二中，k 分别取 2，3，4 时，各需化验的平均总次数；并指 出在这三种分组情况下，相比方案一，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果 四舍五入保留整数） 21 （12 分）已知函
11、数 f（x）= 2 2+axx+xlnx，aR （1）讨论函数 f（x）的导函数 g（x）的单调性； （2）若函数 f（x）在 x1 处取得极大值，求 a 的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）如图，在极坐标系 Ox 中，A（2，0） ，(2， 4)，(2， 2)，(2， 3 4 )，E （2，） ，弧 ，所在圆的圆心分别是（1，0） ， （1，） ，曲线 M1是弧，曲线 M2 是线段 BC，曲线 M3是线段 CD，曲线 M4是弧 （1）分别写出 M1，M2，M3，M4的极坐标方程； （2）曲线 M 由 M
12、1，M2，M3，M4构成，若点 P（，） ， （ 0， 4 3 4 ，） ，在 M 上，则当| = 3时，求点 P 的极坐标 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x+2|2x2|的最大值为 m （1）求 m； （2）已知正实数 a，b 满足 4a2+b22，是否存在 a，b，使得2 + 4 =m 第 6 页（共 20 页） 2020 年河南省高考数学（理科）模拟试卷（年河南省高考数学（理科）模拟试卷（9） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若 A1，
13、0，1，BxN|1x3，则 AB 等于（ ） A0，1 B1，0，1 C1，0，1，2 D1，0，1，2， 3 【解答】解：A1，0，1， BxN|1x30，1，2， AB1，0，1，2 故选：C 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 3+2 = 1 ，则 =（ ） A1+5i B15i C15i D1+5i 【解答】 解： 因为 3+2 = 1 ， 所以 zi （1i） （3+2i） 5i， 所以 = 1 5， 1 + 5， 故选：D 3 （5 分） 设数列an是等差数列， a1+a3+a56， a76 则这个数列的前 7 项和等于 （ ） A12 B21 C24 D36 【解
14、答】解：数列an是等差数列，a1+a3+a56，a76 1 + 1+ 2 + 1+ 4 = 6 1+ 6 = 6 ，解得 a10，d1， 这个数列的前 7 项和为： 7= 7 0 + 76 2 1 =21 故选：B 4 （5 分） 股票价格上涨 10%称为 “涨停” ， 下跌 10%称为 “跌停” 某位股民购进某只股票， 在接下来的交易时间内，这只股票先经历了 2 次涨停，又经历了 2 次跌停，则该股民这 只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（ ） A略有盈利 B略有亏损 C没有盈利也没有亏损 D无法判断盈亏情况 【解答】解：由题意可得： （1+10%）2（110%）20.9920.981 第
15、 7 页（共 20 页） 因此该股民这只股票的盈亏情况为：略有亏损 故选：B 5 （5 分）函数 ya xa（a0，a1）的图象可能是（ ） A B C D 【解答】解：函数过（1，0） ，观察选项可知，只有选项 D 符合题意 故选：D 6 （5 分）中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示） ，表 示一个多位数时，像阿拉伯记数样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的 筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表 示，例如 6613 用算筹表示就是，则 8335 可用算筹表示为（ ） A B C D 【解答】解：个位、百位、万用纵式表
16、示，十位、千位、十万位用横式表示， 8335 用算筹表示的话，千位上的 8 是横式，百位上的 3 是纵式，十位上的 3 是横式， 个位上的 5 时纵式， 故选：B 7 （5 分） 如图， 在平行四边形 ABCD 中， = 1 3 ， = 1 3 ，为 EF 的中点， 则 = （ ） 第 8 页（共 20 页） A1 2 1 2 B1 2 1 2 C1 3 1 3 D1 3 1 3 【解答】解：如图，在平行四边形 ABCD 中， = 1 3 ， = 1 3 ，为 EF 的中点， = + = 2 3 + 1 2 = 2 3 + 1 2 ( + ) = 2 3 + 1 2 ( 2 3 + ) = 2
