1、 第 1 页（共 21 页） 2020 年安徽省高考数学（理科）模拟试卷（年安徽省高考数学（理科）模拟试卷（7） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，集合 Bx|x|2，则 AB（ ） A0，3 B0，1，2 C1，2 D0，1，2，3 2 （5 分）若复数 z 满足（1+i）z|1+i|，则 z 的虚部为（ ） A2 B2 C 2 2 D 2 2 3 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件 1 + 3 0 1 0 ，则 z= +1 +1的取值范围为（ ） A1 2， 3 2 B1 2， 2
2、 3 C （，1 2 3 2，+） D （，1 2 2 3，+） 4 （5 分）已知 a0，函数 f（x）aex，g（x）ealnx+b，e 为自然对数的底数若存在一 条直线与曲线 yf（x）和 yg（x）均相切，则 的取值范围为（ ） A （，e B （0，e C （，1 D （0，1 5 （5 分）已知(3 2 ) + 2( ) = ，则 2sin2sincos（ ） A21 10 B3 2 C 3 2 D2 6 （5 分）给出以下 4 个命题：其中真命题的个数是（ ） 函数 ysin4xcos4x 的最小正周期是 ； 终边在 y 轴上的角的集合是*| = 2 ， +； 把函数 = 3(2
3、 + 3)的图象向右平移 6个单位得到函数 y3sin2x 的图象； 函数 = ( 2)在区间0，上是减函数 A1 B2 C3 D4 7 （5 分）已知 x0，y0，2x+yxy，则 x+y 的最小值为（ ） A6 B32 C3+22 D22 8 （5 分）2019 年 5 月 31 日晚，大连市某重点高中举行一年一度的毕业季灯光表演学生 会共安排 6 名高一学生到学校会议室遮挡 4个窗户， 要求两端两个窗户各安排1 名学生， 中间两个窗户各安排两名学生，不同的安排方案共有（ ） 第 2 页（共 21 页） A720 B360 C270 D180 9 （5 分）半正多面体（semiregula
4、rsolid）亦称“阿基米德多面体” ，是由边数不全相同的正 多边形为面的多面体，体现了数学的对称美二十四等边体就是一种半正多面体，是由 正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体如图所示，图 中网格是边长为 1 的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积 为（ ） A8 3 B4 C16 3 D20 3 10 （5 分）已知 O 为坐标原点，点 P（1，2）在抛物线 C：y24x 上，过点 P 作两直线分 别交抛物线 C 于点 A，B，若 kPA+kPB0，则 kABkOP的值为（ ） A1 B2 C3 D4 11（5 分） 设函数 f （x） x21，
5、 对任意 ,3 2， + )， ( ) 4 2() ( 1) + 4() 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A(， 1 2- , 1 2， + ) B （， 2 2 2 2 ，+） C （， 3 2 3 2 ，+） D （，11，+） 12 （5 分） 已知 ， 为两个不重合的平面， m， n 为两条不重合的直线， 且 m， n， 记直线 m 与直线 n 的夹角和二面角 m 均为 1，直线 n 与平面 所成的角为 2， 则下列说法正确的是（ ） A若 01 6，则 122 B若 6 1 4，则 tan 12tan2 C若 4 1 3，则 sin1sin2 D若 3 1 2，则 cos1
6、3 4cos2 第 3 页（共 21 页） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分） 已知向量 与 的夹角为 120， 且 = (1，3)，| | = 10， 则 = 14 （5 分）记边长为 1 的正六边形的六个顶点分别为 A1、A2、A3、A4、A5、A6，集合 M | = （i， j1， 2， 3， 4， 5， 6， ij） ， 在 M 中任取两个元素 、 ， 则 = 0的概率 为 15 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的焦距为 2c，F 为右焦点，O 为坐标原 点， P 是双曲线上一点， |
7、PO|c， POF 的面积为1 2 ， 则该双曲线的离心率为 16 （5 分）在ABC 中，2acosA+bcosC+ccosB0，则角 A 的大小为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在b2n2bn+1，a2b1+b2，b1，b2，b4成等比数列这三个条件中选择 符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解 已知数列an中 a11，an+13an公差不等于 0 的等差数列bn满足_，求数 列* +的前 n 项和 Sn 注：如果给出多种选择的解答，按符合题意的第一种选择计分 18（12 分） 在四棱锥 PABCD
