1、No.1第五章第五章 操作臂动力学操作臂动力学No.2一、思路一、思路刚体的运动刚体的运动刚体质心的移动刚体质心的移动刚体绕质心的转动刚体绕质心的转动牛顿方程牛顿方程欧拉方程欧拉方程牛顿牛顿欧拉方程欧拉方程动力学方程动力学方程牛顿第二定律牛顿第二定律力和动量力和动量力矩和动量矩力矩和动量矩No.3MII 刚体质心的移动刚体质心的移动刚体绕质心的转动刚体绕质心的转动Fma动力学方程动力学方程No.4二、连杆惯性张量二、连杆惯性张量 为连杆为连杆Li的惯性张量的惯性张量。Hmmijjjjjjjjrvrvjijrv Hmijjijjrr HHHixiyizxxxyxzyxyyyzzxzyzzixiy
2、izIIIIIIIIIHiii I Ii 连杆依质心转动的动量矩连杆依质心转动的动量矩HiNo.5连杆惯性张量连杆惯性张量Ixxjjjjmyz22Iyyjjjjmzx22IIxyyxjjjjm x yIIxzzxjjjjm x zIIyzzyjjjjm y z对x，y，z轴的惯性矩 jjjjzzyxm22I惯性积 No.6七、欧拉方程七、欧拉方程刚体的运动刚体的运动刚体质心的移动刚体质心的移动刚体绕质心的转动刚体绕质心的转动牛顿方程牛顿方程欧拉方程欧拉方程牛顿牛顿欧拉方程欧拉方程动力学方程动力学方程牛顿第二定律牛顿第二定律力和动量力和动量力矩和动量矩力矩和动量矩No.7七、欧拉方程七、欧拉方程
3、刚体刚体S绕绕B轴的旋转惯性矩轴的旋转惯性矩IIm rjjj2l Im In ImnInlIlmIxxyyzzyzzxxy222222l,m,n -为刚体转轴的方向余弦为刚体转轴的方向余弦Mj-Pj的质量的质量rj-点点Pj对对B轴的旋转半径轴的旋转半径 No.8七、欧拉方程七、欧拉方程刚体对于惯性主轴的惯性矩刚体对于惯性主轴的惯性矩 Im刚体刚体S绕绕x、y、z轴的惯性矩轴的惯性矩 Imyzxxjjjj()22Imxzyyjjjj()22Imxyzzjjjj()22Im y xIm x zIm y zyxjjjjxzjjjjyzjjjj刚体刚体S绕绕坐标系的惯性积坐标系的惯性积 Il Im
4、In Imxxyyzz222No.9七、欧拉方程七、欧拉方程刚体刚体S所受的相对于随行所受的相对于随行 的外力矩的外力矩M为：为：在移动和转动的刚体在移动和转动的刚体S上任上任选固定在刚体上的一点选固定在刚体上的一点O，将，将基准坐标系基准坐标系 原点移至原点移至O点上成点上成为随行为随行 ，随行随行 随随S移动，但移动，但不随不随S转动，以便考察转动，以便考察S相对相对 的转动运动的转动运动.MIIv ddtmgNo.10七、欧拉方程七、欧拉方程MIIv ddtmg随行坐标系随行坐标系 原点不动原点不动 v0MII 的三轴方向和的三轴方向和S S的惯性主轴方向一致的惯性主轴方向一致IIIyx
5、zxzy 0MIIvmmgddtm 0v0 v0MIImm 刚体转动动力学性能的刚体转动动力学性能的欧拉方程欧拉方程ImxxyyzzIII000000刚体刚体S受外力矩受外力矩MNo.11机器人牛顿机器人牛顿欧拉动力学欧拉动力学的递推计算公式的递推计算公式 所有力学变量均定义于所有力学变量均定义于一个基准坐标系中一个基准坐标系中 作用于第作用于第i号杆件质心上的力号杆件质心上的力及力矩，质心线加速度都是相及力矩，质心线加速度都是相对于坐标系对于坐标系 描述的矢量描述的矢量 从构件从构件1到构件到构件n计算各构件计算各构件的速度和加速度，并对每个的速度和加速度，并对每个构件应用牛顿构件应用牛顿欧
6、拉方程，欧拉方程，初始条件是机座的确定运动初始条件是机座的确定运动 从构件从构件n到构件到构件1计算计算各关节的驱动力和反各关节的驱动力和反力，初始条件是已知力，初始条件是已知构件构件n所受的力及力矩所受的力及力矩 iNo.12描述连杆描述连杆Li动力学性能的方程组动力学性能的方程组 ffgvnfnfIIiii iiiiiiiiiii ii iiiiiiiimmGOGO1111111,()vi连杆连杆Li作为力学隔离体作为力学隔离体质心的移动用牛顿方程质心的移动用牛顿方程绕质心的转动用欧拉方程绕质心的转动用欧拉方程 No.13L1连杆的牛顿欧拉方程组连杆的牛顿欧拉方程组 2.封闭形式的动力学方
7、程封闭形式的动力学方程ffgvnfnfI0 11 21110 10 1101 21 21111,mmG OG O L2连杆的牛顿欧拉方程组连杆的牛顿欧拉方程组 fgvnfI1222212122122,mmG O 两个自由度的机器人手臂两个自由度的机器人手臂 No.14两个自由度的机器人手臂的牛顿欧拉显式方程两个自由度的机器人手臂的牛顿欧拉显式方程2.封闭形式的动力学方程封闭形式的动力学方程nIIm l lmlm lm lIm lm l lm l lm l lm lmlm lgzzzzzz11122 1 2221 1122 122 222122 2222 1 22222 1 222222 1 2