17、 3 + 1 2 ( 1 3 ) = 1 2 1 2 ， 故选：A 8（5 分） 过点 P （2， 0） 的直线与抛物线 C： y24x 相交于 A， B 两点， 且| = 1 2 |， 则点 A 到原点的距离为（ ） A5 3 B2 C26 2 D27 3 【解答】解：设直线 AB 的方程为 xmy2，代入 y24x 可得 y24my+80， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 y1y28， | = 1 2 |，|PA|= 1 3|PB|，y23y1， 由可得 y12= 8 3，代入 y 24x 可得 x1=2 3， |OA|= 12+ 12= 27 3 故选：D 9 （5 分）
18、已知曲线 C1：ysinx，2： = (1 2 3)，则下面结论正确的是（ ） A把 C1上各点的横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 3个 单位长度，得到曲线 C2 B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 3个 单位长度，得到曲线 C2 第 9 页（共 20 页） C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 3个 单位长度，得到曲线 C2 D 把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍， 纵坐标不变， 再把得到的曲线向左平移 3个 单位长度，得到曲线 C2 【解答】解：结合函数的图象的变
19、换可知，把 ysinx 上纵坐标不变，各点横坐标伸长到 原来的 2 倍可得，ysin1 2 ， 再把，ysin1 2 向左平移1 3 个单位可得 ysin1 2 ( + 1 3 ) =sin（1 2 + 1 6 ）sin （1 2 + 1 2 1 3 ）cos（1 2 1 3 ） 综上可知，D 正确 故选：D 10 （5 分）设 alog2e，bln3，ce 2 3，则（ ） Aabc Bbac Ccab Dcba 【 解 答 】 解 ： 根 据 题 意 可 以 画 出 函 数 = 2 ， y lnx的 图 象 由图象可得 ab1 且 0c= 2 31，则 cba 故选：D 11 （5 分）如
20、图，正方体 AC1的棱长为 a，作平面 （与底面不平行）与棱 A1A，B1B，C1C， D1D 分别交于 E，F，G，H，记 EA，FB，GC，HD 分别为 h1，h2，h3，h4，若 h1+h2 第 10 页（共 20 页） 2h3，h3+h43h3，则多面体 EFGHABCD 的体积为（ ） A 7 10a 2h1 B7 8a 2h2 C7 6a 2h3 D7 4a 2h4 【解答】解：由正方体的对面平行及面面平行的性质定理得： EFGH，EHFH， 四边形 EFGH 是平行四边形， 连结 AC，BD 交于点 O，连结 EG，FH，交于点 O1， 连结 OO1，则 h1+h2h3+h42O
21、O1， h1+h22h3，h3+h43h3， 1= 4 3 3，2= 2 3 3，4= 5 3 3， 两个多面体 EFGHABCD 可以拼成都市个长方体， 多面体 EFGHABCD 的体积为： V= 2 1+3 2 = 7 6 23= 7 8 21 = 7 4 22= 7 10 24 故选：C 12 （5 分）口袋里放有大小相等的 2 个白球和 1 个红球，有放回地每次摸取 1 个球，定义 数列an：an= 1，第次摸取红球， 1，第次摸取白球. 如果 Sn为数列an的前 n 项和，那么 S75 的概 率为（ ） 第 11 页（共 20 页） A7 1 (1 3) ( 2 3) 6 B7 2
22、(1 3) 2 (2 3) 5 C7 5 (1 3) 5 (2 3) 2 D7 6 (1 3) 6 (2 3) 【解答】解：口袋里放有大小相等的 2 个白球和 1 个红球，有放回地每次摸取 1 个球， 则摸出红球的概率为，摸出白球的概率为2= 2 1 3 1 = 2 3 由于定义数列an：an= 1，第次摸取红球， 1，第次摸取白球. 如果 Sn为数列an的前 n 项和，那么 S75 相当于摸了 7 次球，摸出 6 次白球，一次红 球， 所以根据独立重复试验概率为7 1 (1 3) ( 2 3) 6 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5