8、 中， 平面 PAD平面 ABCD 底面 ABCD 为梯形， ABCD， ABAD，且 AB1，PAADDC2， = 22 （）求证：ABPD； （）求二面角 PBCD 的余弦值； （）若 M 是棱 PA 的中点，求证：对于棱 BC 上任意一点 F，MF 与 PC 都不平行 19 （12 分）某城市为了美化旅游景区，决定在夹角为 45的两条道路 EB，EF 之间挖一个 半椭圆形状的人工湖，如图所示，AB40 米，O 为 AB 的中点，OD 为椭圆的半长轴， 椭圆的一个焦点 P 在 OD 上，在椭圆形区域内建造三角形游船区 MNP，其中 M，N 在椭 圆上，且 MN 平行于 AB 交 OD 于
9、G，P 在线段 OG 上 第 4 页（共 21 页） （1）若 OE30 米，为了不破坏道路 EF，求椭圆半长轴长的最大值； （2）若椭的离心率为 2 2 ，当线段 PG 长为何值时，游船区城MNP 的面积最大？ 20 （12 分）2020 年春节期间爆发的新型冠状病毒（2019nCoV） ，是一种可以借助飞沫和 接触传播的变异病毒某定点医院为筛查某些人是否感染该病毒，需要检验血液是否为 阳性，现有 n 份血液样本，有以下两种检验方式： （a）逐份检验，则需要检验 n 次； （b）混合检验，将其中 k（kN*且 k2）份血液样本分别取样混合在一起检验若检验 结果为阴性，这 k 份的血液全为阴性
10、，因而这 k 份血液样本只要检验一次就够了；如果 检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这 k 份再逐份检验， 此时这 k 份血液的检验次数总共为 k+1 次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的 检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为 p（0p1） （1）假设有 6 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经 过 4 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率； （2）现取其中 k（kN*且 k2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总 次数为 1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 2 （i）试运用概率统
11、计的知识，若 E1E2，试求 p 关于 k 的函数关系式 pf（k） ； （ii） 若 = 1 1 4， 采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份 检验的总次数期望值更小，求 k 的最大值 参考数据：ln20.6931，ln31.0986，ln51.6094，In71.9459 21 （12 分）已知函数() = 2 2 1 ，aR （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）有两个极值点 x1，x2（x1x2） ，求 f（x2）2f（x1）的最大值 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 第 5 页（共 21 页
12、） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，已知点 M（1， 3 2 ） ，C1的参数方程为 = 1 2 + = 3 （t 为 参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标 方程为 3 2 =2+cos2 （1）求 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （2）设曲线 C1与曲线 C2相交于 A，B 两点，求 1 | + 1 |的值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 a0，b0，c0，函数 f（x）|ax|+|x+b|+c （1）当 abc2 时，求不等式 f（x）10 的解集； （2）若函数 f（x）的最小值为 1，证明：a
13、2+b2+c2 1 3 第 6 页（共 21 页） 2020 年安徽省高考数学（理科）模拟试卷（年安徽省高考数学（理科）模拟试卷（7） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，集合 Bx|x|2，则 AB（ ） A0，3 B0，1，2 C1，2 D0，1，2，3 【解答】解：A0，1，2，3，Bx|2x2， AB0，1，2 故选：B 2 （5 分）若复数 z 满足（1+i）z|1+i|，则 z 的虚部为（ ） A2 B2 C 2 2 D 2 2 【解答】解：由
