1、 第 1 页（共 16 页） 2020 年北京市高考数学模拟试卷（年北京市高考数学模拟试卷（11） 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分）若复数 z1与 z23i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则 z1（ ） A3i B3+i C3+i D3i 2 （4 分）函数 f（x）sin（x 4）的一个单调递增区间可以是（ ） A 3 4 ， 4 B 2， 2 C 2，0 D0， 2 3 （4 分）已知向量 ， 夹角为 30， = (1，2)，| | = 2，则|2 | =（ ） A2 B4 C23 D27 4
2、（4 分）若( 2 2) 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 （ ） A210 B180 C160 D175 5 （4 分）下列函数中是偶函数，且在（0，+）上单调递增的是（ ） Ayx3 Bylgx2 Cy2x Dy= | 6 （4 分）某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（ ） A8 B6 C4 D82 3 7 （4 分）已知函数 f（x）= (1 3) + 2(0) ( 3)2+ 2( 0) ，在（，+）上是减函数，则实 数 a 的取值范围为（ ） A （2，3） B1，3） C （1，3） D1，3 8 （4 分）已知等差数列an的公差为 d，前 n
3、 项和为 Sn，则“S1+S52S3”是“d0”的 （ ） 第 2 页（共 16 页） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9（4 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， A和 B 是圆C：（x1） 2+y21 上的两点， 且 = 2， 点 P （2，1） ，则|2 |的取值范围是（ ） A.,5 2，5 + 2- B,5 1，5 + 1- C.,6 25，6 + 25- D.,7 210，7+ 210- 10 （4 分）某校随机抽取 100 名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这 l00 名同学的得分都在50，100内，按得分分成 5 组：50，6
4、0） ，60，70） ，70，80） ，80， 90） ， 90， 100， 得到如图所示的频率分布直方图则这 100 名同学的得分的中位数为 （ ） A72.5 B75 C77.5 D80 二填空题（共二填空题（共 5 小题，满分小题，满分 25 分，每小题分，每小题 5 分）分） 11 （5 分）已知集合 M1+a，a2+a，3，Na23a+8，b3，0，且 MN2，则 a+b 的值为 12 （5 分）抛物线 x28y 的准线方程是 ，焦点坐标是 13 （5 分）已知数列an为正项的递增等比数列，a1+a582，a2a481，记数列* 2 +的前 n 项和为 Tn，则使不等式2020| 1
5、 3 1 1|1成立的最大正整数 n 的值是 14 （5 分）将函数 f（x）sin2x 的图象向右平移 6个单位，得到函数 g（x）的图象，则函 数 yf（x）g（x）在区间0， 2上的值域为 15 （5 分）已知 x，yR，区域 满足：x2+y21，设 f（x，y）ax+2by2（a，bR） ， 若对区域 内的任意两点（x1，y1） ， （x2，y2）都有 f（x1，y1） f（x2，y2）0 成立，则 2a+b 的取值范围是 三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 85 分）分） 第 3 页（共 16 页） 16 （14 分）如图，在ABC 中，点 D 在 BC 边上，ADC
6、60，AB27，BD4 （1）求ABD 的面积 （2）若BAC120，求 sinC 的值 17 （14 分）为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚为了更好地了解 市民的态度， 在普通行人中随机选取了 200 人进行调查， 当不处罚时， 有 80 人会闯红灯， 处罚时，得到如表数据： 处罚金额 x（单位：元） 5 10 15 20 会闯红灯的人数 y 50 40 20 10 若用表中数据所得频率代替概率 （）当罚金定为 10 元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？ （）将选取的 200 人中会闯红灯的市民分为两类：A 类市民在罚金不超过 10 元时就会 改正行为；B 类是其