23、分）分） 13（5 分） 若 x2020a0+a1（x1） +a2（x1） 2+a2020 （x1） 2020， 则1 3 + 2 32 + + 2020 32020 = （4 3） 20201 【解答】解：x2020a0+a1（x1）+a2（x1）2+a2020（x1）2020， 令 x1 得：a01； 令 x= 4 3得： （4 3） 2020a0+1 3 + 2 32 + + 2020 32020； 1 3 + 2 32 + + 2020 32020 = (4 3) 2020 1； 故答案为：(4 3) 2020 1 14 （5 分）实数 x，y 满足条件 + 4 0 2 + 2 0 0
24、， 0 ，则4(1 2 + + 1)的最大值为 1 【解答】解：作出实数 x，y 满足条件 + 4 0 2 + 2 0 0， 0 对应的平面区域（阴影部分） ， 令 z= 1 2x+y+1，得 y= 1 2x+z1， 平移直线 y= 1 2x+z1， 第 12 页（共 20 页） 由图象可知当直线 y= 1 2x+z1 经过点 B 时， 直线 y= 1 2x+z1 的截距最大，此时 z 最大 由 + 4 = 0 2 + 2 = 0，解得 B（2，2） 此时 z 的最大值为 z= 1 2 2+2+14； 4(1 2 + + 1)的最大值为 log441； 故答案为：1 15 （5 分）已知双曲线
25、 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的实轴长为 8，右焦点为 F，M 是 双曲线 C 的一条渐近线上的点，且 OMMF，O 为坐标原点，若 SOMF6，则双曲线 C 的离心率为 5 4 【解答】解：由题意可得 a4，双曲线的一条渐近线方程为 bxay0，F（c，0） ， 可得|MF|= | 2+2 =b， 在直角三角形 OMF 中，可得|OM|= |2 |2= 2 2=a， 则OMF 的面积为1 2ab2b6，可得 b3，c= 2+ 2 =5， 则 e= = 5 4 故答案为：5 4 16 （5 分）已知函数 f（x）sinxa（2x）ln（x+1） ，x（0，若 f（x）0 恒成立，
26、则实数 a 的取值范围为 (0， 1 2 第 13 页（共 20 页） 【解答】 解： f （x） 0 等价于 (+1) (2 )， 令() = (+1)，() = ( 2)， 对函数 g（x）求导可得() = (+1) +1 2(+1) ，令() = ( + 1) +1，可 得() = 1 (+1)2 ( + 1)， 因为 = 1 (+1)2 ( + 1)为减函数，且 x0 时，y10，x 时，y0，故存在 x0 （0，） ，使得 h（x）在区间（0，x0）上单增，在（x0，）上单减， 又 h（0）0，h（）ln（+1）0， 故存在 x1（x0，） ，使得 g（x）在区间（0，x1）上单增，
27、在（x1，）上单减， 又当 x0 时，g（x）1，且 g（）0，而函数 m（x）过点（2，0）且斜率为a 的 直线， 故若满足题意，则只需直线 m（x）在函数 g（x）的下方， 由图可知，当且仅当直线 ya（x2）过点（0，1）时，是一种临界状态， 此时直线斜率 = 1 02 = 1 2，解得 = 1 2， 又函数() = (+1)在 x0 处无意义，故要满足题意，直线斜率可取 1 2，且当直线斜率 大于 1 2，0)均满足题意， 解得 (0， 1 2 故答案为：(0， 1 2 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在
28、数列an中，a11，an+1= +1，设 bn= 1 ，nN * （）求证数列bn是等差数列，并求通项公式 bn； （）设 cnbn2n 1，且数列c n的前 n 项和 Sn，若 R，求使 Sn1cn恒成立的 的取值范围 第 14 页（共 20 页） 【解答】 （I）证法一：由条件知， 1 +1 = +1 = 1 + 1， 所以， 1 +1 1 = 1，所以 bn+1bn1， 又1= 1 1 = 1，所以，数列bn是首项为 1，公差为 1 的等差数列， 故数列bn的通项公式为：bnn 证法二：由条件，得+1 = 1 +1 1 = +1 1 = = 1， 又1= 1 1 = 1，所以，数列bn是