14、（1+i）z|1+i|= 2，得 z= 2 1+ = 2(1) (1+)(1) = 2 2 2 2 ， z 的虚部为 2 2 故选：D 3 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件 1 + 3 0 1 0 ，则 z= +1 +1的取值范围为（ ） A1 2， 3 2 B1 2， 2 3 C （，1 2 3 2，+） D （，1 2 2 3，+） 【解答】解：作出的可行域为三角形（包括边界） ， z= +1 +1可看作点（x，y）和 P（1，1）之间的斜率， 由可行域可知 B（1，0） ，C（1，2） ， 且 KPBzKPC； 第 7 页（共 21 页） 则1 2 z 3 2， 故选：A 4 （
15、5 分）已知 a0，函数 f（x）aex，g（x）ealnx+b，e 为自然对数的底数若存在一 条直线与曲线 yf（x）和 yg（x）均相切，则 的取值范围为（ ） A （，e B （0，e C （，1 D （0，1 【解答】解：函数 f（x）aex，g（x）aelnx+b， f（x）aex，g（x）= ，设切点分别为（t，aet） ， （m，aelnm+b） ， 与 f（x） ，yg（x）相切的直线方程为 yaetaet（xt） ，yaelnmb= （xm） 由题意存在一条直线与曲线 yf（x）和 yg（x）均相切可得 aet= ，且 b（1t） aetaelnm+ae aet= ，已知 a
16、0 =（1t）etelnm+e（1t）ete（1t）+eet+ettet 令 h（t）（1t）etelnm+e（1t）ete（1t）+eet+ettet h（t）tet+e， 当 t1 时，h（t）tet+e0， 当 t1 时，h（t）tet+e0，h（t）是单调递增函数 当 t1 时，h（t）tet+e0，h（t）是单调递减函数 h（t）et+ettet在当 t1 时取得最大值，最大值为 h（1）et+ettete 则 的取值范围： e 故选：A 5 （5 分）已知(3 2 ) + 2( ) = ，则 2sin2sincos（ ） A21 10 B3 2 C 3 2 D2 【解答】解：(3
17、2 ) + 2( ) = ， cos2cossin，可得 sin3cos， sin2+cos29cos2+cos210cos21，可得 cos2= 1 10， 第 8 页（共 21 页） 2sin2sincos18cos2（3cos）cos21cos2= 21 10 故选：A 6 （5 分）给出以下 4 个命题：其中真命题的个数是（ ） 函数 ysin4xcos4x 的最小正周期是 ； 终边在 y 轴上的角的集合是*| = 2 ， +； 把函数 = 3(2 + 3)的图象向右平移 6个单位得到函数 y3sin2x 的图象； 函数 = ( 2)在区间0，上是减函数 A1 B2 C3 D4 【解答
18、】解：函数 ysin4xcos4xsin2xcos2xcos2x，函数 ysin4xcos4x 的最小正周期是 ，即成立； 终边在 y 轴上的角的集合是a|ak+ 2，kZ，即不成立； 把函数 = 3(2 + 3)的图象向右平移 6个单位得到函数 y3sin2x 的图象，故成 立； 函数 = ( 2) = cosx 在（0，）上是增函数，故不成立 综上知，为真命题 故选：B 7 （5 分）已知 x0，y0，2x+yxy，则 x+y 的最小值为（ ） A6 B32 C3+22 D22 【解答】解：x0，y0，2x+yxy， 2 + 1 = 1， x+y （x+y） （2 + 1 ） = 2 +
19、+ 3 3+22 = 22 +3， 当且仅当2 = 时取等号 故选：C 8 （5 分）2019 年 5 月 31 日晚，大连市某重点高中举行一年一度的毕业季灯光表演学生 会共安排 6 名高一学生到学校会议室遮挡 4个窗户， 要求两端两个窗户各安排1 名学生， 中间两个窗户各安排两名学生，不同的安排方案共有（ ） A720 B360 C270 D180 【解答】解：根据题意，分 2 步进行： 第 9 页（共 21 页） 在 6 名学生中任选 2 名安排在两端的两个窗户，有6 2 =30 种情况； 将剩下的4名学生平均分成2组， 全排列后安排到剩下的2个窗户， 有4 222 2 2 2 2 = 6
20、种 情况， 则一共有 306180 种不同的安排方案 故选：D 9 （5 分）半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体” ，是由边数不全相同的正 多边形为面的多面体，体现了数学的对称美二十四等边体就是一种半正多面体，是由 正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体如图所示，图 中网格是边长为 1 的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积 为（ ） A8 3 B4 C16 3 D20 3 【解答】解：如图所示，图中红色的部分为该二十四等边体的直观图； 由三视图可知，该几何体的棱长为2， 它是由棱长为 2 的正方体沿各棱中点截去 8