7、他市民现对 A 类与 B 类市民按分层抽样的方法抽取 4 人依次进行 深度问卷，则前两位均为 B 类市民的概率是多少？ 18 （14 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC，BAC= 2，AA1AB AC1，CC1的中点为 H （）求证：ABA1C； （）求二面角 A1BCA 的余弦值； （）在棱 A1B1上是否存在点 N，使得 HN平面 A1BC？若存在，求出 1 11的值；若不 存在，请说明理由 19 （14 分）已知焦点在 x 轴上的椭圆的一个顶点为 A（0，1） ，以右焦点为圆心以 3 为 第 4 页（共 16 页） 半径的圆与直线 xy+22 =0 相切 （1）
8、求椭圆的方程； （2）设椭圆与直线 ykx+m（k0）相交于不同的两点 M、N当|AM|AN|时，求三角 形 OMN 面积的最大值 20 （15 分）已知函数() = 1 3( 1) 3 ( 1) （1）当 a2 时，求曲线 yf（x）在（1，f（1） ）处的切线方程； （2）若函数 yf（x）在区间1，+）上单调递增，求 a 的取值范围 21（14 分） 已知数列an满足 a1+3a2+ （2n1） an3 2+3 2 ， nN*， 记 Sna1+a2+ +an （）求 an和 Sn； （）证明： （1+ 1 2 + 1 3 + + 1 ） Snlnn+1 第 5 页（共 16 页） 202
9、0 年北京市高考数学模拟试卷（年北京市高考数学模拟试卷（11） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分）若复数 z1与 z23i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则 z1（ ） A3i B3+i C3+i D3i 【解答】 解： 复数 z1与 z23i （i 为虚数单位） 在复平面内对应的点关于实轴对称， 复数 z1与 z23i（i 为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数， 则 z13+i 故选：B 2 （4 分）函数 f（x）sin（x 4）的一个单调递增区间可以是（
10、） A 3 4 ， 4 B 2， 2 C 2，0 D0， 2 【解答】解：在区间 3 4 ， 4，x 4，0，函数 f（x）sin（x 4）没有单调性， 故排除 A； 在区间 2， 2，x 4 3 4 ， 4，函数 f（x）sin（x 4）没有单调性，故排除 B； 在区间 2，0，x 4 3 4 ， 4，函数 f（x）sin（x 4）没有单调性，故排除 C； 在区间0， 2，x 4 4， 4，函数 f（x）sin（x 4）单调递增，故 D 满足条件， 故选：D 3 （4 分）已知向量 ， 夹角为 30， = (1，2)，| | = 2，则|2 | =（ ） A2 B4 C23 D27 【解答】
11、解：根据题意， = (1，2)，则| |= 3， 又由向量 ， 夹角为 30，则 = 3 2 3 2 =3， 则|2 | =(2 )2= 4 2 4 + 2 = 2， 故选：A 4 （4 分）若( 2 2) 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 （ ） 第 6 页（共 16 页） A210 B180 C160 D175 【解答】解：若( 2 2) 的展开式中只有第六项的二项式系数5最大，故 n10， 则展开式的通项公式为 Tr+1= 10 （2）r5 5 2，令 55 2 =0，求得 r2， 可得展开式中的常数项为 10 2 （2）2180， 故选：B 5 （4 分）下列
12、函数中是偶函数，且在（0，+）上单调递增的是（ ） Ayx3 Bylgx2 Cy2x Dy= | 【解答】解：A函数为奇函数，不满足条件 B函数的定义域为x|x0，函数为偶函数，当 x0 时，ylgx22lgx 为减函数， 不满足条件 Cy2x为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件 Df（x）f（x） ，函数为偶函数，当 x0 时，y= 为增函数，满足条件， 故选：D 6 （4 分）某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（ ） A8 B6 C4 D82 3 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 可知该几何体为三棱锥 PABC，PA底面 ABC，底面 ABC 是以角 B 为直角的等腰直
