1、(1)理论分析方法 在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解(解析解)，或叫理论解；第四章导热问题的数值解法第四章导热问题的数值解法1.求解导热问题的三种基本方法(1)理论分析法；(2)数值计算法；(3)实验法 2.三种方法的基本求解过程4-1 导热问题数值求解的基本思想导热问题数值求解的基本思想3.三种方法的优缺点(1)分析法能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据；分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见；局限性很大，对复杂的问题无法求解；(2)数值计算法 把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替，
2、通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值。这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。(3)实验法 就是在传热学基本理论的指导下，对所研究对象的传热过程进行观察、测量(2)数值法 在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低(3)实验法 是传热学的基本研究方法适应性不好；费用昂贵数值解法：有限差分法（finite-difference）有限元法（finite-element）边界元法（boundary-element）4.导热问题的数值求解基本步骤建立控制方程及定解条件确定节点(区域离散化)建立节点物
3、理量的代数方程设立温度场的迭代初值求解代数方程是否收敛解的分析改进初场是否 二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题。(1)建立控制方程及定解条件t0 xyh1tfh2tfh3tfHWO控制方程：02222ytxt边界条件：),(2fHxtyHthxt)0,(10fytxthyt),(3fWytWxthyt00ttx(2)区域离散化网格线：与坐标轴平行的线节 点：网格线的交点步 长：两相临节点间的距离控制容积：节点所代表的区域界面线：控制容积的边界线 x yxyotm，nMN(3)区域离散化离散方程：节点上物理量的代数方程，如tm,n1,1,1,1,41nmnmnmnmnmttttt(4)设
4、立迭代初场 对各点物理量设置初始值(5)求解代数方程组 采用迭代法求解方程组(6)解的分析 根据温度分布,求热流xtxtq1.建立离散方程的常用方法(1)Taylor(泰勒)级数展开法(2)控制容积平衡法(也称为热平衡法)(3)控制容积积分法(4)多项式拟合法4-2 内节点离散方程的建立方法内节点离散方程的建立方法2.泰勒级数展开法 根据泰勒级数展开式，用节点(i，j)的温度ti，j来表示节点(i+1，j)的温度ti+1，j )(!3)(!2)()()(32xfxxfxxf xxfxxf 用节点(i，j)的温度ti，j来表示节点(i-1，j)的温度ti-1，jnmnmnmnmnmnmxtxxt
5、xxtxxtxtt,444,333,222,1!4!3!2nmnmnmnmnmnmxtxxtxxtxxtxtt,444,333,222,1!4!3!2 若取上面式右边的前三项，并将两式相加，移项整理即得二阶导数的中心差分：)(222,1,1,22xoxtttxtnmnmnmnm截断误差截断误差 未明确未明确写出的级数余项中写出的级数余项中的的x的最低阶数的最低阶数为为2 2同样可以写出：02222ytxt)(2221,1,22yoytttytnmnmnmnm根据0,22,21,1,2,1,1nmvnmnmnmnmnmnmytttxttt如果x=y，则2,1,1,1,1,41xtttttnmvn
6、mnmnmnmnm对于无内热源，且x=y02222vytxt有内热源无内热源1,1,1,1,41nmnmnmnmnmttttt导 数差分表示式截断误差备注i点的向前差分i点的向后差分i点的中心差分i点的中心差分一阶、二阶导数的常用差分表达式xttii1xttii1xttii2112112xtttiii)(xO)(xO)(2xO)(2xO ixtixt22例：有人对一阶导数 提出了如下表达式221253xtttxtnnnnnxt试判断该表达式是否正确，为什么？解：表达式实质是用tn、tn+1及tn+2三点差商表达一阶导数nxt根据泰勒级数可知一阶导数的近似公式)()(xtxxttxtnn 221
7、2121122xtttxxttxttxtnnnnnnn)(将 代入 可得xtttxtnnn24321)()(xt)(xt答：该表达式不正确，正确式应为xtttxtnnn24321)(2)控制容积平衡法(热平衡法)基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的代数方程组 它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier定律即可。voiovi)(W流入控制体的总热流量控制体内热源生成热流入控制体的总热流量控制体内热源生成热流出控制体的总热流量控制体内能的增量流出控制体的总热流量控制体内能的增量能量守恒：即：从所有方向流入控制体的总热流量控制体内热
