1、 第 1 页（共 16 页） 2020 年浙江省高考数学模拟试卷（年浙江省高考数学模拟试卷（10） 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分）已知集合 Ax|x22x30，集合 Bx|x10，则R（AB）（ ） A （，1）3，+） B （，13，+） C （，1）（3，+） D （1，3） 2 （4 分）若复数; 1:为纯虚数，则实数 a 的值为（ ） Ai B0 C1 D1 3 （4 分）若实数 x，y 满足约束条件 2 + 4 0， + 4 0， 3 + 2 3 0， 则 z2xy 的最小值是（ ） A16 B7 C4
2、D5 4 （4 分）已知离散型随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 p 8 27 4 9 2 9 1 27 则 X 的数学期望 E（X）为（ ） A2 3 B1 C3 2 D2 5 （4 分） “a3” 是 “x1 为函数 f （x） x3+ 1 2 （a+3） x2ax1 的极小值点” 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 （4 分）已知（1+x）5a0+a1（1x）+a2（1x）2+a5（1x）5，则 a3（ ） A40 B40 C10 D10 7 （4 分）已知双曲线 C 与双曲线 2 2 2 6 = 1有公共的渐近线，且经过点(
3、2，3)，则 双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B23 3 C4 D2 8 （4 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为线段 AA1上的一个动点，F 为线段 B1C1上的一个动点， 则平面 EFB 与底面 ABCD 所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范 围是（ ） 第 2 页（共 16 页） A0， 2 2 B 3 2 ， 2 2 C0， 3 3 D0， 5 5 9 （4 分）函数() = (1 +1) 的部分图象大致是（ ） A B C D 10 （4 分）已知数列an满足：an= 2， 5 12;1 1， 6 （nN*） 若正整数 k（k5） 使得 a12+a22+ak2
4、a1a2ak成立，则 k（ ） A16 B17 C18 D19 二填空题（共二填空题（共 7 小题，满分小题，满分 36 分）分） 11 （6 分）某校高二理科学生期末数学考试成绩的频率分布直方图如图，则本次考试中该 校高二理科学生数学成绩的中位数的估计值为 （精确到 0.01） 第 3 页（共 16 页） 12 （6 分）已知向量 ， 满足| |2，| |1， =1，则| + | ， 在 上的投 影等于 13 （6 分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 cm3； 表面积是 cm2 14 （6 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，A= 2 3
5、，a= 3，b1，则 sinB ，c 15 （4 分）已知实数 x，y 满足（2xy）2+4y21，则 2x+y 的最大值为 16 （4 分）将 2 个相同的红球和 2 个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其 中甲、乙盒子均最多可放入 2 个球，丙、丁盒子均最多可放入 1 个球，且不同颜色的球 不能放入同一个盒子里，共有 种不同的放法 17 （4 分）已知点 P 是直线 yx+1 上的动点，点 Q 是抛物线 yx2上的动点设点 M 为 线段 PQ 的中点，O 为原点，则|OM|的最小值为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 74 分）分） 18 （14 分）在平面直角
6、坐标系 xOy 中，锐角 ， 的顶点为坐标原点 O，始边为 x 轴的非 负半轴，终边与单位圆 O 的交点分别为 P，Q已知点 P 的横坐标为3 5，点 Q 的纵坐标为 25 5 （）求 cos2 值； （）求 tan（2）的值 19 （15 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 ABB1A1是菱形，D 为 AB 的中点， ABC 为等腰直角三角形，ACB= 2，ABB1= 3，且 ABB1C 第 4 页（共 16 页） （1）求证：CD平面 ABB1A1； （2）求 CD 与平面 BCC1B1所成角的正弦值 20 （15 分）已知数列an是递增的等比数列，Sn是其前 n 项和，a29