13、角 三角形， PC 的中点 O 为三棱锥 PABC 外接球的球心， 由已知求得 PC= 22，则三棱锥外接球的半径 R= 2， 它的外接球的表面积为4 2= 4 (2)2= 8 故选：A 第 7 页（共 16 页） 7 （4 分）已知函数 f（x）= (1 3) + 2(0) ( 3)2+ 2( 0) ，在（，+）上是减函数，则实 数 a 的取值范围为（ ） A （2，3） B1，3） C （1，3） D1，3 【解答】解：f（x）在（，+）上是减函数， 1 30 30 2 2 ，解得 1a3， a 的取值范围为1，3） 故选：B 8 （4 分）已知等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 S
14、n，则“S1+S52S3”是“d0”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：化简条件：由 S1+S52S3，得 a1+5a1+10d2（3a1+3d） ，即 d0， 所以“S1+S52S3”是“d0”的充要条件 故选：C 9（4 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， A和 B 是圆C：（x1） 2+y21 上的两点， 且 = 2， 点 P （2，1） ，则|2 |的取值范围是（ ） A.,5 2，5 + 2- B,5 1，5 + 1- C.,6 25，6 + 25- D.,7 210，7+ 210- 【解答】解：设2 = ，则有 = 1
15、2（ + ） ，所以 A 为 BE 的中点，AE AB= 2，过 O 作 CFAB，垂足为 F， 因为 AB= 2，所以 AFBF= 2 2 ，OF=1 ( 2 2 )2= 2 2 ， 第 8 页（共 16 页） EFAE+AF= 2 + 2 2 = 32 2 ， OE= 2+ 2=( 2 2 )2+ (3 2 2 )2= 5， 所以点 E 的轨迹方程为： （x1）2+y25， 所以 OP= 2， 则|2 |的取值范围是：5 2，5 + 2， 故选：A 10 （4 分）某校随机抽取 100 名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这 l00 名同学的得分都在50，100内，按得分分成 5
16、 组：50，60） ，60，70） ，70，80） ，80， 90） ， 90， 100， 得到如图所示的频率分布直方图则这 100 名同学的得分的中位数为 （ ） A72.5 B75 C77.5 D80 【解答】解：由频率分布直方图得： 50，70）的频率为： （0.010+0.030）100.4， 70，80）的频率为：0.040100.4， 这 100 名同学的得分的中位数为： 70+ 0.50.4 0.4 10 =72.5 第 9 页（共 16 页） 故选：A 二填空题（共二填空题（共 5 小题，满分小题，满分 25 分，每小题分，每小题 5 分）分） 11 （5 分）已知集合 M1+
17、a，a2+a，3，Na23a+8，b3，0，且 MN2，则 a+b 的值为 3 【解答】解：集合 M1+a，a2+a，3，Na23a+8，b3，0，且 MN2， 2M，2N， 若 1+a2，则 a2+a2，不符合条件， 若 a2+a2，则 a1， （舍） ，或 a2， 2N，且 a23a+818， b32，解得 b5， a+b3 故答案为：3 12 （5 分）抛物线 x28y 的准线方程是 y2 ，焦点坐标是 （0，2） 【解答】解：由抛物线 x28y 可得：2p8，所以 p4，且焦点在 y 轴的负半轴上， 所以焦点（0， 2）即： （0，2） ，准线 y= 2 =2， 故答案分别为：y2，
18、（0，2） 13 （5 分）已知数列an为正项的递增等比数列，a1+a582，a2a481，记数列* 2 +的前 n 项和为 Tn，则使不等式2020| 1 3 1 1|1成立的最大正整数 n 的值是 8 【解答】解：因为数列an为正项的递增等比数列， 由 a1+a582，a2a481，解得 a11，q3， = 31， 故 2 =231 n，数列*2 +为首项为 2，公比为 1 3的等比数列， = 2 (1 1 3) 11 3 = 3(1 1 3) 2020| 1 3 1 1|1 2020|1 1 3 1 31 1|1 整理得：3n8080 使不等式成立的最大整数 n 为 8 故答案为：8 第
19、 10 页（共 16 页） 14 （5 分）将函数 f（x）sin2x 的图象向右平移 6个单位，得到函数 g（x）的图象，则函 数 yf（x）g（x）在区间0， 2上的值域为 3 2 ，1 【解答】解：将函数 f（x）sin2x 的图象向右平移 6个单位， 得到函数 g（x）sin（2x 3）的图象的图象， 则函数 yf（x）g（x）sin2xsin（2x 3）sin2x 1 2sin2x+ 3 2 cos2xsin（2x+ 3） ， x0， 2，2x+ 3 3， 4 3 ， 故当 2x+ 3 = 2时，函数 yf（x）g（x）取得最大值为 1； 当 2x+ 3 = 4 3 时，函数 yf（