8、源生成热控制体内能的增量从所有方向流入控制体的总热流量控制体内热源生成热控制体内能的增量0)()(nsew稳态、无内热源时：内部节点(m，n)：从所有方向流入控制体的总热流量从所有方向流入控制体的总热流量0 0 x yxyom，nm-1，nm+1，nm，n-1m，n+1 w e n s根据傅立叶定律xttyxtAnmnmw,1xttynmnme,1,yttxnmnms,1,yttxnmnmn1,0,1,1,1,1yttxyttxxttyxttynmmnnmmnnmnmnmnm如果x=y，则1,1,1,1,41nmnmnmnmnmttttt如果有内热源，且x=y，则2,1,1,1,1,41xtt
9、tttnmvnmnmnmnmnm4-3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解 对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题，就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才能求解。为了求解方便，这里我们将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热流密度表达式。用表示内热源强度。1.边界节点离散方程的建立：(1)平直边界上的节点2,1,1,1,224xttqxttnm
10、nmnmwnmnm0222,1,1,1yxyttxyttxyqxttynmnmnmnmnmwnmnmyxqwxyoqw(2)外部角点2222,1,1,xqxtttnmwnmnmnm0222222,1,1yxyttxqxqyxttynmnmnmwwnmnmyxqwxyoqw(3)内部角点)22322(6122,11,1,1,wnmnmnmnmnmqxxttttt0432222,1,1,1,1yxqxyttxyttxqyxttyxttynmwnmnmnmnmwnmnmnmnmyxqwxyoqw(1)第二类边界条件：将qw带入边界点离散方程即可 绝 热 qw=0 非绝热 qw=const(3)辐射边
11、界条件：将qw=(Tf4 T 4m,n)带入边界点离散方程边界热流密度qw的情况(2)第三类边界条件：将qw=h(tftm,n)带入边界点离散方程平直边界fnmnmnmnmnmtxhxttttxh2222,21,1,1,外部角点fnmnmnmnmtxhxtttxh2212,21,1,内部角点fnmnmnmnmnmnmtxhxtttttxh223)(232,21,11,1,2.节点方程组的求解nnnnnnnnnnnbtatatatbtatatatbtatatat2211222221212112121111 写出所有内节点和边界节点的温度差分方程，n个未知节点温度，n个代数方程式：代数方程组的求解
12、方法：直接解法、迭代解法直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解;矩阵求逆、高斯消元法迭代解法：先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应地不断更新）迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-赛德尔迭代、块迭代、交替方向迭代等高斯-赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最新值在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）例如：根据第 k 次迭代的数值
13、(k)n(k)2(k)1ttt、可以求得节点温度)(1)(1)(212)(111)1(1kknnkkkbtatatat)()()1(11)1(22)1(11)1()(3)(3)1(232)1(131)1(3)(2)(2)(222)1(121)1(2knknnnknnnknknknkknnkkkkknnkkkbtatatatatbtatatatbtatatat判断迭代是否收敛的准则：)()1(maxkikittK、k+1迭代次数；第k次迭代得到的最大值(k)maxt当有接近于零的t 时，第三个较好)()()1(maxkikikittt)(max)()1(maxkkikittt允许的偏差；相对偏差
