1、第二章动量传输的基本定律第二章动量传输的基本定律 2.1流体流动的基本特征 2.2流体流动的连续性方程 2.3 实际流体的动量平衡微分方程 2.4理想流体动量平衡微分方程 2.5流体机械能平衡方程 2.6流体静压力平衡方程 2.7流速、流量的测量 2.1流体流动的基本特征 能量守恒定律 动量守恒定律 质量守恒定律 流体动力学的基础（三大守恒定律）连续性方程 纳维尔斯托克斯方程 欧拉方程 伯努力方程 1流体流动的起因流体流动的起因 自然流动自然流动 强制流动强制流动 流体流动类型流体流动类型 自然流动起因：流体密度不同，浮力自然流动起因：流体密度不同，浮力 强制流动起因：外力作用强制流动起因：外
2、力作用 2 2 稳定流动与不稳定流动稳定流动与不稳定流动 流场中运动参数不随时间而变化的流动 称为稳定流动。流场中运动参数随时间而变化的流动，称为不稳定流动。对于非稳定流动，流场中速度与压力的分布：对于非稳定流动，流场中速度与压力的分布：ux=ux(x,y,z,t)uy=uy(x,y,z,t)uz=uz(x,y,z,t)P=P(x,y,z,t)对于稳定流动，流场中速度与压力的分布：对于稳定流动，流场中速度与压力的分布：ux=ux(x,y,z)uy=uy(x,y,z)uz=uz(x,y,z)P=P(x,y,z)3流场运动描述的两种方法(1)流场、运动参数的定义 充满运动流体的空间称为流场 表示流
3、体运动的特征的一切物理量称为运动参数 拉格朗日法 欧拉法 流场运动描述的两种方法（2）流场运动描述的两种方法 A 拉格朗日法 研究对象：流场中某个运动的质点或微团 研究内容：整个流场内流体各个质点的运动参数随时间的变化规律。常用于研究流体的波动和振动问题 B欧拉法欧拉法 研究对象：相对于坐标固定的整个流场中的任一空间点，即流场中固定的空间点 研究内容：流体质点通过整个流场内不同空间固定点时，运动参数随时间的变化规律。常用于研究流体运动时，整个流场的速度分布、压力分布和变化规律 任取一位置、体积均固定的流体微元 微分衡算 守恒定律 运动微分方程 运动积分方程 流体的运动规律 研究思路：研究思路：
4、4迹线与流线迹线与流线 1)迹线 在流场中流体质点运动的轨迹线称为迹线 特点:迹线是一族曲线 迹线随质点的不同而异,与时间无关 2)流线流线 流线是某时刻在流场中所画的一条曲线，在这条曲线上任一点的切线方向就是该点上流体质点的速度方向。上流体质点的速度方向。特点:非稳定流动时,经过同一点的流线其空间方位与形状随时间不同而异 稳定流动时,经过同一点的流线始终不变,且流线上质点的迹线与流线重合 流线不能相交也不能转折 z x y ua a 5流管、流束及流量 1）流管及流束定义 流管：在通过流场内任一封闭周线上各点的流线构成一个管状表面。流束：在流管内取一微元曲面积dA，在dA边界上的每一点作流线
5、，这族流线称为流束。流束 流管 dA u 2）流速和流量 u dA 体积流量，用V表示，m 3s-1 质量流量，用m表示，kg s-1 流量 Vm?两者之间的关系：V=?A u dA 流量：单位时间通过任一流通截面的流体数量。流速和流量 体积流速 单位 m/s 又称质量通量 质量流速?=m/A 单位为kg/m2s 又称平均流速 流 速?=?u m=?A=?u A 两者之间的关系 u=V A A vdA?A 6动量通量动量通量 1)动量通量定义:在单位时间内,通过单位面积流体传递的动量。即 动量通量 =m u/A?kg/s2m 动量通量 对流动量通量 粘性动量通量 2）对流动量通量）对流动量通量
