1、 第 1 页（共 16 页） 2020 年江西省高考数学（文科）模拟试卷（年江西省高考数学（文科）模拟试卷（6） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设全集为 R，集合 Ax|log2x1，Bx|x21，则 A（RB）（ ） A （1，1） B （1，2） C （0，1） D （0，2） 2 （5 分）复数 z= 12 （i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ） A （2，1） B （2，1） C （1，2） D （1，2） 3（5 分） 已知偶函数 f （x） 在区间 （， 1） 上单调递增， 若 aln3， b
2、log21 3， = 1 2 1 5， 则 f （a） ，f（b） ，f（c）的大小关系为（ ） Af（a）f（b）f（c） Bf（b）f（c）f（a） Cf（c）f（b）f（a） Df（a）f（c）f（b） 4 （5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a1+a44，a2+a58，则2020 2020 =（ ） A2017 B2018 C2019 D2020 5（5 分） 已知角 的顶点为坐标原点， 始边与 x 轴的非负半轴重合， 终边过点 P （sin132， cos132） ，则 tan（+12）（ ） A3 B 3 3 C3 D 3 3 6 （5 分）已知向量 =（1，2） ，
3、 =（x2+1，x） ，则“x1”是“ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7 （5 分）不透明的袋中装有 8 个大小质地相同的小球，其中红色的小球 6 个，白色的小球 2 个， 从袋中任取 2 个小球， 则取出的 2 个小球中有 1 个是白色小球另 1 个是红色小球的 概率为（ ） A 3 14 B3 7 C6 7 D13 28 8 （5 分）若抛物线 xmy2的焦点到准线的距离为 2，则 m（ ） A4 B1 4 C 1 4 D1 4 9 （5 分）设 x，y 满足不等式组 + 2 + 0 且 :4的最大值为 1 2，则实数 a 的值为（ ）
4、 第 2 页（共 16 页） A1 B2 C3 D4 10（5分） 执行如图所示的程序框图， 若输出的结果为3， 则可输入的实数x值的个数为 （ ） A1 B2 C3 D4 11 （5 分） 已知函数 y= 3sin2x 的图象与函数 y3cos2x 的图象相邻的三个交点分别是 A， B，C，则ABC 的面积为（ ） A3 4 B3 2 C 3 4 D 3 2 12 （5 分）已知函数 f（x）= 1， 1 1 3( + 2)，1 ，若 且 f（）f（） ，则 的取 值范围是（ ） A83ln3，6 B83ln3，e21） C94ln3，6 D94ln3，e21） 二填空题（共二填空题（共 4
5、 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知双曲线 2 2 2 4 = 1( )的两个焦点为 F1、F2，P 为该双曲线上一点， 满足|12|2= |1| |2|，P 到坐标原点 O 的距离为 d，且 5d9，则 a2 14 （5 分）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 b27，c3，B2C， 则 cos2C 的值为 15 （5 分）函数 f（x）ex+sinx 在点（0，1）处的切线方程为 16 （5 分）平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，已知底面四边形 ABCD 为矩形，A1AB A1AD= 3其中|AB|a，|AD|
6、b，|AA1|c，体对角线|A1C|1，则 c 的最大值为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分） “生命重于泰山， 疫情就是命令， 防控就是责任” 面对疫情，为切实做好防控， 第 3 页（共 16 页） 落实“停课不停学” ，某校高三年级启动线上公益学习活动，助“战”高考，为了解学生 的学习效果，李华老师在任教的甲、乙两个班中各随机抽取 20 名学生进行一次检测，根 据他们取得的成绩（单位：分，满分 100 分）绘制了如图茎叶图，记成绩不低于 70 分者 为“成绩优良” （1）分别估计甲、乙两个班“成绩优良”的概率；
7、 （2）根据茎叶图判断哪个班的学习效果更好？并从两个角度来说明理由 18 （12 分）已知各项为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn，a22，S45S2 （I）求数列an的通项公式； （2）求使得 8Sn15an0 成立的最小正整数 n 19 （12 分）如图直三棱柱 ABCA1B1C1，AA1= 2，底面是边长为 1 的等边三角形，D 为 BB1的中点，AC1与 CA1交于点 E （）证明：DE平面 A1B1C1； （）求点 B 到平面 DCA1的距离 20 （12 分）已知函数() = + 2 + （k，aR 且 a0） （1）求 f（x）在2，+）上的最小值； （2）若 a1，函数