14、一般取10-310-6判断迭代能否收敛的准则：系数矩阵主对角占优，即主对角的系数大于或等于其他变量系数绝对值之和。例 如图有一矩形薄板，已知a=2b，在边界x=0和y=0处是绝热的，在x=a处给出第三类边界条件，即给定h和tf，边界y=b处壁面保持恒定温度tb。试写出各节点的离散方程。xyot1t2t3t5t7t9t2t4t6t8t10tbtbtbtbtbxyobtbahtf解：对于无内热源二维稳态导热02222ytxt00yxt00 xxtbbytt)(tthxtfax节点号节点方程式备注1 2t1t2t30外部角点2 -t14t2tb2t4=0平直边界点3 -t14t32t4t5=0平直边
15、界点4 -t2t34t2t6tb=0内节点5 -t34t52t6t7=0平直边界点6 -t4t54t6t8tb=0内节点7 -t54t72t8t9=0平直边界点8 -t6t74t8t10tb=0内节点9 -t72hb/t9t10hb/tf=0外部角点10 -2t8t94hb/t10tbhb/tf=0平直边界点采用均匀网格，x=y=b/2用矩阵的形式可写为hbhb412000000012010000001041100000012401000000104110000001240100000010411000000124010000002041000000011210987654321ttttttt
16、tttffbbbbthbthbtttt0000t=500 xyot=100t=100t=1001234例 有一各向同性材料的方形物体，其导热系数为常数。已知各边界的温度如图所示，求其内部网格节点的温度。解：各节点的温度表达式为32150010025.0ttt41250010025.0ttt41310010025.0ttt32410010025.0ttt设各节点的初始温度为）（27550010025.0)0(3)0(211ttt，200300)0(4)0(3)0(2)0(1tttt）（75.26850010025.0)0(4)1(112ttt）（75.16850010025.0)0(4)1(11
17、3ttt）（38.15950010025.0)1(3)1(214ttt迭带次数t1/t2/t3/t4/03003002002001275268.75168.75159.382259.38254.69154.69152.353252.35251.18151.18150.594250.59250.30150.30150.155250.15250.07150.07150.046250.04250.02150.02150.014-4 非稳态导热问题的数值解法vztytxt2222220vxtytxtat222222稳态导热非稳态导热本节重点：(1)非稳态项离散的方法；(2)扩散项离散时所取时间层的不同
18、对计算带来的影响。22xtat1.一维非稳态导热时间空间区域的离散化x o x n，in-1，in+1，in，i-1n，i+1时间步长：从一个时间层到下一个时间层的间隔，。(1)基本概念)(int节点：空间网格线与时间网格线的交点。即表示了时间空间区域中一个节点的位置，记为：(2)非稳态项的离散非稳态项的离散有三种不同的格式：向前差分 向后差分 中心差分)()()1(,Otttininin向前差分 将函数t在节点(n，i+1)对点(n，i)作泰勒展开inininininttttt,333,222,)()1(!3!2向后差分 将函数t在节点(n，i-1)对点(n，i)作泰勒展开inininini
19、nttttt,333,222,)()1(!3!2)()1()(,Otttininin中心差分 将函数t在节点(n，i+1)及(n，i-1)对点(n，i)的泰勒展开式相减)(22)1()1(,Otttininin2.一维非稳态导热微分方程的离散方法(1)泰勒级数展开法 一维非稳态导热微分方程中的扩散项离散与稳态导热微分方程中的方法相同，对一维非稳态导热微分方程中 扩散项中心差分 非稳态项向前差分 2)(1)()(1,222xtttxtinininin)()1(,inininttt2)(1)()(1)()1(2xtttattininininin)(2)(1)(12)1()21()(inininin
20、txattxati时层差分2)1(1)1()1(11,222xtttxtinininin)()1(,inininttt2)1(1)1()1(1)()1(2xtttattininininini+1时层差分显式差分格式)1(1)1(12)()1(221ininininttxattxa隐式差分格式 显式差分格式：若已知i时层上各节点的温度值，根据该差分格式即可算出(i+1)时层上各内点的温度，而不必求解联立方程。即 是前一时刻i的第n节点及当前时刻(i+1)与n相邻两节点温度的显函数。)1(int优点：计算工作量小；缺点：受时间及空间步长的限制。隐式差分格式：即使已知i 时层上各节点的温度值，根据差
21、分格式也不能直接算出(i+1)时层上各节点的温度，而必须求解(i+1)时层上的一个联立方程组，才能算出(i+1)时层各节点的温度。即 是前一时刻i的第n节点及当前时刻(i+1)与n相邻两节点温度的隐函数。)1(int优点：不受时间及空间的步长影响；缺点：计算工作量大。(2)控制容积平衡法(热平衡法)优点：不受网格是否均匀限制；不受物体是否为常数限制。如图所示，一无限大平板，右侧面受周围流体的冷却，表面传热系数为h，对于边界节点N代表了宽为x/2的微元体在i 时层上，从节点N-1传导给节点N的热流量 xttqiNiNiNN)()(1)(1平板右侧被冷却时，在i时层上其单位面积损失的热流量)()(