20、x）g（x）取得最小值为 3 2 ， 故函数 yf（x）g（x）的值域为 3 2 ，1， 故答案为： 3 2 ，1 15 （5 分）已知 x，yR，区域 满足：x2+y21，设 f（x，y）ax+2by2（a，bR） ， 若对区域 内的任意两点（x1，y1） ， （x2，y2）都有 f（x1，y1） f（x2，y2）0 成立，则 2a+b 的取值范围是 17，17 【解答】解：区域 ：x2+y21 的点在 f（x，y）ax+2by2（a，bR）的同一侧， 即与 f（x）单位圆相切或相离， 圆心（0，0）到 ax+2by20（a，bR）的距离大于等于 1， 2 2+42 1， a2+4b24；
21、令：a2cos，bsin； 2a+b4cos+sin= 17( + )，其中 = 417 17 ； sin（+）1，1； 2a+b ,17，17-， 故答案为：17，17 三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 85 分）分） 16 （14 分）如图，在ABC 中，点 D 在 BC 边上，ADC60，AB27，BD4 （1）求ABD 的面积 第 11 页（共 16 页） （2）若BAC120，求 sinC 的值 【解答】解： （1）ADC60， ADB120， 设 ADt，在ABD 中，由余弦定理得 AB2AD2+BD22ADBDcos120，即 28 = 2+ 16 + 2 4
22、1 2， t2（负值舍去） ，即 AD2， = 1 2 = 1 2 2 4 3 2 = 23； （2）在ABD 中，由余弦定理有， = 2+22 2 = 28+164 2274 = 57 14 ， 又 B 为ABD 内角，故 = 1 2 = 21 14 ， 又BAC120， 故 = (180 120 ) = (60 ) = 3 2 57 14 1 2 21 14 = 21 7 17 （14 分）为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚为了更好地了解 市民的态度， 在普通行人中随机选取了 200 人进行调查， 当不处罚时， 有 80 人会闯红灯， 处罚时，得到如表数据： 处罚金额 x
23、（单位：元） 5 10 15 20 会闯红灯的人数 y 50 40 20 10 若用表中数据所得频率代替概率 （）当罚金定为 10 元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？ （）将选取的 200 人中会闯红灯的市民分为两类：A 类市民在罚金不超过 10 元时就会 改正行为；B 类是其他市民现对 A 类与 B 类市民按分层抽样的方法抽取 4 人依次进行 深度问卷，则前两位均为 B 类市民的概率是多少？ 【解答】解： （）当罚金定为 10 元时，行人闯红灯的概率为 40 200 = 1 5； 不进行处罚，行人闯红灯的概率为 80 200 = 2 5； 第 12 页（共 16 页） 所以当罚金
24、定为 10 元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低2 5 1 5 = 1 5； （）由题可知，闯红灯的市民有 80 人，A 类市民和 B 类市民各有 40 人，故分别从 A 类市民和 B 类市民各抽出两人， 4 人依次排序， 不同的方法有 A4424 种， 前两位均为 B 类市民排序， 不同的方法有 A22A22 4 种， 所以前两位均为 B 类市民的概率是 P= 4 24 = 1 6 18 （14 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC，BAC= 2，AA1AB AC1，CC1的中点为 H （）求证：ABA1C； （）求二面角 A1BCA 的余弦值； （）在棱 A1B
25、1上是否存在点 N，使得 HN平面 A1BC？若存在，求出 1 11的值；若不 存在，请说明理由 【解答】解： （I）AA1平面 ABC，AB平面 ABC，所以 AA1AB， 又BAC= 2，所以 ABAC，AA1ACA， 故 AB平面 ACC1A1，A1C平面 ACC1A1， 所以 ABA1C； （II）建立如图空间直角坐标系， A（0，0，0） ，B（1，0，0） ，C（0，1，0） ，A1（0，0，1） ， 设平面 A1CB 的一个法向量为 = (，)， 1 = (1，0， 1)，1 = (0，1， 1) 由 1 = 0 1 = 0 ，得 = 0 = 0，故 = (1，1，1)， 又平面
26、 ABC 的法向量为 = (0，0，1)， 第 13 页（共 16 页） 由 cos ， = 1 3 = 3 3 ， 由题意知二面角 A1BCA 为锐角，故二面角 A1BCA 的余弦值为 3 3 ； （III）假设 A1B1 上存在点 N（x，y，z） ，使得 HN平面 A1BC， 由1 = 11 ， ,0，1-， 由 H（0，1，1 2） ，1 = (，0，0)， 所以 = 1 + 1 = (， 1， 1 2)， 由 HN平面 A1BC， = 1 + 1 2 = 0，得 = 1 2， 故在棱 A1B1上存在点 N（1 2 ，0，1） ，使得 HN平面 A1BC， 1 11的值为 1 2 19