6、 对流动量通量 =?uxux kg/s2m 对流动量通量传递方向总是流体流动的 方向一致,对于不可压缩流体而言,它与 流体速度的平方成正比 3）粘性动量通量 粘性动量通量的大小与动量梯度成正比，传递方向总是从高速流层传向低速流层。即粘性动量的传递方向指向速度梯度的 负值方向。使得计算结果中，动量通量 总是大于等于零。粘性动量通量=?kg/s2m d(?ux)d y 1 偏导数t?2 全导数dtd3随体导数DtDdtdzzdtdyydtdxxtdtd?若 dx/dt=vx、dy/dt=vy、dz/dt=vzzvyvxvtDtDzyx?对流导数项 7几种时间导数几种时间导数 推导思路：采用欧拉法，
7、分别获得净流出微元体的质量流量和微元体的质量随时间变化量，利用质量守恒定律导出连续性方程 依据质量守恒定律，有：净流出微元体的质量流量 微元体的质量随时间变化量+=0 2.2 流体流动的连续性方程 （质量衡算方程）1 连续性方程的微分式：z y x?ux?(?ux)?ux+?x dx?uy?(?uy)?uy+?y dy?(?uz)?uz+?z dz?uz（质量衡算方程）2.2 流体流动的连续性方程流体流动的连续性方程?ux?dx dydz-?ux dydz?x?ux?x?ux?=dx dy dz?y?uy?dx dy dz?z?uz?dx dy dz 单位时间内，x方向上净输出的质量流量为：同
8、理单位时间内y、z方向上净输出的质量流量分别为：在在dt 时间内，微元体流体质量的变化为：时间内，微元体流体质量的变化为：?x?ux?+dxdydzdt +=0?y?uy?z?uz?t?dxdydzdt?x?ux?+=0?y?uy?z?uz?t?x?ux?+=0?y?uy?z?uz?t?x?ux?+=0?y?uy?z?uz?t?x?ux?y?uy?z?uz+?x?ux?+=0?y?uy?z?uz D?Dt 2讨论 1）以上方程是可压缩流体的连续性方程，适）以上方程是可压缩流体的连续性方程，适用于任何流体的流动规律 2）对于稳态流动、不可压缩且均质流体，则 D?/Dt=0 得：?x?ux +=0
9、?y?uy?z?uz?011011?zvvrrrvrDtDzvvrrvrrtzrzr?或?0sin1sinsin110sin1sinsin112222?vrvrrvrrDtDvrvrrvrrtrr或柱坐标系：柱坐标系：球坐标系：3）若坐标系为柱坐标系和球坐标系时，可压缩流体的连续性方程应变为：0?-?随时间的变化率控制体内的质量的质量流量输入控制体的质量流量输出控制体控制体 u1 A2 A1 u2?udA?udA+?(?dV)=0 A2 A1 V?t 3管内流动的连续性方程 对于管道内稳定流动，?/?t=0，上式变为：?u dA =?u dA A2 A1 222111AuAu?或由稳定流动，则
10、?输入流量输出流量?21mm?222111AuAu?1=?2=常数2211AuAu?若流体是不可压缩且均质的，若流体是不可压缩且均质的，对于圆形截面管道，有：上式为管内流动的连续性方程 u1d1 =u2 d2 2 2 m1 m m221mmm?2211AuAuuA?思考：思考：如果管道有分支，如果管道有分支，则稳定流动时的连续性方程又如何？例题 1实际流体的动量平衡微分方程的导出：推导思路：采用欧拉法，分别获得净输出微元体的动量、作用于微元体合力和动量累积量，利用牛顿定律、动量守恒定律导出动量平衡微分方程。依据牛顿定律、动量守恒定律，有：2.3 实际流体的动量平衡微分方程实际流体的动量平衡微分
11、方程 对于稳态流动系统而言 动量输入量-动量输出量=0 系统作用力总和+对于不稳态流动系统而言 动量输入量-动量输出量=系统作用力总和+动量累积量 微元体动量净输入 z y x?ux ux?(?ux ux)?ux ux+?x dx 以ux为准微元体动量净输入?(?uz ux)?ux ux+?z dz?uz ux?(?uy ux)?ux ux+?y dy?uy ux?(?ux ux)?x dx dy dz 以ux为准，y、z方向微元体动量净输入：以ux为准，分别通过x、y、z方向两截面微元体动量净输入如下：通过x方向两截面的微元体动量净输入：?(?uz ux)?z dz dx dy?(?uy u
