1、 在应力分析中，仅从静力学的观点出发，引入了9个应力分量 ，它们满足三个平衡微分（运动方程）剪应力互等定理，由此得到应力张量对称的结论，因此独立的应力分量只有六个。在应变分析中，从物体的几何连续性观点出发，研究物体变形，得到三个位移分量 和6个独立的应变分量 。这样我们总共引入了十五个变量 ，它们满足的方程只有九个:ijiuij,iijiju第四章 应力和应变的关系1调研学习,0(),1,2,31(),1,2,32i jiiiji jj ifujuui j其中 是已知的体力。从数学分析的角度，上述方程是不封闭的，因此没有唯一的一组解。还需补充六个方程，使得方程组封闭。另外，应力与应变是相辅相成
2、的，有应力就有应变，反之亦然。对于每一种材料在一定温度下，它们之间存在着确定的关系，反映了材料的固有特性。本章的任务就是建立在弹性阶段应力与应变的关系。if2调研学习第四章 应力和应变的关系第一节 广义胡克定律第二节 弹性变形过程中的能量第三节 各向异性弹性体第四节 各向同性弹性体第五节 弹性常数的测定 各向同性体应变能密度3调研学习第一节 广义胡克定律 物体中一点的应力状态由6个应力分量所确定，同一点附近的变形状态由6个应变分量所确定。应力与形变之间的物理关系可表示为:1(,)xxyzxyyzzxf2(,)yxyzxyyzzxf3(,)zxyzxyyzzxf4(,)xyxyzxyyzzxf5
3、(,)yzxyzxyyzzxf6(,)zxxyzxyyzzxf(4-1)4调研学习 当变形较小时，可展开成泰勒级数，并略去二阶以上的小量。xyxyxzxzyzyzzzyyxxxfffffff01010101010101)(xyxyxzxzyzyzzzyyxxyfffffff02020202020202)(xyxyxzxzyzyzzzyyxxzfffffff03030303030303)(5调研学习 由没有初应力的基本假设，上式可表示为 上式中 (m,n=1,26)是弹性系数，共36个，对于均匀材料它们为常数,称为弹性常数,与坐标无关。mnc(4-2)xyxzyzzyxyCCCCCC262524
4、232221xyxzyzzyxxCCCCCC161514131211xyxzyzzyxzCCCCCC363534333231xyxzyzzyxxyCCCCCC666564636261xyxzyzzyxyzCCCCCC464544434241xyxzyzzyxxzCCCCCC5655545352516调研学习 上式即为广义胡克定律，可以看出应力和应变之间是线性的。可以证明各弹性常数之间存在关系式 =。对于最一般的各向异性介质，弹性常数也只有21个。mncnmc7调研学习4.2 弹性体变形过程中的功与能 本节使用热力学的原理推导能量形式的物理方程（本构关系）。外力作用弹性体变形变形过程外力作功弹性
5、体内的能量也发生变化。8调研学习绝热过程：利用热力学第一定律xzIxzyzIyzxyIxyzIzyIyxIxvvvvvv,xzFxzyzFyzxyFxyzFzyFyxFxvvvvvv,等温过程：利用热力学第二定律9调研学习统一的形式：xzxzyzyzxyxyzzyyxxvvvvvv,)(21xzxzyzyzxyxyzzyyxxv弹性体的应变能函数表达式10调研学习4.3 各向异性弹性体各向异性弹性体1.极端各向异性弹性体xyxzyzzyxyyCCCCCCv262524232221克定律：利用格林公式和广义胡同理有：求偏导再对252:Cvxzyxz根据偏导数次序可交换原则，可证C25=C52。对
6、于其它的弹性常数可以作同样的分析，则 Cmn=Cnm。上述结论表明完全各向异性弹性体只有21个弹性常数。xyxzyzzyxxzxzCCCCCCv565554535251522Cvyxz11调研学习2具有一个弹性对称面的各向异性弹性体 如果物体内每一点都存在这样一个平面，和该面对称的方向具有相同的弹性性质，则称该平面为物体的弹性对称面弹性对称面。垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向弹性主方向。假设yz坐标面为弹性对称面，则x轴为弹性主方向。将x轴绕动 z 轴转动 角度，成为新的 Oxyz坐标系。xyzx-100y0 10z001新旧坐标系之间的转换关系为12调研学习根据对称性质:关于x轴对
7、称的应力和应变分量在坐标系变换时保持不变，而关于x轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值（也可按照转轴时的变换公式计算）。有,x=x，y=y，z=z，xy=-xy，yz=yz，zx=-zxx=x，y=y，z=z，xy=-xy，yz=yz，zx=-zx根据完全各向异性弹性体的本构方程，将上述关系式代入广义胡克定律表达式(4-2)得 yxzxzyzyxyxyxzxzyzyxzxyxzxzyzyxzyyxzxzyzyxzyxzxzyzyxyyxzxzyzyxxCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC66656463626156555453525146454443
8、424136353433323126252423222116151413121113调研学习将上式与式(4-2)相比较，要使变换后的应力和应变关系保持不变，则必须有 C15=C16=C25=C26=C35=C36=C45=C46=0 对于具有一个弹性对称面的弹性体，其弹性常数由21个将减少为13个。xyxzxyxyxzxzyzzyxyzyzzyxzyzzyxyyzzyxxCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC666556554443424134333231242322211413121114调研学习3正交各向异性弹性体 假设物体内每一点具有两个弹性对称面，以下类似地推演具有两个弹性对称面的各