8、f（x）恰有两个不同的零点 x1，x2，求证：x1+x24 21 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点 M（1，1）离心率为 2 2 （1）求的方程； （2）如图，若菱形 ABCD 内接于椭圆，求菱形 ABCD 面积的最小值 第 4 页（共 16 页） 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，动圆 C：x2+y242xcos4ysin+7cos280， （R， 是参數） 以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线 1 的极坐 标方程为 2cos（+ 3）
9、m （1）求动圆 C 的圆心的轨迹 C1的方程及直线 1 的直角坐标方程； （2）设 M 和 N 分别 C1和 1 上的动点，若|MN|的最小值为 1，求 m 的值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c1 （1）证明：ab+bc+ca 1 3； （2）若不等式 2 + 2 + 2 t 恒成立，求 t 的最大值 第 5 页（共 16 页） 2020 年江西省高考数学（文科）模拟试卷（年江西省高考数学（文科）模拟试卷（6） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5
10、分）分） 1 （5 分）设全集为 R，集合 Ax|log2x1，Bx|x21，则 A（RB）（ ） A （1，1） B （1，2） C （0，1） D （0，2） 【解答】解：全集为 R，集合 Ax|log2x1x|0x2， Bx|x21x|x1 或 x1， RBx|1x1， A（RB）x|0x1（0，1） 故选：C 2 （5 分）复数 z= 12 （i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ） A （2，1） B （2，1） C （1，2） D （1，2） 【解答】解：z= 12 = (12) 2 = 2 ， 复数 z 在复平面内对应点的坐标是（2，1） 故选：B 3（5 分） 已知偶函数
11、 f （x） 在区间 （， 1） 上单调递增， 若 aln3， blog21 3， = 1 2 1 5， 则 f （a） ，f（b） ，f（c）的大小关系为（ ） Af（a）f（b）f（c） Bf（b）f（c）f（a） Cf（c）f（b）f（a） Df（a）f（c）f（b） 【解答】解：偶函数 f（x）在区间（，1）上单调递增，且函数的图象关于 y 轴对 称， f（x）在区间（1，+）上单调递减， aln3（1，2） ，blog21 3 = log23， = 1 2 1 5 =log252，且 ln3log23， 则 f（a）f（ln3） ，f（b）f（log23） ，f（c）f（log25）
12、 ， f（c）f（b）f（a） ， 故选：A 4 （5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a1+a44，a2+a58，则2020 2020 =（ ） A2017 B2018 C2019 D2020 第 6 页（共 16 页） 【解答】解：因为 a1+a44，a2+a58， 所以21 + 3 = 4 21+ 5 = 8，解可得，d2，a11， 所以2020= 2020 (1) + 20202019 2 2， 所以2020 2020 = 1+20192018 故选：B 5（5 分） 已知角 的顶点为坐标原点， 始边与 x 轴的非负半轴重合， 终边过点 P （sin132， cos132）
13、 ，则 tan（+12）（ ） A3 B 3 3 C3 D 3 3 【解答】解：由 的终边过点 P（sin132，cos132） ， 即 xsin1320，ycos1320； tan= = 132 132 = 42 42 = tan42tan（42） ， 则 tan（+12）tan（42+12）tan30= 3 3 故选：D 6 （5 分）已知向量 =（1，2） ， =（x2+1，x） ，则“x1”是“ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解： 2+ 1 2 = 0 = 1， x1”是“ ”的充要条件 故选：C 7 （5 分）不透明的袋中
