1、2022-12-151模糊数学及其应用模糊数学及其应用吉林大学吉林大学 计算机科学与技术学院计算机科学与技术学院Fuzzy Mathematics and Its Applications2022-12-152参考教材参考教材l杨纶标，高英仪杨纶标，高英仪.模糊数学原理及应用模糊数学原理及应用，华南理工，华南理工大学出版社，大学出版社，2011。l谢季坚等，谢季坚等，模糊数学方法及其应用模糊数学方法及其应用，华中理工大，华中理工大学出版社。学出版社。l李鸿吉，李鸿吉，模糊数学基础及实用算法模糊数学基础及实用算法，科学出版社。，科学出版社。2022-12-153课程设置课程设置l学时：学时：32
2、l学分：学分：2l考试形式：考试形式：l出席情况（出席情况（10%）；）；l作业情况（作业情况（20%）；）；l结课考察（结课考察（70%）。）。2022-12-154本课程主要内容本课程主要内容第第2章模糊集合的基本知识章模糊集合的基本知识第第4章模糊聚类分析章模糊聚类分析第第3章模糊模型识别章模糊模型识别第第5章模糊综合评判章模糊综合评判第第1章绪论章绪论2022-12-155l什么是模糊？什么是模糊数学？它与精确什么是模糊？什么是模糊数学？它与精确数学有哪些差别？模糊数学课程要学习哪数学有哪些差别？模糊数学课程要学习哪些内容，有哪些应用？些内容，有哪些应用？第第1章章 绪论绪论2022-
3、12-156模糊数学概述模糊数学概述传统（经典、精确）传统（经典、精确）数学数学确定性问题确定性问题不确定性问题不确定性问题随机性随机性模糊性模糊性随机数学随机数学模糊数学模糊数学2022-12-157 传统数学并不能解决现实中所有问题，在传统数学并不能解决现实中所有问题，在解决某些问题时，会出现一些悖论。解决某些问题时，会出现一些悖论。例如：例如：秃子悖论秃子悖论 只有一根头发的人是秃子；只有一根头发的人是秃子；比秃子只多一根头发的人也是秃子。比秃子只多一根头发的人也是秃子。2022-12-158秃子悖论秃子悖论:天下所有的人都是秃子天下所有的人都是秃子设头发根数为设头发根数为 nn=1 显
4、然显然若若n=k 为秃子为秃子则则n=k+1 亦为秃子亦为秃子证明如下：证明如下：综上知对所有的综上知对所有的 n 结论成立。结论成立。原因：原因：“秃子秃子”概念本身是个模糊概念，概念本身是个模糊概念，该问题是个模糊问题。该问题是个模糊问题。2022-12-159范例范例2l去某地接具有如下特征的一个人去某地接具有如下特征的一个人l大胡子、高个子、浓密头发、戴宽边黑色眼大胡子、高个子、浓密头发、戴宽边黑色眼镜、中年、男人镜、中年、男人l谁去接？谁去接？人类人类l没问题，人脑进行综合分析判断没问题，人脑进行综合分析判断 机器人机器人l要求输入该人各项指标的精确信息要求输入该人各项指标的精确信息
5、2022-12-1510精确信息精确信息l大胡子大胡子胡子的准确根数胡子的准确根数l高个子高个子准确身高准确身高l浓密头发浓密头发头发的准确根数头发的准确根数l宽边眼镜宽边眼镜眼镜的边宽厘米数眼镜的边宽厘米数l中年中年准确年龄准确年龄 头发中途掉了一根怎么办？过分精确有时头发中途掉了一根怎么办？过分精确有时未必是好事。未必是好事。2022-12-1511什么是模糊概念？从概念说起什么是模糊概念？从概念说起l人类认识事物的过程，从感性认识逐渐上人类认识事物的过程，从感性认识逐渐上升到理性认识，把所感知事物的共同本质升到理性认识，把所感知事物的共同本质特征抽象出来，加以概括，就成为了特征抽象出来，