8、22122 22121 1112 1122 coscossinsin sin()sinsin nIm lm l lIm lm l lm l gzzzz2222 2222 1 222122 22222 1 222122 2212cossinsin 它给出了关节转矩和以机器手臂位姿为参数的各它给出了关节转矩和以机器手臂位姿为参数的各关节角速度和角加速度之间的动力学关系关节角速度和角加速度之间的动力学关系。No.15N个自由度的机器人手臂的牛顿欧拉普遍方程个自由度的机器人手臂的牛顿欧拉普遍方程2.封闭形式的动力学方程封闭形式的动力学方程 式中变参数式中变参数Dij，Dijk，Di都是各关节角位移和构
9、都是各关节角位移和构件尺寸的函数。件尺寸的函数。两自由度手臂的两自由度手臂的牛顿欧拉方程：牛顿欧拉方程：1,2,1,2,iiiijjjiNnnjk 构件尺寸nDDDiNiiijjijkjkikNjNjN,12111221211222121221211122212221211111DDDDnDDDDDn No.162.封闭形式的动力学方程封闭形式的动力学方程 所有上述系数都和机器人的终端位姿及整机所有上述系数都和机器人的终端位姿及整机形态有关，这些系数都是变系数。形态有关，这些系数都是变系数。机器人作为多刚体动力学系统，它的牛顿机器人作为多刚体动力学系统，它的牛顿欧拉方程组中各个变量并不都是独立
10、的。为了欧拉方程组中各个变量并不都是独立的。为了得到机器人动力学系统中各关节输入转矩和各得到机器人动力学系统中各关节输入转矩和各关节角位移运动输出之间的显式关系，需要作关节角位移运动输出之间的显式关系，需要作代数消元和矢量运算。代数消元和矢量运算。No.17机器人动力学系统的机器人动力学系统的拉格朗日动力学方程拉格朗日动力学方程的普遍形式的普遍形式 机器人动力学方程机器人动力学方程 牛顿欧拉方程牛顿欧拉方程 拉格朗日方程拉格朗日方程 各个连杆的力矩平衡各个连杆的力矩平衡 系统的动能和势能系统的动能和势能NjQqLqLdtdjjjj,2,1拉格朗日函数拉格朗日函数LTP No.181.动能与势能
11、动能与势能连杆连杆l1的动能的动能1T、势能、势能1P2111121lmT1111cosglmP连杆连杆l2的动能的动能2T、势能、势能2P21212212222121222212122cos22121l lmlmlmT)cos(cos21221122glmglmPNo.192.拉格朗日算子拉格朗日算子n拉格朗日算子拉格朗日算子-L=T-Pn由求得的由求得的-T1、P1、T2、P2 得得:)cos(cos)()(cos)(21)(212122112121122122212222121212211glmglmml lmlmlmmPTPTLNjQqLqLdtdjjjj,2,1No.203.动力学方
12、程动力学方程Lmm lm lm l l()()cos()1121212 22122 1 22122Lmmglm gl112112212()sinsin()ddtLmm lm lm l lm lm l lm l lm l l()coscossinsin112122 222 1 2212 222 1 2222 1 22122 1 22222 Lm lm l l()cos22 22122 1 221Lm l lm gl22 1 221122212 sin()sin()ddtLm lm lm l lm l lcossin22 2212 2222 1 2212 1 2212 No.21ddtLLn111
13、1ddtLLn2222nmm lmlml lmlml lml lml lmm glm gl1112122 222 1 2212 222 1 2222 1 22122 1 2222121221222()coscossinsin()sinsin()nm lm l lm lm l lm gl222 222 1 2212 2222 1 22122212 cossinsin()No.22DDDDDn1111221222211212111 DDDDn21122221112222 上式的构造和两自由度手臂的牛顿欧拉方程相似。事实上，对同一机器人动力学系统其牛顿欧拉动力学方程和拉格朗日方程相同。2212112