7、，S339 （1）求数列an的通项公式； （2）记 bn= 21 ，求数列bn的前 n 项和 Tn 21 （15 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为3 5，F1，F2 为椭圆的左、右 焦点，点 P（5，42）为椭圆外的点，点 F2在线段 PF1的中垂线上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）点 Q（m，0）为椭圆 C 的长轴上的一个动点，过点 Q 且斜率为4 5的宜线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，证明：|QA|2+|QB|2为定值 22 （15 分）已知函数 f（x）lnxax （1）当 a1 时，判断函数 f（x）的单调性； （2）若 f（x）0 恒成立，求
8、 a 的取值范围； （3）已知 0abe，证明 abba 第 5 页（共 16 页） 2020 年浙江省高考数学模拟试卷（年浙江省高考数学模拟试卷（10） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分）已知集合 Ax|x22x30，集合 Bx|x10，则R（AB）（ ） A （，1）3，+） B （，13，+） C （，1）（3，+） D （1，3） 【解答】解：A（1，3） ，B1，+） ， AB1，3） ， R（AB）（，1）3，+） ， 故选：A 2 （4 分）若复数; 1:为纯虚数，则
9、实数 a 的值为（ ） Ai B0 C1 D1 【解答】解：复数; 1: = (;)(1;) (1:)(1;) = ;1 2 (:1) 2 i 为纯虚数， ;1 2 =0， +1 2 0， 解得 a1 故选：C 3 （4 分）若实数 x，y 满足约束条件 2 + 4 0， + 4 0， 3 + 2 3 0， 则 z2xy 的最小值是（ ） A16 B7 C4 D5 【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分） ， 由 z2xy，得 y2xz， 平移直线y2xz， 由图象可知当直线y2xz经过点A时， 直线y2xz的截距最大， 此时 z 最小 由 + 4 = 0 3 + 2 3 = 0 得
10、= 1 = 3 ， 即 A（1，3） ， 此时 z 的最小值为 z1235， 故选：D 第 6 页（共 16 页） 4 （4 分）已知离散型随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 p 8 27 4 9 2 9 1 27 则 X 的数学期望 E（X）为（ ） A2 3 B1 C3 2 D2 【解答】解：由离散型随机变量 X 的分布列得： E（X）= 0 8 27 + 1 4 9 + 2 2 9 + 3 1 27 =1 故选：B 5 （4 分） “a3” 是 “x1 为函数 f （x） x3+ 1 2 （a+3） x2ax1 的极小值点” 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充
11、要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】 解： f （x） 3x2+ （a+3） xa （3x+a）（x1） ， 令 f （x） 0， 则 x= 3或 x1 当 3 =1 时，即 a3 时，f（x）3（x1）20，f（x）单调递减，函数 f（x）无极 小值点； 当 3 1 时，即 a3 时，当 x1 时，f（x）0，f（x）单调递减；当 1x 3时，f（x） 0，f（x）单调递增；当 x 3时，f（x）0，f（x）单调递减； 故 x1 为极小值点 当 3 1 时，即 a3 时，当 x 3时，f（x）0，f（x）单调递减；当 3 x1 时，f（x） 第 7 页（共 16 页） 0，f（x）单调递