14、装有 8 个大小质地相同的小球，其中红色的小球 6 个，白色的小球 2 个， 从袋中任取 2 个小球， 则取出的 2 个小球中有 1 个是白色小球另 1 个是红色小球的 概率为（ ） A 3 14 B3 7 C6 7 D13 28 【解答】解：不透明的袋中装有 8 个大小质地相同的小球，其中红色的小球 6 个，白色 的小球 2 个， 从袋中任取 2 个小球，基本事件总数 n= 8 2 =28， 第 7 页（共 16 页） 取出的 2 个小球中有 1 个是白色小球另 1 个是红色小球包含的基本事件个数： m= 6 121 =12， 则取出的 2 个小球中有 1 个是白色小球另 1 个是红色小球的
15、概率为 p= = 12 28 = 3 7 故选：B 8 （5 分）若抛物线 xmy2的焦点到准线的距离为 2，则 m（ ） A4 B1 4 C 1 4 D1 4 【解答】 解： 抛物线xmy2， y2= 1 x的焦点到准线的距离为p， 由标准方程可得| 1 2|2， 解得 m1 4， 故选：D 9 （5 分）设 x，y 满足不等式组 + 2 + 0 且 :4的最大值为 1 2，则实数 a 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图： 可知 a2， :4的几何意义是可行域内的点与 Q（4，0）连线的斜率， 直线 x+y20 与直线 yx+a 的交点为 A（1
16、 2，1+ 2） ， 当 x1 2，y1+ 2时， :4的最大值为 1 2，解得 a2，所以实数 a 的值为 2 故选：B 10（5分） 执行如图所示的程序框图， 若输出的结果为3， 则可输入的实数x值的个数为 （ ） 第 8 页（共 16 页） A1 B2 C3 D4 【解答】解：由于输出结果 y3， 根据跳出循环时条件可知： 若 3log2（x+1） ，解之得 x7，符合题意； 若 3x21，解之得 x2，符合题意； 所以 x 可以取 7，2， 故选：C 11 （5 分） 已知函数 y= 3sin2x 的图象与函数 y3cos2x 的图象相邻的三个交点分别是 A， B，C，则ABC 的面积
17、为（ ） A3 4 B3 2 C 3 4 D 3 2 【解答】解：函数 y= 3sin2x 的图象与函数 y3cos2x 的交点为（x，y） ， 令32 = 32，故 tan2x= 3， 解得 2x= 3 ， 4 3 ， 7 3 ， 所以 x= 6 ， 2 3 ， 7 6 ， 即 A（ 6 ， 3 2） ，B（ 2 3 ， 3 2） ，C（ 7 6 ， 3 2） ， 所以三角形的底边长为 ，高为3 2 + 3 2 = 3 = 1 2 3 = 3 2 故选：B 12 （5 分）已知函数 f（x）= 1， 1 1 3( + 2)，1 ，若 且 f（）f（） ，则 的取 第 9 页（共 16 页）
18、值范围是（ ） A83ln3，6 B83ln3，e21） C94ln3，6 D94ln3，e21） 【解答】解：作出函数 f（x）的图象，如图所示， 由 且 f（）f（） ，可得 ln1= 1 3 ( + 2)， 由题意可得，ln11 即 1e2， 故 3ln5， 则 3ln+5， 令 h（x）x3lnx+5，1xe2， 则 h（x）1 3 = 3 ， 易得 h（x）在1，3）上单调递减，3，e2）上单调递增， 故当 x3 时函数取得极小值，也是最小值 h（3）83ln3， 而 h（e2）e21h（1）6， 故 83ln3h（x）e21 故选：B 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，
19、满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知双曲线 2 2 2 4 = 1( )的两个焦点为 F1、F2，P 为该双曲线上一点， 满足|12|2= |1| |2|， P 到坐标原点 O 的距离为 d， 且 5d9， 则 a2 4 或 9 【解答】解：根据双曲线 2 2 2 4 = 1( )可得 b2，c2a2+4， 设 P 为右支上一点，|PF1|m，|PF2|n， 第 10 页（共 16 页） 由双曲线的定义可得 mn2a， 又因为|12|2= |1| |2|，P 到坐标原点 O 的距离为 d， 可得 4c2mn，m2+n22c2+2d2， 则（mn）2+2mn4a2
20、+8c22c2+2d2 整理得 d22a2+3c22a2+3（a2+4）5a2+12， 又 d2（25，81） ， 即 255a2+1281， 由 a 为正整数，可得 a2 或 3， 故答案为：4 或 9 14 （5 分）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 b27，c3，B2C， 则 cos2C 的值为 5 9 【解答】解：由正弦定理可得： = ， 即 = = 2 = 2 = 2 = 27 3 = 7 3 ， 2 = 22 1 = 2 7 9 1 = 5 9 故答案为：5 9 15 （5 分）函数 f（x）ex+sinx 在点（0，1）处的切线方程为 2xy+10 【解