21、 个三棱锥所得到的， 所以该几何体的体积为： = 2 2 2 8 1 3 1 2 1 1 1 = 20 3 故选：D 10 （5 分）已知 O 为坐标原点，点 P（1，2）在抛物线 C：y24x 上，过点 P 作两直线分 第 10 页（共 21 页） 别交抛物线 C 于点 A，B，若 kPA+kPB0，则 kABkOP的值为（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则= 21 21 = 21 22 4 1 2 4 = 4 1+2 = 12 11 = 12 12 4 1 = 4 1+2，同理 = 4 2+2 kPA+kPB0， 4 1+2 + 4
22、2+2 = 0，得 y1+y24 = 4 4 = 1 又= 2 1 = 2，kABkOP122 故选：B 11（5 分） 设函数 f （x） x21， 对任意 ,3 2， + )， ( ) 4 2() ( 1) + 4() 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A(， 1 2- , 1 2， + ) B （， 2 2 2 2 ，+） C （， 3 2 3 2 ，+） D （，11，+） 【解答】解：依据题意得 2 2 14m2（x1）（x1）21+4（m21）在 x3 2，+ ）上恒成立， 即 1 2 4m2 3 2 2 +1 在 x3 2，+）上恒成立 令 g（x）= 3 2 2 +1，g
23、（x）= 6 3 + 2 2， x3 2，+） ， g（x）0，g（x）递增， 当 x= 3 2时，函数 g（x）= 3 2 2 +1 取得最小值 5 3， 所以 1 2 4m2 5 3， 即（3m2+1） （4m23）0， 解得 m 3 2 或 m 3 2 ， 故选：C 第 11 页（共 21 页） 12 （5 分） 已知 ， 为两个不重合的平面， m， n 为两条不重合的直线， 且 m， n， 记直线 m 与直线 n 的夹角和二面角 m 均为 1，直线 n 与平面 所成的角为 2， 则下列说法正确的是（ ） A若 01 6，则 122 B若 6 1 4，则 tan 12tan2 C若 4
24、1 3，则 sin1sin2 D若 3 1 2，则 cos1 3 4cos2 【解答】解：如图所示，直线 BC 为 n，点 B 在平面 的投影为 O，作 BAm 于 A，连 接 OA，OC，则BCABAO1，BCO2， 设 ABa，则 = 1 ， = 1，2= = 1 1 = 21， 对 于A ， 若0 1 6 时 ， 则 1 22= 1 222 1 221=sin1（12sin1）0，故 sin1sin22， 易知021 6，故 122，故选项 A 正确； 对于 B， 若 6 1 4时， 要证 tan 12tan2， 即 21 121 442 142， 即 211 3， 不恒成立，故选项 B
25、 错误； 对于 C，若 4 1 3时，则2 = 211，故选项 C 错误； 对于 D，若 3 1 2时，要证 cos1 3 4cos2，即1 21 9 16 (1 22)，即 21 7 9，不恒成立，故选项 D 错误； 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分） 已知向量 与 的夹角为 120， 且 = (1，3)，| | = 10， 则 = 5 第 12 页（共 21 页） 【解答】解：因为向量 与 的夹角为 120，且 = (1，3)，| | = 10， 所以：| |= (1)2 + 32= 10； 则 = 10
26、 10cos12010（ 1 2）5； 故答案为：5 14 （5 分）记边长为 1 的正六边形的六个顶点分别为 A1、A2、A3、A4、A5、A6，集合 M | = （i， j1， 2， 3， 4， 5， 6， ij） ， 在 M 中任取两个元素 、 ， 则 = 0的概率为 16 145 【解答】解：记边长为 1 的正六边形的六个顶点分别为 A1、A2、A3、A4、A5、A6， 集合 M | = （i，j1，2，3，4，5，6，ij）， 则 M 中共有元素个数为 n= 6 2 =30， 在 M 中任取两个元素 、，共有 30 2 =1529435 种结果， 满足 =0 的共有 412+8372
27、 种结果， 所求概率为： 72 435 = 24 145， 故答案为： 24 145 15 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的焦距为 2c，F 为右焦点，O 为坐标原 点， P 是双曲线上一点， |PO|c， POF 的面积为1 2 ， 则该双曲线的离心率为 2 【解答】解：双曲线 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的焦距为 2c，F 为右焦点，左焦点为 F1（c，0） ，O 为坐标原点，P 是双曲线上一点，|PO|c，F1PF 是直角三角形，PF1 PF2a，PF12+PF24c2，可得 4c22PF1PF4a2 可得 4c24ab4a2，又 a2+b2c2 可得