6、加以概括，就成为了概念概念。l概念通过词语表现出来，即概念通过词语表现出来，即概念的名称概念的名称。l每个词语对应一个概念。每个词语对应一个概念。2022-12-1512概念、内涵、外延概念、内涵、外延l每一个概念都有一定的每一个概念都有一定的和和l适合这个概念的一切适合这个概念的一切对象对象的范围的范围l这个概念所反映的对象的这个概念所反映的对象的本质属性本质属性的总和的总和2022-12-1513概念、内涵、外延概念、内涵、外延l“青菜青菜”的内涵：的内涵：l一种植物，绿色，一般叶子直立，可食用。一种植物，绿色，一般叶子直立，可食用。l“青菜青菜”的外延：的外延：l油菜、空心菜、韭菜、葱、
7、菠菜等。油菜、空心菜、韭菜、葱、菠菜等。2022-12-1514集合与概念集合与概念l传统数学中，传统数学中，。l首先要有首先要有，论域把议题限制在一定范，论域把议题限制在一定范围内。围内。l例如：例如：l在论域在论域“计算机学院所有学生计算机学院所有学生”上，讨论概念上，讨论概念“优秀学生优秀学生”l在论域在论域“吉林大学所有学生吉林大学所有学生”上，讨论概念上，讨论概念“优秀学生优秀学生”2022-12-1515集合与概念集合与概念l用用来表示概念来表示概念l从论域从论域“学生学生”中挑出所有优秀者，构成论中挑出所有优秀者，构成论域的一个子集域的一个子集AlA是概念是概念“优秀学生优秀学生
8、”的的l外延外延l是概念是概念“优秀学生优秀学生”的集合表现的集合表现2022-12-1516形式化描述形式化描述l给定论域给定论域X，设，设a为为X上一概念，则上一概念，则a的的外延外延是论是论域域X的的l一个子集一个子集Al对于对于X中任一元素中任一元素x来说，来说，xaxA符合概念2022-12-1517经典集合论经典集合论l经典集合论中，元素经典集合论中，元素x与集合与集合A的关系是的关系是什么？什么？lx属于集合属于集合Alx不属于集合不属于集合Al元素元素x与概念与概念a的关系是什么？的关系是什么？lx符合概念符合概念alx不符合概念不符合概念a2022-12-1518集合与特征函
9、数集合与特征函数l经典集合论中，给定论域经典集合论中，给定论域X，子集，子集A可由可由其特征函数其特征函数XA(x)来唯一确定来唯一确定是论域是论域X到到0,1上的一个映射：上的一个映射：1,()0,AxAxxA2022-12-1519特征函数特征函数隶属程度隶属程度lXA(x)指明指明x对对A的隶属程度的隶属程度l隶属程度只有两个值：隶属程度只有两个值：0，1l经典集合只能表示什么样的概念？经典集合只能表示什么样的概念？l“非此即彼非此即彼”2022-12-1520非此即彼？非此即彼？l“高个子高个子”l“年轻年轻”l现实世界中的很多概念具有现实世界中的很多概念具有：客观事物差异的中间：客观
10、事物差异的中间过渡过渡中的不中的不分明性，难以划定界限。非此即彼？分明性，难以划定界限。非此即彼？l亦此亦彼，模糊概念亦此亦彼，模糊概念模糊概念模糊概念l“一粒一粒”和和“一堆一堆”是有区别的。是有区别的。l“一粒种子肯定不叫一堆，两粒也不是，一粒种子肯定不叫一堆，两粒也不是，三粒也不是三粒也不是，一亿粒种子肯定叫一堆，一亿粒种子肯定叫一堆。那么，适当的界限在哪里？我们能不能。那么，适当的界限在哪里？我们能不能说，说，123585粒种子不叫一堆而粒种子不叫一堆而123586粒粒就构成一堆？就构成一堆？”2022-12-15212022-12-1522模糊概念模糊概念l源自于实践源自于实践l模糊