12、x)?y dy dx dz 以uy为准，微元体动量净输入：分别以ux、uy、uz为准微元体动量净输入如下：以ux为准，微元体动量净输入：?(?ux ux)?x dx dy dz+?(?uz ux)?z+?(?uy ux)?y 以uz为准，微元体动量净输入：?(?ux uz)?x dx dy dz+?(?uz uz)?z+?(?uy uz)?y?(?ux uy)?x dx dy dz+?(?uz uy)?z+?(?uy uy)?y 微元体粘性动量净输入 以ux为准微元体粘性动量净输入 z y x ux?zx?zx+d?zx?z?ux?zx=?zx+d?zx=?z2?2ux dz?z?ux+以uy
13、为准，微元体粘性动量净输入：以ux、uy、uz为准，微元体粘性动量净输入：以ux为准，微元体粘性动量净输入：以uz为准，微元体粘性动量净输入：?2ux?x2 dx dy dz?2ux?y2?2ux?z2+?2uz?x2 dx dy dz?2uz?y2?2uz?z2+?2uy?x2 dx dy dz?2uy?y2?2uy?z2+以以y 方向上微元体作用力总和：方向上微元体作用力总和：在在x、y、z方向上微元体作用力总和方向上微元体作用力总和 以x 方向上微元体作用力总和：以z方向上微元体作用力总和：（?P?x+?gx)dx dy dz（?P?y+?gy)dx dy dz（?P?z+?gz)dx
14、dy dz 以y 方向上微元体动量累积量：在在x、y、z方向上微元体动量累积量方向上微元体动量累积量 以x 方向上微元体动量累积量：以z方向上微元体动量累积量：?(?ux)?t dx dy dz?(?uy)?t dx dy dz?(?uz)?t dx dy dz 在x 方向上微元体动量平衡?P?x+?gx?2ux?x2?2ux?y2?2ux?z2+?(?ux)?t +?(?ux ux)?x+?(?uz ux)?z+?(?uy ux)?y=1 在y 方向上微元体动量平衡?P?y+?gy?2uy?x2?2uy?y2?2uy?z2+?(?uy)?t +?(?ux uy)?x+?(?uz uy)?z+
15、?(?uy uy)?y=2 在z方向上微元体动量平衡?P?z+?gz?2uz?x2?2uz?y2?2uz?z2+?(?uz)?t +?(?ux uz)?x+?(?uz uz)?z+?(?uy uz)?y=3 2讨论讨论 1）1、2和3式组成适用于实际流体的奈维-斯托克斯方程（N-S方程）2）若适用条件为不可压缩流体、粘度为常数且流态为层流，则有?-?-?-?222222222222222222zvyvxvzpgzvyvxvtzvyvxvypgzvyvxvtzvyvxvxpgzvyvxvtzzzzzyxyyyyzyxxxxxzyx?zzzzyyyyxxxxvvvvvvvvvvvv惯性力 粘性力
16、重力 压力 不可压缩流体的N-S 方程:例题 pDtDM?-?Fv?-欧拉（Euler）方程 2.4欧拉方程-理想流体的N-S方程 对于理想流体，粘度?=0，则不可压缩流体的N-S 方程可变为：少了一项：?u 则，欧拉方程如下：?P?x+?gx)=?P?y+?gy?P?z+?gz +ux?ux?x +uy?ux?y +uz?ux?z +ux?uy?x +uy?uy?y +uz?uy?z +ux?uz?x +uy?uz?y +uz?uz?z?ux?t?(?uz?t?(?uy?t?()=)=因此对于稳定流动、不可压缩的理想流体 ux?uz?x uy?uz?y uz?uz?z=+gz?P?z?1+u