28、 ab， 即 e= = 2 故答案为：2 16 （5 分）在ABC 中，2acosA+bcosC+ccosB0，则角 A 的大小为 2 3 【解答】解：2acosA+bcosC+ccosB0， 第 13 页（共 21 页） 2sinAcosA+sinBcosC+sinCcosB0， 2sinAcosA+sin（B+C）0， 2sinAcosA+sinA0， 又0A，sinA0， 2cosA+10， = 1 2， 又0A， = 2 3 ， 故答案为：2 3 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在b2n2bn+1，a2b
29、1+b2，b1，b2，b4成等比数列这三个条件中选择 符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解 已知数列an中 a11，an+13an公差不等于 0 的等差数列bn满足_，求数 列* +的前 n 项和 Sn 注：如果给出多种选择的解答，按符合题意的第一种选择计分 【解答】解：由 a11，an+13an，可得an为首项为 1，公比为 3 的等比数列，则 an 3n 1 选时，设数列bn的公差为 d，由 a23，所以 b1+b23，由 b2n2bn+1， 所以 n1 时，b22b1+1，解得 b1= 2 3，b2= 7 3，所以 d= 5 3， 因此 bn= 53 3 ， =（5n3） （1
30、 3） n， Sn21 3 +7 （1 3） 2+（5n3） （1 3） n， 1 3Sn2 （ 1 3） 2+7 （1 3） 3+（5n3） （1 3） n+1， 两式相减可得2 3Sn= 2 3 +5（1 3） 2+（1 3） 3+（1 3） n（5n3） （1 3） n+1 = 2 3 +5 1 9,1( 1 3) 1- 11 3 （5n3） （1 3） n+1=3 2 10+9 23+1， 所以 Sn= 9 4 10+9 43 选时，设数列bn的公差为 d，d0，由 a23，可得 b1+b23，即 2b1+d3， 由 b1，b2，b4成等比数列，可得 b22b1b4，即（b1+d）2b
31、1（b1+3d） ，化为 b1d， 第 14 页（共 21 页） 解得 db11，所以 bnn，nN*； = 31， Sn1 （1 3） 0+21 3 +3 （1 3） 2+n （1 3） n1， 1 3Sn= 1 3 +2 （1 3） 2+（n1） （1 3） n1+n （1 3） n， 两式相减可得2 3Sn1+ 1 3 +（1 3） 2+（1 3） 3+（1 3） n1n （1 3） n = 1 1 31 11 3 n （1 3） n， 化简可得 Sn= 9 4 2+3 431 选时，设数列bn的公差为 d，d0，由 b2n2bn+1， 所以 n1 时，b22b1+1，即 db1+1，又
32、因为 b1，b2，b4成等比数列，可得 b22b1b4， 即（b1+d）2b1（b1+3d） ，化为 b1d，从而无解， 所以等差数列bn不存在，故不合题意 18（12 分） 在四棱锥 PABCD 中， 平面 PAD平面 ABCD 底面 ABCD 为梯形， ABCD， ABAD，且 AB1，PAADDC2， = 22 （）求证：ABPD； （）求二面角 PBCD 的余弦值； （）若 M 是棱 PA 的中点，求证：对于棱 BC 上任意一点 F，MF 与 PC 都不平行 【解答】解： （）证明：因为平面 ABCD平面 PAD， 平面 ABCD平面 PADAD， AB平面 ABCD，ABAD， 所以
33、 AB平面 PAD， 又因为 PD平面 PAD，所以 ABPD （）解：因为 PAAD2， = 22，所以 PAAD 由（）得 AB平面 PAD，所以 ABPA， 第 15 页（共 21 页） 故 AB，AD，AP 两两垂直 如图，以 A 为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 A xyz， 则 P（0，0，2） ，B（1，0，0） ，C（2，2，0） ，D（0，2，0） 因为 PA平面 BCD，所以平面 BCD 的一个法向量是 =（0，0，1） 而 = (1，0， 2)， = (2，2， 2)， 设平面 PBC 的一个法向量为 =（x，y，z） ， 则由
34、 = 0 = 0 得 2 = 0， 2 + 2 2 = 0取 z1，有 =（2，1，1） ， 所以 cos ， = | |= 1 6 = 6 6 由题知，二面角 PBCD 为锐角， 所以二面角 PBCD 的余弦值为 6 6 （）解：假设棱 BC 上存在点 F，MFPC，设 = ， ,0，1- 依题意，可知 M（0，0，1） ， = (1，2，0)，F（+1，2，0） ， 所以 = ( + 1，2， 1)， = (2，2， 2) 根据假设，有 + 1 = 2， 2 = 2， 1 = 2， 而此方程组无解，故假设错误， 故对于棱 BC 上任意一点 F，MF 与 PC 都不平行 第 16 页（共 2