11、概念（现象）无处不在模糊概念（现象）无处不在l薄、厚、快、慢、大、小、长、短、高、矮、轻、重、薄、厚、快、慢、大、小、长、短、高、矮、轻、重、稀、稠、贵、贱、强、弱、软、硬、锐、钝、深、浅、稀、稠、贵、贱、强、弱、软、硬、锐、钝、深、浅、美、丑；白天、黑夜、中午、傍晚、黎明、黄昏、夕美、丑；白天、黑夜、中午、傍晚、黎明、黄昏、夕阳、阴天、晴天、中雨、大雨、暴雨、大暴雨等。阳、阴天、晴天、中雨、大雨、暴雨、大暴雨等。风的强弱人的胖瘦年龄大小2022-12-1523如何亦此亦彼？如何亦此亦彼？l经典子集的隶属程度经典子集的隶属程度l只能取只能取0或或1l如何亦此亦彼？如何亦此亦彼？l打破这个限制打
12、破这个限制l表现表现“亦此亦彼亦此亦彼”的的2022-12-1524开山之作开山之作l1965年年,美国控制论专家美国控制论专家L.A.Zadeh发表开发表开创性论文创性论文“Fuzzy Sets”，标志模糊数学的，标志模糊数学的诞生。诞生。美国自动控制专家，美国工程科学院院美国自动控制专家，美国工程科学院院士。士。1921年年2月生于苏联巴库。月生于苏联巴库。1949年年获哥伦比亚大学电机工程博士。获哥伦比亚大学电机工程博士。L.A.Zadeh,Fuzzy sets,Information and Control 8(3)(1965)338-353.2022-12-1525模糊数学的发展模糊
13、数学的发展l1976年，传入我国，迅速发展。年，传入我国，迅速发展。l现今，我国很多高校很多专业都开设这门现今，我国很多高校很多专业都开设这门课程。课程。2022-12-1526什么是模糊数学？什么是模糊数学？l用数学方法研究和处理具有模糊性的现象用数学方法研究和处理具有模糊性的现象l理论基础理论基础l模糊集合论模糊集合论2022-12-1527模糊集合的基本知识模糊集合的基本知识2022-12-1528模糊子集与隶属函数模糊子集与隶属函数2022-12-1529经典集合与模糊集合经典集合与模糊集合l经典集合经典集合特征函数刻画特征函数刻画l模糊集合模糊集合隶属函数刻画隶属函数刻画l隶属函数是
14、将特征函数的值域从隶属函数是将特征函数的值域从0，1推推广到广到0，12022-12-1530模糊子集与隶属函数的定义模糊子集与隶属函数的定义l设给定论域设给定论域U，U到到0,1的任一映射的任一映射A：U 0,1 都确定都确定U的一个的一个模糊子集模糊子集A，A叫做叫做A的的隶属函数。隶属函数。lA(u)（uU）表示）表示 u隶属于模糊子集隶属于模糊子集A的程度，称之为的程度，称之为u对对A的隶属度。的隶属度。2022-12-1531模糊集合的例子模糊集合的例子l设论域设论域U0,200表示人的年龄，表示人的年龄，“年轻年轻Y”与与“年老年老Q”两个模糊集，其隶属函数两个模糊集，其隶属函数u
15、(x)为：为：1年轻年轻2550100 xu(x)年老年老Y（30）0.5Y（35）0.2Q（55）0.5Q（80）0.82022-12-1532模糊集合模糊集合vs.普通集合普通集合l模糊集合模糊集合A由隶属函数由隶属函数A刻画刻画l普通集合普通集合A由特征函数由特征函数XA刻画刻画lQuestion.什么时候模糊集合退化成普通什么时候模糊集合退化成普通集合？集合？2022-12-1533模糊集合的表示方法模糊集合的表示方法2022-12-1534模糊集合的表示方法模糊集合的表示方法论域论域l论域论域有限集有限集 例如：例如：X=x1,x2,x3,x4,x5l论域论域无限集无限集 例如：例如
16、：X=0,1002022-12-1535模糊集合表示方法（有限论域）模糊集合表示方法（有限论域）l有限论域有限论域X=x1,x2,xn l设设X上的模糊子集上的模糊子集A 的隶属函数为的隶属函数为A，i=A(xi)l模糊子集模糊子集A如何表示？如何表示？l三种表示方法三种表示方法2022-12-1536模糊集合的表示法模糊集合的表示法1zadeh表示法表示法 论域论域U是有限集是有限集x1,x2,xn,U的任一模糊子集的任一模糊子集A，其隶属函数为，其隶属函数为i=A(xi)模糊子集模糊子集A记作记作 A=i=1n i/xi “i=1n i/xi”不是分式求和，只是一不是分式求和，只是一 符符