22、)(fiNifNtthq从i时刻到(i+1)时刻微元体的内能增量)()1(,)(22iNiNiNiNttxctxcq)()()(1iNifNiNNqqq根据能量守恒)()1()()()(12iNiNiNfiNiNttxctthxtt整理得fiNiNiNtxchtxaxaxchtt22221)(122)()1(BiFoxhxaxhxcxch22整理得外边界节点的迭代式fiNiNiNtBiFotFoFoBiFott22221)(1)()1()()(1)(1)1()21()(inininintFottFot内节点的显式迭代式1 23N-1 对于对称加热的中心节点，可以假想有一节点(-1)存在，则节点
23、(1)就成为内节点，就可采用内节点迭代公式对其进行计算3.解的稳定性判断 要求 (含 及 )前的系数0。对显式差分格式21Fontint1int对流边界节点内节点)()(1)(1)1()21()(inininintFottFotfiNiNiNtBiFotFoFoBiFott22221)(1)()1()1(1)1(12)()1(221ininininttxattxa内节点)1(21BiFo对流边界节点对隐式差分格式内节点finininttBitBiFotBiFoBi)1(1)()1(1212111边界节点例 厚2=60mm的无限大平板受对称的冷却，初始温度t0=100。突然将其置于t=0的流体中
24、。已知平板的=40w/mK，h=1000w/m2K，试其导热系数为常数。已知各边界的温度如图所示，求Fo=0.1、0.5时各节点随时间的变化。解 取x=10mm=0.01m，则1 230 01-125.04001.01000 xhBi可知4.0)25.01(21121BiFo解才会稳定tBiFotFoFoBiFottiii22221)(2)(3)1(3)(0)(1)(1)1(0)21()(iiiitFottFot各节点的温度表达式为)(1)(0)(2)1(1)21()(iiiitFottFot)(2)(1)(3)1(2)21()(iiiitFottFot迭代次数节点12345678910010
25、0100 100 100 99.99 99.96 99.90 99.80 99.65 99.47 1100100 100 99.95 99.83 99.65 99.40 99.09 98.74 98.34 2100100 99.50 98.73 97.81 96.83 95.83 94.85 93.89 92.95310095 91.25 88.34 86.00 84.06 82.41 80.98 79.70 78.55Fo=0.1时各节点的温度变化Fo=0.5时各节点的温度变化迭代次数节点123456789100100100 100 100 93.75 95.31 87.11 89.94 8
26、0.83 84.72 1100100 100 93.75 95.31 87.11 89.94 80.83 84.72 74.95 2100100 87.50 90.63 80.47 84.57 74.56 79.50 69.06 74.95310075 81.25 67.19 73.83 62.01 69.07 57.29 65.18 52.77迭代次数节点123456789100100100 100 100 99.99 99.96 99.90 99.80 99.65 99.47 1100100 100 99.95 99.83 99.65 99.40 99.09 98.74 98.34 210
27、0100 99.50 98.73 97.81 96.83 95.83 94.85 93.89 92.95310095 91.25 88.34 86.00 84.06 82.41 80.98 79.70 78.55Fo=0.1时各节点的温度变化如图，将厚度为0.05mm，导热系数为40w/mK的金属薄膜敷设到厚度为10cm，导热系数为0.04w/mK的干木板上，当给金属薄膜通电时，其发热率为2000w/m2，此时，测得tw1=50，tw2=20，tf=20，求金属薄膜表面与流过该表面空气之间的对流换热系数。设金属薄膜表面的发射率为0.2。tw1tw2两层平壁内为一维稳态导热，温度分布如图所示，已
28、知导热系数1、2均为常数，试确定：(1)热流密度q1、q2、q3的相对大小；(2)导热系数1和2的相对大小。q1q2q3txx1x2x3从宇宙飞船伸出一根细长的散热棒，以辐射换热形式将热量散发到温度为绝对零度的外部空间，已知棒的表面发射率为，导热系数为，长度为l，横截面积为A，截面周长为P，根部温度为T0，试写出导热微分方程及边界条件。一初始温度为t0的固体，被置于室温为tf的房间中。物体表面的发射率为，表面与空气间的表面传热系数为h。物体的体积为V，参与换热的面积为A，比热容和密度分别为c和。物体的内热阻可忽略不计，试列出物体温度随时间变化的微分方程。如图，将厚度为0.05mm，导热系数为4