17、x?uy?x uy?uy?y uz?uy?z+ux?ux?x uy?ux?y uz?ux?z=+gy?P?y?1=+gx?P?x?1 2.5流体机械能平衡方程流体机械能平衡方程(伯努力方程)处理某些流动问题时，可以近似的视 为理想流体。1）在流场中速度梯度很小时，流体虽然有粘性，但粘性力的作用不大。2）简单流动中的阻力，可以先假定为理想流体进行解析，而后再对流体粘性造成的能量损失给以补正。1理想流体的伯努力方程理想流体的伯努力方程 若流体是在重力场中稳定流动、不可压缩 的理想流体，则：?ux/t =?uy/t =?uz/t=0 gx=0，gy=0，gz=g?常数 那么，理想流体的欧拉方程变为：
18、=?P?y?1=?P?x?1 ux?uz?x=g?P?z?1 uy?uz?y uz?uz?z+ux?uy?x uy?uy?y uz?uy?z+ux?ux?x uy?ux?y uz?ux?z 对于微小流束的稳定流动，则对于微小流束的稳定流动，则 ux dy=uy dx uy dz=uz dy uz dx=ux dz 用用dx，dy，dz 分别乘上上式并相加，得：分别乘上上式并相加，得：gdz?dP ux dux+uy duy+uz duz=?dP?d(u2/2)+gdz=0 2讨论：1）理想流体微小流束的伯努力方程 积分得：?P 或 u2/2+g z=常数?P1 u12/2+g z1=u22/2
19、+g z2?P2 J/kg 物理意义：微小流束单位质量流体具有的真实能量 2）缓变流的伯努力方程 缓变流是指管流中流线之间的夹角很小、流线趋 于平行且流线曲率很小、流线趋于直线流动状态。工程上的大多数的管流几乎都是直线或近似于平行，即缓变流。则得：?P+g z=常数 J/kg 3）理想流体沿管流的伯努力方程）理想流体沿管流的伯努力方程?P1?1 u12/2+g z1=?2 u22/2+g z2?P2 管流有效断面上各点的速度一般不相 等，因此流速按修正的平均速度进行计 算，即：?au2 层流时，?=2；湍流时，?=1.051.10 工程上以湍流多见，且动能u2/2项与其他机械能项相比数值较小，
20、故可近似取?1，于是?2222121122pugzwpugzs?=平均 流速 取决于有效断面速度分布的不均匀程度的参数 物理意义：管流束有效截面上单位质量流体具有的平均能量 u2/2g+P/g?z =常数 m 公式中各项分别为动压头、静压头和位压头，它们的总和为总压头或单位重量流体所具有的总机械能 此公式的物理意义见P31 基准面 z1 z2 P1/g?P2/g?u2 u1 u12/2g u22/2g 总压头或全压 2实际流体的伯努力方程实际流体的伯努力方程 Q 2 换热器 2 z2 1 泵 z1 1 Wsfswpugzwpugz?2222121122总机械能Et机械能衡算方程（柏努利方程）摩
21、擦损失，正号，J/kg 有效轴功率，正号，J/kg 对实际流体：黏度不为0，上式修正为：单位：J/kg 机械能衡算方程（柏努利方程）（柏努利方程）外加压头 静压头 动压头 位压头 压头损失 或修正为：u12 2g z1+He=P1?g z2+Hf u22 2g P2?g 单位：m 或 J/N 或修正为：单位Pa或J/m3?u12 2?z1 g +P1+?He g=?z2 g+P2+?Hf g?u22 2 3流体机械能平衡方程的应用流体机械能平衡方程的应用 应用条件：稳定流动、不可压缩的实际流体 解决问题：流速、流量和压强测算；管路、设备设计；对炉内气体运动状况的分析等 解决步骤：分析流动系统?