17、号而已。号而已。“分母分母”是论域是论域U的元素的元素 “分子分子”是相应元素的隶属度是相应元素的隶属度 当隶属度为当隶属度为0时，该项可以不写入时，该项可以不写入注意注意2022-12-1537模糊集合的表示法模糊集合的表示法1模糊集合表示方法模糊集合表示方法 1Example.论域论域=Bill,John,Einstein,Mike,Tom smart程度：程度：0.85，0.75，0.98，0.30，0.60则论域中元素对则论域中元素对“smart”这模糊概念的符合程度这模糊概念的符合程度可以用模糊子集可以用模糊子集A来表示来表示 A=0.85/Bill+0.75/John+0.98/E
18、instein+0.30/Mike+0.60/Tom 2022-12-1538模糊集合的表示法模糊集合的表示法2、3l序偶表示法序偶表示法A(x1,1),(x2,2),(xn,n)A=(Bill,0.85),(John,0.75),(Einstein,0.98),(Mike,0.30),(Tom,0.60)l向量表示法向量表示法A(1,2,n)A=(0.85,0.75,0.98,0.30,0.60)2022-12-1539模糊集合表示方法（无限论域）模糊集合表示方法（无限论域）l当论域当论域X为无限集时，上面的记法失效。为无限集时，上面的记法失效。l将查德记法推广到一般情况，即论域是：将查德记
19、法推广到一般情况，即论域是：无限的无限的、连续的连续的、或者其他情况，论域、或者其他情况，论域X上的模糊集合上的模糊集合A都可以表示为都可以表示为A=xX A(x)/x2022-12-1540模糊集合表示方法（无限论域）模糊集合表示方法（无限论域）当论域当论域U为无限集时，为无限集时，A=xU A(x)/x 这里的积分号不表示积分，也不表示求这里的积分号不表示积分，也不表示求和，而是表示各个元素与隶属度对应关系的一和，而是表示各个元素与隶属度对应关系的一个总括。个总括。这种表示法可以推广到有限、无限、离散、连续这种表示法可以推广到有限、无限、离散、连续等各种情况。等各种情况。注意注意2022-
20、12-1541例子（无限论域）例子（无限论域）l以年龄为论域，取以年龄为论域，取X=0,200l考虑两个模糊概念：年轻，年老考虑两个模糊概念：年轻，年老l年龄段年龄段肯定肯定“年轻年轻”的概念？的概念？l年龄段年龄段肯定肯定“年老年老”的概念？的概念？2022-12-1542“年轻年轻”与与“年老年老”的隶属函数曲线的隶属函数曲线2022-12-1543模糊集合表示方法（无限论域）模糊集合表示方法（无限论域）设论域设论域U0,200表示人的年龄，表示人的年龄，“年轻年轻Y”与与“年老年老Q”两个模糊集。两个模糊集。210,2525,200210,5050,200251()15501()05xx
21、xxxYxxxQxx2022-12-1544隶属函数隶属函数 vs.概率概率2022-12-1545共同点共同点&区别区别l共同点：均在共同点：均在0,1闭区间上取值闭区间上取值l区别：区别：研究：研究“随机性随机性”，虽然，虽然事件的发生与事件的发生与否不确定否不确定，但是事件是确定的。，但是事件是确定的。：研究：研究“模糊性模糊性”，研究，研究对象本身对象本身就是不分明的就是不分明的。l以下雨为例：以下雨为例：l明天是否下雨，这是个概率问题。明天是否下雨，这是个概率问题。l大雨，这是个模糊概念，多大降雨量算大？大雨，这是个模糊概念，多大降雨量算大？要用隶属函数来描述要用隶属函数来描述“大雨