29、首项为 1，公差为 1 的等差数列， 故数列bn的通项公式为：bnn （）解：由（）知，= 21， 则= 1 20+ 2 21+ + 21， 2= 1 21+ 2 22+ + 2 由得，= 20+ 21+ + 21 2= 20212 12 2= 1+（1n） 2n = 1 + ( 1) 2 cn0，Sn1cn恒成立，等价于 1 对任意 nN*恒成立 1 = (1)2 21 = 2 2 2， 2 18 （12 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，平面 ABD平面 BCD，G 为棱 AD 上的一点， 且 = 1 4 ，E 为棱 BC 的中点，F 为棱 BD 上的一点，若 AB平面 EFG，BCD 是
30、 边长为 4 的正三角形，AD5， = 3 5 （1）求证：平面 EFG平面 ABD； （2）求直线 AC 与平面 EFG 所成角的正弦值 第 15 页（共 20 页） 【解答】解： （1）证明：取 BD 的中点 O，连结 OC， BCCD，COBD， AB平面 EFG，AB平面 ABD， 平面 ABD平面 EFGGF，ABGF， AG= 1 4AD，BF= 1 4 ， F 为 OB 的中点，又E 为 BC 的中点， EFCO，EFBD， 平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD， EF平面 BCD，EF平面 ABD， EF平面 EFG，平面 EFG平面 ABD （2）由（1）可
31、知 DF= 3 4 =3， 在ADF 中，由余弦定理得 AF225+92 3 5 3 5 =16，AF4， AF2+DF2AD2，AFBD， 平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD， AF平面 BCD， 以 F 为坐标原点，FE，FD，FA 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 F（0，0，0） ，E（3，0，0） ，G（0，3 4 ，3） ，A（0，0，4） ，C（ 23，1，0） ， =（3，0，0） ， =（0，3 4，3） ， =（23，1，4） ， 设平面 EFG 的法向量 =（x，y，z） ， 由 = 3 = 0 = 3 4 + 3 =
32、0 ，取 y4，得 =（0，4，1） ， 设直线 AC 与平面 EFG 所成角为 ， 第 16 页（共 20 页） 则直线 AC 与平面 EFG 所成角的正弦值为： sin= | | | | | = 8 1729 = 8493 493 19 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）过点 E（2，1） ，其左、右顶点分别为 A， B，左、右焦点为 F1，F2，其中 F1（2，0） （1）求栖圆 C 的方程： （2）设 M（x0，y0）为椭圆 C 上异于 A，B 两点的任意一点，MNAB 于点 N，直线 l： x0x+2y0y40，设过点 A 与 x 轴垂直的直线与直线 l 交
33、于点 P，证明：直线 BP 经过线 段 MN 的中点 【解答】 解： （1） 由题意知， 2a|EF1|+|EF2|=(2 + 2)2+ 1 +(2 2)2+ 1 =4， 则 a2，c= 2，b= 2， 故椭圆的方程为 2 4 + 2 2 = 1， （2）由（1）知 A（2，0） ，B（2，0） ， 过点 A 且与 x 轴垂直的直线的方程为 x2， 结合方程 x0x+2y0y40，得点 P（2，0+2 0 ） ， 直线 PB 的斜率为 = 0+2 0 0 22 = 0+2 40 ， 直线 PB 的方程为 = 0+2 40 ( 2)， 因为 MNAB 于点 N，所以 N（x0，0） ，线段 MN
34、 的中点坐标（0， 0 2 ） ， 第 17 页（共 20 页） 令 xx0，得 = 0+2 40 (0 2) = 40 2 40 ， 因为0 2 + 20 2 = 4，所以 = 40 2 40 = 20 2 40 = 0 2 ， 即直线 BP 经过线段 MN 的中点 20 （12 分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求， 决定在全公司范围内举行一次乙肝普查为此需要抽验 669 人的血样进行化验，由于人数 较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案 方案一：将每个人的血分别化验，这时需要验 669 次 方案二：按 k 个人一组进行随机分组，把从每组 k 个人抽来