22、确定基准面?选取计算截面?列伯努力方程计算 例题 2.6流体静压力平衡方程流体静压力平衡方程 1 静力学方程的导出 流体静力学主要研究质量力为重力时流体平衡规律 流体静止，意味着什么？流体静止，即流体无流动速度、可视为理想流体、无外界对流体做功 因此，u=0、Hf=0、He=0 变为：单位Pa?z1 g +P1?z2 g+P2?u12 2?z1 g +P1+?He g=?z2 g+P2+?Hf g?u22 2 将实际流体伯努利方程：单位Pa 2 静力学方程的讨论：静力学方程的讨论：1）适用条件：绝对静止、连续、均质、不可压缩，即适用于连通的同一种连续的不可压缩静止流体 2）等压面为水平面；3）
23、压力可传递，静压头与位压头可相互转换。2 静力学方程的讨论：静力学方程的讨论：4）2.94式的几何意义P34；能量意义P34 5）各量的大小与基准面的位置有关；2.94式中各量的单位N/m2 或Pa；例题 例例2-1 设流场的速度分布为 ux=4t-2y/（x2+y2）uy=2x/（x2+y2）试求：（1）当地加速度；（2）t=0时，在M（1，1）点上流体质点的加速度。例例2-12 某二维流场的速度分布：ux=2x4t2,uy=2x2y,试证明该流体为不可压缩流体 水在稳定态下连续流过变径管道。已知小管管径为50mm，大管管径为100mm。试求当体积流量为410-3m3/s时，各管段的平均流速
24、。例例2.3 液体在重力作用下呈薄膜沿垂直放置的固体平板壁面向下流动，如图所示。设液膜的流动为一维稳态层流。试求液膜内的速度分布、主体流速及液膜厚度。x y z 自由表面?固体平板 例例2.4 已知：右图中水槽 液面至管道出口的 垂直距离为6.2m，水管全长为330m，管径为?100mm?4mm，整个管路系统压头损失为6mH2O，求管路中每分钟可达到流量 2 2 1 1 基准面 z1 例例2.5 求泵的有效功率 基准面基准面 15m 2 2 1 1 用离心泵将贮槽中密度1200 kg/m3 的CaCl2溶液送到蒸发器中蒸发室内，贮槽内液面维持恒定，其上方与大气相同。蒸发室内操作压强为-26.7
25、kPa（表压）。蒸发器送料口高于贮槽内液面15m，输送管道直径为60mm，送料量为20 m3/h，溶液流经全部管道的压头损失为141.26kPa，计算离心泵的有效功率 解：截面如图所示，并取截面为基准面，截面之间的管道的阻力损失为141.26k Pa（表压），依题意在截面之间列伯努利方程衡算：Z1u1 2/2 g P1/gHe =Z2u2 2/2 g P2/g hf 蒸发室 CaCl2 以截面为基准面，截面取在管口内侧 Z2=15m，u1=0，P1=0（表压），P2=-26.7 k Pa（表压）u2=Vs/(/4)d 2 204/（36000.062）=1.97 m/s，?He=Z2u2 2/
26、2 g P2/g hf =15+1.972/（29.81）26.71000/（12009.81）141.26 1000/（12009.81）=24.93 m 或截面取在管口外侧，则u2=0，hf=141.26 1000/（12009.81）u2 2/2 g?He=Z2 P2/g hf=15+1.972/（29.81）26.71000/（12009.81）141.26 1000/（12009.81）=24.93 m N=Ne/?=VsHeg/?=2024.9312009.81/3600=1.63kW 例2.6 设风机入口吸风管直径d=0.3m，吸风时测出管内的负压?h=0.25mH2O,如图所示