35、1 页） 19 （12 分）某城市为了美化旅游景区，决定在夹角为 45的两条道路 EB，EF 之间挖一个 半椭圆形状的人工湖，如图所示，AB40 米，O 为 AB 的中点，OD 为椭圆的半长轴， 椭圆的一个焦点 P 在 OD 上，在椭圆形区域内建造三角形游船区 MNP，其中 M，N 在椭 圆上，且 MN 平行于 AB 交 OD 于 G，P 在线段 OG 上 （1）若 OE30 米，为了不破坏道路 EF，求椭圆半长轴长的最大值； （2）若椭的离心率为 2 2 ，当线段 PG 长为何值时，游船区城MNP 的面积最大？ 【解答】解（1）由题意得椭圆的 b20，OE30 时，直线 EF 与 x 轴的交
36、点的横坐标也 为 30， 由题意设直线 EF 为： xy+30， 当直线 EF 与椭圆相切时， 椭圆的长半轴最大， 由题意设建立坐标系， OD 所在的直线为 x 轴， 以 AB 所在的直线为 y 轴， O 为坐标原点， 由题意设椭圆方程： 2 2 + 2 202 =1，联立直线 EF 与椭圆的方程整理得： （202+a2）y260 202y+202302202a20，0，即 6022044（202+a2）202（302a2） ，解 得：a2500， 所以椭圆的长半轴长的最大值为：a105 （2）由题意，b20，e= = 2 2 ，a2b2+c2，解得：a2800，b2400，所以椭圆的方 程为
37、： 2 800 + 2 400 =1， 所以由题意得，焦点 P（20，0） ，恰好是长半轴的中点，直线 MN 为 xm，代入椭圆得： y2400（1 2 800） ， 要使游船区城MNP 的面积最大，即 SMNP= 1 2|m20|2|yM|20|m20|1 2 800 = 第 17 页（共 21 页） 1 2( 20) 2 (800 2)最大，m20， 令 g（m）（m20）2（800m2） ，令 tm20，m2（t+20）2t2+40t+400， h （t） t2（800t240t400） t440t3+400t2，（20t0） ， h （t） 4t3120t2+800t 4t （t2+3
38、0t200） h （t） 0， 解得： t0 （舍） 或 t15+517， 当 t （0， 15+517） ， h（t）0，h（t）单调递增， t（15+517，20） ，h（t）0，h（t）单调递减，所以 t15+517时 h（t）最大， 即面积最大， 所以当线段 PG15+517时，游船区城MNP 的面积最大 20 （12 分）2020 年春节期间爆发的新型冠状病毒（2019nCoV） ，是一种可以借助飞沫和 接触传播的变异病毒某定点医院为筛查某些人是否感染该病毒，需要检验血液是否为 阳性，现有 n 份血液样本，有以下两种检验方式： （a）逐份检验，则需要检验 n 次； （b）混合检验，将
39、其中 k（kN*且 k2）份血液样本分别取样混合在一起检验若检验 结果为阴性，这 k 份的血液全为阴性，因而这 k 份血液样本只要检验一次就够了；如果 检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这 k 份再逐份检验， 此时这 k 份血液的检验次数总共为 k+1 次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的 检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为 p（0p1） （1）假设有 6 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经 过 4 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率； （2）现取其中 k（kN*且 k2）份血液样本，记采用逐份检
40、验方式，样本需要检验的总 次数为 1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 2 （i）试运用概率统计的知识，若 E1E2，试求 p 关于 k 的函数关系式 pf（k） ； （ii） 若 = 1 1 4， 采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份 检验的总次数期望值更小，求 k 的最大值 第 18 页（共 21 页） 参考数据：ln20.6931，ln31.0986，ln51.6094，In71.9459 【解答】解： （1）设恰好经过 4 次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件为 A， 则 P（A）= 2 1 3 1 4 4+ 4 4 2 2 6 6 = 4 15， 故恰好经过 4 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为 4 15； （2） （i）由已知得 E1k，2可能的取值为 1，k+1， 所以 P（21）（1p）k，P（2k+1）1（1p）k， 所以 E2（1p）k+（k+1）1（1p）kk+1k（1p）k， 由 E1E2， 所以 kk+