12、增；当 x1 时，f（x）0，f（x）单调递减； 故 x1 为极大值点 故“x1 为函数 f（x）x3+ 1 2（a+3）x 2ax1 的极小值点”a3 故“a3”是“x1 为函数 f（x）x3+ 1 2（a+3）x 2ax1 的极小值点”的必要不充 分条件 故选：B 6 （4 分）已知（1+x）5a0+a1（1x）+a2（1x）2+a5（1x）5，则 a3（ ） A40 B40 C10 D10 【解答】解：已知(1 + )5= 0+ 1(1 ) + 2(1 )2+ + 5(1 )5=2（1 x）5， 则 a3= 5 3 （1）32240， 故选：A 7 （4 分）已知双曲线 C 与双曲线 2
13、 2 2 6 = 1有公共的渐近线，且经过点(2，3)，则 双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B23 3 C4 D2 【解答】解：根据题意，双曲线 C 与双曲线 2 2 2 6 = 1有公共的渐近线，设双曲线 C 的方程为 2 2 2 6 = ， （t0） ， 又由双曲线 C 经过点 P（2，3） ，则有 2 1 2 =t，则 t= 3 2， 则双曲线的 C 的方程为 2 2 2 6 = 3 2，即： 2 3 2 9 =1，其焦距 c23，a= 3， 所以双曲线的离心率为：e= =2 故选：D 8 （4 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为线段 AA1上的一个动点，F 为线
14、段 B1C1上的一个动点， 则平面 EFB 与底面 ABCD 所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范 围是（ ） 第 8 页（共 16 页） A0， 2 2 B 3 2 ， 2 2 C0， 3 3 D0， 5 5 【解答】解：在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为线段 AA1上的一个动点， F 为线段 B1C1上的一个动点， 当 F 与 B1重合时，平面 EFB 即为平面 ABB1A1， 此时 平面 EFB 与底面 ABCD 所成的二面角的平面角为 90，余弦值为 0， 当 E 与 A 重合，F 与 C1重合时，平面 EFB 是平面 ABC1D1， 此时平面 EFB 与底面 ABCD 所成
15、的锐二面角的平面角为 45，余弦值为 2 2 平面 EFB 与底面 ABCD 所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是0， 2 2 故选：A 9 （4 分）函数() = (1 +1) 的部分图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：当 x时， 0:， 1 +1 = 1 2 +1 1:，所以 f（x）0+，排除 C， D； 第 9 页（共 16 页） 因为 x+时， +， 1 +1 = 1 2 +1 1:，所以 f（x）+，因此排除 B， 故选：A 10 （4 分）已知数列an满足：an= 2， 5 12;1 1， 6 （nN*） 若正整数 k（k5） 使得 a12+a22+ak2a1a2a
16、k成立，则 k（ ） A16 B17 C18 D19 【解答】解：an= 2， 5 12;1 1， 6（nN*） ， 即 a1a2a3a4a52，a6a1a2a3a5125131， n6 时，a1a2an11+an， a1a2an1+an+1， 两式相除可得1:+1 1: =an， 则 an2an+1an+1，n6， 由 a62a7a6+1， a72a8a7+1， ， ak2ak+1ak+1，k5， 可得 a62+a72+ak2ak+1a6+k5 a12+a22+ak220+ak+1a6+k5ak+1+k16， 且 a1a2ak1+ak+1， 正整数 k（k5）时，要使得 a12+a22+ak
17、2a1a2ak成立， 则 ak+1+k16ak+1+1， 则 k17， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 7 小题，满分小题，满分 36 分）分） 11 （6 分）某校高二理科学生期末数学考试成绩的频率分布直方图如图，则本次考试中该 校高二理科学生数学成绩的中位数的估计值为 115.83 （精确到 0.01） 第 10 页（共 16 页） 【解答】解：由频率分布直方图得： 频率在50，110）的频率为： （0.0016+0.008+0.0084）200.36， 频率在110，130）的频率为：0.024200.48， 本次考试中该校高二理科学生数学成绩的中位数的估计值为： 110+ 0.50