29、0w/mK的金属薄膜敷设到厚度为10cm，导热系数为0.04w/mK的干木板上，当给金属薄膜通电时，其发热率为2000w/m2，此时，测得tw1=50，tw2=20，tf=20，求金属薄膜表面与流过该表面空气之间的对流换热系数。设金属薄膜表面的发射率为0.2。tw1tw2解：对金属薄膜进行能量平衡分析可知，薄膜产生的电热量q应等于薄膜上表面向外界的辐射换热量qr、与空气之间的对流换热量qc以及通过模板的导热量qd三者之和。244844 w/m85.39)20273()50273(1067.52.0frTTqhhtthqfc30)2050(2 w/m60.111.0215004.0tqd木据题有
30、drcdcrqqqqqqqq 6.1185.39200030h解得K w/m95.642h两层平壁内为一维稳态导热，温度分布如图所示，已知导热系数1、2均为常数，试确定：(1)热流密度q1、q2、q3的相对大小；(2)导热系数1和2的相对大小。解：(1)对于一维平板壁，其稳态导热微分方程的通式为2222 0dxtddxtdq1q2q3txx1x2x3对第一层平板壁，即 区间内，温度分布曲线上凸，则,21xxx022dxtd0可得 即有内热源对于稳态导热问题，根据能量守恒定律有0)(2121AqAxxAq)(1212xxqq由此可得12qq 对第二层平板壁，即 区间内，温度分布是直线，则,32x
31、xx022dxtd0可得 即无内热源对于稳态导热问题，根据能量守恒定律有0)(3232AqAxxAq32qq(2)对于通过x=x2面上的热流密度有两种表示方法222xxxxdxdtdxdtq由图可知22xxxxdxdtdxdt故21从宇宙飞船伸出一根细长的散热棒，以辐射换热形式将热量散发到温度为绝对零度的外部空间，已知棒的表面发射率为，导热系数为，长度为l，横截面积为A，截面周长为P，根部温度为T0，试写出导热微分方程及边界条件。解：对于细长圆棒，假设温度只在杆长方向变化，则此题属于一维稳态导热问题。分析厚度为dx的微元段的导热：dxdTAxdxdxdTTdxdAdxx微元段的净导热：22dx
32、TdAdxxxd微元段的辐射散热：4TPdxr根据能量守恒有：rd导热微分方程为：0422TAPdxTd边界条件：400TdxdTlxTTx，；，无内热源，常物性二维导热物体在某一瞬时的温度分布为 。试说明该导热物体在x=0，y=1处的温度随时间的增加是逐渐增高还是逐渐降低？xytcos22解：常物性无内热源二维物体导热的微分方程为2222ytxtat2cos21,021,022yxyxxyxt4cos41,01,022yxyxxyt02422222aaytxtat由某一瞬时的温度分布 可得xytcos22在x=0，y=1处的温度随时间的增加逐渐增高一初始温度为t0的固体，被置于室温为tf的房
33、间中。物体表面的发射率为，表面与空气间的表面传热系数为h。物体的体积为V，参与换热的面积为A，比热容和密度分别为c和。物体的内热阻可忽略不计，试列出物体温度随时间变化的微分方程。解：该物体在加热或冷却过程中，与周围流体间存在对流换热，与周围环境间存在辐射换热。设环境温度与流体温度相等，则在单位时间内对流换热c，辐射换热r和内能增量e分别为)(fcTThA)(44frTTATcVe根据能量守恒有rce微分方程为)()(44ffTTATThATcV本章小结本章小结1.基于有限差分的数值解法是用差商代替导数，用求解代数方程组直接得到的离散的节点温度值，代替求解导热微分方程式及相应的单值条件得到的温度
34、与坐标和时间的函数关系。它是一种工程上非常有用的得到近似解的方法。2.导数的有限差分表达式常用的有向前差分、向后差分和中心差分三种。一般温度对空间坐标的二阶导数采用中心差分表达式，温度对时间的一阶导数采用向前差分或向后差分表达式。因此。对于非稳态导热问题有显式差分格式和隐式差分格式。3.节点温度的离散方程可以用泰勒级数法和热平衡法导得，两者的结果是完全一致的。对于物性随温度变化的问题，用热平衡法更为方便。应掌握用热平衡法写出内节点和边界节点的温度离散方程4.稳态导热问题的节点离散方程组都可以表示为At=C。求解这一线性代数方程组的常用方法是高斯赛德尔迭代法。5.非稳态导热问题，由于应用温度对时
35、间的导数的差分格式不同，可分为显式与隐式格式。显式格式可以直接求解；隐式格式需联立求解代数方程组，可用迭代法求解。6.对非稳态导热问题的显式格式，其数值解的稳定性要受稳定性条件的限制，所以空间步长和时间步长的选择不是任意的。必须满足稳定性条件。隐式格式是无条件稳定的。作业：作业：4-3，4-5，4-9，4-10，4-15，4-16，4-24，4-25思考题：1.节点的概念.2.向前差分,先后差分,中心差分的概念.3.利用能量守恒定律和傅立叶定律,推导内点和边界点离散方程的基本方法.4.两个导热系数不同的物体紧紧贴在一起,不计接触热阻,如何推导接触面上节点离散方程.5.显式差分方程及稳定性判据.6.显式差分方程和隐式差分方程在求解时的差别.