9、向异性弹性体的本构方程。设 xz 平面也是弹性对称面，即y 轴也是弹性主方向，将 y 轴绕动 z 轴转动p角度，成为新的Oxyz坐标系,如图所示。15调研学习根据对称性质,关于y 轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时也保持不变，而关于y 轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值。所以，则新旧坐标系下的应力和应变分量的关系为 x=x，y=y，z=z，xy=-xy，yz=-yz，zx=zx x=x，y=y，z=z，xy=-xy，yz=-yz，zx=zx 将上述关于y 轴弹性对称的应力应变关系代入具有一个弹性对称面的各向异性材料本构关系。为保持应力和应变在坐标变换后不变，则必有C14=C24=C
10、34=C56=0其弹性常数由13个将减少为9个。于是其应力应变关系简化为 xyxyxzxzyzyzzyxzzyxyzyxxCCCCCCCCCCCC665544333231232221131211(4-10)16调研学习两个弹性对称面xyxyxzxzyzyzzyxzzyxyzyxxCCCCCCCCCCCC6655443332312322211312119个弹性常数 相互垂直的3个平面中有两个弹性对称面，第三个必为弹性对称面 弹性体的拉压与剪切变形,不同平面内的剪切之间没有耦合作用,称为正交各向异性体。正应力仅与正应变有关；切应力仅与对应的切应变有关。17调研学习4 横观各向同性弹性体 假如过弹性
11、体中的任意点都有一个平面，在这个平面内，从各个方向看，弹性关系都相同。18调研学习不妨假定oxy面和平行于oxy面的平面就是这样的各向同性面。讨论在这种情况下的弹性应力应变关系，最方便的是将x、y轴绕z轴旋转900，得到新的坐标系ox/y/z/，新系和旧系之间的关系如下,xyyxzz x0yz x0 y z19调研学习 xyzx/010y/-100z/001在新旧坐标系之间，应力分量和应变分量的变换关系为 ,xyyxzzy zzxz xyzx yxy (a)20调研学习 ,xyyxzzy zzxz xyzx yxy (b)利用式(4-10)和(a),(b)111213yyxzCCC122223
12、xyxzCCC132333zyxzCCC445566,zxzxyzyzxyxyCCC将以上诸式与(4-10)比较可得 112213234455,CCCCCC21调研学习因此(4-10)变为 111213xxyzCCC121113yxyzCCC131333zxyzCCC44yzyzC44zxzxC66xyxyC(c)22调研学习独立的弹性常数有6个，用矩阵表示为 111213121113131333444466000000000000000000000000CCCCCCCCCCCC然后将坐标系oxyz绕z轴转450，得到新坐标系ox/y/z/，新旧坐标系的关系如下 x0yz x0 y z4p4p
13、23调研学习2222 xyzx/0y/0z/0012222按照同样的方法，可以得到 因此(c)式变为 2211662CCC24调研学习具有一个各向同性面的弹性材料称为横观各向同性材料，这种材料的独立的弹性常数有5个。xyxyxzxzyzyzzyxzzyxyzyxxCCCCCCCCCCCCC)(2112114444331331131121131211(4-11)25调研学习 物理意义物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。数学反映应力和应变关系在所有方位不同的坐标系中都一样。4.4 各向同性弹性体各向同性弹性体26调研学习x0yz x0 y z xyzx/100y/001z/0-
14、10完全各向同性弹性材料将oxyz坐标系绕x轴逆时针转900，新旧坐标系的关系如下所示27调研学习1112()xxyzCC1112()yyxzCC1112()zzxyCC11121()2yzyzCC11121()2zxzxCC11121()2xyxyCC,xxyzzy 可以得到 12131133446611121,()2CCCCCCCC此时(4-11)变为 28调研学习稍加整理得111212()xxCCC111212()yyCCC111212()zzCCC11121()2yzyzCC11121()2zxzxCC11121()2xyxyCC29调研学习各向同性材料广义胡克（Hooke）定律xzx
15、zzzyzyzyyxyxyxx,2,2,2ijijkkij2张量形式：,称为拉梅（Lame）弹性常数1211121,()=22CCC令：，得到用拉梅常数表示的各向同性材料的广义胡克定律。30调研学习各向同性材料主应力状态对应的切应力分量均为零。所有的切应变分量也为零。所以，各向同性弹性体:应力主轴同时又是应变主轴;应力主方向和应变主方向是重合的;31调研学习xx2y20z20 x231xx2332,Exzxyv利用泊松比：2v 考察 及 与弹性模量E及泊松比 之间的关系。先考察x方向简单拉伸时：将代入第一式，则可得进一步可得4.5 弹性常数的测定弹性常数的测定 各向同性材料的应变能密度各向同性
16、材料的应变能密度再利用单轴拉伸时的胡克定律，得32调研学习工程弹性常数与拉梅弹性常数之间的关系为其中只有两个独立的弹性常数。实验测定：单向拉伸实验可以测出弹性模量E薄壁管扭转实验可以测定剪切弹性模量G再考虑纯剪切情况可得：G,)(2,)22(vEG33调研学习应力表示本构方程GGGvvEvEvvEvEvvEvExzxzyzyzxyxyzyxzzyzxyyxzyxx)1(1)(1)1(1)(1)1(1)(1E为弹性模量G为剪切弹性模量v为横向变形系数泊松比34调研学习)(21xzxzyzyzxyxyzzyyxxv)(2)()(2(21)(2)(22222222222222xzyzxyzxzyyxzyxxzyzxyzyxv应变表示的应变能函数 各向同性各向同性弹性体的应变能函数弹性体的应变能函数应变能单位体积的应变能总是正的。35调研学习应力表示的应变能函数)(1(2)(2)(21222222xzyzxyzxzyyxzyxEv36调研学习