27、 （14 分）已知焦点在 x 轴上的椭圆的一个顶点为 A（0，1） ，以右焦点为圆心以 3 为 半径的圆与直线 xy+22 =0 相切 （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆与直线 ykx+m（k0）相交于不同的两点 M、N当|AM|AN|时，求三角 形 OMN 面积的最大值 【解答】解： （1）依题意可设椭圆方程为 2 2 + 2= 1，则右焦点(2 1，0)， 由题设| 21+22| 2 = 3 解得 a23 故所求椭圆的方程为 2 3 + 2= 1 （2）设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，直线方程为：ykx+m， 设 P 为弦 MN 的中点，由 2 3 + 2= 1 = + ， 得
28、（3k2+1）x2+6mkx+3（m21）0 第 14 页（共 16 页） 则 x1+x2= 6 32+1，x1x2= 3(21) 32+1 直线与椭圆有两个交点，0，即 m23k2+1 xP= 1+2 2 = 3 32+1，从而 = + = 32+1 kAP= +1 = +32+1 3 ，又|AM|AN|，APMN 则 +32+1 3 = 1 ，即 2m3k 2+1 把代入得 2mm2，解得 0m2， 由得2= 21 3 0，解得 1 2m 的取范围是( 1 2，2) |MN|= 1 + 2|x1x2|= 1 + 2( 6 32+1) 2 4 3(21) 32+1 = 231+232+12
29、32+1 ， 原点到直线 ykx+m 的距离 d= | 1+2 = 1+2 SOMN= 1 2|MN|d= 332+12 32+1 = 3 2 2 2， 所以当 m1 时，三角形 OMN 面积的最大值为： 3 2 20 （15 分）已知函数() = 1 3( 1) 3 ( 1) （1）当 a2 时，求曲线 yf（x）在（1，f（1） ）处的切线方程； （2）若函数 yf（x）在区间1，+）上单调递增，求 a 的取值范围 【解答】解： （1）当 a2 时，() = 1 3( 1) 3 2( 1)； f（x）（x1）22lnx； 则 kf（1）0，f（1）2； 曲线 yf（x）在（1，f（1） ）
30、处的切线方程为 y2； （2）函数 yf（x）当 x1，+）时单调递增； 当 x1，+）时，f（x）0 恒成立； f（x）（x1）2alnx，() = 2( 1) = 222 ； 令 h（x）2x22xa= 2( 1 2) 2 1 2，则 h（x）在1，+）上单调递增； 当 h（1）a0，即 a0 时，当 x1，+）时，由 f（x）0； f（x）在1，+）上单调递增，则 f（x）f（1）0 恒成立； 第 15 页（共 16 页） a0 满足条件； 当 h（1）a0，即 a0 时，h（x）在（1，+）上存在一个零点，不妨设为 x0； 当 x（1，x0）时，f（x）0，当 x（x0，+）时，f（x
31、）0； f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增； 则 f（x0）f（1）0，不合题意； 综上，a 的取值范围是（，0 21（14 分） 已知数列an满足 a1+3a2+ （2n1） an3 2+3 2 ， nN*， 记 Sna1+a2+ +an （）求 an和 Sn； （）证明： （1+ 1 2 + 1 3 + + 1 ） Snlnn+1 【解答】解： （I）数列an满足 a1+3a2+（2n1）an3 2+3 2 ，nN*， n2 时，a1+3a2+（2n3）an13 2+1 21 ，nN*， （2n1）an= 21 2 ，解得 an= 1 2 n1 时，a13 5 2
32、= 1 2，对于上式也成立 an= 1 2 Sna1+a2+an= 1 2 + 1 22 + + 1 2 = 1 2(1 1 2) 11 2 =1 1 2 （）证明：先证明 lnxx1， （x0） 令 f（x）lnxx+1， f（x）= 1 1= 1 ，可得 x1 时取得极大值即最大值 lnxx1， （x0） lnxx1（x0，且 x1） 令 x= +1，则 ln +1 +1 1， 化为：ln（n+1）lnn 1 +1 分别令 n1，2，n， 则：ln2ln1 1 2，ln3ln2 1 3，lnnln（n1） 1 ， 第 16 页（共 16 页） lnn 1 2 + 1 3 + + 1 1+lnn1+ 1 2 + 1 3 + + 1 （1+ 1 2 + 1 3 + + 1 ） Sn（1+ 1 2 + 1 3 + + 1 ） （1 1 2 ）1+ 1 2 + 1 3 + + 1 lnn+1