14、22121221211122212221211111DDDDnDDDDDn No.23N个自由度的机器人手臂的牛顿欧拉普遍方程个自由度的机器人手臂的牛顿欧拉普遍方程2.封闭形式的动力学方程封闭形式的动力学方程 式中变参数式中变参数Dij，Dijk，Di都是各关节角位移和构都是各关节角位移和构件尺寸的函数。件尺寸的函数。两自由度手臂的两自由度手臂的牛顿欧拉方程：牛顿欧拉方程：nniNjNiiiijjj,构件尺寸1212nDDDiNiiijjijkjkikNjNjN,12111221211222121221211122212221211111DDDDnDDDDDn No.241.计算任意连杆上任意
15、一点的速度计算任意连杆上任意一点的速度 2.动能动能 3.势能势能 4.拉格朗日算子拉格朗日算子 5.动力学方程动力学方程 No.251.机器人臂上一点的速度机器人臂上一点的速度rrqqTdtdrviijjjii1drdtr rTrace rrTraceTqq rTqq rTraceTqr rTqq qTijjiikkiTjiijkiiiTiTkjkji2111 速度速度速度的平方速度的平方rT riiNo.262.动能动能质量为质量为dm的质点的动能的质点的动能 连杆连杆Li的动能的动能 ijkjkTiTiiikjiiqqqTdmrrqTTracedk1121积分积分kdkTraceTqrd
16、mrTqq qiiiijiiTiTkjk12 机器人手臂的动能机器人手臂的动能 N个运动连杆个运动连杆kjNiijikkTiijiNiiqqqTqTTraceKK 11121H驱动和传动元件的动能驱动和传动元件的动能 与构件有相对运动与构件有相对运动机构的总动能机构的总动能 和和KI qaiaii122KTraceTqTqq qIqijiiTkkijiiNjkaiiiN12121121H No.273.势能势能连杆连杆Li的势能的势能 重力加速度矢量重力加速度矢量总势能总势能Pm g TriiTi i ggggT1230Pm gT riTiiiN 1No.284.拉格朗日算子拉格朗日算子动力学
17、方程动力学方程2111111122TNiiNNTiiijkii iaiiijkiijkTTLTraceq qm g TrI qqqH QddtLqLqiNiiii,12 No.295.动力学方程动力学方程LqTraceqqqI qpikiiTpkii pNkappTHT1ddtLqTraceqqqI qTraceqqqq qpikiiTpkkii pNappikmiiTpmikmkii pN THTTHT1211Traceqqqq qipmiiTkmikmkii pN211THT LqTraceqqqq qm gTqrpipjiiTkkijkjii pNiTipii pN211THT No.3
18、05.动力学方程动力学方程ddtLqLqTraceqqqIqTraceqqqq qm gTqrppikiiTpkkiipNappikmiiTpmikmkiipNiTipiipNTHTTHT1211QTraceqqqI qTraceqqqq qm gTqriNiijkjijTikkij iNaiijkmjjTimikmkij iNjTjijj iNTHTTHT(,)121112 QDqDqD q qDiNiiijj iNjii iijkjkikij iN(,)112将下标将下标p和和i换成换成i和和j 改变求和顺序改变求和顺序 No.315.动力学方程动力学方程QDqDqD q qDiNiiij
19、j iNjii iijkjkikij iN(,)112DIiiaiDTraceTqTqijpjppTipi j kNHmax(,)DTraceTqqTqijkpjkppTipi j kN2Hmax(,)Dm gTqripTpipp iN 惯性力和重力载惯性力和重力载荷对机器人的控制荷对机器人的控制特别重要，他们影特别重要，他们影响伺服系统的稳定响伺服系统的稳定性和位置精度。性和位置精度。向心力和哥氏力，向心力和哥氏力，只在高速运动时重只在高速运动时重要的。但它们产生要的。但它们产生的误差不大。的误差不大。No.32n nnnNNT1122P x y z o o orxyzTTQFMT FM11
20、,2,NNNTijjiiiijkjkiFMiijiji kD qD qDq qDnQiN J D qD qD q qDniNijjiiiijkjkiiikNj iNj iN,112 No.33一、广义坐标一、广义坐标描述动力学系统的一组独立变量描述动力学系统的一组独立变量-系统状态系统状态 设设N N个质点系统个质点系统-具有具有S S个约束方程个约束方程 fxy zxyzfxy zxyzfxy zxyzNNNNNNSNNN11112111111000(,)(,)(,)3N个坐标个坐标 K=3N-S个独立（系统自由度）个独立（系统自由度）No.34一、广义坐标一、广义坐标选选K个独立参数个独立