27、，空气的重度=/12mN，求不计管内损失时的空气流量。O O 1 1 2 2?h 水在直径均一的虹吸管内稳态流动，设管路 的能量损失可忽略。求（1）管内水的流速（2）管内截面2-2、3-3、4-4和 5-5处的流体压力。已知大气压力为101.33?Pa 4 4 2 2 3 3 5 5 6 6 1 3000 500 1000 例例2.7 2.7 流速、流量的测量 1变压头流量计 测速管 孔板流量计 文丘里流量计 变压头流量计 变压头流量计的特点是恒截面，变压头 u A?R 1 2 0 R 孔板流量计 R文丘里流量计 孔板流量计 毕托测速仪 u A?R p?-?02gRuA-点速度1)测速管：又称
28、皮托（Pitot）管 测速管的优点:结构简单、阻力小、结构简单、阻力小、使用方便，尤其适用使用方便，尤其适用于测量气体管道内的流速。流速。缺点：不能直接测出平均速度，且不能直接测出平均速度，且压差计读数小，常须放大才能读得准确。u A?R p1 p2 1 2 R 孔板流量计2)孔板流量计 上游取压口在距孔板1倍管径处 下游取压口在距孔板1/2倍管径处 影响两测压点间的压力差的因素：孔板结构、流速 暂不计摩擦损失，1、2 之间有：22222211upup?)(002211孔口uAuAuA?测量原理：?212122002111ppAAAu-?用 A0代替 A2，再考虑到机械能损失?21021210
29、0221ppCppAACuD-?-?-?002 gRC孔流系数?-?000002gRACAuV影响孔流系数C0的因素：A0/A1、雷诺数 Re1=du1?/?、取压位置、孔口的形状、加工精度。需由实验测定。C0 值多在0.6至0.7之间 优点：构造简单，制造和安装都很方便 缺点：机械能损失（称之为永久损失）大，当d0/d1=0.2时，永久损失约为测得 压差的90%，常用的d0/d1=0.5情形下，永久损失 也有75%。?-?000002gRACAuVC0约为0.98?0.993)文丘里（Venturi）流量计 收缩段锥角通常取 15?25?，扩大段锥角要取得小些，一般为5?7?R文丘里流量计的
30、优点：其永久损失小，文丘里流量计的优点：其永久损失小，故尤其适用于低压气体的输送。故尤其适用于低压气体的输送。缺点：加工比孔板复杂，因而造价高，缺点：加工比孔板复杂，因而造价高，且安装时需占去一定管长位置，且安装时需占去一定管长位置，皮托测速仪 孔板流量计 文丘里流量计 u0 0 0 1 1 u1 重 力浮力升 力净重力升力?2 变截面流量计变截面流量计:转子流量计 微锥形玻璃管，锥角约为4?左右 转子（或称浮子）,直径略小于玻璃管的内径；转子密度须大于被测流体的密度。变截面流量计的特点是变截面，恒压头 u0 0 0 1 1 u1 重力重力?pA 重力?fpA测量原理：先按理想流体推导，此时摩
31、擦力为零。当转子停留在某一高度时 将转子近似看为一个圆柱体，则?gVAppfff?-01在0-0面、1-1面间列伯努利方程：?fffAuuAzzgApp212010012-?-?-?gVAuufff?-?-21202?gVAAAufff?-?-21020121100AuAu?fffAgVAAu?-?-?2112100?fffRAgVCu?-?20?fffRAgVACAuV?-?2000常数变量流量系数 考虑到实际转子不是圆柱状、流体非理想，将上式加一校正系数，得：优点：读取流量方便，流体阻力小，测量精确度较高，能用于腐蚀性流体的测量；流量计前后无须保留稳定段。缺点：玻璃管易碎，且不耐高温、高压。转子流量计 3双流体伯努力方程 如右图，选定基准面，管内气体的密度为?，管外静止空气的密度为?w，在?-?，?-?截面之 间分别对管内外列伯努 力方程，整理得：基准面 z1 z2?w?1 1 2 2?1u12 2?P1+gz1(?w)+?2u22 2=Hf g?+?P2+gz2(?w)+