35、的血混合在一起进行检验， 如果每个人的血均为阴性则验出的结果呈阴性，这 k 个人的血就只需检验一次（这时认 为每个人的血化验1 次） ； 否则， 若呈阳性， 则需对这 k 个人的血样再分别进行一次化验， 这时该组 k 个人的血总共需要化验 k+1 次假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的 概率为 p，且这些人之间的试验反应相互独立 （1）设方案二中，某组 k 个人中每个人的血化验次数为 X，求 X 的分布列 （2）设 p0.1，试比较方案二中，k 分别取 2，3，4 时，各需化验的平均总次数；并指 出在这三种分组情况下，相比方案一，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果 四舍五入保留整数）
36、 【解答】解： （1）根据题意，每个人的血样化验呈阳性的概率为 p，则呈阴性的概率 q 1p， 所以 k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为（1p） k，呈阳性反应的概率为 1（1p） k， 故 X= 1 ，1 + 1 ， P（X= 1 ）（1p） k，P（X= 1 +1 ）1（1p） k， 故 X 的分布列为： X 1 1 + 1 P （1p）k 1 （1p）k 第 18 页（共 20 页） （2） 根据 （1） 可得方案二的数学期望 E （X） = 1 (1 )+ (1 + 1 )1 (1 ) = 1 + 1 (1 )，p0.1， 当 k2 时，E（X）= 1 + 1 2 092= 0.69
37、，此时 669 人需要化验总次数为 462 次； 当 k3 时，E（X）= 1 + 1 3 093 0.6043，此时 669 人需要化验总次数为 404 次； 当 k4 时，E（X）= 1 + 1 4 094= 0.5939，此时 669 人需要化验总次数为 397 次； 故 k4 时，化验次数最少， 根据方案一，化验次数为 669 次， 故当 k4 时，化验次数最多可以平均减少 669397272 次 21 （12 分）已知函数 f（x）= 2 2+axx+xlnx，aR （1）讨论函数 f（x）的导函数 g（x）的单调性； （2）若函数 f（x）在 x1 处取得极大值，求 a 的取值范围
38、 【解答】解： （1）f（x）= 2 2+axx+xlnx， g（x）f（x）ax+a+lnx， g（x）= 1 = 1 ， （x0） ， 当 a0 时，g（x）0，g（x）在（0，+）上单调递增， 当 a0 时，若 x (0， 1 )，g（x）0，g（x）在（0， 1 ）上单调递增， 若 x (1 ， + )，g（x）0，g（x）在（1 ，+）上单调递减， （2）g（1）f（1）0， 由（1）当 a0 时，f（x）在（0，+）上单调递增， 若 x（0，1） ，f（x）0，f（x）单调递减 x（1，+） ，f（x）0，f（x）单调递增， 当 x1 时，函数取得极小值，不符合题意， 当 a1 时
39、，f（x）在（0，1）上单调递增， （1，+）单调递减 f（x）f（1）0， f（x）在（0，+）上单调递减，没有极值，不符合题意， 当 a1 时，0 1 1， 第 19 页（共 20 页） 由（1）f（x）在（0，1 ）上单调递减，且 f（1）0， 若 x (1 ，1)，f（x）0，f（x）单调递增，若 x（1，+） ，f（x）0，f（x）单 调递减， 故 x1 时，函数取得极大值，符合题意 综上可得，a 的范围（1，+） 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）如图，在极坐标系 Ox 中，A（2，0） ，(2， 4)
40、，(2， 2)，(2， 3 4 )，E （2，） ，弧 ，所在圆的圆心分别是（1，0） ， （1，） ，曲线 M1是弧，曲线 M2 是线段 BC，曲线 M3是线段 CD，曲线 M4是弧 （1）分别写出 M1，M2，M3，M4的极坐标方程； （2）曲线 M 由 M1，M2，M3，M4构成，若点 P（，） ， （ 0， 4 3 4 ，） ，在 M 上，则当| = 3时，求点 P 的极坐标 【解答】 （1）解法一：在极坐标系下，在曲线 M1上任取一点 P（，） ，连接 OP、PA， 则在直角三角形 OPA 中， = 2，OP，POA，得：OAcos 曲线 M1的极坐标方程为： = 2(0 4)； 又在曲线M2上任取一点P （， ） ， 则在OPA中， OP， OA2， POA， = 4， = (3 4 )， 由正弦定理得： 4 = 2 (3 4 )，即：( 3 4 ) = 2， 化简得 M2的极坐标方程为：( + 4) = 2( 4 2)； 同理可得曲线 M3，M4的极坐标方程分别为：( 4) = 2( 2