18、.36 0.48 20115.83 故答案为：115.83 12 （6 分）已知向量 ， 满足| |2，| |1， =1，则| + | 7 ， 在 上的投 影等于 1 2 【解答】解：因为| |2，| |1， =1， 所以：| + |2= 2 +2 + 2 =22+12+217； | + |= 7； 的 上的投影等于：| |cos= | |= 1 2； 故答案为：7，1 2 13 （6 分） 某几何体的三视图 （单位： cm） 如图所示， 则此几何体的体积是 8+ 42 3 cm3； 表面积是 20+43 cm2 第 11 页（共 16 页） 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几
19、何体为上面为正式棱锥体，下 面为正方体的组合体， 故 = 2 2 2 + 1 3 2 2 2 =8+ 42 3 S= 4 1 2 2 3 + 5 2 2 =20+43 故答案为：8 + 42 3 ；20+43 14 （6 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，A= 2 3 ，a= 3，b1，则 sinB 1 2 ，c 1 【解答】解：在ABC 中：A= 2 3 ，a= 3，b1， 由正弦定理得： = = 3 2 3 =2， sinB= 1 2，又ab，0B， 0B 2 3 ， B= 6，又A+B+C， C= 2 3 6 = 6， cb1， 故答案为：1 2；1 15 （4
20、 分）已知实数 x，y 满足（2xy）2+4y21，则 2x+y 的最大值为 2 第 12 页（共 16 页） 【解答】解：由题意可令2 = 2 = ， 则 2x+ysin+cos= 2( + 4)， 结合正弦函数的性质可知，2x+y 的最大值2 故答案为：2 16 （4 分）将 2 个相同的红球和 2 个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其 中甲、乙盒子均最多可放入 2 个球，丙、丁盒子均最多可放入 1 个球，且不同颜色的球 不能放入同一个盒子里，共有 20 种不同的放法 【解答】解： （丙，丁）（0，0） ：2 2 =2， （丙，丁）（1，0） ：2 121 =4， （丙，丁）（
21、0，1） ：2 121 =4， （丙，丁）（1，1） ：2 222（不同色）+21.3（同色）10， 故共有：2+4+4+1020 种 17 （4 分）已知点 P 是直线 yx+1 上的动点，点 Q 是抛物线 yx2上的动点设点 M 为 线段 PQ 的中点，O 为原点，则|OM|的最小值为 32 16 【解答】解：如图：直线 l2：yx+1，与直线 l2：yx 1 4， （相切时最远） ，则 M 点的轨 迹在 yx+ 11 4 2 上， 所以|OM|的最小值为原点到直线 yx+ 3 8的距离：| = 32 16 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 74 分）分） 18 （14
22、分）在平面直角坐标系 xOy 中，锐角 ， 的顶点为坐标原点 O，始边为 x 轴的非 负半轴，终边与单位圆 O 的交点分别为 P，Q已知点 P 的横坐标为3 5，点 Q 的纵坐标为 第 13 页（共 16 页） 25 5 （）求 cos2 值； （）求 tan（2）的值 【解答】解： （）锐角 ， 的顶点为坐标原点 O，始边为 x 轴的非负半轴，终边与 单位圆 O 的交点分别为 P，Q 已知点 P 的横坐标为3 5，点 Q 的纵坐标为 25 5 ，cos= 3 5，sin= 25 5 ， cos22cos21= 7 25 （）由题意可得 sin= 1 2 = 4 5，cos= 1 2 = 5
23、5 ， tan= = 4 3，tan= =2，tan2= 2 12 = 24 7 ， tan（2）= 2 1+2 = 38 41 19 （15 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 ABB1A1是菱形，D 为 AB 的中点， ABC 为等腰直角三角形，ACB= 2，ABB1= 3，且 ABB1C （1）求证：CD平面 ABB1A1； （2）求 CD 与平面 BCC1B1所成角的正弦值 【解答】解： （1）证明：D 为 AB 中点，ACBC，CDAB， 连结 B1D，如图，设 AB2a，四边形 ABB1A1是菱形，D 为 AB 中点，ABB1= 3， 1 = 3，ABC 是等腰直角三角