21、答】解：函数 f（x）ex+sinx 的导数为 f（x）ex+cosx， 可得在点（0，1）处的切线斜率为 e0+cos02， 则函数 f（x）ex+sinx 在点（0，1）处的切线方程为 f（x）2x+1， 即为 2xy+10， 故答案为：2xy+10 16 （5 分）平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，已知底面四边形 ABCD 为矩形，A1AB A1AD= 3其中|AB|a，|AD|b，|AA1|c，体对角线|A1C|1，则 c 的最大值为 2 【解答】解：如图， 第 11 页（共 16 页） 由A1ABA1AD= 3可知，点 A1 在底面的射影点在直线 AC 上，记直线 A1A 与底
22、面的 夹角为 ， 则 coscosA1ABcosCAB， 所以 coscos 3cos 4 = 2 4 ，所以 sin= 2 2 ， 在A1AC 中，由正弦定理可得 c= 2sinA1CA 2， 当A1CA= 2时，c 取最大值2， 故答案为：2 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分） “生命重于泰山， 疫情就是命令， 防控就是责任” 面对疫情，为切实做好防控， 落实“停课不停学” ，某校高三年级启动线上公益学习活动，助“战”高考，为了解学生 的学习效果，李华老师在任教的甲、乙两个班中各随机抽取 20 名学生进行一次检
23、测，根 据他们取得的成绩（单位：分，满分 100 分）绘制了如图茎叶图，记成绩不低于 70 分者 为“成绩优良” （1）分别估计甲、乙两个班“成绩优良”的概率； （2）根据茎叶图判断哪个班的学习效果更好？并从两个角度来说明理由 【解答】解： （1）从茎叶图中，可得甲班学生成绩不低于 70 分的人数共有 10 人， 乙班学生成绩不低于 70 分的人数共有 16 人，且成绩不低于 70 分者为 成绩优良； 甲班“成绩优良”的概率为：10 20 =0.5； 第 12 页（共 16 页） 乙班“成绩优良”的概率为：16 20 =0.8 （2）乙班教学效果更佳， 理由 1、乙班大多在 70 以上，甲班
24、70 分以下的明显更多； 理由 2、 甲班样本数学成绩的平均分为： 70.2； 乙班样本数学成绩前十的平均分为： 79.05 理由 3、 甲班样本数学成绩的中位数为： 68:72 2 =70， 乙班样本成绩的中位数77:78 2 =77.5 18 （12 分）已知各项为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn，a22，S45S2 （I）求数列an的通项公式； （2）求使得 8Sn15an0 成立的最小正整数 n 【解答】解： （1）设公比为 q，则 q0；S45S2 q1；1(1; 4) 1; = 51(1;2) 1; q44q2+50q24 （q21 舍） ； q2 （2 舍） ana22n
25、 22n1； （2）由（1）得：Sn2n1； 8Sn15an8（2n1）152n 12n18； 2n 180n4； 1n3 时，2n 180，此时 8S n15an； n4 时，2n 180，此时 8S n15an； n5 时，2n 180，此时 8S n15an； 使得 8Sn15an0 成立的最小正整数 n 为 5 19 （12 分）如图直三棱柱 ABCA1B1C1，AA1= 2，底面是边长为 1 的等边三角形，D 为 BB1的中点，AC1与 CA1交于点 E （）证明：DE平面 A1B1C1； （）求点 B 到平面 DCA1的距离 第 13 页（共 16 页） 【解答】 （）证明：取 A
26、1C1 的中点 F，连接 EF，B1F， EFAA1，BB1AA1，DB1EF， 又EF= 1= 1 2 1，四边形 DEFB1 为平行四边形，则 DEB1F 又B1F平面 A1B1C1，DE平面 A1B1C1 DE平面 A1B1C1； （）解：取 AB 的中点 H，连接 CH， 由直三棱柱的性质可得 CH平面 AA1B1B，CH= 3 2 ，1= 2 4 设点 B 到平面 DCA1的距离为 h，又1= 3 4， 由;1= ;1，得1 3 1 = 1 3 1 ， 即1 3 3 4 = 1 3 2 4 3 2 ，解得 h= 6 6 20 （12 分）已知函数() = + 2 + （k，aR 且
27、a0） （1）求 f（x）在2，+）上的最小值； （2）若 a1，函数 f（x）恰有两个不同的零点 x1，x2，求证：x1+x24 【解答】解： （1）定义域（0，+） ，() = 2 2 = 2 2 ， 由 f（x）0 时，x (2 ， + )；由 f（x）0 时，x (0， 2 )， 若2 2 即 a1 时，f（x）在2，+）上单调递增，故 f（x）在2，+）的最小值为 f （2）k+1+aln2； 当 0a1 时，f（x）在2，2 ）上单调递减，在（ 2 ，+ ）单递增， 故 f（x）在2，+）的最小值为 f（2 ）k+a+aln 2 ， 综上，当 a1 时，f（x）在2，+）上的最小值