21、参数xx q qqyy q qqiNzz q qqiikiikiik(,)(,)(,)(,)12121212rriikq qqiN(,)(,)1212这这k个决定质点系统位置的独立参数，个决定质点系统位置的独立参数，称为系统的广义坐标称为系统的广义坐标自由度数。自由度数。No.35二、虚位移和虚功原理二、虚位移和虚功原理 在非自由质点系中，在非自由质点系中，-质点位移受到约束限制质点位移受到约束限制.在给在给定瞬时，约束所允许的各质点任何无限小的位移，定瞬时，约束所允许的各质点任何无限小的位移，称为称为。位移位移实位移实位移虚位移虚位移力、初始条件及时间力、初始条件及时间约束的性质约束的性质N
22、o.36二、虚位移和虚功原理二、虚位移和虚功原理 质点系统的虚位移由各质点的虚位移组质点系统的虚位移由各质点的虚位移组成。成。riiN(,)12 在广义坐标系中，各质点的虚位移也可在广义坐标系中，各质点的虚位移也可以用广义坐标的变分以用广义坐标的变分(称为广义虚位移称为广义虚位移)来来表示。表示。qqqk12,No.37二、虚位移和虚功原理二、虚位移和虚功原理 虚位移与广义坐标虚位移与广义坐标),(),(),(212121kiikiikiiqqqzzqqqyyqqqxx),(21kiiqqqrr 虚虚微微分分kjjjiikjjjiikjjjiiqqzzqqyyqqxx111kjjjiiqq1r
23、r(1,2,);1,2,iNjkNo.38二、虚位移和虚功原理二、虚位移和虚功原理 系统平衡时系统平衡时 处于平衡状态的质点系统，作用在系统上处于平衡状态的质点系统，作用在系统上外力的虚功之和为零，这就是外力的虚功之和为零，这就是虚功原理虚功原理。0iF虚功为零虚功为零FriiiN01质点系是刚体或相接触的刚体集合质点系是刚体或相接触的刚体集合 内力的虚功和为零内力的虚功和为零 FriiiN外01No.39三、广义外力三、广义外力 内力的虚功和为零内力的虚功和为零称称 为广义坐标为广义坐标 的的 广义外力广义外力。WFiiiNFr外1kjNijjiiNikjjjiiFqqqqW1111rFrF
24、外外QqjiijiNFr外1WQqFjjjk1Qjkj(,)12 qjkj(,)12 kjjjiiqq1rrNo.40四、达朗伯原理四、达朗伯原理 达朗伯原理的符号表达式达朗伯原理的符号表达式。达朗伯原理达朗伯原理将动力学问题在形式上化为静力将动力学问题在形式上化为静力学问题来进行求解，这种方法称为动静法。学问题来进行求解，这种方法称为动静法。达朗伯原理与虚位移原理结合达朗伯原理与虚位移原理结合动力学方程动力学方程质点质点i的动力学平衡方程的动力学平衡方程Fpii0内力的虚内力的虚功和为零功和为零 质点系质点系Fpr外iiiiN10虚位移虚位移01NiiiirpFNo.41四、达朗伯原理四、达
25、朗伯原理 达朗伯原理的力学表达式达朗伯原理的力学表达式。kjjjiiqq1rr011NikjjjiiiqqrpF外priiimNiiirmT1221ddtTqTqQqjjjjjk01成立的唯一条件成立的唯一条件 ddtTqTqQjjjNo.42五、拉格朗日方程五、拉格朗日方程 1.合力是有势力，质点系具有势能合力是有势力，质点系具有势能势能是各质点势能是各质点坐标的函数坐标的函数PP xy zxyzxyznnn(,)111222质点位置以广质点位置以广义坐标来决定义坐标来决定PP q qqk12,与广义速度无关与广义速度无关 FPxxii FPyyii FPzzii jjqPQ力在直角坐标上的
26、投影等于势能对相应坐标的负偏导数力在直角坐标上的投影等于势能对相应坐标的负偏导数No.43五、拉格朗日方程五、拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程。1.合力是有势力，质点系具有势能合力是有势力，质点系具有势能ddtTqTqQjjjddtTPqTPqjkjj,012 定义拉格朗日函数定义拉格朗日函数 ddtLqLqjkjj()(,)001jjqPQNo.44五、拉格朗日方程五、拉格朗日方程 2.广义外力广义外力 中同时含有和广义坐标系有关而和广中同时含有和广义坐标系有关而和广义速度无关的有势力义速度无关的有势力P ，以及部分其它广义力，以及部分其它广义力 QjjQjQPqQjjjj jjjjQqPTqPTdtd)()(拉格朗日方程拉格朗日方程。