22、大雨”这个模糊概念。这个模糊概念。2022-12-1546三大数学模型三大数学模型l处理现实对象的数学模型可分为三大类：处理现实对象的数学模型可分为三大类：。背景对象具有确定性。背景对象具有确定性or固固定性；定性；。背景对象的发生具有或然。背景对象的发生具有或然性性or 随机性；随机性；。背景对象及其关系均具有。背景对象及其关系均具有模糊性。模糊性。2022-12-1547模糊数学的应用模糊数学的应用人人模糊数学模糊数学计算机计算机l人脑具有处理模糊信息的能力，善于判断和人脑具有处理模糊信息的能力，善于判断和处理模糊现象。处理模糊现象。l计算机对模糊现象识别和控制能力较差。计算机对模糊现象识
23、别和控制能力较差。l要把人类使用的模糊语言转换计算机指令和要把人类使用的模糊语言转换计算机指令和程序，以便机器能像人脑那样简洁灵活的做程序，以便机器能像人脑那样简洁灵活的做出判断。出判断。l模糊数学提供了一种描述和加工模糊信息的模糊数学提供了一种描述和加工模糊信息的数学工具。数学工具。2022-12-1548l模糊数学是一门新兴学科，它已初步应用模糊数学是一门新兴学科，它已初步应用于于模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策与模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策与评判、模糊控制评判、模糊控制等各个方面。等各个方面。l在医学、生物学、农业、林业、气象、环在医学、生物学、农业、林业、气象、环境、地质勘探、军事
24、、经济等领域有广泛境、地质勘探、军事、经济等领域有广泛应用。应用。2022-12-15492022-12-1550模糊数学方法的范例模糊数学方法的范例l模糊模型识别模糊模型识别手写文字识别、图像与手写文字识别、图像与音频信号识别、识别当前通货膨胀程度、音频信号识别、识别当前通货膨胀程度、识别害虫危害程度等识别害虫危害程度等.l模糊聚类分析模糊聚类分析市场分析、土壤分类、市场分析、土壤分类、风险分析、灾害探测等等风险分析、灾害探测等等.l模糊综合评价模糊综合评价环境质量评价、资源综环境质量评价、资源综合评价、各种危险性预测与评价、评选先合评价、各种危险性预测与评价、评选先进工作者等进工作者等.2
25、022-12-1551家用电器与模糊数学家用电器与模糊数学l模糊控制技术模糊控制技术l洗衣机、电冰箱、空调洗衣机、电冰箱、空调l微波炉、电饭煲微波炉、电饭煲l模糊控制模糊控制是用模糊数学的知识模仿人脑的思维是用模糊数学的知识模仿人脑的思维方式，对模糊现象进行识别和判决，给出精确方式，对模糊现象进行识别和判决，给出精确的控制量，对被控对象进行控制。的控制量，对被控对象进行控制。l洗衣机：根据污物的种类、数量、机器负载量，洗衣机：根据污物的种类、数量、机器负载量，运用模糊系统，自动设定正确的洗衣周期。运用模糊系统，自动设定正确的洗衣周期。2022-12-1552课后作业课后作业12022-12-1553作业作业1-1l设论域为实数集设论域为实数集R，用特征函数表示下列，用特征函数表示下列集合，并做出特征函数图像：集合，并做出特征函数图像：l大于大于2小于小于5的实数；的实数；l小于小于10的素数；的素数；l圆圆x2+y2=1以及圆内的点（论域为以及圆内的点（论域为RR)，给，给出特征函数即可。出特征函数即可。2022-12-1554作业作业1-2l论域论域X=0,24表示时间表示时间(h)，试根据你的经，试根据你的经验绘出表示验绘出表示“拂晓拂晓”、“中午中午”、“晚上晚上”三个模糊概念的模糊集的隶属函数曲线。三个模糊概念的模糊集的隶属函数曲线。