24、形， = 2，CDa， 12+ 2= 12，CDB1D， ABB1DD，CD平面 ABB1A1 （2）解：设 CD 与平面 BCC1B1所成角为 ， 点 D 到平面 BCC1B1的距离为 d，AB2a， 由（1）知 B1D平面 BCD，则= 1 2 2， 第 14 页（共 16 页） 1;= 1 3 1 2 2 3 = 3 6 3， BC= 2，B1BB1C2a，1= 1 2 2 7 2 = 7 2 2， ;1= 1 3 7 2 2， 1;= ;1， 3 6 3= 7 6 2， 解得 d= 3 7 ，sin= = 21 7 CD 与平面 BCC1B1所成角的正弦值为 21 7 20 （15 分
25、）已知数列an是递增的等比数列，Sn是其前 n 项和，a29，S339 （1）求数列an的通项公式； （2）记 bn= 21 ，求数列bn的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）数列an是递增的等比数列，设公比为 q，由题意可得 q1， 由 a29，S339，可得9 +9+9q39，解得 q3 或1 3（舍去） ， 则数列an的通项公式为 ana2qn 293n23n； （2）bn= 21 =（2n1） （1 3） n， Tn11 3 +3 （1 3） 2+5 （1 3） 3+（2n1） （1 3） n， 1 3Tn1 （ 1 3） 2+3 （1 3） 3+5 （1 3） 4+（2n1） （
26、1 3） n+1， 两式相减可得2 3Tn= 1 3 +2 （1 3） 2+ （1 3） 3+ （1 3） n （2n1） （1 3） n+1=1 3 +2 1 9(1; 1 31) 1;1 3 （2n 1） （1 3） n+1， 化简可得 Tn1（n+1） （1 3） n 21 （15 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为3 5，F1，F2 为椭圆的左、右 焦点，点 P（5，42）为椭圆外的点，点 F2在线段 PF1的中垂线上 （1）求椭圆 C 的方程； 第 15 页（共 16 页） （2）点 Q（m，0）为椭圆 C 的长轴上的一个动点，过点 Q 且斜率为4 5的
27、宜线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，证明：|QA|2+|QB|2为定值 【解答】解： （1）椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为3 5， F1，F2为椭圆的左、右焦点，点 P（5，42）为椭圆外的点，点 F2在线段 PF1的中垂线 上 = 3 5 2 =(5 )2+ (42 0)2 2= 2+ 2 ， 解得 a5，b4，c3， 椭圆 C 的方程为 2 25 + 2 16 = 1 证明： （2）点 Q（m，0）为椭圆 C 的长轴上的一个动点，过点 Q 且斜率为4 5的直线 l 交 椭圆 C 于 A、B 两点， 则直线 l 的方程为 x= 5 4 + ，代入 2 25 +
28、2 16 = 1， 并整理得：25y2+20my+8（m225）0， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 y1+y2= 4 5 ，y1y2= 8(225) 25 ， 又|QA|2（x1m）2+y12= 41 16 12，同理，|QB|2= 8(225) 25 ， 则|QA|2+|QB|2= 41 16（1 2 + 22）= 41 16（y1+y2） 22y1y2=41 16（ 4 5 ）2 16(225) 25 41， |QA|2+|QB|2为定值 41 22 （15 分）已知函数 f（x）lnxax （1）当 a1 时，判断函数 f（x）的单调性； （2）若 f（x）0 恒成立，
29、求 a 的取值范围； （3）已知 0abe，证明 abba 【解答】解： （1）当 a1 时，f（x）lnxx（x0） ，则() = 1 1 = 1 ， 令 f（x）0 解得 0x1，令 f（x）0 解得 x1， 故函数 f（x）的增区间为（0，1） ，减区间为（1，+） ； （2）f（x）0 恒成立即为 ， 第 16 页（共 16 页） 设() = (0)，则() = 1 2 ， 令 g（x）0 解得 0xe，令 g（x）0 解得 xe， 即函数 g（x）在（0，e）上单增，在（e，+）上单减，故()= () = 1 ， 实数 a 的取值范围为 1 ； （3）证明：要证 abba，即证 blnaalnb，即证 ， 由（2）知函数() = 在（0，e）上单增，又 0abe，故 ，即得证