28、为 f（2）k+1+aln2； 当 0a1 时，f（x）在在2，+）的最小值为 f（2 ）k+a+aln 2 ， 第 14 页（共 16 页） （2）当 a1 时，不妨设 0x1x2， 则 k+ 2 1 + 1= 0，k+ 2 2 + 2=0， 2 1 + 1= 2 2 + 2，故2(2;1) 12 = 2 1， 令 t= 2 1，t1，则 lnt= 2(1) 1 ， x1= 2(1) ， 所以 x1+x2x1（t+1）= 2(21) ，故 x1+x24= 2(21) 4= 2 ( 1 2)， 令 g（t）t2lnt 1 ， 而() = 1 + 1 2 2 = (1)2 2 0，所以 g（t）
29、在（1，+）上单调递增 又 t1，所以 g（t）g（1）0，而 lnt0， 故 x1+x24 21 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点 M（1，1）离心率为 2 2 （1）求的方程； （2）如图，若菱形 ABCD 内接于椭圆，求菱形 ABCD 面积的最小值 【解答】解： （1）由题意， 1 2 + 1 2 = 1 = 2 2 2= 2+ 2 ，解得2= 3，2= 3 2 椭圆的方程为 2 3 + 22 3 = 1； （2）菱形 ABCD 内接于椭圆， 由对称性可设直线 AC：yk1x，直线 BD：yk2x 联立 2 + 22= 3 = 1 ，得方程（212+ 1）x2
30、30， 2= 2= 3 212+1， 第 15 页（共 16 页） |OA|OC|=1 + 12 3 212+1 同理，|OB|OD|=1 + 22 3 222+1 又ACBD，|OB|OD|=1 + 1 12 3 2 12+1 ，其中 k10 从而菱形 ABCD 的面积 S 为： S2|OA|OB|21 + 12 3 212+11 + 1 12 3 2 12+1 ， 整理得 S6 1 2+ 1 (1+ 1 1) 2 4，其中 k10 当且仅当 1 1 = 1时取“” ， 当 k11 或 k11 时，菱形 ABCD 的面积最小，该最小值为 4 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分
31、 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，动圆 C：x2+y242xcos4ysin+7cos280， （R， 是参數） 以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线 1 的极坐 标方程为 2cos（+ 3）m （1）求动圆 C 的圆心的轨迹 C1的方程及直线 1 的直角坐标方程； （2）设 M 和 N 分别 C1和 1 上的动点，若|MN|的最小值为 1，求 m 的值 【解答】解： （1）动圆 C：x2+y242xcos4ysin+7cos280， （R， 是参數） 设动员圆心的坐标为（x，y） ， 则 = 22 = 2 ，消去
32、参数得到 2 8 + 2 4 = 1 直线 1 的极坐标方程为 2cos（+ 3）m转换为直角坐标方程为 3 = 0 （2）设 M 和 N 分别 C1和 1 上的动点， 设M（22，2） ，所以MN的最小距离 d= |2223| 12+(3)2 = |25(+)| 2 ， 由于 d 的最小值不为 0， 第 16 页（共 16 页） 所以当25时，= 25 2 ，则;25 2 = 1，解得 m25 + 2 当 m 25时，= 25+ 2 ，则 +25 2 = 1，解得 m2（5 + 1） 故： = 2(5 + 1) 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23设 a，b，c 均为正数，且 a
33、+b+c1 （1）证明：ab+bc+ca 1 3； （2）若不等式 2 + 2 + 2 t 恒成立，求 t 的最大值 【解答】 （1）证明：由 a2+b22ab，b2+c22bc，c2+a22ca， 可得 a2+b2+c2ab+bc+ca， （当且仅当 abc 取得等号） 由题设可得（a+b+c）21，即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca1， 即有 3（ab+bc+ca）1， 即 ab+bc+ca 1 3； （2）解： 2 + 2 + 2 +a+b+c= 2 +b+ 2 +c+ 2 +a2a+2b+2c， 故 2 + 2 + 2 a+b+c1，当且仅当 abc= 1 3取得等号） 不等式 2 + 2 + 2 t 恒成立，所以 t 的最大值为 1
